Khóa luận tốt nghiệp toán học: Mặt phẳng Taxicab

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM      TRẦN THỊ CẨM NHUNG HÌNH HỌC TAXICAB KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐHSP NGÀNH HỌC : TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU HUẾ, KHÓA HỌC 2007 − 2011 i LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian được sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của PGS.TS Đoàn Thế Hiếu tôi đã hoàn thành khóa luận với đề tài Hình học Taxicab. Qua đây, với tất cả sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tôi xin được gửi đến Thầy lời cảm ơn chân thành nhất. Tôi xin được cảm ơn toàn thể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế. Cảm ơn Thầy Cô đã luôn tận tình dạy dỗ, luôn quan tâm động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân, bạn bè đã quan tâm động viên, giúp tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài. Cuối cùng, cho phép tôi được gửi lời chúc sức khỏe và hạnh phúc đến toàn thể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế và đặc biệt là PGS.TS Đoàn Thế Hiếu. Huế, tháng 5 năm 2011 Trần Thị Cẩm Nhung ii MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iv MỞ ĐẦU 1 1 MẶT PHẲNG TAXICAB 2 1.1 Giới thiệu về mặt phẳng taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Khoảng cách taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Khoảng cách taxicab giữa hai điểm . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Khoảng cách taxicab từ một điểm đến một đường thẳng . . 8 1.3 Góc taxicab và lượng giác học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Góc taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Góc nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Tam giác nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3 Đường tròn taxicab ngoại tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . 19 1.4.4 Đường tròn taxicab nội tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.5 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 Các áp dụng vào địa lý thành phố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6 So sánh với mặt phẳng Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT PHẲNG TAXICAB 38 2.1 Các phép đẳng cự taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1 Phép tịnh tiến taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2 Phép đối xứng taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 iii 2.1.3 Phép quay taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.2 Chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Đa giác đều taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4 Tỉ số của các độ dài định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4.1 Độ dài Taxicab định hướng và điểm chia . . . . . . . . . . . 63 2.4.2 Định lý về đường thẳng định hướng . . . . . . . . . . . . . . 66 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 iv MỞ ĐẦU Hình học taxicab là một loại hình học phi Euclid. Hermann Minkowski, nhà toán học người Đức và là thầy giáo của Albert Einstein, là người đầu tiên đề xuất hình học taxicab. Hiện nay một số ứng dụng của loại hình học này đã giúp phát triển ngành quy hoạch đô thị nhân tạo trên thế giới. Ngoài ra còn ứng dụng nhiều trong các trò chơi điện tử, điển hình là trò chơi Simcity 3000. Việc nghiên cứu loại hình học phi Euclid này đã làm tăng khả năng tư duy toán học, cải thiện kỹ năng giải quyết vấn đề và thái độ của sinh viên đối với việc học toán. Cho đến nay, có rất nhiều trường trên thế giới đã đưa vào giảng dạy nhằm giúp cho sinh viên được tiếp xúc với một loại hình học phi Euclid, phát triển khả năng tư duy toán học. Khóa luận nhằm mục tiêu tìm hiểu những khác