2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT PHẲNG TAXICAB
2.1.3 Phép quay taxicab
Trong hình học taxicab ta sử dụng đơn vị đo góc t−radian thay cho đơn vị đo góc radian trong hình học Euclid. Kí hiệu πT = 4 t−radian trong hình học taxicab thay cho kí hiệu π = 3.14 trong hình học Euclid.
Định nghĩa 2.1.3. TrongR2T cho một diểmO cố định và góc lượng giác θkhông đổi.
f : R2T −→R2T
O 7−→O M 7−→M0
với M 6= O có duy nhất điểm M0 6= O sao cho: dT(O, M) = dT(O, M0) và
(OM, OM0) =θ. Lúc đó, f được gọi là phép quay taxicab tâm O góc quay θ. Trong mặt phẳng taxicab chỉ có bốn phép quay taxicab bảo toàn khoảng cách taxicab, đó là bốn phép quay taxicab với góc quay θ=kπT
2 , k = 0,1,2,3. Định lý 2.1.5 ([13, Định lý 8, pp. 79]). Tập hợp các phép quay taxicab đẳng cự trong R2T là Rθ = Aθ|θ=kπT 2 , k = 0,1,2,3 với Aθ là phép quay taxicab góc quay θ.
Hình 2.3: Phép quay. Chứng minh. Cho P = (1,0) và Q= (0,1).
Quay P một góc θ ta được Aθ(P) = (cosTθ, sinTθ) trên đường tròn đơn vị taxicab, quay Q một góc θ ta được Aθ(Q) = (−sinTθ, cosTθ). Vì ta muốn phép quay taxicab góc quay θ bảo toàn khoảng cách taxicab và vì dT(P, Q) = 2, nên ta cần có
dT(Aθ(P), Aθ(Q) = 2.
Do đó
|cosTθ+sinTθ|+|sinTθ−cosTθ| = 1 +|sinTθ−cosTθ|= 2
⇔ |sinTθ−cosTθ| = 1 ⇔ " sinTθ−cosTθ= 1 sinTθ−cosTθ= −1 ⇔ " cosTθ= 0 sinTθ= 0. Nghĩa là θ={0,πT 2 , πT,3πT 2 }.
Định lý trên vẫn còn đúng với P, Q bất kì nằm trong R2T.
Ta kí hiệu OT(2) =Rθ∪S, với Rθ là tập các phép quay taxicab đẳng cự vàS
là các phép đối xứng taxicab đẳng cự.
Định nghĩa 2.1.4 ([13, Định nghĩa 5, pp. 80]). Cho A = (a1, a2), B = (b1, b2)
là hai điểm trong R2T. Hình chữ nhật với đường chéo [AB] kí hiệu AB , được xác định như sau
Hình 2.4: Hình chữ nhật cơ sở AB .
Mọi điểm nằm trong AB đều có tổng khoảng cách taxicab đến A vàB làdT(A, B). Hệ quả 2.1.3 ([13, Hệ quả 10, pp. 80]). Cho A = (a1, a2), B = (b1, b2) ∈ R2
T . Khi đó, kích thước của hình chữ nhật đường chéo [AB] là [a1, b1]×[a2, b2].
Chú ý. [13] Nếu đoạn thẳng [AB] nằm ngang hoặc thẳng đứng thì AB là đoạn
[AB].
Định lý 2.1.6 ([13, Định lý 11, pp. 80]). Cho F : R2T −→R2
T là một phép đẳng cự taxicab và cho hình chữ nhật đường chéo [AB]. Khi đó F(AB ) =F(A)F(B). Chứng minh. Cho P ∈F(AB ). Khi đó,
P ∈F(AB ) ⇔ ∃C ∈AB : P = F(C) Định nghĩa 2.1.4 ⇔ dT(A, C) +dT(C, B) =dT(A, B) F đẳng cự ⇔ dT(F(A), F(C)) +dT(F(C), F(B)) = dT(F(A), F(B)) ⇔ F(C)∈F(A)F(B) ⇔ P ∈F(A)F(B).
