Ứng dụng số phức giải toán 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG ********* HÀ DUY NGHĨA CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP Krông pắc, Tháng 12 năm 2010 MỤC LỤC Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương Xây dựng trường số phức 1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Dạng đại số số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Xây dựng số i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Các phép toán dạng đại số . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Số phức liên hợp Môđun số phức . . . . . . . . Dạng lượng giác số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Tọa độ cực số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Biểu diễn lượng giác số phức . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Phép toán dạng lượng giác số phức . . . . . 11 Căn bậc n đơn vị biểu diễn hình học số phức . . . 12 1.4.1 Căn bậc n số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Biểu diễn hình học số phức . . . . . . . . . . . . . 13 Tích thực hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 1.4 1.5 Chương Một số toán số phức 18 2.1 Dạng 1: Tính toán, biến đổi trường số phức . . . . . . . . 18 2.2 Dạng 2:ứng dụng số phức việc giải toán sơ cấp . . . . . 20 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang LỜI MỞ ĐẦU Số phức có vai trò quan trọng toán học, gần trường số phức thỏa mãn yêu cầu toán học, mà gọi số ảo trường C đóng vai trò quan trọng đời sống thực chúng ta. Đặc biệt cấp THPT có nhiều ứng dụng để dễ dàng tiếp cận toán sơ cấp khó, năm gần Bộ giáo dục đưa vào chương trình giảng dạy cấp phổ thông. Nhằm mục đích giới thiệu đến quý thầy cô giáo, em học sinh cách chi tiết số phức, cách tiếp cận ứng dụng việc giải toán ôn thi đại học, toán kỳ thi Olympiad quốc gia quốc tế, nên viết chuyên đề này. Bài viết tham khảo tài liệu [2] "Complex Number from A to . Z " tác giả Titu Andreescu, Dorinandrica, trình bày ngắn gọn với hai chương với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo. Cụ thể chương sau: Chương I: Giới thiệu tập số phức, chứng minh tập số phức có phép toán cộng nhân tập số thực, đồng thời giới thiệu dạng biểu diễn tính chất đặc trưng dạng. Chương II: Gồm hai phần chính, phần giới thiệu toán liên quan đến số phức nhằm giúp người làm quen kỷ thuật tính toán trường số phức.Phần hai ứng dụng số phức việc giả toán sô cấp từ lượng giác đến hình học, bất đẳng thức, . Mặc dù cố gắng nghiên cứu tìm hiểu tài liệu kinh nghiệm giảng dạy mình, thời gian ngắn hoàn thành viết. Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang Nhưng lực thân thời gian hạn chế nên viết không tránh khỏi thiếu sót. Tôi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để viết hoàn thiện hơn. Tác giả Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Chương XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC Trong chương này, phần đầu trình bày cách xây dựng trường số phức, cấu trúc đại số, cấu trúc hình học, dạng lượng giác số phức. Tham khảo tài liệu[1][2]. 