Phương trình và bất phương trình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Hữu Cần PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Phản biện 1: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Phản biện 2: PGS.TS Nông Quốc Chinh Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 01 tháng 12 năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Phương trình đại số 1.1 Mở rộng trường 1.1.1 Mở rộng đơn 1.1.2 Mở rộng đại số 1.2 Tính đóng đại số trường 1.2.1 Tính đóng đại số 1.2.2 Giải phương trình đa 1.3 Phương trình đại số C trường thức C Chương Ứng dụng phương trình đại số 2.1 Ứng dụng phương trình đại số mở rộng trường 2.1.1 Đa thức bất khả qui số đại số Q 2.1.2 Tính chia hết vài đa thức đặc biệt 2.1.3 Ứng dụng tính đóng đại số C 2.2 Ứng dụng phương trình đại số Hình học 2.2.1 Điểm đường dựng 2.2.2 Không thể gấp đôi hình lập phương 2.2.3 Không thể cầu phương hình tròn 2.2.4 Không thể chia góc tùy ý thành ba góc nhỏ 2.2.5 Dựng đa giác n cạnh với ϕ(n) = 2m 2.2.6 Bài toán dựng tam giác 7 11 13 15 21 22 30 30 30 36 40 45 45 47 47 48 49 53 Chương Ứng dụng vào giải Toán Trung học phổ thông 56 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1 Xây dựng phương trình đa thức bậc cao qua đẳng thức lượng giác 3.2 Xây dựng phương trình vô tỷ qua phương trình lượng giác 3.3 Xây dựng bất đẳng thức qua bất đẳng thức biết 3.4 Xây dựng hệ phương trình qua số phức Kết luận Tài liệu tham khảo 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 58 63 66 74 75 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Trong Toán học việc vận dụng công cụ Toán học cao cấp để giải vấn đề Toán học sơ cấp luôn điều thú vị có ý nghĩa sâu sắc Chúng ta biết toán sơ cấp chủ yếu xét trường Q trường R toán khó Khi nhúng Q R vào C toán trở lên dễ nhiều Như biết vấn đề liên quan đến phương trình phần quan trọng Đại số giải tích Khi tiếp cận vấn đề em học sinh giỏi, sinh viên nhiều thầy cô giáo phổ thông thường gặp nhiều khó khăn giải toán khó Trong luận văn này, trình bày lại khái niệm phương trình đại số, mở rộng trường, chứng minh lại tính đóng C để giải vấn đề Trong kỳ thi Olympic Toán Quốc tế, thi học sinh giỏi Quốc gia, thi Olympic sinh viên trường Đại học, cao đẳng, toán liên quan đến phương trình đại số hay đề cập thường khó, đòi hỏi người học, người làm toán phải có kiến thức rộng sâu sắc mở rộng trường dễ dàng tìm lời giải hay xác Chẳng hạn, xét hai ví dụ: Ví dụ 0.0.1 mặt phẳng Oxy, hệ điểm An (xn , yn ) xác định sau: A0 (x0 = 3, y0 = 3), A1 (x1 = 8, y1 = 5), A2 (x2 = 58, y2 = 45), với n ≥ An+2 (xn+2 = 8xn+1 − 3xn − 3xn−1 , y+2 = 5yn+1 + 10yn − 7yn−1 ) Ta có n xn = C0n yn + C1n yn−1 + · · · + Cn−1 n y1 + C n y0 n n yn = C0n xn − C1n xn−1 + · · · + (−1)n−1 Cn−1 n x1 + (−1) Cn x0 Ví dụ 0.0.2 Cho f = cos u + C1n cos(u + α)x + · · · + Cnn cos(u + nα)xn Giải phương trình f (x) = 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 0.0.1 toán dãy số nguyên Ví dụ 0.0.2 giải phương trình R, việc giải hai toán Z R khó khăn Nhưng giải tập C dễ dàng tìm lời giải Vì thế, phương pháp để giải toán Q R xét toán mở rộng trường F Q R mà toán dễ dàng nhiều giúp tìm kết Để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi việc trao đổi kinh nghiệm thầy cô giáo dạy học sinh giỏi quan tâm tìm hiểu thêm phần này, dạy, hướng dẫn tận tình thầy Đàm Văn Nhỉ, tìm hiểu viết đề tài " Phương trình bất phương trình" Đề tài giải vấn đề trọng tâm: Chương Phương trình đại số Chương tập trung trình bày mở rộng trường, mở rộng đại số, chứng minh lại Định lý Đại số, định nghĩa phương trình đại số chứng minh lại Định lý không điểm Hilbert Chương Ứng dụng phương trình đại số Trong chương này, trình bày vài ứng dụng mở rộng trường, phương trình đại số tính đóng C để tìm chứng minh đa thức bất khả qui, xét tính chia hết vài đa thức đặc biệt, phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình ứng dụng Hình học Chương Ứng dụng vào giải Toán Trung học phổ thông Trong chương này, xin giới thiệu vài ứng dụng công thức Moivre để xây dựng phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức Thông qua rèn luyện tư linh hoạt, tính sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Em