Hình học Eucild xuất hiện từ hơn 2000năm trước, gồm một hệ thống các tiên đề có ý nghĩa thực tế. Hermann Minkowski, nhà toán học người Đức và là thầy giáo của Albert Einstein, là người đầu tiên đề xuất hình học taxicab bằng cách đưa ra khái niệm khoảng cách taxicab thay cho khái niệm khoảng cách Euclid.
Hình học taxicab là một thế giới bên ngoài hình học Euclid, là mô hình các đường phố của một thành phố lý tưởng, ở đó cách duy nhất mà bạn có thể di chuyển giữa hai điểm là đi trên những con đường nằm ngang hoặc thẳng đứng, trong thực tế là hướng Bắc - Nam hay Đông - Tây. Nó khác với hình học Euclid là bạn chỉ việc di chuyển trên đường thẳng nối hai điểm đó.
Đoạn thẳng AB (duy nhất) chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm A
và B, điều này chỉ đúng với hình học Euclid. Trong hình học taxicab có rất nhiều đoạn thẳng nối A và B có độ dài taxicab ngắn nhất.
Hình học taxicab là một loại hình học phi Euclid. Những khái niệm điểm, đường thẳng, góc trong mặt phẳng taxicab và mặt phẳng Euclid là hoàn toàn tương tự nhau. Tuy nhiên, hàm khoảng cách của chúng khác nhau:
Hàm khoảng cách trong mặt phẳng Euclid
dE(P, Q) = [(x1−x2)2+ (y1−y2)2]12
hàm khoảng cách trong mặt phẳng taxicab
dT(P, Q) =|x1−x2|+|y1−y2|
trong đó Q(x1, y1);P(x2, y2).
Hình học taxicab thỏa mãn 12 tiên đề của hình học Euclid nhưng lại không thỏa mãn tiên đề cạnh- góc- cạnh.
Hình 1.30: Hai tam giác thỏa mãn điều kiện ASASA nhưng không đồng dạng.
Trong mặt phẳng taxicab điều kiện để hai tam giác đồng dạng là SASAS. Điều kiện này thỏa mãn là nhờ định lý tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 4 t−radian.
Hình học taxicab rất giống với hình học Euclid. Nếu như hình học Euclid là một mô hình tốt của thế giới tự nhiên thì hình học taxicab là mô hình tốt hơn về địa lý đô thị. Tuy nhiên, hình học taxicab là một mô hình lý tưởng hóa với một số giả định cơ bản đã làm đơn giản hóa loại hình học này:
1. Các đường nằm ngang và nằm dọc đại diện cho đường phố. 2. Điểm chỉ có thể đặt tại nút giao của lưới.
3. Tọa độ của một điểm luôn là các số nguyên.
4. Khoảng cách taxicab giữa hai điểm là số đơn vị các khối trên lưới là nhỏ nhất để đi từ điểm này đến điểm kia. Khoảng cách này còn gọi là khoảng cách Manhattan.
Công thức tính khoảng cách của hai loại hình học này khác nhau đã ảnh hưởng đến sự khác biệt về hình dạng của một số hình trong chúng như: hình tròn, hình ellipse, parabola và hyperbola. Sau đây là một số hình vẽ minh họa cho những khác biệt trên.
Hình 1.31: Hình tròn Euclid.
Hình 1.33: Hình ellipse trong mặt phẳng Euclid. Tập hợp tất cả các điểm M có tổng khoảng cách tới hai điểm X, Y cho trước bằng 6: dE(M, Y) +dE(M, X) = 6.
Hình 1.34: Hình ellipse trong mặt phẳng taxicab. Tập hợp tất cả các điểm M có tổng khoảng cách tới hai điểm X, Y cho trước bằng 9: dT(M, Y) +dT(M, X) = 9.
Hình 1.35: Hình parabola trong mặt phẳng Euclid. Tập hợp tất cả các điểmA sao cho
dE(A, C) = dE(A, l) và các điểm B sao cho dE(B, C) =dE(B, l).
Hình 1.36: Hình parabola trong mặt phẳng taxicab. Tập hợp tất cả các điểm A sao cho dT(A, C) = dT(A, l) và các điểm B sao cho dT(B, C) =dT(B, l).