1.1 Định nghĩa số phức Xét tập R2 = R × R = {(x, y)}|x, y ∈ R. Hai phần tử (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ R2 gọi (x1 = x2 , y1 = y2 ) Ta xây dựng phép toán R2 sau: ∀z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phép cộng :z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ). Phép nhân :z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) Định nghĩa 1.1.1. Tập R2 với hai phép toán cộng nhân định nghĩa gọi tập số phức C, phần tử (x, y) ∈ C số phức. Định lý 1.1.2. (C, +, .) trường(nghĩa trênC với phép toán định nghĩa có tính chất tương tự trênR với phép toán cộng nhân thông thường) Chứng minh. Để chứng minh (C, +, .) trường ta chứng minh vấn đề sau. (i) Phép cộng có tính giao hoán :∀z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ C ta có z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) = (x2 + x1 , y2 + y1 ) = z2 + z1 . Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang (ii) Phép cộng có tính kết hợp : ∀z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ), z3 = (x3 , y3 ) ∈ C ta có (z1 + z2 ) + z3 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) + (x3 , y3 ) = (x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ) = (x1 , y1 ) + (x2 + x3 , y2 + y3 ) = z1 + (z2 + z3 ). (iii) Tồn phần tử không = (0, 0) ∈ C. Thật ta có:∀z = (x, y) ∈ C, z + = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z. (iv) Tồn phần tử đối ∀z = (x, y), ∃ − z = (−x, −y) phần tử đối. Thật z + (−z) = (x, y) + (−x, −y) = (x − x, y − y) = (0, 0). (v) Phép nhân có tính chất giao hoán ∀z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ C, ta có: z1 z2 = (x1 x2 −y1 y2 , (x1 y2 +x2 .y1 ) = (x2 x1 −y2 .y1 , (x2 y1 +x1 y2 ) = z2 .z1 . (vi) Phép nhân có tính chất kết hợp ∀z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ), z3 = (x3 , y3 ) ∈ C ta có: (z1 z2 )z3 = (x1 .x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )(x3 , y3 ) = ((x1 x2 − y1 y2 )x3 − (x1 y2 + y1 x2 .)y3 , (x1 .x2 − y1 y2 )y3 + (x1 y2 + x2 y1 )x3 ) = (x1 x2 x3 −y1 y2 x3 −x1 y2 y3 −y1 x2 y3 , x1 x2 y3 −y1 y2 y3 +x1 y2 x3 +y1 x2 x3 ) Tương tự ta có : z1 (z2 z3 ) = (x1 x2 x3 −x1 y2 y3 −y1 x2 y3 −y1 y2 x3 ; x1 x2 y3 +x1 y2 x3 +y1 x2 y3 −y1 y2 y3 ) điều chứng tỏ :(z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) (vii) Phép nhân phần tử đơn vị Tồn phần tử đơn vị = (1, 0) ∈ C Thật ta có : ∀z1 = (x, y) ∈ C, 1.z = (1, 0)(x, y) = (1x − 0y, 1y + 0.x) = (x, y) = (x, y)(1, 0) = z.1 = z. (viii) Tồn phần tử nghịch đảo, ∀z1 = (x, y) ∈ C, z = , phần tử nghịch đảo z z −1 = y x x2 +y , − x2 +y (ix) Phép nhân phân phối với phép cộng Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang ∀z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ), z3 = (x3 , y3 ) ∈ C ta có: z1 (z2 + z3 ) = (x1 , y1 )(x2 + x3 , y2 + y3 ) = (x1 (x2 + x3 ) − y1 (y2 + y3 ); x1 (y2 + y3 ) + y1 (x2 + x3 )) = (x1 x2 + x1 x3 − y1 y2 − y1 y3 , x1 y2 + x1 y3 + y1 x2 + y1 x3 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ) + (x1 x3 − y1 y3 , x1 y3 + y1 x3 ) = z1 z2 + z1 z3 Vậy ta chứng minh (C, +, .)thỏa mãn tiên đề trường. Do (C, +, .) trường số. Có nhiều cách biểu diễn số phức trên, mà cách khác thác số tính chất đặc biệt tập C, sau giới thiệu số cách biểu diễn đó. 1.2 1.2.1 Dạng đại số số phức Xây dựng số i Xét tương ứng f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) Dễ dàng chứng minh f ánh xạ song ánh. Ngoài ta có:(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0), (x, 0)(y, 0) = (xy, 0), f song ánh nên ta đồng (x, 0) = x. Đặt i = (0, 1), ta có :z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy. Từ ta có kết sau: Mệnh đề 1.2.1. Mỗi số phức tùy ý z = (x, y) biểu diễn dạng z = x + yi với x, y số thưc tùy ý, hệ thức i2 = −1. Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang Hệ thức i2 = −1 suy trực tiếp từ phép nhân hai số phức i2 = ii = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 Biểu thức x + yi gọi dạng đại số số phức z = (x, y)., Vì ta viết C = {x + yi | x, y ∈ R, i2 = −1}và từ ta ký hiệu cho số phức z = (x, y) = x + yi ta có khái niệm liên quan sau đây: x =Rez gọi phần thực số phức z y =Imz gọi phần ảo số phức z i gọi đơn vị ảo. Nếu số phức có phần thực x = gọi ảo. Hai số phức z1 , z2 gọi Re(z1 ) = Re(z2 ) Im(z − 1)=Im(z2 ). Số phức z ∈ R Im(z) = 0. Số phức z ∈ C\R Im(z) = 0. 1.2.2 Các phép toán dạng đại số Tương tự, ta định nghĩa phép toán cộng nhân sau C = {x + yi | x, y ∈ R, i2 = −1} (i). Phép cộng Tổng hai số phức z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 , số phức z xác định : z = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ). Kí hiệu z = z1 + z2 . (ii).Phép nhân Tích hai số z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 số phức z xác định bởi: z = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ) Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang Kí hiệu z = z1 z2 . Định nghĩa trùng với định nghĩa phép toán C phần trước. 1.2.3 Số phức liên hợp Môđun số phức Định nghĩa 1.2.2. Cho số phức z = x + iy, số phức có dạng x − iy gọi số phức liên hợp số phức z, kí hiệu z, nghĩa z = x + yi z = x + i y = x − i y. Mệnh đề 1.2.3. . 1. z = z ⇔ z ∈ R 2. z = z 3. z.z số thực không âm. 4. z1 + z2 = z1 + z2 5. z1 .z2 = z1 z2 6. z −1 = (z)−1 , z ∈ C∗ 7. z1 z2 = z1 z1 , z2 ∈ C∗ Chứng minh. . 1. Ta có:z = z nên suy x + yi = x − yi ⇒ 2yi = ⇒ y = ⇒ z = x ∈ R. 2. Ta cóz = x − yi, ⇒ z = x + yi = z. 3. Ta có :z.z = (x + yi)(x − yi) = x2 + y ≤ 4. Ta cóz1 + z1 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i = (x1 + x2 ) − (y1 + y2 )i = (x1 − y1 i) + (x2 − y2 )i = z1 + z2 Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 5. Ta cóz1 z1 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) − i(x1 y2 + x2 y1 ) = (x1 − y1 i)(x2 − y2 i) = z1 z2 . −1 6. Ta có:z z1 = ⇒ z z1 = ⇒ z z1 = ⇒ z −1 = (z) 7. Ta có : z1 z2 = z1 . z12 = z1 z12 = z1 z12 = z1 z2 . √ Định nghĩa 1.2.4. Cho số phức z = x + iy x2 + y gọi modulus √ ( trị tuyệt đối ) số phức z ký hiệu |z| = x2 + y . Mệnh đề 1.2.5. . 1. − |z| ≤ Re(z) ≤ |z| , − |z| ≤ Im(z) ≤ |z| 2. |z| ≥ 0, |z| = ⇔ z = 3. |z| = |−z| = |z| 4. z.z = z 5. |z1 .z2 | = |z1 ||z2 | 6. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | −1 7. z −1 = |z| , z ∈ C∗ 8. z1 z2 = |z1 | |z2 | , z2 ∈ C∗ 9. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 + z2 | 10. |z1 + z2 | + |z1 − z2 | = (|z1 | + |z2 |). Chứng minh. Các mệnh đề (1-4) Suy trực tiếp từ định nghĩa. • (5) Ta có |z1 z2 | = (z1 z2 )(z1 z2 ) = (z1 z1 )(z2 z2 )) = |z1 | |z2 | . Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 13 hệ thặng dư theo modun n ( nghĩa chia k cho n ta số dư {0, 1, 2, ., n − 1}.) Khi ϕk = θ n + (nq + r) 2π n = ϕr + 2πq. Điều suy :zk = zr hay {zk , k ∈ Z = {z0 , z1 , ., zn−1 }, }. Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm phương trình z n − = Gọi bậc n đơn vị. Từ định nghĩa ta thấy bậc n đơn vị là: ωk = cos 2kπ 2kπ + isin , k = 0, 1, , n − n n Người ta ký hiệu cho tập bậc n đơn vị Un = {1, ω, ω , .ω n−1 } (Un nhóm nhân cyclic cấp n.) Số ωk ∈ Un gọi nguyên thủy bậc n đơn vị số nguyên dương m < n ta có ωkm = 1. 