Phương trình với toán tử d Accretive

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đặng Thị Hồng Dương PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ d ACCRETIVE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đặng Thị Hồng Dương PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ d ACCRETIVE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Cho X không gian Banach thực phản xạ lồi chặt với không gian đối ngẫu X ∗ X, hai có chuẩn kí hiệu Ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X x∗ , x Toán tử A : X → 2X gọi toán tử d-accretive Jx1 − Jx2 , y1 − y2 ≥ với x1 , x2 ∈ D(A), y1 ∈ Ax1 , y2 ∈ Ax2 , D(A) kí hiệu miền xác định toán tử A Chúng ta xét phương trình toán tử Ax = f Phương pháp hiệu chỉnh toán tử Lavrent’ev [6] đưa cho phương trình toán tử tuyến tính không gian Hilbert Những nghiên cứu sâu sắc cho toán công bố [3]-[5] Trong không gian Banach X, không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J X không tuyến tính Khi đó, áp dụng phương pháp hiệu chỉnh toán tử [3]-[6] cho phương trình toán tử Ax = f không gian Banach Khi đòi hỏi nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh toán tử cho phương trình toán tử phi tuyến i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày số kết phương trình toán tử Ax = f với toán tử d-accretive không gian Banach Các vấn đề đề cập luận văn tập hợp từ tài liệu [2], mục về: Toán tử accretive toán tử d-accretive; Phương trình toán tử accretive phương trình toán tử d-accretive; Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử d-accretive Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số kiến thức toán tử accretive toán tử d-accretive số tính chất hình học không gian Chương trình bày phương trình toán tử accretive, phương trình toán tử d-accretive phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử daccretive Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Tiến sỹ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình cô suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ giáo sư công tác trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên vượt qua khó khăn sống để có điều kiện tốt học tập nghiên cứu Do điều kiện thời gian trình độ hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tôi hy vọng tiếp tục nghiên cứu đề tài thời gian tới Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả Đặng Thị Hồng Dương iii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X Rn không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x định nghĩa y ∀x với x ∃x tồn x inf x∈X F (x) infimum tập {F (x) : x ∈ X} I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị ma trận A a∼b a tương đương với b A∗ toán tử liên hợp toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A xk → x xk x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x dãy {xk } hội tụ yếu tới x iv Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Toán tử accretive d-accretive 1.1 Toán tử accretive 1.2 Toán tử d-accretive 1.3 Một số tính chất hình học không gian 1 14 Phương trình với toán tử d-accretive 2.1 Phương trình toán tử accretive 2.2 Phương trình toán tử d- accretive 2.3 Hiệu chỉnh phương trình toán tử d-accretive 26 26 32 34 Tài liệu tham khảo 40 v Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Toán tử accretive d-accretive Trong chương trình bày số kiến thức toán tử accretive d-accretive Các khái niệm kết chương tham khảo tài liệu [1], [2] 1.1 Toán tử accretive Cho X không gian Banach thực phản xạ lồi chặt với không gian đối ngẫu X ∗ X, hai có chuẩn kí hiệu Ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X x∗ , x Định nghĩa 1.1.1 Toán tử A : X → X ∗ gọi i) hemi-liên tục (hemicontinuous) X A(x + ty) Ax, t → 0, ∀x, y ∈ X ii) demi-liên tục (demicontinuous) X từ xn → x suy Axn Ax, n → ∞ iii) liên tục yếu theo dãy (weak-to-weak continuous) với dãy xn ⊂ X, xn x0 Axn Ax0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Toán tử accretive d-accretive ∗ Định nghĩa 1.1.2 Toán tử J : X → 2X gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X J(x), x = J(x) x = x , ∀x ∈ X Mệnh đề 1.1.3 Giả sử X không gian Banach Khi đó, i) J(x) tập lồi, J(λx) = λJ(x) với λ > 0; ii) J toán tử đơn trị X ∗ không gian lồi chặt Trong trường hợp X không gian Hilbert J ≡ I (trong I toán tử đơn vị X) Định lý 1.1.4 Nếu X ∗ không gian Banach lồi chặt ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X ∗ toán tử đơn điệu, demi-liên tục Hơn nữa, X không gian Banach lồi chặt J toán tử đơn điệu chặt Định nghĩa 1.1.5 Toán tử A : X → 2X gọi toán tử accretive J(x1 − x2 ), y1 − y2 ≥ (1.1) với x1 , x2 ∈ D(A), y1 ∈ Ax1 , y2 ∈ Ax2 , D(A) kí hiệu miền xác định toán tử A Nếu toán tử A khả vi Gâteaux ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.6 Toán tử khả vi Gâteaux A : X → X toán tử accretive Jh, A (x)h ≥ 0, ∀x, h ∈ X Sau định nghĩa khác toán tử accretive Định nghĩa 1.1.7 Toán tử A : X → 2X gọi toán tử accretive x1 − x2 ≤ x1 − x2 + λ(y1 − y2 ) , λ > 0, (1.2) với x1 , x2 ∈ D(A), y1 ∈ Ax1 , y2 ∈ Ax2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Toán tử accretive d-accretive Định lý 1.1.8 Định nghĩa 1.1.5 Định nghĩa 1.1.7 tương đương Chứng minh: Thật vậy, giả sử (1.1) thỏa mãn, bất đẳng thức J(x1 − x2 ), x1 − x2 + λ(y1 − y2 ) ≥ x1 − x2 , λ > 0, có giá trị từ suy (1.2) Hơn nữa, ta biết X ∗ không gian lồi chặt X không gian trơn Jx = 2−1 grad x Từ tính lồi hàm x ta có bất đẳng thức x1 − x2 ≥ x1 − x2 + λ(y1 − y2 ) −2λ J(x1 −x2 +λ(y1 −y2 )), y1 −y2 Nếu (1.2) thỏa mãn J(x1 − x2 + λ(y1 − y2 )), y1 − y2 ≥ Cho λ → sử dụng tính chất hemi-liên tục J ta nhận (1.1) ✷ Sau số tính chất toán tử accretive Định nghĩa 1.1.9 Toán tử accretive A : X → 2X toán tử Jx, y ≥ c( x ) x , ∀y ∈ Ax, c(t) → +∞ t → +∞ Định nghĩa 1.1.10 Toán tử A : X → 2X gọi bị chặn địa phương điểm x ∈ D(A) tồn lân cận M điểm cho tập hợp A(M ) = {y : y ∈ Ax, x ∈ M ∩ D(A)} bị chặn X Định lý 1.1.11 Cho A : X → 2X toán tử accretive, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X ∗ J ∗ : X ∗ → X liên tục X X ∗ tương ứng Khi toán tử A bị chặn địa phương điểm x ∈ intD(A) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... mục về: Toán tử accretive toán tử d- accretive; Phương trình toán tử accretive phương trình toán tử d- accretive; Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử d- accretive Nội dung luận văn trình bày... thức toán tử accretive toán tử d- accretive số tính chất hình học không gian Chương trình bày phương trình toán tử accretive, phương trình toán tử d- accretive phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán. .. 1 14 Phương trình với toán tử d- accretive 2.1 Phương trình toán tử accretive 2.2 Phương trình toán tử d- accretive 2.3 Hiệu chỉnh phương trình toán tử d- accretive