Hình 1.37: Hình hyperbola trong mặt phẳng Euclid. Tập hợp tất cả các điểm C sao cho |dE(A, C)−dE(C, B)|= 3.
Hình 1.38: Hình hyperbola trong mặt phẳng taxicab. Tập hợp tất cả các điểm C sao cho |dT(A, C)−dT(C, B)|= 3.
Hình 1.39: Trung trực của đoạn thẳng AB trong hình học Euclid.
Chương 2
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT PHẲNG TAXICAB 2.1 Các phép đẳng cự taxicab 2.1.1 Phép tịnh tiến taxicab Cho Ta là phép tịnh tiến Ta : R2T −→ R2T P 7−→ Ta(P) =a+−→OP . Với mỗi P(p1, p2);Q(q1, q2)∈R2 T, ta có dT(Ta(P), Ta(Q)) = dT(a+−→OP , a+−→OQ) =dT(P, Q).
Vì vậy Ta là một phép đẳng cự taxicab (bảo toàn khoảng cách taxicab).
Định lý 2.1.1([13, Định lý 4, pp. 76]). Mọi phép tịnh tiến trong mặt phẳng taxicab đều là phép đẳng cự taxicab.
2.1.2 Phép đối xứng taxicab
Trong mặt phẳng taxicab, không phải tất cả các phép đối xứng taxicab đều bảo toàn khoảng cách taxicab. Trong phần này ta sẽ tìm hiểu một vài phép đối xứng đẳng cự taxicab trong mặt phẳng taxicab.
Định nghĩa 2.1.1 ([13, Định nghĩa 3, pp. 76]). (Ảnh của một điểm qua phép đối xứng taxicab) Cho điểm P và một đường thẳng (l), P 6∈(l). Xét điểm C nằm trên đường thẳng (l), là điểm có khoảng cách taxicab nhỏ nhất đến điểm P, vẽ đường thẳng P C. Đường thẳng (l) chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng,
khi đó trên nửa mặt phẳng không chứa điểm P tồn tại duy nhất điểm P0 ∈ P C (P0 6∈(l)) sao chodT(P, C) =dT(P0, C). Điểm P0 được gọi là ảnh của điểmP bởi phép đối xứng taxicab qua đường thẳng (l).
Chú ý.
Cho P = (a, b), đường thẳng y =mx,(m6= 1). Những điểm B = (mb, b) hoặc
C = (a, ma) nằm trên y = mx,(m 6= 1) có khoảng cách taxicab đến P là nhỏ nhất.
Cho Hình 2.1 (m = 1). Trên đường thẳng y = x, mọi điểm nằm trên đoạn thẳng [BC] đều có khoảng cách taxicab đến P nhỏ nhất.
Hình 2.1: Tập hợp các điểm nằm trên[BC] có khoảng cách taxicab đến P nhỏ nhất.
Định lý 2.1.2 ([13]). Phép đối xứng taxicab qua đường thẳng y = 0 là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Chứng minh. Phép đối xứng taxicab qua đường thẳng y = 0 là
f : R2T −→ R2T (x, y) 7−→ f(x, y) = (x,−y). ∀P = (x, y), A= (a, b)∈R2 T ta có dT(f(x, y), f(a, b)) = dT((x,−y),(a,−b)) =|x−a|+| −y+b| =|x−a|+|y−b|=dT((x, y),(a, b)). Vậy dT((x, y),(a, b)) = dT(f(x, y), f(a, b)), do đó f là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Do phép tịnh tiến là phép đẳng cự taxicab nên ta có:
Hệ quả 2.1.1. Phép đối xứng taxicab qua các đường thẳng y =b là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Định lý 2.1.3 ([13]). Phép đối xứng taxicab qua đường thẳng x = 0 là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Chứng minh. Phép đối xứng taxicab qua đường thẳng x= 0 là
f : R2T −→ R2T (x, y) 7−→ f(x, y) = (−x, y). ∀P = (x, y), A= (a, b)∈R2 T ta có dT(f(x, y), f(a, b)) = dT((−x, y),(−a, b)) =| −x+a|+|y−b| =|x−a|+|y−b|=dT((x, y),(a, b)). Vậy dT((x, y),(a, b)) = dT(f(x, y), f(a, b)), do đó f là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Do phép tịnh tiến là phép đẳng cự taxicab nên ta có:
Hệ quả 2.1.2. Phép đối xứng taxicab qua các đường thẳng x =a là phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Định nghĩa 2.1.2 ([13, Định nghĩa 4, pp. 80]). Cho A = (a1, a2), B = (b1, b2)
là hai điểm trong R2T. Đoạn thẳng nối A và B kí hiệu [AB], được xác định
[AB] ={P|P = (a1, a2) +λ(b1−a1, b2−a2),0≤λ≤1}.
Ngoài ra, trong các phép đối xứng taxicab qua đường thẳng y =x và y= −x
cũng có phép đối xứng đẳng cự taxicab.
Cho điểm P = (a, b) 6∈ (l) : y = x, trên đường thẳng (l) có nhiều hơn một điểm có khoảng cách taxicab nhỏ nhất đến P (Hình2.2). Đường thẳng nằm ngang
y = b và đường thẳng đứng x = a đi qua điểm P = (a, b) cắt đường thẳng y =x
lần lượt tại các điểmC = (b, b)vàB = (a, a). Mọi điểm nằm trên [BC] có khoảng cách taxicab nhỏ nhất đến P là |b−a|.
Ngoài ra, với mỗi H = (u, u)∈ [BC], cho 0 ≤ λ≤ 1 ta có u = b+λ(a−b). Trên [P H] lấy một điểm P0 sao cho dT(P, H) =dT(P0, H). Lúc đó
Hình 2.2: Phép đối xứng taxicab hλ qua đường thẳng y=x. Rõ ràng, dT(P0, H) =dT((−a+ 2b+ 2λ(a−b), b+ 2λ(a−b)),(u, u)) = | −a+ 2b+ 2λ(a−b)−(b+λ(a−b))|+|b+ 2λ(a−b)−(b+λ(a−b))| = | −b+a−λ(a−b)|+| −λ(a−b)| = |1−λ||a−b|+| −λ||a−b| = (1−λ)|a−b|+ (λ)|a−b|; 0 ≤λ≤1 = |a−b| =dT(P, H).
Vậy P0 là ảnh của P qua H.
Ta kí hiệu phép đối xứng taxicab ở trên bởi Hλ.
Định lý 2.1.4([13, Định lý 6, pp. 78]). Phép đối xứng taxicabHλ qua đường thẳng y =x là phép đẳng cự taxicab nếu và chỉ nếu λ= 12.
Chứng minh.
(=⇒) Giả sử phép đối xứng taxicab Hλ f : R2
T −→ R2 T là phép đẳng cự taxicab. Khi đó, f(x, y) = (−x+ 2y+ 2λ(x−y), y+ 2λ(x−y)). Ta có dT(f(x, y), f(a, b)) =| −a+ 2b+ 2λ(a−b)−(−x+ 2y+ 2λ(x−y))|+|b+ 2λ(a−b)−(y+ 2λ(x−y))| =|(1−2λ)(x−a) + (2λ−2)(y−b)|+|(1−2λ)(y−b)−2λ(x−a)|.
dT((x, y),(a, b)) =|x−a|+|y−b|. Vì Hλ là phép đẳng cự taxicab nên: dT(f(x, y), f(a, b)) = dT((x, y),(a, b)) ⇔ |(1−2λ)(x−a)−(2−2λ)(y−b)|+|(1−2λ)(y−b)−2λ(x−a)| =|x−a|+|y−b|. Suy ra λ = 1 2 (rõ ràng λ > 1 2 hoặc λ < 1
2 thì dấu bằng của phương trình không
thỏa mãn).
(⇐=)Với λ= 12, lúc đó
dT(f(x, y), f(a, b)) =|(1−2λ)(x−a)−(2−2λ)(y−b)|+|(1−2λ)(y−b)−2λ(x+a)|
=|x−a|+|y−b| =dT((x, y),(a, b)).
Ta cũng có những kết quả tương tự đối với phép đối xứng taxicab qua đường thẳng y =−x.
S là tập các phép đối xứng taxicab đẳng cự. S gồm các phép đối xứng taxicab qua các đường thẳng x = a, y = b và phép đối xứng H1
2 qua các đường thẳng
y =x, y =−x.
