2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT PHẲNG TAXICAB
2.3 Đa giác đều taxicab
Một đa giác trong mặt phẳng taxicab gồmn đoạn thẳng đồng phẳng (n ≥3), các đoạn thẳng (cạnh của đa giác) chỉ giao nhau tại một điểm đó là đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh nằm trên hai cạnh, và hai cạnh có chung một đỉnh thì không cộng tính với nhau. Nếu số cạnh của đa giác là n với n ≥ 3 và n ∈ N, thì đa giác đó được gọi là n−giác.
Các định nghĩa dưới đây về các đa giác trong mặt phẳng taxicab sử dụng độ dài taxicab thay cho độ dài Euclid.
Định nghĩa 2.3.1 ([6, Định nghĩa 1, pp. 28]). Một đa giác trong mặt phẳng taxicab được gọi là đa giác taxicab cạnh đều nếu các cạnh của đa giác có độ dài taxicab bằng nhau.
Định nghĩa 2.3.2 ([6, Định nghĩa 2, pp. 28]). Một đa giác trong mặt phẳng taxicab được gọi là đa giác taxicab góc đều nếu các góc trong của đa giác có số đo góc taxicab bằng nhau.
Định nghĩa 2.3.3 ([6, Định nghĩa 3, pp. 28]). Một đa giác trong mặt phẳng taxicab được gọi là đa giác đều taxicab nếu nó vừa là đa giác taxicab cạnh đều vừa là đa giác taxicab góc đều.
Mệnh đề 2.3.1 ([6, Mệnh đề 1, pp. 28]). Cho A, B, C và D là bốn điểm trong mặt phẳng sao cho A6=B và dE(A, B) =dE(C, D), cho m1, m2 lần lượt là độ dốc của các đường thẳng AB và CD.
1. Nếu m1 6= 0 6= m2, thì dT(A, B) = dT(C, D) nếu và chỉ nếu |m1| = |m2|
hoặc |m1m2|= 1.
2. Nếu mi = 0 hoặc mi → ∞, thì dT(A, B) =dT(C, D) nếu và chỉ nếu mj = 0 hoặc mj → ∞, trong đó i, j ∈ {1,2} và i6=j.
Chứng minh.
Nếu hai điểm P và Q nằm trên một đường thẳng đứng (mi → ∞), thì
dE(P, Q) =dT(P, Q) (Mệnh đề 2.3.1 luôn thỏa mãn).
Nếu hai điểm P, Q không cùng nằm trên một đường thẳng đứng, nếu m là độ dốc của đường thẳng PQ, khi đó dE(P, Q) =ρ(m)dT(P, Q), với ρ(m) =
√ 1+m2
1+|m| . 1. Chom1 6= 06= m2, m1 vàm2 lần lượt là độ dốc của đường thẳng AB và CD.
Theo giả thiết dE(A, B) =dE(C, D) ⇔ρ(m1)dT(A, B) =ρ(m2)dT(C, D). (=⇒) Nếu dT(A, B) =dT(C, D)thì ρ(m1) =ρ(m2) ⇔ q 1 +m21 1 +|m1| = q 1 +m22 1 +|m2| ⇔ 1 +m 2 1 1 + 2|m1|+m2 1 = 1 +m 2 2 1 + 2|m2|+m2 2 ⇔(1 +m21)(1 +m22+ 2|m2|) = (1 +m22)(1 +m21+ 2|m1|) ⇔(1 +m21)2|m2|= (1 +m22)2|m1| ⇔ |m2| − |m1|+m21|m2| −m22|m1|= 0 ⇔(|m2| − |m1|)(1− |m1||m2|) = 0 ⇔ " |m2| =|m1| |m1m2|= 1. (⇐=) Nếu |m2| =|m1| hoặc |m1m2| = 1⇔ |m2|= 1 |m1| thì ta luôn có q 1 +m21 1 +|m1| = q 1 +m22 1 +|m2| ⇔ρ(m1) =ρ(m2). Suy ra dT(A, B) =dT(C, D). 2. Cho mi= 0 hoặc mi→ ∞, lúc đó ρ(mi) = 1. (=⇒)NếudT(A, B) =dT(C, D)thìρ(mj) = 1tức làmj = 0hoặcmj → ∞. (⇐=) Nếu mj = 0 hoặc mj → ∞ thì ρ(mj) = 1 và do đó dT(A, B) =dT(C, D).
