SKKN1 TTL Ung dung Mathcad _ Geogebra giai BT phan giac 2011_

Lý do chọn đề tài - Bài toán hình giải tích có liên quan về đường phân giác, trung tuyến, đường cao trong tam giác là một bài toán thường gặp trong các kì thi đại học, thi học sinh giỏi

SKKN : ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD VÀ GEOGEBRA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH

-

PHẦN MỞ ĐẦU

I Bối cảnh của đề tài :

Trong các năm học gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã phát động và khuyến khích việc đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy, do đó mỗi thầy cô giáo cả nước đang cố gắng làm và phát huy việc ứng dụng công nghệ thông tin để hỗ trợ cho việc dạy và học Mỗi giáo viên cần phảI có những biện pháp, phương tiện thích hợp để cảI tiến việc dạy và học sao cho kết quả đạt được ngày càng nhiều hơn,

ít tốn thời gian hơn, và học sinh ham thích học tập hơn Hoà vào xu thế đó , tôi cố gắng ứng dụng công nghệ thông tin vào việc giải toán là nghiên cứu dùng các phần mềm toán học Mathcad, GeoGebra để giải một số bài toán một cách tự động, tạo ra các bài toán tương tự có thể dùng làm các đề trắc nghiệm khác nhau nhưng có chất lượng như nhau, sáng tạo ra các bài toán mới dành cho thi đại học, thi học sinh giỏi, thi máy tính bỏ túi …

II Lý do chọn đề tài

- Bài toán hình giải tích có liên quan về đường phân giác, trung tuyến, đường cao trong tam giác là một bài toán thường gặp trong các kì thi đại học, thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi thường được cho với nhiều dạng khác nhau Học sinh đã được trang bị kiến thức về phương trình đường thẳng từ lớp 10 nhưng đến lớp 12 thì

đã quên khá nhiều và các em rất lúng túng trong cách giải quyết và thậm chí là mất khá nhiều thời gian vẫn không giải quyết được

- Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin đóng góp một số bài toán và phương pháp giải quyết các bài toán hình giải tích có liên quan đến đường phân giác trong tam giác; sử dụng phần mềm Mathcad để tạo ra các bài tập tương tự cho học sinh luyện tập, dùng phần GeoGebra để kiểm chứng, từ đó nâng cao được khả năng giải quyết các bài toán thuộc dạng này

III Phạm vi và đối tượng của đề tài :

Đối tượng nghiên cứu của tôi là một số bài toán và phương pháp giải quyết các bài toán hình giải tích có liên quan đến đường phân giác trong tam giác, đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng, đường phân giác của góc nhọn, góc tù và vận dụng giải toán hình giải tích phẳng ở đề thi đại học Đề tài được áp dụng cho các học sinh lớp 10, lớp12 luyện thi đại học

IV Mục đích nghiên cứu :

- Góp phần giải quyết một số các bài toán hình giải tích có liên quan đến đường phân giác trong tam giác, đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng, đường phân giác của góc nhọn, góc tù và vận dụng giải toán hình giải tích phẳng ở

đề thi đại học; sử dụng phần mềm Mathcad, GeoGebra để tạo ra các bài tập tương tự

cho học sinh luyện tập từ đó nâng cao được khả năng giải quyết các bài toán thuộc dạng này trong các đề thi Đại học

- Đề tài cũng quan tâm đến vấn đề tạo bài tập tương tự bằng các phép biến hình Việc này cũng rất cần thiết cho giáo viên tự tạo ra các bài toán có độ khó tương đương nhằm tạo nguồn bài tập cho học sinh thực hành, tạo thư viện bài toán cho học sinh kiểm tra trắc nghiệm với các bài toán tương đương Việc này giúp giáo viên hạn chế được sự sao chép bài làm kiểm tra lẫn nhau giữa các học sinh , góp phần phản ánh đúng trình độ học sinh hơn

V Điểm mới trong kết quả nghiên cứu :

- Ứng dụng được phần mềm Mathcad, GeoGebra để giải quyết bài toán hình học giải tích nói chung và lớp bài toán về đường phân giác, trung tuyến, đường cao trong tam giác trong tam giác nói riêng đối với một số bài toán thi đại học, thi học sinh giỏi máy tính cầm tay