2.1.3 Phép quay taxicab
Trong hình học taxicab ta sử dụng đơn vị đo góc t−radian thay cho đơn vị đo góc radian trong hình học Euclid. Kí hiệu πT = 4 t−radian trong hình học taxicab thay cho kí hiệu π = 3.14 trong hình học Euclid.
Định nghĩa 2.1.3. TrongR2T cho một diểmO cố định và góc lượng giác θkhông đổi.
f : R2T −→R2T
O 7−→O M 7−→M0
với M 6= O có duy nhất điểm M0 6= O sao cho: dT(O, M) = dT(O, M0) và
(OM, OM0) =θ. Lúc đó, f được gọi là phép quay taxicab tâm O góc quay θ. Trong mặt phẳng taxicab chỉ có bốn phép quay taxicab bảo toàn khoảng cách taxicab, đó là bốn phép quay taxicab với góc quay θ=kπT
2 , k = 0,1,2,3. Định lý 2.1.5 ([13, Định lý 8, pp. 79]). Tập hợp các phép quay taxicab đẳng cự trong R2T là Rθ = Aθ|θ=kπT 2 , k = 0,1,2,3 với Aθ là phép quay taxicab góc quay θ.
Hình 2.3: Phép quay. Chứng minh. Cho P = (1,0) và Q= (0,1).
Quay P một góc θ ta được Aθ(P) = (cosTθ, sinTθ) trên đường tròn đơn vị taxicab, quay Q một góc θ ta được Aθ(Q) = (−sinTθ, cosTθ). Vì ta muốn phép quay taxicab góc quay θ bảo toàn khoảng cách taxicab và vì dT(P, Q) = 2, nên ta cần có
dT(Aθ(P), Aθ(Q) = 2.
Do đó
|cosTθ+sinTθ|+|sinTθ−cosTθ| = 1 +|sinTθ−cosTθ|= 2
⇔ |sinTθ−cosTθ| = 1 ⇔ " sinTθ−cosTθ= 1 sinTθ−cosTθ= −1 ⇔ " cosTθ= 0 sinTθ= 0. Nghĩa là θ={0,πT 2 , πT,3πT 2 }.
Định lý trên vẫn còn đúng với P, Q bất kì nằm trong R2T.
Ta kí hiệu OT(2) =Rθ∪S, với Rθ là tập các phép quay taxicab đẳng cự vàS
là các phép đối xứng taxicab đẳng cự.
Định nghĩa 2.1.4 ([13, Định nghĩa 5, pp. 80]). Cho A = (a1, a2), B = (b1, b2)
là hai điểm trong R2T. Hình chữ nhật với đường chéo [AB] kí hiệu AB , được xác định như sau
Hình 2.4: Hình chữ nhật cơ sở AB .
Mọi điểm nằm trong AB đều có tổng khoảng cách taxicab đến A vàB làdT(A, B). Hệ quả 2.1.3 ([13, Hệ quả 10, pp. 80]). Cho A = (a1, a2), B = (b1, b2) ∈ R2
T . Khi đó, kích thước của hình chữ nhật đường chéo [AB] là [a1, b1]×[a2, b2].
Chú ý. [13] Nếu đoạn thẳng [AB] nằm ngang hoặc thẳng đứng thì AB là đoạn
[AB].
Định lý 2.1.6 ([13, Định lý 11, pp. 80]). Cho F : R2T −→R2
T là một phép đẳng cự taxicab và cho hình chữ nhật đường chéo [AB]. Khi đó F(AB ) =F(A)F(B). Chứng minh. Cho P ∈F(AB ). Khi đó,
P ∈F(AB ) ⇔ ∃C ∈AB : P = F(C) Định nghĩa 2.1.4 ⇔ dT(A, C) +dT(C, B) =dT(A, B) F đẳng cự ⇔ dT(F(A), F(C)) +dT(F(C), F(B)) = dT(F(A), F(B)) ⇔ F(C)∈F(A)F(B) ⇔ P ∈F(A)F(B).
Hệ quả 2.1.4 ([13, Hệ quả 12, pp. 81]). Cho F : R2
T −→ R2
T là một phép đẳng cự taxicab và hình chữ nhật đường chéo [AB]. Khi đó F bảo toàn góc, đỉnh và bảo toàn chu vi của AB.