biệt giữa hình học taxicab và hình học Euclid, hệ thống hóa và tổng quan các kết quả nghiên cứu về hình học taxicab, những ứng dụng vào địa lý thành phố và các bài toán trên mặt phẳng taxicab. Nội dung khóa luận chia làm hai chương. Chương một: giới thiệu về mặt phẳng taxicab, trình bày một số ví dụ, hình vẽ về khoảng cách taxicab, lượng giác học và tam giác taxicab. Trình bày những ứng dụng vào địa lý thành phố và hệ thống hóa những khác biệt cơ bản giữa hình học taxicab và hình học Euclid. Chương hai: một số bài toán trên mặt phẳng taxicab, trình bày các định lý của phép đẳng cự và tích vô hướng trong hình học taxicab. Hệ thống hóa các tính chất đặt biệt của các đa giác đều taxicab và tỉ số độ dài định hướng trong hình học taxicab. 1 Chương 1 MẶT PHẲNG TAXICAB 1.1 Giới thiệu về mặt phẳng taxicab Hình học mêtric bao gồm một tập hợp P, mà những phần tử của P được gọi là những điểm, cùng với một họ L ⊂ P (L = ∅), với L được gọi là họ các đường thẳng, và một hàm khoảng cách d, sao cho 1. Hai điểm phân biệt trong P nằm trên một đường thẳng duy nhất L. Điều này có nghĩa là hai điểm phân biệt trong P thuộc mặt phẳng taxicab duy nhất của L. 2. Tồn tại ba điểm phân biệt trong P không cùng nằm trên một đường thẳng L, tức là không thuộc mặt phẳng taxicab của L. 3. Tồn tại một song ánh f : l −→ R sao cho với mỗi P, Q ∈ l, l ∈ L thì |f(P ) − f (Q)| = d(P, Q). Hình học mêtric được định nghĩa như trên được kí hiệu bởi {P, L, d}. Nếu hình học mêtric này có thêm hàm đo góc (angle measure function) m và thỏa mãn tiên đề dưới đây, thì hình học mêtric đó được gọi là hình học protractor, có nghĩa là hình học với một thước đo góc, và được kí hiệu bởi {P, L, d, m}. 4. Với mỗi l ∈ L, khi đó có hai tập con H 1 và H 2 của P (gọi là hai nửa mặt phẳng xác định bởi l) sao cho (a) H 1 ∪ H 2 = P − l. (b) Mỗi tập H 1 và H 2 là những tập lồi và rời nhau. (c) Nếu A ∈ H 1 và B ∈ H 2 , thì [AB] ∩ l = ∅. 2 Mêtric taxicab được Minkowski đề cập vào cuối thế kỉ XX. Sau đó hình học phẳng taxicab được xây dựng bởi Menger, và phát triển bởi Krause. Hình học phẳng taxicab đã sử dụng mêtric taxicab d T (P, Q) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 | thay cho mêtric Euclid d E (P, Q) = [(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 ] 1 2 để xác định khoảng cách giữa hai điểm bất kì P = (x 1 , y 1 ) và Q = (x 2 , y 2 ) trong R 2 . Nếu L E là tập tất cả các đường thẳng, và m E là hàm đo góc của mặt phẳng Euclid, thì {R 2 , L E , d T , m E } là một mô hình của hình học protractor, nó được gọi là mặt phẳng taxicab. Mặt phẳng taxicab R 2 T tương tự với mặt phẳng Euclid R 2 vì nó chỉ không thỏa mãn tiên đề cạnh-góc-cạnh, nhưng lại thỏa mãn tất cả 12 tiên đề còn lại của hình học phẳng Euclid. Các khái niệm điểm, đường thẳng, góc trong mặt phẳng taxicab {R 2 , L E , d T , m E } và mặt phẳng Euclid {R 2 , L E , d E , m E } hoàn toàn tương tự nhau. Tuy nhiên, hàm khoảng cách trong mặt phẳng taxicab khác với hàm khoảng cách trong mặt phẳng Euclid. Khoảng cách taxicab giữa hai điểm P = (x 1 , y 1 ) và Q = (x 2 , y 2 ) là tổng độ dài taxicab của các đoạn thẳng ngắn nhất song song với các trục tọa độ nối hai điểm P và Q. Khoảng cách taxicab giữa hai điểm P = (x 1 , y 1 ) và Q = (x 2 , y 2 ) là d T (P, Q) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 |. Ta chứng minh d T là mêtric cảm sinh từ chuẩn taxicab. Chứng minh. 1. ∀P = (x 1 , y 1 ), Q = (x 2 , y 2 ) ∈ R 2 T d T (P, Q) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 | ≥ 0. d T (P, Q) = 0 ⇔  x 1 − x 2 = 0 y 1 − y 2 = 0 ⇔  x 1 = x 2 y 1 = y 2 ⇔ P = Q. 2. d T (P, Q) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 | = |x 2 − x 1 | + |y 2 − y 1 | = d T (Q, P ). 