Phương trình, đường lối chung để giải một phương trình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM HÙNG CƯỜNG PHƯƠNG TRÌ NH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM HÙNG CƯỜNG PHƯƠNG TRÌ NH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH PP TOÁN SƠ CẤP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Tiến sĩ: Nguyễn Minh Hà Trường THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời nói đầu…………………………………………………………… Chƣơng 1: ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH………………………… 1.1 Định nghĩa khái niệm biểu thức chứa ẩn…………………… 1.1.1 Đẳng thức 1.1.2 Phƣơng trình 1.2 Định nghĩa khái niệm hàm số 1.2.1 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến 1.2.2 Hàm số 1.2.3 Phƣơng trình ẩn 1.3 Nhận xét Chƣơng 2: ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện……………………… 2.2 Bài toán giải phƣơng trình……………………………………… 2.2.1 Đƣờng lối chung để giải phƣơng trình – Các ví dụ 2.2.2 Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng………… 13 2.2.3 Phƣơng trình tham số……………………………………… 17 2.3 Đặt điều kiện toán giải phƣơng trình…………………… 20 2.3.1 Tập xác định phƣơng trình– Điều kiện phƣơng trình 20 2.3.2 Hệ lụy khái niệm tập xác định phƣơng trình – điều kiện xác định phƣơng trình……………………………………… 20 2.3.3 Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi hệ thử lại… 29 2.3.4 Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng…… 35 2.4 Đặt điều kiện toán rút gọn biểu thức, toán chứng minh đẳng thức………………………………………………… 39 Kết luận………………………………………………………………… 43 Danh mục tài liệu tham khảo………………………………………… 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU “Phƣơng trình” vần đề quan trọng chƣơng trình toán phổ thông, xung quanh khái niệm “ Phƣơng trình” có nhiều vấn đề đáng quan tâm Đƣơng nhiên, vấn đề đƣợc quan tâm vẫn kỹ thuật giải phương trình Tuy nhiên, quan tâm tới kĩ thật giải phƣơng trình nên (SGK ngƣời giáo viên toán) thƣờng không ý tới vấn đề khác: định nghĩa phương trình, đường lối chung để giải phương trình Với em học sinh, tình trạng dẫn đến hệ tất yếu: thấy mà không thấy rừng Rất nhiều học sinh không trả lời đƣợc câu hỏi nhƣ: “1=2 đẳng thức phƣơng trình?”; “Mục đích việc đặt điều kiện giải phƣơng trình?” … Chính lẽ đó, em chọn cho đề tài luận văn: “ Phƣơng trình, đƣờng lối chung để giải phƣơng trình” Luận văn nhằm phân tích cách định nghĩa phƣơng trình chƣơng trình Toán phổ thông để từ đƣa nhận xét nên sử dụng cách định nghĩa thuận lợi cho việc giải phƣơng trình phổ thông Hình thành phƣơng pháp tổng quát giải phƣơng trình quen thuộc từ toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện Phân tích vai trò bƣớc đặt điều kiện giải phƣơng trình đặt điều kiện nhƣ cho đơn giản thuận lợi Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Minh Hà đã tận tì nh hƣớng dẫn , bảo em trình viết luận văn Đồng thời em xin đƣợc cảm ơn nhà trƣờng thầy giáo, cô giáo tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH Trong chƣơng trình toán phổ thông khái niệm phƣơng trình đƣợc định nghĩa hai lần hai cách khác 1.1 Định nghĩa khái niệm biểu thức chứa ẩn 1.1.1 Đẳng thức Hai biểu thức nối với dấu đƣợc gọi đẳng thức Mỗi biểu thức nói định nghĩa đƣợc gọi vế đẳng thức Dƣới vài ví dụ = (đẳng