Định lý 2.1.7 ([13, Định lý 13, pp. 81]). Cho f : R2T −→ R2
T là một phép đẳng cự taxicab sao cho f(O) =O. Khi đó f ∈Rθ hoặc f ∈S.
Chứng minh. Cho A= (1,0), B = (0,1) và xét AB .
Hình 2.5: Phép đẳng cự taxicab.
Có4trường hợp xảy raf(A)∈[AB], f(A)∈[BE], f(A)∈[EF], f(A)∈[AF]. Ta chứng minh cho trường hợpf(A)∈[AB]. Các trường hợp còn lại ta chứng minh tương tự. Giả sử f(A)∈[AB], f(A)6= A, f(A)6=B.
Vì f là phép đẳng cự taxicab nên dT(f(A), f(B)) = dT(A, B) = 2 và
dT(f(O), f(B)) = dT(O, B) = 1. Do đó f(B) ∈ [EF] và 1 = dT(O, f(B)) = dT(f(B), K) +dT(K, O)suy ra dT(K, O)<1.
VìD là đỉnh củaAB nênf(D)cũng là đỉnh của
F(A)F(B)và vìdT(K, O)<1, dT(O, D) = 2 nên ta suy ra f(D)6=H và do đó f(D) =L (Hình 2.5). Ta có dT(L, K) =dT(M, f(A))< 1. Mà dT(K, O)< 1 và dT(L, K) +dT(K, O) =dT(O, L) =dT(O, f(D)) = dT(O, D) = 2 do đó dT(L, K)> 1 (mâu thuẩn). Vậy f(A) =A hoặc f(A) =B.
1. Nếu f(A) = A thì f là hàm đồng nhất, do đó f là phép quay taxicab đẳng cự góc quay θ = 0◦. f(A) =A và f(O) =O nên f là phép đối xứng taxicab qua đường thẳng OA (trục hoành) do đó f là phép đối xứng taxicab đẳng cự. Vậy f ∈Rθ hoặc f ∈S.
(a) Nếu f(B) =A (f(A) = B), thì f là phép đối xứng taxicab qua đường thẳng OD (đường thẳng y = x) nên f là phép đối xứng taxicab đẳng cự. Suy ra f ∈S.
(b) Nếu f(B) = E (f(A) = B), thì f là phép quay taxicab với góc quay
θ = πT
2 nên f là phép quay taxicab đẳng cự. Suy ra f ∈Rθ. (c) Ta chứng minh f(B) luôn khác F. Giả sửf(B) =F.
Vì AB =F(A)F(B)= [BF]⇒ f(D)∈[BF] ⇒dT(O, f(D)) ≤1, nhưng ta lại có 2 =dT(O, D) =dT(O, f(D)) (mâu thuẩn). Vậy f(B)6=F.
Vậy f ∈Rθ hoặc f ∈S.
Định lý 2.1.8 ([13, Định lý 9, pp. 80]). Cho F : R2
T −→ R2
T là một phép đẳng cự taxicab. Khi đó, tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến taxicab Ta ∈T(2) và C ∈OT(2) sao cho F =Ta◦C.
Chứng minh. Cho phép đẳng cự taxicab
F : R2T −→ R2T
O 7−→ F(O) =a.
Ta chọn C = T−a ◦ F, rõ ràng C là phép đẳng cự taxicab (vì T−a, F là các phép đẳng cự) và C(O) =O. Áp dụng Định lý 2.1.7 ta có C ∈Rθ ∪S = OT(2).
VậyF =Ta◦C vớiTa ∈T(2)vàC ∈OT(2). Định lý đã được chứng minh.
2.2 Tích vô hướng
2.2.1 Tích vô hướng
Trong hình học Euclid, tích vô hướng của2 vectơα, β ∈R2 được cho bởi công thức: hα, βiE =kαkEkβkEcosE(α, β).
Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu tích vô hướng trong hình học taxicab.