3 3. ∀P = (x 1 , y 1 ), Q = (x 2 , y 2 ), M = (x 3 , y 3 ) ∈ R 2 T d T (P, M) = |x 1 − x 3 | + |y 1 − y 3 | ≤ |x 1 − x 2 | + |x 2 − x 3 | + |y 1 − y 2 | + |y 2 − y 3 | ≤ |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 | + |x 2 − x 3 | + |y 2 − y 3 | ≤ d T (P, Q) + d T (Q, M). 1.2 Khoảng cách taxicab 1.2.1 Khoảng cách taxicab giữa hai điểm Khoảng cách taxicab giữa hai điểm P = (x 1 , y 1 ) và Q = (x 2 , y 2 ) là d T (P, Q) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 |. Ví dụ 1.2.1. Cho P (−2, −1); Q(1, 3). Hình 1.1: Khoảng cách giữa hai điểm P và Q. Đường liền nét đậm là khoảng cách Euclid giữa hai điểm P và Q. Hợp thành của các đường nét đứt là khoảng cách taxicab giữa hai điểm P và Q. d T (P, Q) = |1 − (−2)| + |3 − (−1)| = 7. 4 Ví dụ 1.2.2. Gọi A(a 1 , a 2 ), B(b 1 , b 2 ), C(c 1 , c 2 ), D(d 1 , d 2 ), lúc đó d T (A, B) = |a 1 − b 1 | + |a 2 − b 2 |; d E (A, B) = [(a 1 − b 1 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 ] 1 2 . d T (C, D) = |c 1 − d 1 | + |c 2 − d 2 |; d E (C, D) = [(c 1 − d 1 ) 2 + (c 2 − d 2 ) 2 ] 1 2 . 1. Nếu d T (A, B) = d T (C, D) thì d E (A, B) = d E (C, D) khi |a 1 − b 1 ||a 2 − b 2 | = |c 1 − d 1 ||c 2 − d 2 |. Chứng minh. Giả sử d T (A, B) = d T (C, D) và d E (A, B) = d E (C, D), ta chứng minh |a 1 − b 1 ||a 2 − b 2 | = |c 1 − d 1 ||c 2 − d 2 |. d T (A, B) = d T (C, D) ⇔ |a 1 − b 1 | + |a 2 − b 2 | = |c 1 − d 1 | + |c 2 − d 2 | ⇔ (|a 1 − b 1 | + |a 2 − b 2 |) 2 = (|c 1 − d 1 | + |c 2 − d 2 |) 2 ⇔ (a 1 − b 1 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 + 2|a 1 − b 1 ||a 2 − b 2 | = (c 1 − d 1 ) 2 + (c 2 − d 2 ) 2 + 2|c 1 − d 1 ||c 2 − d 2 | ⇔ d 2 E (A, B) + 2|a 1 − b 1 ||a 2 − b 2 | = d 2 E (C, D) + 2|c 1 − d 1 ||c 2 − d 2 | ⇔ |a 1 − b 1 ||a 2 − b 2 | = |c 1 − d 1 ||c 2 − d 2 |. 2. d T (A, B) = d E (A, B) khi chỉ khi A và B có hoành độ hoặc tung độ bằng nhau. d T (A, B) = d E (A, B) ⇔ d 2 T (A, B) = d 2 E (A, B) ⇔ (|a 1 − b 1 | + |a 2 − b 2 |) 2 = (a 1 − b 1 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 ⇔ (a 1 − b 1 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 + 2|a 1 − b 1 ||a 2 − b 2 | = (a 1 − b 1 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 ⇔ 2|a 1 − b 1 ||a 2 − b 2 | = 0 ⇔  a 1 = b 1 a 2 = b 2 . Vậy d T (A, B) = d E (A, B) khi chỉ khi A và B có hoành độ hoặc tung độ bằng nhau (A và B nằm trên một đường thẳng đứng hoặc đường nằm ngang). 3. Chứng minh rằng d T (A, B) ≥ d E (A, B). d 2 T (A, B) = (|a 1 − b 1 | + |a 2 − b 2 |) 2 = (a 1 − b 1 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 + 2|a 1 − b 1 ||a 2 − b 2 | ≥ (a 1 − b 1 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 = d 2 E (A, B). Suy ra d T (A, B) ≥ d E (A, B). 5 Ví dụ 1.2.3. Cho hai điểm A(−2, −1); B(3, 2). Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập hợp G = {P |d T (P, A) = 3 và d T (P, B) = 5}. Hình 1.2: Tập hợp G. Đoạn DC trên Hình 1.2 là tập hợp G cần biểu diễn. Ví dụ 1.2.4. Cho hai điểm A(−2, 3); B(1, −4). Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập hợp H = {P |d T (P, A) + d T (P, B) = d T (A, B)}. Hình 1.3: Hình chữ nhật H. Mọi điểm nằm trong hình chữ nhật đều có tổng khoảng cách taxicab đến A và B là 10. 6 [...]