-Ứng dụng được phần mềm Mathcad , GeoGebra sáng tạo được các bài toán mới, nhanh chóng, hiệu quả và cho kết quả chính xác

PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ :

I.1.Thực trạng của vấn đề : Xin nêu ra một số bài toán hình giải tích

có liên quan đến đường phân giác trong tam giác trong một số đề thi đại học :

Bài 1 : Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy,

cho biết đỉnh C(4;3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là :

x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0

( Trích đề thi đại học Huế 2001)

Bài 2 : Trong mặt phẳng cho ba điểm A(-1;7), B(4; -3), C(- 4;1)

Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

( Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2001)

Bài 3 : Cho tam giác ABC có A(2; -1) và các đường phân giác trong

góc B và C lần lượt có phương trình : x – 2y +1 = 0; x+y + 3 = 0 Tìm

phương trình đường thẳng BC

( Trích đề thi Học viện Quan hệ Quốc tế – 2000)

Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn 2 2 4

và có tâm K thuộc đường tròn ( )C

( Trích đề thi đại học khối B 2009)

Bài 5 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A,

có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình

x + y − 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

(Trích đề thi ĐH khối B _2010)

Thực tế giảng dạy nếu giáo viên khơng ơn tập cho học sinh một cách cĩ hệ thống các kiến thức về phương trình đường thẳng ở lớp 10 thì các em sẽ khơng giải được những bài tốn dạng trên Những bài tốn này phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học ở lớp 10 mà đa số học sinh lớp 12 đã quên hoặc chỉ nhớ mơ hồ Do đĩ việc dành thời gian nhất định để ơn tập cho các em là rất cần thiết.

I.2.Cơ sở lý luận :

Học sinh cần ơn tập lại các kiến thức về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

và một số kiến thức sau :

a) Tính chất của đường phân giác trong tam giác :

AD là phân giác trong, AE là phân giác ngoài góc A của tam giác ABC thì

b) Tính chất của phép đối xứng qua đường phân giác:

Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AC , gọi M’ là điểm đối xứng của M qua phân giác AD hoặc AE thì M’ phải thuộc về đường thẳng AB

c) Phương trình các đường phân giác của một gĩc :

Trong mp Oxy cho hai đường thẳng d1 và d2 cĩ phương trình :

d a x by c + + = d a x b y c + + = cắt nhau thì phương trình các đường phân giác của gĩc tạo bởi d1 và d2 là :

d) Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng :

Trong mp Oxy cho đường thẳng d ax by c : + + = 0 và hai điểm

( ; ) , ( ; )M M N N

M và N nằm khác phía đối với d ⇔ (ax M +by M +c ax).( N +by N + <c) 0

M và N nằm cùng phía đối với d ⇔ (ax M +by M +c ax).( N +by N + >c) 0

III Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề :

III.1 Các bước tiến hành :

• Đối với bài toán phải xác định chân đường phân giác :

Trong mp Oxy cho tam giác ABC đã biết tọa độ A, B, C

Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Ta có thể tìm tọa độ điểm D từ công thức :

JJJGDB= − AB JJJGDC

AC

Gọi E là chân đường phân giác ngoài kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Ta có thể tìm tọa độ điểm E từ công thức :

ta tìm được phương trình hai đường phân giác là d1 và d2

• Xác định phân giác góc nhọn, phân giác góc tù của góc tạo bởi hai

đường thẳng Δ Δ1, 2: có nhiều phương pháp , ở đây chỉ nêu một phương pháp chẳng hạn : ta tìm phương trình hai đường phân giác là d1 và d2

sau đó tính số đo góc giữa Δ1và d1; nếu số đo này nhỏ hơn 450 thì d1 là phân giác góc nhọn ; nếu số đo này lớn hơn 450 thì d1 là phân giác góc tù

Ngoài ra cũng có thể dùng véc tơ đơn vị để tìm phương trình

phân giác góc nhọn hay tù của góc tạo bởi 2 đường thẳng :