1.4.2 Biểu diễn hình học số phức Định nghĩa 1.4.4. Điểm M (x, y) mặt phẳng Oxy gọi điểm biểu diễn hình học số phức z = x + yi. Số phức z = x + yi gọi tọa độ phức điểm M (, y), ta dùng ký hiệu M(z) để tọa độ phức điểm M z Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức. Ngoài ra, mặt phẳng phức người ta đồng số phức z = x = yi −−→ − với → v = OM , M (x; y) Định nghĩa 1.4.5. Cho số phức z = x + yi có biểu diễn hình học M (z), khoảng cách từ M (z) đến O Môđun số phức z Xét hai số phức z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i véc tơ tương ứng v1 = x1 i + y1 j, v2 = x2 i + y2 j, : Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 14 • Tổng hai số phức : z1 + z2 = (x1 + x2 )i + (y1 + y2 )i • Tổng hai véctơ :v1 + v2 = (x1 + x2 )i + (y1 + y2 )j Qua biểu diễn ta thấy tổng hai số phứcz1 + z2 tương ứng với tổng hai véc tơ v1 + v2 . • Hiệu hai số phức :z1 − z2 = (x1 + x2 )i − (y1 + y2 )i • Hiệu hai véctơ :v1 − v2 = (x1 − x2 )i + (y1 − y2 )j • Khoảng cách hai điểm M1 (x − 1, y1 ), M2 (x2 , y2 ) mô đun số phức z1 − z2 độ dài v1 − v2 . − − M1 M2 = |z1 − z2 | = |→ v1 − → v2 | = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) • Nếu λ số thực tích λ.z = λx + λyi tương ứng với véctơ λv = λxi + λy j. • Tích hai số phức z1 = r1 (cosθ1 + isinθ1 ), z2 = r2 (cosθ2 + isinθ2 ). gọi M1 (r1 , θ1 ), M (r2 , θ2 ) tọa độ cực tương ứng điểm M1 , M2 , gọi P1 , P2 giao điểm đường tròn ❈(O, 1) với tia OM1 , OM2 .Dựng P3 thuộc đường tròn có argument cực θ1 + θ2 chọn M3 thuộc tia OP3 : OM3 = OM1 .OM2 gọi z3 tọa độ phức điểm M3 M3 (r1 r2 , θ1 + θ2 ) điểm biểu diễn tích z1 .z2 Hình 1.1: Biểu diễn tổng hai số Hình 1.2: Biểu diễn tích số thực phức dương số phức Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 15 Chú ý: i) Với số thực dương r tập hợp số phức với Môđun r biểu diễn mặt phẳng phức đường tròn C(O, r) (ii) Các số phức {z, |z| < r} điểm nằm đường tròn C(O, r). (iii) Các số phức {z, |z| > r} điểm nằm đường tròn C(O, r) Mệnh đề 1.4.6. Biểu diễn hình học bậc n > w = √ đỉnh n giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính n r, r = |w|. Chứng minh. Gọi điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , ., zn−1 mặt phẳng phức M0 (z0 ), M1 (z1 ), ., Mn−1 (zn−1 ).Khi ta có : OMk = |zk | = Suy Mk ∈ C(0, √ n √ n r, k ∈ {0, 1, , n − 1} r). Mặt khác, số đo cung cung Mk Mk+1 : arg zk+1 − arg zk = θ + 2(k + 1)π − (θ + 2kπ) 2π = , k ∈ {0, 1, , n − 2} n n Cung lại có số đo xác định sau :sdMn−1 M0 = 2π − (n − 1) 2π n Từ suy cung có số đo nhau, hay đa giácM0 M1 .Mn−1 đều. Hình 1.3: Biểu diễn bậc số phức z=1+i Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Định lý 1.4.7. Trang 16 1. Nếu n |q nghiệm phương trình z n − = nghiệm phương trình z q − = 2. Các nghiệm chung phương trình z m − = z n − = nghiệm phương trình z d = 0, d = U CLN (m, n). 3. Các bậc n nguyên thủy đơn vị ωk = cos 2kπ 2kπ + i. sin ,0 n n k m, U CLN (k, n) = Chứng minh. Xem tài liệu ([2],p 45-46) 1.5 Tích thực hai số phức Như ta biết tích vô hướng hai véctơ số thực, phần giới thiệu khái niệm tương tự cho tích hai số phức. Định nghĩa 1.5.1. Tích thực hai số phức a b số xác định a.b = (ab + ab) Từ định nghĩa ta suy trực tiếp mệnh đề sau Mệnh đề 1.5.2. Cho số phức a, b, c, z, cá mệnh đề sau đúng. 1. a.a = |a|2 2. a.b = b.a 3. a.(b + c) = a.b + a.c 4. (αa) = α(a.b) = a(αb)∀α ∈ R 5. a.b = OA ⊥ OB với A(a), B(b) 6. (az).(bz) = |z|2 (a.b) Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 17 Mệnh đề 1.5.3. Giả sử A(a), B(b), C(c)văD(d) bốn điểm rời nhau. Các mệnh đề sau tương đương: 1. AB ⊥ CD 2. (b − a)(c − d) = 3. b−a d−c ∈ iR∗ Chứng minh. Lấy điểm M (b − a), N (d − c) ta tứ giác OAM B, OCDN hình bình hành, ta có AB ⊥ CD OM ⊥ ON Mà, m.n = (b − a)(d − c) = nên theo tính chất mệnh đề ta suy điều phải chứng minh. 2) ⇔ 3) suy trực tiếp từ từ định nghĩa. Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC Trong chương ta làm quen với toán liên quan đến số phức. Áp phép toán số phức để giải toán cổ điển toán thi IMO. Tham khảo tài liệu [2]. 2.1 Dạng 1: Tính toán, biến đổi trường số phức Bài tập 2.1.1. Cho a số thực dương đặt M0 = z ∈ C∗ , z + =a z Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ |z| z ∈ M0 Lời giải Ta có a2 = |z + z1 |2 = z + z z+ z = |z|4 +(z+z)2 −2|z|2 +1 |z|2 Điều suy ra: |z| − |z| Do  |z| ∈ a2 + + = −(z + z) a2 + −  √ a4 + 4a2 a2 + + ; Suy  |z| ∈ −a +  √ a2 + a + ; √ √  a4 + 4a2   a2 +  Vậy max |z| = a+ √ √ a2 + −a + a2 + ; |z| = , z ∈ M0 , z = z 2 18 Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 19 Bài tập 2.1.2. Chứng minh |1 + z| + − z + z ∀z ∈ C, |z| = Lời giải Đặt t = |z + 1| ⇒ t ∈ [0; 2] t2 = (1 = z)(1 + z) = + 2Re(z) ⇒ Re(z) = t2 −2 Xét hàm số f : [0; 2] −→ R, f (t) = t + |7 − 2t2 | Ta có: 7 7 ) = ≤ t + |7 − 2t2 | ≤ f ( ) = . 2 6 Ngoài ra, |1 + z| + |1 + −z + z | = t + |7 − 2t2 |. f( Vậy |1 + z| + − z + z , ∀z ∈ C, |z| = 1. Bài tập 2.1.3. Giải phương trình: z = 18 + 26i, z = x + yi, x, y ∈ Z Ta có: (x + yi)3 = (x + yi)2 (x + yi) = (x3 − 3xy ) + (3x2 y − y )i Suy ra:    x − 3xy = 18    3x2 y − y = 26 Đặt y = tx từ hệ ta suy 18(3t − t3 )) = 26(1 − 3t2 ), x.y = (3t − 1)(3t2 − 12t − 13) = ⇒ t = (t ∈ Q) Với x = 3y thay vào phương trình x3 − 3xy = 18 ta được: x = 3, y = 1. Bài tập 2.1.4. Cho p, q hai số phức, q = 0. Chứng minh nghiệm phương trình bậc hai x2 + px + q = có môđun số thực. Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk p q Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 20 (1999 Romanian Mathematical Olympiad-Final Round) Lời giải Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình r = |x1 | = |x2 | ddos ta có: p2 (x1 + x2 )2 x1 x2 x1 .x2 x2 .x1 = = + + = + + = + Re(x1 .x2 ) q2 x − 1.x2 x − x1 r2 r2 r2 Do Vậy p q 2.2 p2 q2 số thực. Ngoài ra, Re(x1 .x2 ) ≥ −|x1 .x2 | = r2 suy p2 q2 ≥ 0. số thực. Dạng 2:ứng dụng số phức việc giải toán sơ cấp Bài tập 2.2.1. Chứng minh công thức lượng giác sau: sin5t = 16sin5 t − 20sin3 t + 5sint (2.1) cos5t = 16cos5 t − 20cost + 5cost (2.2) Lời giải áp dụng công thức Moiver ta có : (cost + isint)5 = cos5t + i.sin5t Ngoài theo khai triển nhị thức: (cost + isint)5 = cos5 t + 5icos4 tsint + 10i2 cos3 tsin2 t +10i3 cos2 tsin3 t + 5i4 costsin4 t + i5 sin5 t = cos5 t − 10cos3 t(1 − cos2 t) + 5cost(1 − cos2 t)2 +i(sin2 t(1 − sin2 t)2 − 10(1 − sin2 t)sin3 t + sin5 t) Đồng phần thực, phần ảo hai biểu thức ta điều phải chứng minh. Phần (2.2) tương tự. 3π Bài tập 2.2.2. Chứng minh cos π7 − cos 2π + cos = Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 21 (International Mathematical Olympiad -Poland 1963) Lời giải Xét phương trình x7 + = 0. Dễ thấy nghiệm phương trình iπ bặc số -1. Tức tập nghiệm phương trình là: {e , e iπ Mặt khác e + e i 3π + . + e i 13π =e iπ i2π (e )7 −1 iπ e7 i3π , ., e π 3π 5π 7π 9π 11π 13π cos + cos + cos + cos + cos + cos + cos =0 7 7 7 π 3π 5π ⇔ 2(cos + cos + cos ) − = 7 π 2π 3π ⇔ cos − cos + cos = . 7 Bài tập 2.2.3. Chứng minh bất đẳng thức quen thuộc sau: √ x2 + xy + y + √ y + yz + z + √ z + zx + x2 ≥ √ 3(x + y + z), ∀x, y, z > 2. 4cos2 xcos2 y + sin2 (x − y) + 4sin2 xsin2 y + sin2 (x − y) ≥ 2), ∀x, y ∈ R Lời giải 1.