thức đúng) = (đẳng thức sai) 5x + = (đẳng thức, sai tuỳ theo giá trị biến x) 3x2 +xy3 = 5zy +z4 (đẳng thức sai tuỳ theo giá trị biến x, y, z) Chú ý: Việc biết đẳng thức hay sai nói chung không đơn giản, có biểu thức phức tạp nên để xét chúng hoàn toàn không dễ dàng Nhƣ câu hỏi “1 = phƣơng trình hay đẳng thức?” đƣợc trả lời Câu trả lời là: “1 = 2” đẳng thức (đẳng thức sai) phƣơng trình (phƣơng trình vô nghiệm) 1.1.2 Phƣơng trình Hai biểu thức có chứa đại lƣợng chƣa biết (gọi ẩn) nối với dấu đƣợc gọi phƣơng trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mỗi biểu thức nói định nghĩa đƣợc gọi vế phƣơng trình Những giá trị ẩn làm cho phƣơng trình trở thành đẳng thức đƣợc gọi nghiệm phƣơng trình Dƣới vài ví dụ = (phƣơng trình nhận giá trị ẩn làm nghiệm) = (phƣơng trình vô nghiệm) 5x + = (phƣơng trình (ẩn x) có nghiệm x = ) 3x2 +xy3 = 5zy +z4 (phƣơng trình ba ẩn x, y, z phƣơng trình có nhiều nghiệm, (x, y, z)=(0, 0, 0) nghiệm nó) Trừ số loại phƣơng trình đƣợc giới thiệu chƣơng trình toán phổ thông, nhìn chung việc tìm nghiệm phƣơng trình không đơn giản 1.2 Định nghĩa khái niệm hàm số 1.2.1 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến Một câu khẳng định sai đƣợc gọi mệnh đề Câu khẳng định đƣợc gọi mệnh đề Câu khẳng định sai đƣợc gọi mệnh đề sai Mệnh đề chứa hay nhiều biến nhận giá trị tập X tính sai chúng tùy thuộc vào giá trị cụ thể biến đƣợc gọi mệnh đề chứa biến 1.2.2 Hàm số Cho tập số thực khác rỗng D Hàm số f xác định D quy tắc đặt tƣơng ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f(x) Số f(x) đƣợc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn gọi giá trị f x Tập D đƣợc gọi tập xác định (hay miền xác định), x đƣợc gọi biến số hay đối số f 1.2.3 Phƣơng trình ẩn Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) có tập xác định lần lƣợt Df Dg Đặt D giao Df Dg Mệnh đề chứa biến “ f(x) = g(x)” đƣợc gọi phƣơng trình ẩn, x gọi ẩn số, D đƣợc gọi tập xác định phƣơng trình Số x0 thuộc D đƣợc gọi nghiệm phƣơng trình f(x) = g(x) “f(x0) = g(x0)” mệnh đề 1.3 Nhận xét Với em học sinh phổ thông, định nghĩa hai định nghĩa hợp lí? Ta phân tích để tìm câu trả lời Trong lịch sử toán học, khái niệm “Phƣơng trình” có trƣớc khái niệm “Hàm số” Nói cách khác, khái niệm hàm số, loài ngƣời biết định nghĩa phƣơng trình (một cách chặt chẽ) khái niệm đẳng thức chứa ẩn Tất loại phƣơng trình đƣợc đề cập đến chƣơng trình Toán phổ định nghĩa khái niệm đẳng thức chứa ẩn Định nghĩa khái niệm hàm số mở rộng thêm lớp phƣơng trình 2x  x  Ví dụ, phƣơng trình f(x) = g(x), f(x)   x  3x  x  g(x) = x2 – x + 3, định nghĩa khái niệm hàm số định nghĩ khái niệm đẳng thức chứa ẩn Tuy nhiên, SGK đại số 10, 11, 12 ví nhƣ ví dụ trên, đó, đa số học sinh thấy đƣợc ý nghĩa mở rộng nói Định nghĩa phƣơng trình khái niệm hàm số dễ dẫn đến khái niệm tập xác định phƣơng trình thực tế, SGK đại số 10 có khái niệm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đƣa khái niệm toán học mới, tác giả khái niệm trƣớc hết phải trả lời đƣợc câu hỏi “Để làm gì?” Hình nhƣ tác giả khái niệm tập xác định chƣa nghĩ tới việc trả lời câu hỏi Sự xuất khái niệm tập xác phƣơng trình – điều kiện phƣơng trình kéo theo quan niệm sai lầm: trước giải phương trình cần phải