Hệ quả 2.1.4 ([13, Hệ quả 12, pp. 81]). Cho F : R2
T −→ R2
T là một phép đẳng cự taxicab và hình chữ nhật đường chéo [AB]. Khi đó F bảo toàn góc, đỉnh và bảo toàn chu vi của AB.
Định lý 2.1.7 ([13, Định lý 13, pp. 81]). Cho f : R2T −→ R2
T là một phép đẳng cự taxicab sao cho f(O) =O. Khi đó f ∈Rθ hoặc f ∈S.
Chứng minh. Cho A= (1,0), B = (0,1) và xét AB .
Hình 2.5: Phép đẳng cự taxicab.
Có4trường hợp xảy raf(A)∈[AB], f(A)∈[BE], f(A)∈[EF], f(A)∈[AF]. Ta chứng minh cho trường hợpf(A)∈[AB]. Các trường hợp còn lại ta chứng minh tương tự. Giả sử f(A)∈[AB], f(A)6= A, f(A)6=B.
Vì f là phép đẳng cự taxicab nên dT(f(A), f(B)) = dT(A, B) = 2 và
dT(f(O), f(B)) = dT(O, B) = 1. Do đó f(B) ∈ [EF] và 1 = dT(O, f(B)) = dT(f(B), K) +dT(K, O)suy ra dT(K, O)<1.
VìD là đỉnh củaAB nênf(D)cũng là đỉnh của
F(A)F(B)và vìdT(K, O)<1, dT(O, D) = 2 nên ta suy ra f(D)6=H và do đó f(D) =L (Hình 2.5). Ta có dT(L, K) =dT(M, f(A))< 1. Mà dT(K, O)< 1 và dT(L, K) +dT(K, O) =dT(O, L) =dT(O, f(D)) = dT(O, D) = 2 do đó dT(L, K)> 1 (mâu thuẩn). Vậy f(A) =A hoặc f(A) =B.
1. Nếu f(A) = A thì f là hàm đồng nhất, do đó f là phép quay taxicab đẳng cự góc quay θ = 0◦. f(A) =A và f(O) =O nên f là phép đối xứng taxicab qua đường thẳng OA (trục hoành) do đó f là phép đối xứng taxicab đẳng cự. Vậy f ∈Rθ hoặc f ∈S.
(a) Nếu f(B) =A (f(A) = B), thì f là phép đối xứng taxicab qua đường thẳng OD (đường thẳng y = x) nên f là phép đối xứng taxicab đẳng cự. Suy ra f ∈S.
(b) Nếu f(B) = E (f(A) = B), thì f là phép quay taxicab với góc quay
θ = πT
2 nên f là phép quay taxicab đẳng cự. Suy ra f ∈Rθ. (c) Ta chứng minh f(B) luôn khác F. Giả sửf(B) =F.
Vì AB =F(A)F(B)= [BF]⇒ f(D)∈[BF] ⇒dT(O, f(D)) ≤1, nhưng ta lại có 2 =dT(O, D) =dT(O, f(D)) (mâu thuẩn). Vậy f(B)6=F.
Vậy f ∈Rθ hoặc f ∈S.
Định lý 2.1.8 ([13, Định lý 9, pp. 80]). Cho F : R2
T −→ R2
T là một phép đẳng cự taxicab. Khi đó, tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến taxicab Ta ∈T(2) và C ∈OT(2) sao cho F =Ta◦C.
Chứng minh. Cho phép đẳng cự taxicab
F : R2T −→ R2T
O 7−→ F(O) =a.
Ta chọn C = T−a ◦ F, rõ ràng C là phép đẳng cự taxicab (vì T−a, F là các phép đẳng cự) và C(O) =O. Áp dụng Định lý 2.1.7 ta có C ∈Rθ ∪S = OT(2).
VậyF =Ta◦C vớiTa ∈T(2)vàC ∈OT(2). Định lý đã được chứng minh.