Đặt z1 = x + y + √ yi, z2 √ z =y+ + zi, z3 =z+ x √ + xi ta có: |z1 | = x2 + xy + y , |z2 | = y + yz + z , |z3 | = |z1 + z2 + z3 | = √ 3(x + y + z) Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk } = nên tổng phần thực không. Do 1. i13π √ z + zx + x2 Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 22 áp dụng công thức Mệnh đề 1.2.5 ta được: |z1 +z2 +z3 | ≤ |z1 |+|z2 |+|z3 | Suy ra: x2 + xy + y + y + yz + z + √ z + zx + x2 ≥ √ 3(x + y + z). 2.Tương tự: Đặt z1 = 42cosxcosy + isin(x − y), z2 = 2sinxsiny + isin(x − y) Ta suy điều chứng minh. Bài tập 2.2.4. Chứng minh đẳng thức tổ hợp quen thuộc sau: 2010 C2011 + C2011 + C2011 + . + C2011 = 22011 + Lời giải Gọi ω bậc nguyên thủy bậc đơn vị, tức ω = 1, ω = cos 2π +  isin 2π ta có + ω + ω =    ω 3n      =1 3n+1 ω         ω 3n+2 = ω ,n ∈ N = ω2 Khai triển nhị thức Newton (1 + 1)2011 , (1 + ω)2011 , (1 + ω )2011 ta được: 2010 2011 (1 + 1)2011 = C2011 + C2011 + C2011 + . + C2011 + C2011 2010 2010 2011 2011 (1 + ω)2011 = C2011 + C2011 ω + C2011 ω + . + C2011 ω + C2011 ω 2010 2011 = C2011 + C2011 ω + C2011 ω + . + C2011 + C2011 ω 2010 2011 Cộng vế theo (1 + ω)2011 = C2011 + C2011 ω + C2011 ω + . + C2011 + C2011 ω vế số hạng tổng ta được: 2010 C2011 + C2011 + . + C2011 = (1 + 1)2011 + (1 + ω)2011 + (1 + ω )2011 . Ngoài ra, • (1 + 1)2011 = 22011 2011 • (1 + ω) 2π = + cos 2π + isin 2011 = cos π3 + isin π3 = cos 2011π + isin 2011π = cos π3 + isin π3 3 Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk 2011 Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp • + ω2 2011 Trang 23 4π = + cos 4π + isin 2011 = cos π3 − isin π3 2011 = cos 2011π − i.sin 2011π = cos π3 − isin π3 3 Do đó:(1 + 1)2011 + (1 + ω)2011 + (1 + ω )2011 = 22011 + 2cos π3 = 22011 + Từ suy C2011 + C2011 + C2011 + . + 2010 C2011 22011 + = Bài tập 2.2.5. Tìm tất nghiệm thực dương phương trình √   3x(1 +    )=2 x+y √  √    )=4  7y(1 − x+y 1996 Vietnamese Mathematical Olympiad Lời giải Đặt u = √ x, v = √ y hệ trở thành: √ = u2 + v √      = √ v − 2 u +v     u    1+ Nhưng u2 + v bình phương môđun số phức z = u + iv nên ta nhân vế phương trình thứ hệ với i cộng hai phương trình lại ta được:  √  u − iv 2 √ + i √  u + iv + = u + v2 Mặt khác ta có: uu−iv +v = z nên phương trình trở thành:  √   2 z+ = √ +i √ z Tức z nghiệm phương trình √  z2 −  √ + i √  z + =  Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Suy Trang 24  √ √ 2 + i  √ + 2   √ √ 2 2 z1 = √ − √ + i  √ − 2 21 z1 = √ + √ 21  Điều suy nghiệm thực dương hệ   √ 2   2 2 √   ;  √ + 2   √ + √ , √ − √ 21 21 2  √ 2 √ ;  √ − 2  .  Bài tập 2.2.6. Hai đa giác nội tiếp đường tròn. Đa giác thứ có 2010 cạnh, đa giác thứ có 2015 cạnh. Giả sử hai đa giác có đỉnh chung tùy ý tìm số đỉnh chung hai đa giác đó. Lời giải Như nói trên, số đỉnh chung hai đa giác số nghiệm chung hai phương rình z 2010 = 1, z 2222 = áp dụng Định lý1.4.7 ta có số nghiệm chung d = U CLN (2010, 2015) = Vậy hai đa giác có đỉnh chung. Bài tập 2.2.7. Cho P0 P1 .Pn−1 đa giác nội tiếp đường trò bán kính 1. Chứng minh 1. P0 P1 .P0 P2 .P0 Pn−1 = n; (n−1)π 2. sin πn .sin 2π = n sin n (2n−1)π 3. sin πn .sin 3π = n sin n n 2n−1 2n−1 Lời giải 1.Không tính tổng quát, ta giả sử đỉnh đa giac điểm biểu diễn nghiệm phương trình z n − = 0, P0 = 1. Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 25 Xét đa thức f (z) = z n − ta có f (z) = n.z n−1 ⇒ f (1) = n Ngoài ra, ta khai triển f (z) = (z − 1)(z − ω)(z − ω ) .