Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Cung Thế Anh HÀ NỘI – 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy giáo, Cô giáo Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội, truyền đạt kiến thức cho tác giả, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học cao học Tác giả xin tỏ lòng biết chân thành tới PGS TS Cung Thế Anh tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, bảo, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, giáo viên, học sinh trường Trung học phổ thông Trung Văn, Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học làm luận văn tốt nghiệp Xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, khích lệ, giúp đỡ để tác giả tập trung học tập Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 11 năm 2015 Tác giả Lê Thị Hà i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ ĐHSP Đại học sư phạm Nxb Nhà xuất THPT Trung học phổ thông tr Trang ii MỤC LỤC Tra Lời cảm ơn Danh mục chữ viết tắt Mục lục MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu Những đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lý luận dạy học giải tập tốn 1.1.1 Mục đích, vai trị ý nghĩa tập toán trường phổ thơng 1.1.2 Vị trí chức tập toán 1.1.3 Dạy học phương pháp giải toán 1.2 Lý luận lực giải toán học sinh 1.2.1 Nguồn gốc lực 1.2.2 Khái niệm lực, lực Toán học 1.2.3 Năng lực giải tốn 1.2.4 Bồi dưỡng lực giải tốn 1.3 Tình hình dạy học số phức vấn đề bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác tổ hợp trường phổ thông iii 1.3.1 Các nội dung Số phức chương trình Giải tích lớp 12 THPT 1.3.2 Thực trạng dạy học nội dung số phức trường THPT 1.3.3 Sự cần thiết việc dạy học ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp trường THPT 1.4 Kết luận Chương CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP 2.1 Định hướng sư phạm 2.2 Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác hợp 2.2.1 Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác 2.2.2 Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để tính tổng số Cnk 2.3 Xây dựng hệ thống tập vận dụng số phức vào giải số lượng giác tổ hợp 2.3.1 Định hướng xây dựng hệ thống tập 2.3.2 Hệ thống tập 2.4 Đề xuất hướng sử dụng chuyên đề 2.5 Kết luận chương CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 3.2 Phương pháp thực nghiệm 3.3 Nội dung tổ chức thực nghiệm 3.3.1 Nội dung thực nghiệm 3.3.2 Tổ chức thực nghiệm 3.3.3 Nội dung giảng dạy chuyên đề đề kiểm tra iv 3.4 Kết thực nghiệm sư phạm 3.4.1 Nhận xét, đánh giá qua thực nghiệm 3.4.2 Những đánh giá từ kết kiểm tra 3.5 Kết luận chương KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC v vi MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hiện nay, nội dung Số phức đưa vào chương trình Tốn THPT lớp 12 nhằm hoàn thiện việc xây dựng hệ thống số chương trình tốn phổ thơng để phù hợp với thông lệ quốc tế Tuy nhiên, chương cuối chương trình Giải tích 12 việc giảng dạy theo lối cũ, chủ yếu khái niệm dạng toán liên quan đến nội số phức, chưa quan tâm nhiều đến việc liên hệ với nội dung khác chương trình, nên học sinh có lẽ phần lớn giáo viên không hiểu lại đưa nội dung số phức vào chương trình tốn phổ thông Sự tồn số phức đời sống khó hình dung so với loại số khác số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực Có lẽ nội dung số phức câu hỏi thường gặp đề thi tốt nghiệp đề thi vào đại học khơng trọng giảng dạy lớp Chúng ta biết số phức đời từ nhu cầu giải phương trình đại số bậc cao sau phát triển mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập toán học gọi Giải tích phức, nhờ đóng góp nhà toán học kiệt xuất Euler, Gauss, Cauchy, ngày Giải tích phức trở thành ngành có nhiều ứng dụng, tốn học nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác Tất nhiên với trình độ học sinh phổ thơng, có lẽ kể giáo viên tốn phổ thơng, khó trình bày nghĩa tầm quan trọng số phức Tuy nhiên, với trình độ đó, ta làm cho họ thấy ý nghĩa ứng dụng số phức công cụ hữu hiệu để giải sáng tác tốn phổ thơng, từ tốn đến tốn khó Từ góp phần giúp việc giảng dạy học tập nội dung số phức trường phổ thông hiệu Điều thể tư tưởng dạy học tích hợp, xu hướng tiên tiến dạy học Xuất phát từ lí trên, chúng tơi chọn đề tài “Bồi dưỡng lực ứng dụng Số phức vào giải toán Lượng giác Tổ hợp cho học sinh Trung học phổ thông” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp Từ rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng lực ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp cho học sinh THPT Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số vấn đề giải toán: lực lực giải tốn - Điều tra, tìm hiểu thực tiễn tiễn việc sử dụng số phức công cụ để giải toán lượng giác tổ hợp THPT - Nghiên cứu ứng dụng số phức việc giải dạng tốn lượng giác tổ hợp (cịn gọi “phương pháp số phức lượng giác tổ hợp”) - Xây dựng hệ thống tập chuyên đề nhằm bồi dưỡng lực giải toán lượng giác tổ hợp cho học sinh phương pháp số phức góp phần bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh THPT -Trên sở thực tế giảng dạy thực nghiệm, rút kết luận sư phạm khuyến nghị việc giảng dạy nội dung số phức chương trình Tốn THPT quan hệ với nội dung khác, nói riêng với lượng giác tổ hợp Đối tượng nghiên cứu Trên sở lý luận lực giải toán, áp dụng vào dạy ứng dụng số phức giải toán lượng giác tổ hợp Từ phân loại phát triển hệ thống tập nhằm rèn luyện bồi dưỡng lực giải toán, phát triển tư sáng tạo, gợi động hứng thú học tập cho học sinh Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu việc phát triển lực ứng dụng số phức lượng giác tổ hợp Xét số phức z = cos Ta có z + z    78 Lại có z+z z 2013 = cos  Do z z−1 Suy z + z + + z 2012 = i Do cos Vậy U2012 =1006 Cách 2: (Không sử dụng số phức) Biến đổi  1006 + π 2π 2012π   cos + cos + + cos  1 2333 Tính tổng A = cos Nhân U2012 với cos A = 2cos Biến đổi vế trái, ta có A = sin = sin sin π π − sin = Vậy U2012 =1006 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 79 S =C0 S Cách 1:Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: (1 + i ) 21 = C 21 = (C210 −C212 Mặt khác 21 (1 + i )  =  cos  So sánh phần thực, phần ảo hai cách khai triển (1 + i) 19 ta có S2 = C211 −C213 +C215 − +C2121 = −210 Cách 2: (Không sử dụng số phức) Sử dụng cơng thức Ta có S =C0 21 = C1 22 = 22− = −210 Tương tự, ta có S = C211 − C213 3.4 Kết thực nghiệm sư phạm 3.4.1 Nhận xét, đánh giá qua thực nghiệm 3.4.1.1 Về phía giáo viên Qua học lớp thực nghiệm, đa số giáo viên Toán đưa số ý kiến sau: - Các học lớp học thực nghiệm thu hút em tham gia cách tích cực, sơi hào hứng 80 - Việc dạy cho học sinh ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp làm cho em thấy ý nghĩa, vai trò số phức Toán học - Số phức nội dung khó song việc áp dụng vào giải tốn cho ta nhiều kết lý thú đẹp, gây hứng thú cho tìm tịi, làm tiền đề cho sáng tạo, mà điều cần cho người học toán, làm toán -Việc đưa nội dung ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp tạo điều kiện cho thầy cô giáo có hướng suy nghĩ mới, số tốn giải số phức dài song ta dùng số phức để nghiên cứu vấn đề khác toán, gây hứng thú cho việc nghiên cứu vấn đề số phức Qua phát huy tích cực lực giải tập tốn khơng học sinh mà thầy giáo 3.4.2 Về phía học sinh Để đánh giá kết quả, sau dạy thử nghiệm phát cho em trả lời vào phiếu thăm dị ý kiến (được trình bày phụ lục luận văn) với nội dung thiết thực, cụ thể nhằm thu thông tin phản hồi từ phía học sinh Sau cho em trả lời phiếu thăm dị, chúng tơi nhận kết sau STT Bài tốn tính giá trị, rút gọn biểu thức lượng giác Bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác Giải lượng dụng số phức Tính tổng số tổ hợp chập k n ( Số ô số ý kiến học sinh) STT Nội dung Bài toán tính giá trị, rút gọn biểu thức lượng giác Bài tốn tính giá trị, rút gọn biểu thức lượng giác Giải phương trình lượng giác cách sử dụng số phức Tính tổng số tổ hợp chập k n (Số ô số ý kiến học sinh) Như vậy, qua việc tổng hợp ý kiến học sinh phiếu tự đánh giá, kết hợp với trao đổi em, đưa số nhận định sau - Phần lớn em cảm thấy hứng