Hình học taxicab có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các vấn đề về địa lý trong thành phố lý tưởng, nơi mà các tuyến đường được xây dựng theo hệ thống các đường nằm ngang và các đường thẳng đứng.
Vấn đề đặt ra cho hai loại hình học hình học Euclid và hình học taxicab là tìm một điểm sao cho tổng khoảng cách từ nó đến ba điểm cho trước là nhỏ nhất.
Cho ba điểm A= (2,4);B = (7,−1);C = (−3,1). Tìm điểm P sao cho
dE(P, A) +dE(P, B) +dE(P, C) là nhỏ nhất.
Chuyển qua hình học taxicab, cũng với ba diểm A, B, C ở trên ta tìm điểmP
sao cho S = dT(P, A) +dT(P, B) +dT(P, C) là nhỏ nhất là vấn đề khá đơn giản (Hình 1.26).
Chọn điểmC, vẽ đường nằm ngangl1 đi quaC. Chọn diểmA, vẽ đường thẳng đứng l2 đi qua A. Giả sử bạn bắt đầu đi bộ trên l1, bạn đứng tại điểm Q= (5,1)
trên l1, nếu bạn đi bộ một đơn vị đến Q0 = (5,2) thì sẽ làm giảm khoảng cách taxicab từ A đến bạn 1 đơn vị, nhưng lại làm tăng khoảng cách taxicab từ B và
C đến bạn mỗi điểm 1 đơn vị. Do đó sẽ làm tăng tổng khoảng cách taxicab từ
A, B, C đến bạn
dT(Q0, A) +dT(Q0, B) +dT(Q0, C)> dT(Q, A) +dT(Q, B) +dT(Q, C).
Thật vậy nếu bạn bắt đầu đứng tại một vị trí tùy ý trên l1 và di chuyển theo phương thẳng đứng, lên hoặc xuống, bạn sẽ làm tăng tổng khoảng cách taxicab từ
A, B, C đến bạn. Đó là bởi vì bạn di chuyển lại gần hơn một điểm nhưng lại cách xa cũng khoảng cách taxicab đó với hai điểm còn lại.
Tương tự, nếu bạn đứng ở một vị trí bất kì trên l2 mà di chuyển theo các đường nằm ngang, sang trái hoặc sang phải, thì bạn cũng làm tăng tổng khoảng cách taxicab từ A, B, C đến bạn.
Vậy, nếu bạn đứng tại giao điểm P = (2,1) của l1 và l2 thì khi bạn di chuyển theo bất kì phương nào, nằm ngang hay thẳng đứng, bạn đều làm tăng tổng khoảng cách taxicab từA, B, C đến bạn. Vậy tại vị tríP = (2,1)tổng khoảng cách taxicab từ bạn đến A, B, C là nhỏ nhất (Hình 1.26).
Hình 1.26: Giao điểm P làm tổng S nhỏ nhất.
Vấn đề nữa được đặt ra là cho bốn điểm A= (−1,4);B = (3,1);C = (1,−1);
D = (−4,1). Tìm điểm P sao cho S =dT(P, A) +dT(P, B) +dT(P, C) +dT(P, D)
là nhỏ nhất có thể.
Hình 1.27: Đoạn EF làm tổng S nhỏ nhất.
Vẽ đường nằm ngang b đi qua hai điểm D và B. Lập luận như trên, khi bạn đứng tại vị trí bất kì trên b mà di chuyển theo phương thẳng đứng thì có tổng khoảng cách taxicab từ A, B, C, D đến bạn tăng lên.