(z − ω)n−1 , ω = cos 2π 2π + i.sin n n ⇒ f (1) = (1 − ω)(1 − ω ) .(1 − ω n−1 ). Do n = (1 − ω)(1 − ω ) .(1 − ω n−1 ) Lấy môđun hai vế ta kết cần chứng minh. 2. Ta có 2kπ kπ kπ kπ − ω k = − cos 2kπ n − i.sin n = 2sin n − 2isin n .cos n kπ kπ = 2sin kπ n (sin n − icos n ). Do |1 − ω|k = 2sin kπ n , k = 1, 2, , n − Theo câu suy điều phải chứng minh. 3. Xét đa giác Q0 Q1 .Q2n−1 nội tiếp đường tròn, dễ thấy đỉnh điểm biểu diễn hình học bậc2n đơn vị.Do theo câu ta có Q0 Q1 .Q0 Q2 .Q0 Q2n−1 = 2n. Tương tự, đa giác Q0 Q2 .Qn−1 ta có Q0 Q2 .Q0 Q4 .Q0 Q2n = n Điều suy Q0 Q1 .Q0 Q3 .Q0 Q2n−1 = Tương tự ta có đượcQ0 Q2k−1 = sin (2k−1)π 2n , k = 1, 2, , n Từ suy điều phải chứng minh. Từ toán ta mở rộng thành toán tổng quát sau đây. Bài tập 2.2.8. Cho hàm Euler ϕ(n) Chứng minh rằng: 1. k n−1 U CLN (k,n)=1 sin kπ n = 2ϕ(n) n không lũy thừa số nguyên tố. ϕ(n) 2. cos k n−1 U CLN (k,n)=1 kπ n = (−1) 2ϕ(n) với số nguyên dương n ϕ(n) tập hợp số nguyên dương không vượt n nguyên tố với n Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 26 Lời giải Xem tài liệu ([2],p 50) Bài tập 2.2.9. Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, F A lục giác. Chứng minh RN = M Q2 + P S M Q ⊥ P S ( Romanian Mathematical Olympiad-Final Round,1994) Lời giải Gọi a, b, c, d, e, f tọa độ đỉnh lục giác, trung điểm M, N, P, Q, R, S có tọa độ tương ứng m= b+c c+d a+b ,n = ,p = 2 q= d+e e+f f +a ,r = ,s = 2 Sử dụng tính chất tích thực hai số phức, ta có RN = M Q2 + P S ⇔ (e + f − b − c)(e + f − b − c) = (d + e − a − b)(d + e − a − a) + (f + a − c − d)(f + a − c − d) ⇔ (d + e − a − b)(f + a − c − d) = áp dụng Mệnh đề 1.5.3 ta suy (2.3) tương đương M Q ⊥ P S. Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk (2.3) Số phức ứng dụng để giải toán sơ cấp . Trang 27 KẾT LUẬN Bài viết ngắn tác giả cố gắng nói lên ý nghĩa việc học số phức trường phổ thông, giúp cho người dễ dàng tiếp cận số phức cách chi tiết hơn. Trong chuyên đề giới thiệu chi tiết "số phức hình học" ứng dụng thể qua Bài tập 2.2.9. Tôi mong tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm đến nó. Rất mong đóng góp quý thầy cô bạn. Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Tài liệu tham khảo 1. Joseph Bak , Donald J.Newman, Complex Analysis 2. Titu Andreescu, Dorinandrica, Complex numbers from A to Z 28 [...]... minh 2) ⇔ 3) suy tr c ti p t t đ nh nghĩa Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk Chương 2 M TS BÀI TOÁN V S PH C Trong chương này ta s làm quen v i các bài toán liên quan đ n s ph c Áp các phép toán c a s ph c đ gi i các bài toán c đi n các bài toán thi IMO Tham kh o trên tài li u [2] 2.1 D ng 1: Tính toán, bi n đ i trên trư ng s ph c Bài t p 2.1.1 Cho a là s th c dương và đ t M0 = z ∈ C∗ , z + 1 =a... Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p 1.3.2 Trang 11 Bi u di n lư ng giác c a s ph c Cho s ph c z = x = yi ta có th vi t z dư i d ng c c: z = r(cos θ +i sin θ) Đ t α = θ + k2π, k ∈ Z ,khi đó z = r(cos α + i sin α) T c là v i s ph c z b t kỳ ta luôn vi t đư c dư i d ng z = r(cos t + i sin t), r ≥ 0, t ∈ R 1.3.3 Phép toán trong d ng lư ng giác c a s ph c Cho hai s ph c z1... dư i d ng mũ M nh đ 1.3.2 V i m i φ, φ1 , φ2 ∈ R ta có: 1 eiφ1 eiφ2 = ei(φ1 +φ2 ) 2 ei(φ+2π) = eiφ 3 eiφ = e−iφ 4 |eiφ | = 1 Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 12 Ch ng minh Đ i v i m nh đ (1),(2),(4) suy ra tr c ti p t đ nh nghĩa và tính ch t c a lũy th a