Sau đó dựng hình thoi ABDC thì JJJGAD là véc tơ chỉ phương của đường phân giác trong d1 ( nếu AB AC >JJJG JJJG 0 thì góc BACn là góc nhọn ), còn CBJJJG là véc tơ chỉ phương của đường phân giác d2

Từ đó viết được phương trình của d1 và d2

• Đối với bài toán phải xác định phương trình đường tròn nội tiếp

tam giác :

Cách 1: có thể tìm phương trình phân giác trong AD, phương

trình phân giác trong BK của tam giác ABC , tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của AD và BK Bán kính đường tròn nội tiếp là khoảng cách từ I đến BC

Cách 2: có thể tìm tọa độ điểm D, gọi I là tâm đường tròn nội

tiếp thì I là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABD nên ta có

JJGID = − B D JJGIA

B A

từ đây suy ra tọa độ điểm I

• Đối với bài toán phải xác định tọa độ đỉnh hoặc phương trình cạnh của tam giác:

Sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường phân giác: chẳng hạn nếu điểm M nằm trên đường thẳng AC , gọi M’ là điểm đối xứng của M qua phân giác AD hoặc AE thì M’ phải thuộc về đường thẳng AB; từ đó kết hợp với các giả thiết còn lại của bài toán như đường trung tuyến, đường cao, diện tích, trọng tâm, chân đường cao , để tìm ra các đỉnh hoặc các cạnh mà đề bài yêu cầu

III.2 Các ví dụ minh họa :

Vấn đề 1 : Tìm toạ độ chân đường phân giác trong và ngoài

góc A của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy

Đầu tiên ta lập hàm tìm tọa độ điểm M chia đoạn AB ( đã biết tọa độ A, B) như sau :

Bài 1 :

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2;4),

B(1; 3), C(5; 1) Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngoài góc A của tam giác ABC Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngoài

AE

Phương pháp giải như đã nêu ở phần trên

Bây giờ ta dùng phần mềm Mathcad để giải bài toán

Ta có thể dùng phép tịnh tiến và đối xứng để biến đổi số liệu của bài toán ban đầu thành bài toán khác có độ khó ngang bằng với bài toán ban đầu Cách làm này cho ta tạo ra nhiều bài tập trắc nghiệm với kết quả tương tự giúp giáo viên tạo nhiều đề khác nhau có chất lượng ngang nhau.

Bài 2 :

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;5), B(-1; 4), C(3; 2) Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngoài góc A của tam giác ABC Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngoài AE

Có thể kiểm tra lại kết quả bằng GeoGebra bằng cách nhập toạ độ A, B, C Dùng công cụ vẽ đường phân giác ta có kết quả như sau :

Tương tự ta có các bài toán sau :

Bài 3 :

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(3

2;3), B(1

2; 2), C(9

2; 0) Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngoài góc A của tam giác ABC Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngoài AE

2) Sau đây ta thay đổi các giá trị nhập vào một cách ngẫu nhiên, kết quả đa phần là số có chứa căn nhưng Mathcad vẫn tính ra kết quả chính xác, các bài toán này thường dùng cho thi máy tính bỏ túi lấy kết quả gần đúng :

Bài 4 :

Kiểm tra kết quả bằng phần mềm vẽ đồ thị GeoGebra như sau :

Vấn đề 2 : Tìm phương trình đường phân giác gĩc nhọn, gĩc tù

Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng Δ Δ1, 2 cĩ

phương trình 3x +4y +5 = 0, 4x+3y + 3 = 0 Tìm phương trình các đường phân giác của gĩc tạo bởi Δ Δ1, 2 Chỉ rõ phương trình phân giác gĩc nhọn

Ta giải kết hợp với Mathcad như sau :

Trên hình vẽ ta thấy d1 là phân giác gĩc tù, d2 là phân giác gĩc nhọn

Thay đổi a1, b1, c1, a2, b2, c2 ta cĩ kết quả do Mathcad giải ra như sau :

Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng Δ Δ1, 2 cĩ phương trình 2x - y +1 = 0, 2x - 4y + 3 = 0 Tìm phương trình các đường phân giác của gĩc tạo bởi Δ Δ1, 2 Chỉ rõ phương trình phân giác gĩc nhọn

