2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT PHẲNG TAXICAB
2.1.2 Phép đối xứng taxicab
Trong mặt phẳng taxicab, không phải tất cả các phép đối xứng taxicab đều bảo toàn khoảng cách taxicab. Trong phần này ta sẽ tìm hiểu một vài phép đối xứng đẳng cự taxicab trong mặt phẳng taxicab.
Định nghĩa 2.1.1 ([13, Định nghĩa 3, pp. 76]). (Ảnh của một điểm qua phép đối xứng taxicab) Cho điểm P và một đường thẳng (l), P 6∈(l). Xét điểm C nằm trên đường thẳng (l), là điểm có khoảng cách taxicab nhỏ nhất đến điểm P, vẽ đường thẳng P C. Đường thẳng (l) chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng,
khi đó trên nửa mặt phẳng không chứa điểm P tồn tại duy nhất điểm P0 ∈ P C (P0 6∈(l)) sao chodT(P, C) =dT(P0, C). Điểm P0 được gọi là ảnh của điểmP bởi phép đối xứng taxicab qua đường thẳng (l).
Chú ý.
Cho P = (a, b), đường thẳng y =mx,(m6= 1). Những điểm B = (mb, b) hoặc
C = (a, ma) nằm trên y = mx,(m 6= 1) có khoảng cách taxicab đến P là nhỏ nhất.
Cho Hình 2.1 (m = 1). Trên đường thẳng y = x, mọi điểm nằm trên đoạn thẳng [BC] đều có khoảng cách taxicab đến P nhỏ nhất.
Hình 2.1: Tập hợp các điểm nằm trên[BC] có khoảng cách taxicab đến P nhỏ nhất.
Định lý 2.1.2 ([13]). Phép đối xứng taxicab qua đường thẳng y = 0 là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Chứng minh. Phép đối xứng taxicab qua đường thẳng y = 0 là
f : R2T −→ R2T (x, y) 7−→ f(x, y) = (x,−y). ∀P = (x, y), A= (a, b)∈R2 T ta có dT(f(x, y), f(a, b)) = dT((x,−y),(a,−b)) =|x−a|+| −y+b| =|x−a|+|y−b|=dT((x, y),(a, b)). Vậy dT((x, y),(a, b)) = dT(f(x, y), f(a, b)), do đó f là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Do phép tịnh tiến là phép đẳng cự taxicab nên ta có:
Hệ quả 2.1.1. Phép đối xứng taxicab qua các đường thẳng y =b là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Định lý 2.1.3 ([13]). Phép đối xứng taxicab qua đường thẳng x = 0 là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Chứng minh. Phép đối xứng taxicab qua đường thẳng x= 0 là
f : R2T −→ R2T (x, y) 7−→ f(x, y) = (−x, y). ∀P = (x, y), A= (a, b)∈R2 T ta có dT(f(x, y), f(a, b)) = dT((−x, y),(−a, b)) =| −x+a|+|y−b| =|x−a|+|y−b|=dT((x, y),(a, b)). Vậy dT((x, y),(a, b)) = dT(f(x, y), f(a, b)), do đó f là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Do phép tịnh tiến là phép đẳng cự taxicab nên ta có:
Hệ quả 2.1.2. Phép đối xứng taxicab qua các đường thẳng x =a là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Định nghĩa 2.1.2 ([13, Định nghĩa 4, pp. 80]). Cho A = (a1, a2), B = (b1, b2)
là hai điểm trong R2T. Đoạn thẳng nối A và B kí hiệu [AB], được xác định
[AB] ={P|P = (a1, a2) +λ(b1−a1, b2−a2),0≤λ≤1}.
Ngoài ra, trong các phép đối xứng taxicab qua đường thẳng y =x và y= −x
cũng có phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Cho điểm P = (a, b) 6∈ (l) : y = x, trên đường thẳng (l) có nhiều hơn một điểm có khoảng cách taxicab nhỏ nhất đến P (Hình2.2). Đường thẳng nằm ngang
y = b và đường thẳng đứng x = a đi qua điểm P = (a, b) cắt đường thẳng y =x
lần lượt tại các điểmC = (b, b)vàB = (a, a). Mọi điểm nằm trên [BC] có khoảng cách taxicab nhỏ nhất đến P là |b−a|.
Ngoài ra, với mỗi H = (u, u)∈ [BC], cho 0 ≤ λ≤ 1 ta có u = b+λ(a−b). Trên [P H] lấy một điểm P0 sao cho dT(P, H) =dT(P0, H). Lúc đó
Hình 2.2: Phép đối xứng taxicab hλ qua đường thẳng y=x. Rõ ràng, dT(P0, H) =dT((−a+ 2b+ 2λ(a−b), b+ 2λ(a−b)),(u, u)) = | −a+ 2b+ 2λ(a−b)−(b+λ(a−b))|+|b+ 2λ(a−b)−(b+λ(a−b))| = | −b+a−λ(a−b)|+| −λ(a−b)| = |1−λ||a−b|+| −λ||a−b| = (1−λ)|a−b|+ (λ)|a−b|; 0 ≤λ≤1 = |a−b| =dT(P, H).
Vậy P0 là ảnh của P qua H.
Ta kí hiệu phép đối xứng taxicab ở trên bởi Hλ.
Định lý 2.1.4([13, Định lý 6, pp. 78]). Phép đối xứng taxicabHλ qua đường thẳng y =x là phép đẳng cự taxicab nếu và chỉ nếu λ= 12.
Chứng minh.
(=⇒) Giả sử phép đối xứng taxicab Hλ f : R2
T −→ R2 T là phép đẳng cự taxicab. Khi đó, f(x, y) = (−x+ 2y+ 2λ(x−y), y+ 2λ(x−y)). Ta có dT(f(x, y), f(a, b)) =| −a+ 2b+ 2λ(a−b)−(−x+ 2y+ 2λ(x−y))|+|b+ 2λ(a−b)−(y+ 2λ(x−y))| =|(1−2λ)(x−a) + (2λ−2)(y−b)|+|(1−2λ)(y−b)−2λ(x−a)|.
dT((x, y),(a, b)) =|x−a|+|y−b|. Vì Hλ là phép đẳng cự taxicab nên: dT(f(x, y), f(a, b)) = dT((x, y),(a, b)) ⇔ |(1−2λ)(x−a)−(2−2λ)(y−b)|+|(1−2λ)(y−b)−2λ(x−a)| =|x−a|+|y−b|. Suy ra λ = 1 2 (rõ ràng λ > 1 2 hoặc λ < 1
2 thì dấu bằng của phương trình không
thỏa mãn).
(⇐=)Với λ= 12, lúc đó
dT(f(x, y), f(a, b)) =|(1−2λ)(x−a)−(2−2λ)(y−b)|+|(1−2λ)(y−b)−2λ(x+a)|
=|x−a|+|y−b| =dT((x, y),(a, b)).
Ta cũng có những kết quả tương tự đối với phép đối xứng taxicab qua đường thẳng y =−x.
S là tập các phép đối xứng taxicab đẳng cự. S gồm các phép đối xứng taxicab qua các đường thẳng x = a, y = b và phép đối xứng H1
2 qua các đường thẳng
y =x, y =−x.