Bây giờ, ta vẽ các đường thẳng đứng a, c đi qua A và đi qua C, các đường thẳng này tạo thành một miền được giới hạn bởi a và c. Chú ý, khi bạn di chuyển trong miền này, đi từ (0,2) đến (1,2) thì tổng khoảng cách taxicab từ A, B, C, D
đến bạn không đổi. Tuy nhiên, khi di chuyển ngang bên ngoài miền này, từ (1,3)
đến (2,3) hay đi từ (−1,3) đến (−2,3) thì sẽ làm tăng tổng khoảng cách taxicab từ A, B, C, D đến bạn. Vậy đoạnEF (Hình1.27), giao của miền được giới hạn bởi a, c và đường nằm ngang b là tập các điểmP cần tìm để tổng khoảng cách taxicab từ A, B, C, D đến P là nhỏ nhất.
Ví dụ 1.5.1. Một ông chủ muốn xây dựng một kho hàng. Công ty ông ấy có 8 địa điểm giao hàng chính hàng ngày lần lượt là A1 = (−5,5);A2 = (−2,4);A3 = (1,1);A4 = (2,6);A5 = (5,−2);A6 = (3.−4);A7 = (−2,−1);A8 = (−4,−4). Ông chủ ấy nên đặt kho hàng ở đâu để tổng khoảng cách taxicab từ 8địa điểm giao hàng tới kho hàng là nhỏ nhất.
Hình 1.28: Vùng AA3BA7 làm tổng S nhỏ nhất.
Vẽ các đường nằm ngang k1, k2 lần lượt đi qua A3 và A7. Như lập luận ban đầu, khi bạn di chuyển theo phương thẳng đứng trong miền giới hạn bởi hai đường thẳng vừa dựng thì tổng khoảng cách taxicab từ 8địa điểm đến kho là không đổi. Nhưng nếu bạn di chuyển theo phương thẳng đứng ra khỏi miền đó thì sẽ làm tăng tổng khoảng cách taxicab từ 8 địa điểm đến kho.
Tương tự, vẽ các đường thẳng đứng đi l1, l2 lần lượt quaA7 vàA3 ta cũng thu được một miền sao cho khi bạn di chuyển theo phương ngang trong miền đó thì tổng khoảng cách taxicab từ 8 địa điểm đến kho là không đổi. Nhưng nếu bạn di
chuyển theo phương nằm ngang ra khỏi miền đó thì sẽ làm tăng tổng khoảng cách taxicab từ 8 địa điểm đến kho. Vậy giao của hai miền vừa dựng AA3BA7 là vùng mà ông chủ đó nên xây dựng kho hàng (Hình 1.28).
Ví dụ 1.5.2. Có ba trạm xăng đặt tại A= (−3,3), B = (4,1), C = (1,−1). Người ta muốn xây dựng một khu rửa xe sao cho tổng khoảng cách taxicab từ ba trạm xăng tới bãi rửa xe là nhỏ nhất.
Nên xây dựng trạm xăng ở đâu để tổng khoảng cách taxicab từ ba trạm xăng tới bãi rửa xe là nhỏ nhất, tổng khoảng cách taxicab nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu.
Xây dựng trạm xăng ở đâu để tổng khoảng cách taxicab từ ba trạm xăng tới bãi rửa xe bé hơn 15.
Hình 1.29: Đường tròn tâm (1,1)bán kính 2.
Đường thẳng đứng quaC và đường nằm ngang quaB giao nhau tạiP = (1,1). Vậy, như lập luận ban đầu tại giao điểm P tổng khoảng cách taxicab từ ba điểm
A, B, C là nhỏ nhất. Suy ra nên xây dựng bãi rửa xe tại vị trí P = (1,1) để tổng khoảng cách taxicab từ ba trạm xăng tới bãi rửa xe là nhỏ nhất, khi đó tổng khoảng cách taxicab từ ba trạm xăng tới bãi rửa xe là 13.
Dựng đường tròn EDF C tâm P = (1,1), bán kính 2 (15−13 = 2). Tất cả các điểm trong đường tròn EDF C đều có tổng khoảng cách taxicab từ ba trạm xăng tới bãi rửa xe nhỏ hơn 15 (Hình1.29).