tìm tập xác định phương trình – điều kiện phương trình Vì định nghĩa khái niệm hàm số nên SGK đại số 10 rơi vào tình trạng tiền hậu bất nhất: định nghĩa phƣơng trình ẩn khái niệm hàm số, định nghĩa phƣơng trình nhiều ẩn khái niệm biểu thức chứa ẩn Rất phản sƣ phạm! Tất lập luận giúp ta đến khẳng định: nhiều toán giải phƣơng trình ta không thiết phải tìm tập xác định, điều kiện bắt tay vào giải, ta thực bƣớc tìm điều kiện nhƣ bƣớc lời giải Khẳng định đƣợc minh hoạ cụ thể ví dụ mục 2.3.2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện toán quen thuộc với tất Về hình thức, đƣợc phát biểu nhƣ sau Tìm tất đối tƣợng A(a ) Kí hiệu A(a ) biểu thị đối tƣợng A có tính chất a Cùng với kí hiệu A(a ), ta dùng kí hiệu A(a ) để biểu thị đối tƣợng A tính chất a Các kí hiệu A(a ) A(a ) có hiệu lực toàn luận văn Trong toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải hiểu “tìm hết” “tìm đƣợc” Nói cách xác, tìm tập hợp {A A(a )} Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện có ba phƣơng pháp giải, đƣợc mô hình hoá nhƣ sau Phƣơng pháp 1: biến đổi hệ quả thử lại* Bƣớc 1: biến đổi hệ quả* A(a ) Þ A Î T Bƣớc 2: thử lại* A Î T Þ A(a ) Phƣơng pháp 2: biến đổi tương đương* A(a ) Û A Î T Chú ý: Về phƣơng diện logic, phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng pháp biến đổi hệ thử lại Tuy nhiên, lời giải toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phƣơng pháp hai phƣơng pháp vấn đề không đơn giản đòi hỏi ngƣời giải toán phải có kĩ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phƣơng pháp 3: đoán nhận khẳng định* Bƣớc 1: đoán nhận* Bằng cách T Ð {A(a )} Bƣớc 2: khẳng định* A Ï T Þ A(a ) A Î T Þ A(a ) Chú ý: Nếu sử dụng phƣơng pháp đoán nhận khẳng định ta phải có công đoạn đoán nhận tập hợp T trƣớc tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh A Î T Þ A(a ) Nhƣ vậy, phƣơng pháp đoán nhận khẳng định không tự nhiên phƣơng pháp biến đổi hệ quả thử lại Vì lí trên, phương pháp đoán nhận khẳng định đƣợc sử dụng phƣơng pháp biến đổi hệ quả thử lại Cần phải nói thêm rằng, để giải toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, phƣơng diện lôgic, song hành với phƣơng pháp 1, có hai phƣơng pháp giải khác, đƣợc mô hình hoá nhƣ sau Phƣơng pháp 1’, bao gồm hai bƣớc Bƣớc A Ï T Þ A(a ) Bƣớc A(a ) Þ A Ï T Phƣơng pháp 3’, bao gồm hai bƣớc Bƣớc A(a ) Þ A Î T Bƣớc A(a ) Þ A Ï T Tuy nhiên, thực tế giải toán, để giải toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp 1, 2, 3, phƣơng pháp 1’, 3’ không đƣợc sử dụng 2.2 Bài toán giải phƣơng trình 2.2.1 Đƣờng lối chung để giải phƣơng trình – Các ví dụ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Đƣờng lối chung để giải phƣơng trình – Các ví dụ 2.2.2 Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng………… 13 2.2.3 Phƣơng trình tham số……………………………………… 17 2.3 Đặt điều kiện toán giải phƣơng trình …………………... “1=2 đẳng thức phƣơng trình? ”; “Mục đích việc đặt điều kiện giải phƣơng trình? ” … Chính lẽ đó, em chọn cho đề tài luận văn: “ Phƣơng trình, đƣờng lối chung để giải phƣơng trình Luận văn nhằm... 1.2.3 Phƣơng trình ẩn 1.3 Nhận xét Chƣơng 2: ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện……………………… 2.2 Bài toán giải phƣơng trình ……………………………………