... học taxicab có rất nhiều đoạn thẳng nối A và B có độ dài taxicab ngắn nhất Hình học taxicab là một loại hình học phi Euclid Những khái niệm điểm, đường thẳng, góc trong mặt phẳng taxicab và mặt phẳng Euclid là hoàn toàn tương tự nhau Tuy nhiên, hàm khoảng cách của chúng khác nhau: Hàm khoảng cách trong mặt phẳng Euclid 1 dE (P, Q) = [(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ] 2 hàm khoảng cách trong mặt phẳng taxicab. .. tròn đơn vị taxicab và chắn cung có độ dài bằng 1 9 Chú ý 1 Một đường tròn đơn vị taxicab có số đo góc là 8 t − radian vì chu vi của đường tròn đơn vị taxicab là 8 2 Các góc Euclid ứng là 1, 2, 4 π π , , π nằm trong vị trí tiêu chuẩn có số đo taxicab tương 4 2 3 Số đo taxicab θ của một góc Euclid φe ở vị trí tiêu chuẩn bằng khoảng cách taxicab từ điểm (1, 0) đến giao điểm của đường tròn đơn vị taxicab. .. ) = dT (A, B )} Hình 1.4: Đoạn thẳng AB Mọi điểm nằm trên đoạn thẳng AB đều có tổng khoảng cách taxicab đến A và B là 3 (Hình 1.4) Trong mặt phẳng Euclid, tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B cho trước là đường thẳng trung trực của đoạn AB Nhưng đối với mặt phẳng taxicab tập hợp các điểm có khoảng cách taxicab đến A và B bằng nhau có hình dạng khá phức tạp Ví dụ 1.2.6 Cho hai điểm A(−2, −1); B (3,... 1.3.3 ([12, Định nghĩa 3.1, pp 4]) Tia cuối của góc taxicab θ ở vị trí tiêu chuẩn cắt đường tròn đơn vị taxicab tại điểm có tọa độ là (cos θ, sin θ) Chú ý Các giá trị lượng giác taxicab của sin, cos của góc taxicab không bằng các giá trị lượng giác Euclid của sin, cos của góc Euclid tương ứng Ví dụ Một góc taxicab θ= 1 t − radian có các giá trị lượng giác taxicab là: 1 sin θ = cos θ = 2 11 Trong hình học... đến P là rα = AB − rβ = α+β Đường tròn taxicab tâm A bán kính rα và đường tròn taxicab tâm B bán kính rβ cùng cắt cạnh AB của tam giác tại điểm P Các đường tròn taxicab này cắt 21 phần trong của tam giác theo các cung có cùng độ dài taxicab l = rα α = rβ β = αβAB α+β Các cung này tạo thành một nửa đường tròn taxicab trong tam giác Nửa còn lại của đường tròn taxicab cũng nằm trong tam giác vì độ dốc... tròn taxicab ngoại tiếp có độ dài các cạnh là lớn nhất Dựng cạnh thứ tư của đường tròn taxicab ngoại tiếp ta được KN LM là đường tròn taxicab ngoại tiếp tam giác ABC Tâm O = (−0.5, 1.5) của đường tròn taxicab ngoại tiếp KLM N là vị trí mà An, Bình, Nam cần tìm để ở trọ sao cho mỗi người trong họ đi đến nơi học, nơi làm việc cùng một khoảng cách taxicab (Hình 1.22) 24 Hình 1.22: Tâm O của đường tròn taxicab. .. đều có tổng khoảng cách taxicab từ ba trạm xăng tới bãi rửa xe nhỏ hơn 15 (Hình 1.29) 30 1.6 So sánh với mặt phẳng Euclid Hình học Eucild xuất hiện từ hơn 2000 năm trước, gồm một hệ thống các tiên đề có ý nghĩa thực tế Hermann Minkowski, nhà toán học người Đức và là thầy giáo của Albert Einstein, là người đầu tiên đề xuất hình học taxicab bằng cách đưa ra khái niệm khoảng cách taxicab thay cho khái niệm... dT (A, l) = minM ∈l dT (A, M ) = dT (A, D) = 4 1.3 Góc taxicab và lượng giác học 1.3.1 Góc taxicab Trong phần này ta sẽ tìm hiểu những thay đổi trong cách sử dụng đơn vị đo góc của hình học taxicab Thay vì sử dụng đơn vị radian để đo các góc Euclid, hình học taxicab giới thiệu định nghĩa taxicab radian (t − radian) là đơn vị đo góc trong hình học taxicab Góc nằm ở vị trí tiêu chuẩn có đỉnh trùng với... giác Định nghĩa 1.4.7 ([11, Định nghĩa 5.1]) Đường tròn taxicab nội tiếp tam giác là đường tròn taxicab lớn nhất nằm trong tam giác và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại ba đỉnh của đường tròn taxicab này Định lý 1.4.6 ([11, Định lý 5.2]) Một tam giác có đường tròn taxicab nội tiếp nếu và chỉ nếu nó là tam giác nội tiếp Hình 1.17: Đường tròn taxicab nội tiếp trong tam giác nội tiếp Chứng minh (⇐=)... taxicab từ một điểm A đến một đường thẳng l là khoảng cách taxicab nhỏ nhất từ A đến mỗi điểm P trên l dT (A, l) = min dT (A, P ) P ∈l Ví dụ 1.2.7 Cho điểm A(−3, 2) và đường l qua (−6, −2) và (0, 0) Tìm tọa độ của điểm P trên l có khoảng cách taxicab đến A là nhỏ nhất Tính dT (A, l) Hình 1.6: Khoảng cách taxicab từ A đến l Đường thẳng đứng qua A cắt đường thẳng l tại P Điểm trên l có khoảng cách taxicab