xin trân trọng cảm ơn Thầy (Cô) Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2010-2012 Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K4C trường Đại học Khoa học động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Tiên Du số 1- Huyện Tiên Du Tỉnh Bắc Ninh tạo điều kiện cho học tập hoàn thành kế hoạch học tâp Tuy nhiên, hiểu biết thân hạn chế khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, mong dạy đóng góp ý kiến quý Thầy Cô bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hữu Cần 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Các ký hiệu sử dụng N ký hiệu cho tập số tự nhiên N∗ ký hiệu cho tập số tự nhiên dương Z ký hiệu cho vành số nguyên Q ký hiệu cho trường số hữu tỷ R ký hiệu cho trường số thực C ký hiệu cho trường số phức K ký hiệu cho ba trường Q, R C Các ký hiệu viết tắt HSG ký hiệu cho học sinh giỏi ∆ABC ký hiệu cho tam giác ABC A, B, C ký hiệu cho góc đỉnh A, B, C ∆ABC a, b, c ký hiệu cho độ dại cạnh tương ứng ∆ABC , hb , hc ký hiệu cho độ dài đường cao kẻ từ A,B,C ∆ABC ma , mb , mc ký hiệu cho độ dài đường trung tuyến kẻ từ A,B,C ∆ABC 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phương trình đại số Chương tập trung trình bày mở rộng trường, mở rộng đại số, chứng minh lại Định lý Đại số, định nghĩa phương trình đại số chứng minh lại Định lý không điểm Hilbert 1.1 Mở rộng trường Định nghĩa 1.1.1 Cho hai trường F K Trường F gọi mở rộng K K vành F Nếu trường F mở rộng trường K F coi không gian véctơ K Số chiều không gian gọi bậc mở rộng F K kí hiệu qua [F : K] Trường F gọi mở rộng bậc hữu hạn (vô hạn) K bậc mở rộng hữu hạn (vô hạn) Một tháp trường dãy trường K1 , K2 , , Kn cho K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn , Ki+1 mở rộng Ki với i = 1, 2, , n − Ví dụ 1.1.1 1) Vì C không gian véctơ R với cở sở {1, i} số chiều nên trường số phức C mở rộng bậc trường số thực R √ √ √ 2) Vì trường Q[ 2] = {a + b 2|a, b ∈ Q} = Q( 2) không gian √ √ véctơ Q với sở {1, 2} nên trường Q[ 2] mở rộng bậc trường số hữu tỉ Q Tương tự trường Q[i] = {a + bi|a, b ∈ Q} mở rộng bậc trường Q Định lý 1.1.1 Cho tháp trường K ⊂ E ⊂ F Khi F mở rộng bậc hữu hạn K F mở rộng bậc hữu 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hạn E E mở rộng bậc hữu hạn K Hơn nữa, ta có [F : K] = [F : E].[E : K] Chứng minh: Giả sử [F : E] = s [E : K] = r Khi tồn sở {v1 , v2 , , vs } F E sở {w1 , w2 , , wr } E K Ta cần chứng minh {vi wj |1 ≤ i ≤ s, ≤ j ≤ r} sở F K Thật vậy, F = Ev1 + Ev2 + · · · + Evs E = Kw1 + Kw2 + · · · + Kwr , nên F = Kvi wj rút {vi wj |1 ≤ i ≤ s, ≤ j ≤ r} hệ sinh K-không gian véctơ F Bây giả sử = aij vi wj = ( aij wj )vi Do {v1 , v2 , , vs } sở i j aij wj = Tiếp đến, {w1 , w2 , , wr } E- không gian véctơ F , nên j sở K-không gian véctơ E, nên kéo theo aij = Vậy hệ {vi wj |1 ≤ i ≤ s, ≤ j ≤ r} độc lập tuyến tính K hệ sở K-không gian véctơ F Ta nhận [F : K] = rs = [F : E][E : K] Hệ 1.1.1 Cho tháp trường K = K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn = F Khi F mở rộng bậc hữu hạn K [F : K] = [F : Kn−1 ] [K2 : K1 ] Cho F trường X ⊂ F Khi giao tất trường F chứa X gọi trường F sinh tập X Nếu F mở rộng K X ⊂ F trường sinh X ∪ K gọi trường sinh X K kí hiệu K(X) Trong trường hợp X tập hữu hạn gồm n phần tử u1 , u2 , , un ta viết K(X) = K(u1 , u2 , , un ) Trường K(u1 , u2 , , un ) gọi mở rộng hữu hạn sinh K 1.1.1 Mở rộng đơn Định nghĩa 1.1.2 Giả sử F mở rộng K F gọi mở rộng đơn K tồn phần tử u ∈ F cho F = K(u), u gọi phần tử nguyên thủy F Ví dụ 1.1.2 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... " Phương trình bất phương trình" Đề tài giải vấn đề trọng tâm: Chương Phương trình đại số Chương tập trung trình bày mở rộng trường, mở rộng đại số, chứng minh lại Định lý Đại số, định nghĩa phương. .. 3.2 Xây dựng phương trình vô tỷ qua phương trình lượng giác 3.3 Xây dựng bất đẳng thức qua bất đẳng thức biết 3.4 Xây dựng hệ phương trình qua số phức Kết luận... định nghĩa phương trình đại số chứng minh lại Định lý không điểm Hilbert Chương Ứng dụng phương trình đại số Trong chương này, trình bày vài ứng dụng mở rộng trường, phương trình đại số tính