Ta ch ng ming cho m nh đ (3) Ta có : eiφ = cos(φ) + isin(φ) = cos(φ) − isin(φ) = cos(−φ) + isin(−φ)... : −1 z −1 = |z| , z ∈ C∗ • (8) z1 z2 −1 = z1 z12 = z1 z2 −1 = |z1 | |z2 | = |z1 | |z2 | • (9) Tương t trong ph n (6) ta cũng có : |z1 | = |z1 − z2 + z2 | ≤ |z1 − z2 | + |z2 | Nên suy ra : |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | Ngoài ra: |z1 − z2 | = |z1 + (−z2 )| ≤ |z1 | + |−z2 | = |z1 | + |z2 | Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 10 • (10) Ta có: 2 2 |z1 + z2... )) = 26(1 − 3t2 ), x.y = 0 1 (3t − 1)(3t2 − 12t − 13) = 0 ⇒ t = (t ∈ Q) 3 V i x = 3y thay vào phương trình x3 − 3xy = 18 ta đư c: x = 3, y = 1 Bài t p 2.1.4 Cho p, q là hai s ph c, q = 0 Ch ng minh r ng n u các nghi m phương trình b c hai x2 + px + q = 0 có môđun b ng nhau thì s th c Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk p q là S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 20 (1999 Romanian Mathematical... ta cũng có Q0 Q2 Q0 Q4 .Q0 Q2n = n Đi u này suy ra Q0 Q1 Q0 Q3 .Q0 Q2n−1 = 2 Tương t 2 ta cũng có đư cQ0 Q2k−1 = sin (2k−1)π , k = 1, 2, , n T đây suy ra đi u ph i ch ng minh 2n T bài toán này ta có th m r ng thành bài toán t ng quát sau đây Bài t p 2.2.8 Cho hàm Euler ϕ(n) 1 Ch ng minh r ng: 1 1 k n−1 U CLN (k,n)=1 sin kπ = n 1 2ϕ(n) trong đó n không là lũy th a c a s nguyên t ϕ(n) 2 cos 1 k n−1 U... θ1 + θ2 ) là đi m bi u di n c a tích z1 z2 Hình 1.1: Bi u di n t ng hai s Hình 1.2: Bi u di n tích m t s th c ph c dương và m t s ph c Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 15 Chú ý: i) V i s th c dương r t p h p các s ph c v i Môđun r bi u di n trên m t ph ng ph c là đư ng tròn C(O, r) (ii) Các s ph c {z, |z| < r} là các đi m n m trong đư ng tròn C(O, r)... (n − 1) 2π n T đó suy ra các cung trên có s đo b ng nhau, hay đa giácM0 M1 Mn−1 đ u Hình 1.3: Bi u di n các căn b c 3 c a s ph c z=1+i Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Đ nh lý 1.4.7 Trang 16 1 N u n |q thì nghi m b t kỳ c a phương trình z n − 1 = 0 cũng là nghi m c a phương trình z q − 1 = 0 2 Các nghi m chung c a phương trình z m − 1 = 0 và z n − 1 = 0 là... a.b = b.a 3 a.(b + c) = a.b + a.c 4 (αa) = α(a.b) = a(αb)∀α ∈ R 5 a.b = 0 n u và ch n u OA ⊥ OB v i A(a), B(b) 6 (az).(bz) = |z|2 (a.b) Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 17 M nh đ 1.5.3 Gi s r ng A(a), B(b), C(c)văD(d) là b n đi m r i nhau Các m nh đ sau đây là tương đương: 1 AB ⊥ CD 2 (b − a)(c − d) = 0 3 b−a d−c ∈ iR∗ Ch ng minh L y đi m M (b − a),...S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 9 2 • (6) |z1 + z2 | = (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) = (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) 2 2 = |z1 | + z1 z2 + z1 z2 + |z2 | Ngoài ra, z1 z2 = z1 z2 = z1 z2 nên suy ra z1 z2 + z1 z2 = 2Re(z − 1z2 )2 ≤ |z1 . . . . . . 16 Chương 2 Một số bài toán về số phức 18 2.1 Dạng 1: Tính toán, biến đổi trên trường số phức . . . . . . . . 18 2.2 Dạng 2 :ứng dụng số phức trong việc giải toán sơ cấp . . . . . 20 Kết. . . . . . . . . 27 Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 1 LỜI MỞ ĐẦU Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, gần như trường số phức thỏa mãn các yêu cầu của toán học, chính vì. Đăk Lăk Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 15 Chú ý: i) Với số thực dương r tập hợp các số phức với Môđun r biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn C(O, r) (ii) Các số phức {z,