Hệ quả 2.3.1 ([6, Hệ quả 2, pp. 28]). Cho A, B và C là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng tọa độ sao cho dE(A, B) = dE(B, C). Khi đó, dT(A, B) = dT(B, C) nếu và chỉ nếu số đo của góc ](ABC) là π
2 hoặc A và C đối xứng nhau qua đường thẳng đi qua B và song song với một trong các đường thẳng x = 0, y = 0, y =x và y = −x.
Mệnh đề 2.3.2 ([6, Mệnh đề 9, pp. 31]). Cho A, B, C và D là bốn điểm trong mặt phẳng sao cho A6= B và dT(A, B) = dT(C, D), và m1, m2 lần lượt là độ dốc của các đường thẳng AB và CD.
1. Nếu m1 6= 0 6= m2, thì dE(A, B) = dE(C, D) nếu và chỉ nếu |m1| = |m2|
hoặc |m1m2|= 1.
2. Nếu mi = 0 hoặc mi→ ∞, thì dE(A, B) =dE(C, D) nếu và chỉ nếu mj = 0 hoặc mj → ∞, trong đó i, j ∈ {1,2} và i6=j.
Chứng minh. Tương tự Mệnh đề 2.3.1.
Hệ quả 2.3.2 ([6, Hệ quả 10, pp. 32]). Cho A, B và C là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng tọa độ sao cho dT(A, B) = dT(B, C). Khi đó, dE(A, B) = dE(B, C) nếu và chỉ nếu số đo của góc ABC là π2 hoặc A và C đối xứng nhau qua đường thẳng đi qua B và song song với một trong các đường thẳng x = 0, y = 0, y =x và y = −x.
Mệnh đề 2.3.3 ([6, Mệnh đề 3, pp. 28]). Tam giác đều Euclid không là tam giác đều taxicab.
Chứng minh. Trong tam giác đều Euclid, độ dài Euclid của hai cạnh liên tiếp bằng nhau và số đo góc giữa hai cạnh liên tiếp khác π
2. Nên theo Hệ quả 2.3.1,
bất kì hai cạnh liên tiếp nào của tam giác đều Euclid đối xứng nhau qua đường thẳng song song với một trong các đường thẳngx = 0, y = 0, y = x vày = −x thì có độ dài taxicab bằng nhau.
Giả sử có hai cạnh liên tiếp của tam giác đối xứng nhau qua đường thẳng song song với một trong các đường thẳng x = 0, y = 0, y = x và y = −x (Hình 2.7 và Hình 2.8).
Hình 2.8: Tam giác đều Euclid.
Rõ ràng, với mỗi trường hợp trên, trong tam giác đều Euclid luôn có hai trục đối xứng không song song với bất kì đường thẳng nào trong các đường thẳng
x = 0, y = 0, y =x và y= −x.
Do đó, các tam giác trên không phải là tam giác taxicab cạnh đều. Vậy tam giác đều Euclid không phải là tam giác đều taxicab.
Hệ quả 2.3.3 ([6, Hệ quả 4, pp. 29]). Lục giác đều Euclid không là lục giác đều taxicab.
Chứng minh. Mỗi lục giác đều Euclid là hợp thành của sáu tam giác đều Euclid. Từ Mệnh đề 2.3.1 ta suy ra các cạnh của lục giác đều Euclid song song với nhau thì có độ dài taxicab bằng nhau. Vì không có tam giác đều Euclid nào là tam giác taxicab cạnh đều nên cũng không có lục giác đều Euclid nào là lục giác taxicab cạnh đều. Vậy lục giác đều Euclid không là lục giác đều taxicab.
Hình 2.9: Lục giác đều Euclid.
Mệnh đề 2.3.4 ([6, Mệnh đề 5, pp. 29]). Mỗi tứ giác đều Euclid (hình vuông Euclid) là tứ giác đều taxicab.
Hình 2.10: Hình vuông Euclid.
Chứng minh. Trong hình vuông Euclid, độ dài Euclid của các cạnh đều bằng nhau và góc giữa hai cạnh liên tiếp bất kì là góc π
2. Theo Hệ quả 2.3.1, các cạnh
của hình vuông Euclid cũng có độ dài taxicab bằng nhau. Vì vậy, mỗi hình vuông Euclid là một tứ giác taxicab cạnh đều và do đó là một tứ giác đều taxicab hay còn gọi là hình vuông taxicab.