Tương tự ta cĩ đề tốn và kết quả :

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng Δ Δ1, 2 cĩ phương trình x + 3y +3 = 0, y +1 = 0 Tìm phương trình các đường phân giác của gĩc tạo bởi Δ Δ1, 2 Chỉ rõ phương trình phân giác gĩc nhọn

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng Δ Δ1, 2 cĩ

phương trình 4x +3y + 2 = 0, 6x +8y + 1 = 0 Tìm phương trình các đường phân giác của gĩc tạo bởi Δ Δ1, 2 Chỉ rõ phương trình phân giác gĩc nhọn

Mở rộng bài tốn trong khơng gian :

Bài 1 :

Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho tam giác ABC cĩ A(0; -7; -2),

B(5; 3; -2), C(-3; -1; -2) Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong

và ngồi gĩc A của tam giác ABC

Ta lập kịch bản giải bài tốn như sau trên Mathcad :

Tương tự ta có các bài tập và kết quả như sau :

Bài 2 : với toạ độ A,B,C ta có toạ độ điểm D và E tương ứng

Với bài toán này ta dùng phép tịnh tiến và đối xứng tâm để tạo đề toán mới

Bài 3 :

Tìm phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù tạo bởi d1 và d2

Ta dựng hình thoi có 2 cạnh là 2 véc tơ đơn vị trên , véc tơ tổng của 2 véc tơ đơn vị trên chính là véc tơ chỉ phương của một đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2; véc tơ hiệu của 2 véc tơđơn vị trên chính là véc tơchỉ phương của một đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2;

Vấn đề 3 : Tìm phương trình đường trịn nội tiếp tam giác

Phương pháp giải cĩ 2 cách đã trình bày ở phần trên, bây giờ sẽ sử dụng cách 2 để giải

Cách 2: tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong

AD của tam giác ABC, gọi I là tâm đường trịn nội tiếp thì I

là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABD nên

ta cĩ

JJGID = − B D JJGIA

B A

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2;6), B(-3;-4), C(5;0) Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Ta lập kịch bản sau để giải bài toán :

Ta dùng phép tịnh tiến và đối xứng tâm để tạo bài toán tương tự :

Ta có bài toán :

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;4), B(-5;-6), C(3;-2) Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Kết quả :

Ta có bài toán :

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2;-2), B(7;8), C(-1;4) Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Kết quả :

Với phép đối xứng trục qua đường thẳng x – y - 7 = 0 Ta có bài toán :

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(11;-7), B(1;-12), C(5;-4) Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Kết quả : (x−6)2+(y+7)2 =5

Với phép đối xứng trục qua đường thẳng x + y - 4 = 0 Ta có bài toán :

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;4),

B(10; 9), C(6; 1) Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Kết quả : (x−5)2+(y−4)2 =5

Ta xét bài toán tương tự là cho phương trình 3 cạnh của tam giác, hãy tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác có phương trình 3 cạnh

là Δ1: 3x+4y− =6 0, Δ2 : 4x+3y− =1 0, Δ3: y=0 Tìm phương trình đường tròn nội

Bài tập tương tự :

Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác có phương trình 3 cạnh

là Δ1: 3x−4y+ =1 0, Δ2 : 4x+3y− =6 0, Δ3:x=0 Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác có phương trình 3 cạnh

là Δ1:x y+ + =1 0, Δ2 :x+7y=0, Δ3: x y− =0 Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài toán ngược :

Ở phần trên cho 3 đường thẳng tạo thành tam giác, yêu cầu tìm phương trình đường tròn nội tiếp Bây giờ ta xét ngược lại , cho đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng còn tâm của nó lại thuộc về một đường thẳng hoặc một đường tròn

a) Tâm thuộc đường thẳng :

Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho ba đường thẳng có phương trình

1: 2 1 0

Δ x+ y+ = , Δ2 : 2x y+ =0, Δ3:x−2y+ =1 0 Tìm phương trình đường tròn tiếp xúc với Δ1,Δ2 và có tâm thuộc Δ3