Định nghĩa 2.2.1 ([7, Định nghĩa 2.1, pp. 296]). Cho α= (a1, a2);β = (b1, b2)
là 2 vectơ trong R2T. Khi đó, trong hình học taxicab tích vô hướng của 2 vectơ α
và β được cho bởi công thức
hα, βiT = (i)|a1b1|+|a2b2|, α, β cùng thuộc một góc phần tư ;
(ii)− |a1b1|+|a2b2|, α, β ở hai góc phần tư liên tiếp, và a1b1 <0, a2b2> 0; (iii)|a1b1| − |a2b2|, α, β ở hai góc phần tư liên tiếp, và a1b1 >0, a2b2< 0; (iv)− |a1b1| − |a2b2|, α, β thuộc hai góc phần tư đối diện.
Định lý 2.2.1 ([7, Định lý 2.2, pp. 296]). Trong hình học taxicab, tích vô hướng của hai vectơ song tuyến tính, đối xứng và xác định dương.
Chứng minh.
1. Song tuyến tính Xét bảng
α\β I II III IV
I (i) (ii) (iv) (iii)
II (ii) (i) (iii) (iv)
III (iv) (iii) (i) (ii)
IV (iii) (iv) (ii) (i)
Trong đó I, II, III, IV lần lượt là các góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba và thứ tư.
α∈I : α nằm trong góc phần tư thứ nhất,
α∈II : α nằm trong góc phần tư thứ hai,
α∈III :α nằm trong góc phần tư thứ ba,
α∈IV : α nằm trong góc phần tư thứ tư.
Bây giờ ta chứng minh tính chất song tuyến tính của tích vô hướng trong hình học taxicab. (a) Cho α= (a1, a2);β = (b1, b2)∈R2 T, r∈R. Ta chứng minh hrα, βi= hα, rβi =rhα, βi. i. α, β cùng thuộc một góc phần tư. A. ∀r ∈R+ lúc đó rα, β vẫn cùng thuộc một góc phần tư, do đó hrα, βi= |ra1b1|+|ra2b2| =|r|(|a1b1|+|a2b2|) =rhα, βi. hα, rβi= |a1rb1|+|a2rb2| =|r|(|a1b1|+|a2b2|) =rhα, βi.
B. ∀r ∈R− lúc đó rα, β thuộc hai góc phần tư đối nhau, do đó
hrα, βi =−|ra1b1| − |ra2b2|=−|r|(|a1b1|+|a2b2|) =r(|a1b1|+|a2b2|) =rhα, βi.
hα, rβi =−|a1rb1| − |a2rb2|=−|r|(|a1b1|+|a2b2|) =r(|a1b1|+|a2b2|) =rhα, βi.
ii. α, β nằm trên hai góc phần tư liên tiếp. Giả sử α∈I, β ∈II A. ∀r ∈R+ lúc đó rα∈I, β ∈II, do đó hrα, βi =−|ra1b1|+|ra2b2|= |r|(−|a1b1|+|a2b2|) =r(−|a1b1|+|a2b2|) =rhα, βi. hα, rβi =−|a1rb1|+|a2rb2|= |r|(−|a1b1|+|a2b2|) =r(−|a1b1|+|a2b2|) =rhα, βi. B. ∀r ∈R− lúc đó rα∈III, β ∈II, do đó hrα, βi =|ra1b1| − |ra2b2| =−|r|(−|a1b1|+|a2b2|) =r(−|a1b1|+|a2b2|) =rhα, βi. hα, rβi =|a1rb1| − |a2rb2| =−|r|(−|a1b1|+|a2b2|) =r(−|a1b1|+|a2b2|) =rhα, βi.
Các trường hợp khác được chứng minh tương tự. iii. α, β nằm trên hai góc phần tư đối diện.
A. ∀r ∈R+ lúc đó rα, β vẫn thuộc hai góc phần tư đối diện nhau, do đó hrα, βi =−|ra1b1| − |ra2b2|= |r|(−|a1b1| − |a2b2|) =r(−|a1b1| − |a2b2|) =rhα, βi. hα, rβi =−|a1rb1| − |a2rb2|= |r|(−|a1b1| − |a2b2|) =r(−|a1b1| − |a2b2|) =rhα, βi. B. ∀r ∈R− lúc đó rα, β thuộc cùng một góc phần tư, do đó hrα, βi =|ra1b1|+|ra2b2| =−|r|(−|a1b1| − |a2b2|)