Mệnh đề 2.3.5 ([6, Mệnh đề 11, pp. 32]). Mỗi hình vuông taxicab là một hình vuông Euclid.
Chứng minh. Vì các cạnh của hình vuông taxicab luôn có độ dài taxicab bằng nhau, và góc giữa hai cạnh liên tiếp của hình vuông taxicab là góc vuông, nên theo Hệ quả2.3.2 các cạnh của hình vuông taxicab sẽ có độ dài Euclid bằng nhau. Vậy hình vuông taxicab là tứ giác Euclid có các cạnh bằng nhau, và do đó nó là tứ giác đều Euclid hay là hình vuông Euclid.
Mệnh đề 2.3.6 ([6, Mệnh đề 6, pp. 29]). Mỗi bát giác đều Euclid, có đường chéo đối xứng (kí hiệu là DAOS) song song với bất kì đường thẳng nào trong các đường thẳng x = 0, y = 0, y =x và y =−x là bát giác đều taxicab.
Chứng minh. Mỗi bát giác đều Euclid, có 4 đường chéo chính là 4 trục đối xứng ta kí hiệu là DAOS.
Xét bát giác đều Euclid có một đường DAOS song song với đường x = 0, các đường DAOS khác sẽ song song với các đường thẳng y = 0, y = x và y = −x. Cứ hai cạnh liên tiếp của nó sẽ đối xứng nhau qua các đường thẳng song song với các đường thẳng x = 0, y = 0, y = x và y = −x. Các cạnh của bát giác đều Euclid luôn có độ dài Euclid bằng nhau. Theo Hệ quả 2.3.1 các cạnh của bát giác đều Euclid cũng có độ dài taxicab bằng nhau.
Hình 2.11: Bát giác đều taxicab.
Vậy một bát giác đều Euclid có một đường DAOS song song với đường x = 0
là một bát giác taxicab cạnh đều và do đó là một bát giác đều taxicab. Các trường hợp khác được chứng minh hoàn toàn tương tự.
Chú ý. 2n-giác có các góc bằng nhau được gọi là nửa đa giác đều cạnh có các góc bằng nhau nếu các cạnh xen kẻ của 2n−giác có độ dài Euclid bằng nhau. Do đó, luôn có một đường tròn Euclid đi qua các đỉnh của nửa đa giác đều cạnh có các góc bằng nhau.
Mệnh đề 2.3.7 ([6, Mệnh đề 12, pp. 32]). Mỗi bát giác đều taxicab, có đường chéo đối xứng (kí hiệu là DAOS) song song với bất kì đường thẳng nào trong các đường thẳng x = 0, y = 0, y =x và y =−x là bát giác đều Euclid.
Chứng minh. Xét bát giác đều taxicab Hình 2.12, các cạnh xen kẻ nhau luôn có độ dài Euclid bằng nhau, vì số đo của góc giữa hai cạnh xen kẻ nhau của bát giác đều taxicab luôn là π2 và các cạnh của bát giác đều taxicab luôn có độ dài taxicab bằng nhau (theo Mệnh đề 2.3.2và Hệ quả2.3.2). Do đó, mỗi bát giác đều taxicab là nửa bát giác đều cạnh có các góc bằng nhau.
Xét bát giác đều taxicab A1A2...A8 có một trục DAOS song song với đường thẳng y = 0 (Hình 2.12). Lúc đó tồn tại đường tròn Euclid đường kính A1A5 đi qua8điểmA1, A2, ..., A8, và tồn tại một đường tròn taxicab tâmA1 đi quaA2, A8. Vì đường tròn Euclid và đường tròn taxicab có chung trục đối xứng là A1A5 nên giao điểm của chúng làA2 và A8 sẽ đối xứng nhau qua A1A5. Do đó hai cạnh liên tiếpA1A2 và A1A8 đối xứng nhau qua A1A5 nên hai cạnh liên tiếp A1A2 và A1A8
có độ dài Euclid bằng nhau.
Vậy bát giác đều taxicab là nửa bát giác đều cạnh có các góc bằng nhau và có hai cạnh liên tiếp có độ dài Euclid bằng nhau nên nó là bát giác đều Euclid.
Các trường hợp còn lại ta chứng minh tương tự.
Định lý 2.3.1 ([6, Định lý 7, pp. 30]). Mọi đa giác đều Euclid không là đa giác đều taxicab, ngoại trừ hình vuông Euclid và bát giác đều Euclid thỏa mãn điều kiện như trong Mệnh đề 2.3.6.
