Phương trình với toán
2.2Phương trình toán tử d-accretive
Trong mục này ta nghiên cứu phương trình (2.1) với toán tử d-accretive. Định lý 2.2.1. Cho J : X → X∗ là ánh xạ liên tục và liên tục yếu theo dãy. J∗ : X∗ → X liên tục, A : X → X là toán tử d-accretive, demi-liên tục với D(A) = X và f ∈ X. Giả sử rằng không gian X có tính chất xấp xỉ và tồn tại hằng số r > 0 sao cho với kxk = r, thì hJ x, Ax−fi ≥ 0.
Khi đó phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm cổ điển x¯ thỏa mãn
k¯xk ≤ r.
Chứng minh: Theo chứng minh Bổ đề 2.1.2 ta có
hJ x, Pn(Ax−f)i = hJ x, Ax−fi ≥ 0
với mọi xn ∈ X với kxnk = r. Từ đây, theo Bổ đề 2.1.4 tồn tại phần tử xn ∈ X sao cho kxnk ≤ r và Pn(Axn − f) = θX. Ta sẽ chỉ ra rằng dãy {Axn} bị chặn. Thật vậy, vì A bị chặn địa phương nên tồn tại các hằng số a > 0 và K > 0 sao cho yn ∈ X, kynk ≤ a khi kAyn ≤Kk. Lấy
˜
a ≤ min{a, r} và đặt yn = ˜akAxnk−1Axn. Rõ ràng rằng kynk = ˜a ≤ a và
kAynk ≤ K với yn.
Vì A là toán tử d-accretive, nên
hJ xn −J yn, Axn −Ayni ≥ 0
hoặc tương đương với
hJ yn, Axni ≤ hJ yn−J xn, Ayni+ hJ xn, Axni. (2.6) Dễ ràng suy ra
hJ xn, Axni = hJ xn, Axn−fi+hJ xn, fi
Vì J thuần nhất dương nên hJ yn, Axni = ˜akAxnk. Khi đó từ (2.6) suy ra
˜
akAxnk ≤ (kynk+kxnk)kAynk+kxkkfk ≤ (a+r)K + rkfk.
Từ đây suy ra dãy {Axn} bị chặn. Vì dãy {xn} bị chặn nên tồn tại dãy con của dãy {xn}, không làm mất tính tổng quát ta kí hiệu dãy con đó là {xn}, sao cho xn * x ∈ X khi n→ ∞.
Từ giả thiết không gian X có tính chất xấp xỉ, nên với mỗi phần tử z ∈ X ta xây dựng một dãy {zn} sao cho Pnz = zn ∈ Xn và zn →z. Từ tính chất d-accretive của A ta có hJ x−J xn, Az−Axni ≥ 0. Từ đây suy ra hJ z −J zn, Az −Axni+hJ zn −J xn, Az −fi +hJ zn −J xn, f −Axni ≥ 0. (2.7) Số hạng đầu tiên trong vế trái của (2.7) dần tới 0 khi n → ∞ vì {Axn}
bị chặn, trong khi J zn →J z vì tính liên tục của ánh xạ J. Số hạng cuối cùng dần tới 0 bởi vì phương trình
hJ zn−J xn, f −Axni = hJ zn −J xn, Pn(f −Axn)i
và
Pn(Axn −f) = θX.
Sử dụng tính liên tục yếu theo dãy của J, cho n→ ∞, ta nhận được J z −J x, Az−f ≥ 0.
Trong bất đẳng thức cuối cùng đặt z = zt = J∗(J x+ tJ v), ở đây v là một phần tử xác định tùy ý của X và t > 0. Khi đó
Vì toán tử A là demi-liên tục và J∗ liên tục, nên từ (2.8) cho t → 0 ta được
hJ v, Ax−fi ≥ 0. (2.9) VìR(J) = X∗, từ (2.9) suy ra Ax = f. Thêm điều kiện kxnk ≤ r và tính chất nửa liên tục dưới yếu của hàm chuẩn trong không gian Banach suy ra kxk ≤ r.
2