Chứng minh.
1. Xét (2n−1) giác đều Euclid. Mỗi (2n−1)-giác đều Euclid đều có 2n−1
trục đối xứng, mỗi trục đối xứng là đường thẳng đi qua một đỉnh và tâm của
(2n−1)-giác đều Euclid.
(a) n = 2 đã chứng minh trong Mệnh đề 2.3.3. (b) n >2
Trong trường hợp này các (2n−1)-giác đều Euclid luôn có số trục đối xứng ≥5. Do đó tồn tại ít nhất một trục đối xứng không song song với một trong 4 đường thẳng x = 0, y = 0, y = x và y = −x. Suy ra có ít nhất hai cạnh liên tiếp của (2n−1)-giác đều Euclid đối xứng nhau qua trục đối xứng này. Mặt khác, góc giữa hai cạnh liên tiếp của(2n−1)-giác đều Euclid không phải là góc vuông. Theo Hệ quả 2.3.1 hai cạnh liên tiếp này có độ dài taxicab không bằng nhau.
Vậy nếu n > 2 thì (2n−1)-giác đều Euclid không là (2n−1)-giác taxicab cạnh đều, và do đó không là (2n−1)-giác đều taxicab.
2. Xét 2n-giác đều Euclid. Mỗi 2n-giác đều Euclid có n đường chéo chính cũng chính là n trục đối xứng và ta gọi đó là n trục DAOS.
(a) n = 2 là trường hợp hình vuông Euclid chính là hình vuông taxicab đã được loại trừ.
(b) n = 3 đã được chứng minh ở Hệ quả 2.3.3, lục giác đều Euclid không là lục giác đều taxicab.
(c) n = 4 Ta chỉ xét trường hợp bát giác đều Euclid không có trục DAOS nào song song với các đường thẳng x = 0, y = 0, y = x và y = −x, mặt khác góc giữa hai cạnh liên tiếp của bát giác đều không phải là góc vuông. Theo Hệ quả 2.3.1, hai cạnh liên tiếp bất kì của bát giác đều Euclid này có độ dài taxicab không bằng nhau. Như vây bát giác đều Euclid này không là bát giác taxicab cạnh đều, và do đó không là bát giác đều taxicab.
(d) n >4
Trong trường hợp này, số trục DAOS của2n−giác đều Euclid làn≥5. Do đó tồn tại ít nhất một trục DAOS không song song với một trong 4
đường thẳng x = 0, y = 0, y =x và y =−x. Suy ra có ít nhất hai cạnh liên tiếp của 2n−giác đều Euclid đối xứng nhau qua trục đối xứng này. Mặt khác, góc giữa hai cạnh liên tiếp của 2n−giác đều Euclid không phải là góc vuông (n >4). Theo Hệ quả 2.3.1 hai cạnh liên tiếp này có độ dài taxicab không bằng nhau.
Vậy nếu n >4thì2n−giác đều Euclid không là2n−giác taxicab cạnh đều, và do đó không là 2n−giác đều taxicab.
Định lý 2.3.2 ([6, Định lý 13, pp. 32]). Mọi đa giác đều taxicab không là đa giác đều Euclid, ngoại trừ hình vuông taxicab và bát giác đều taxicab thỏa mãn điều kiện như trong Mệnh đề 2.3.7.
Chứng minh. Giả sử tồn tại một đa giác đều taxicab là đa giác đều Euclid,ngoại trừ hình vuông taxicab và bát giác đều taxicab thỏa mãn điều kiện như trong Mệnh đề 2.3.7. Lúc đó, tồn tại đa giác đều Euclid là đa giác đều taxicab mà không phải hình vuông Euclid và bát giác đều Euclid thỏa mãn điều kiện như trong Mệnh đề
taxicab nào là đa giác đều Euclid,ngoại trừ hình vuông taxicab và bát giác đều taxicab thỏa mãn điều kiện như trong Mệnh đề 2.3.7.
Định lý 2.3.3 ([6, Định lý 14, pp. 32]). Không tồn tại tam giác đều taxicab. Chứng minh. Mỗi tam giác taxicab góc đều là một tam giác đều Euclid. Vì không có tam giác đều Euclid nào là tam giác đều taxicab, nên không có tam giác taxicab góc đều nào là tam giác đều taxicab.
Vậy không tồn tại tam giác đều taxicab.