thú tiếp cận dùng số phức đề giải toán lượng giác tổ hợp - Đa số em có khả lĩnh hội nội dung số phức, biết ứng dụng kiến thức giải số dạng tốn lượng giác tổ hợp - Trong số vấn đề hỏi, cho thấy em nhận thức rõ hiệu việc ứng dụng số phức vào giải tốn tốn tính tổng biểu thức lượng giác tổng Cnk mà lâu tốn khó với em - Đối với việc giải phương trình lượng giác, em quen với việc biến đổi, phân tích nên giải số phức em chưa thực thích 82 thú Tuy nhiên, nhiều em thấy khác biệt giải phương trình lượng giác số phức với phương pháp biến đổi, phân tích quen thuộc - Sau đợt thử nghiệm, em thấy thích thú với vấn đề số phức; thấy số phức khơng phải xa lạ, phức tạp Đặc biệt, lực giải lượng giác: rút gọn, chứng minh hệ thức lượng giác,… khả tính tổng Cnk nâng lên rõ rệt 3.4.2 Những đánh giá từ kết kiểm tra Qua trình kiểm tra, đánh giá xử lý kết quả, thu kết lớp thực nghiệm lớp đối chứng sau: Điểm Lớp Thực nghiệm Đối chứng Biểu đồ Xếp loại kết kiểm tra sau thực nghiệm Những kết luận rút qua kiểm tra học sinh + Nhìn chung em tích cực, cố gắng làm kiểm tra 83 + Ở lớp thực nghiệm đa số em có khả phiên dịch tốn sang ngơn ngữ số phức để giải toán Ở lớp đối chứng em sử dụng phương pháp thông thường nên giải 3, tương đối khó khăn, cần nhanh ý + Qua làm học sinh thấy lớp thực nghiệm em nắm vững kiến thức số phức, biết trình bày lời giải rõ ràng, mạch lạc, biết suy luận vận dụng linh hoạt kiến thức số phức vào giải toán Một số em biết kết hợp số phức phương pháp tổng hợp thông thường để giải tốn có lời giải gọn gàng, ngắn gọn Như lực ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp em phát triển + Kết đạt lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng tỷ lệ học sinh trung bình tỷ lệ học sinh giỏi Điều cho thấy việc bồi dưỡng lực áp dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp cho học sinh có tính khả quan 3.5 Kết luận chương Qua đợt thử nghiệm, dựa kết thu kết luận Vấn đề sử dụng số phức cơng cụ giải tốn lượng giác tổ hợp nêu lên luận văn thực Việc phối hợp sử dụng biện pháp sư phạm việc dạy học sinh giải số tập lượng giác tổ hợp số phức góp phần làm cho việc học môn lượng giác, đại số tổ hợp đặc biệt số phức nói riêng mơn tốn nói chung trở nên hấp dẫn, thực lôi gây hứng thú cho học sinh, góp phần làm giảm đáng kể khó khăn sai lầm em, đồng thời phát triển lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Thử nghiệm bước đầu minh họa tính khả thi việc xây dựng chuyên đề nhằm bồi dưỡng lực giải toán ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp cho học sinh trường THPT 84 Do điều kiện thời gian nghiên cứu cịn hạn chế, với khn khổ luận văn tiến hành thử nghiệm trường phổ thơng với số lượng lớp có hạn, việc đánh giá hiệu đề tài chưa mang tính khái qt Chúng tơi hy vọng tiếp tục thực nghiệm đề tài thời gian tới để áp dụng cách đại trà trường phổ thông 85 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ A Kết luận Luận văn nghiên cứu việc bồi dưỡng lực ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp chương trình tốn THPT Các kết đạt luận văn là: Đã phân tích thực trạng việc giảng dạy số phức trường THPT thấy tính cần thiết việc bồi dưỡng lực ứng dụng số phức vào giải toán toán lượng giác tổ hợp cho học sinh THPT Xây dựng chuyên đề bồi dưỡng lực ứng dụng số phức giải toán lượng giác tổ hợp cho học sinh THPT, thông qua việc phân loại dạng toán, đưa dẫn phương pháp giải (sử dụng số phức) thiết kế hệ thống tập tương ứng Quá trình dạy thử nghiệm kết thực nghiệm cho thấy chun đề xây dựng luận văn có tính khả thi góp phần nâng cao lực giải tốn cho học sinh THPT, nói riêng lực giải toán lượng giác tổ hợp B Khuyến nghị Trên sở nghiên cứu luận văn, xin mạnh dạn đề xuất số ý kiến sau: Có thể sử dụng chuyên đề xây dựng luận văn làm tài liệu bồi dưỡng nâng cao lực giải toán lượng toán lượng giác tổ học cho học sinh THPT Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT sinh viên Toán trường ĐHSP Trong Chương trình Tốn THPT hành, nên bố cục lại nội dung (đặc biệt phần tập) thời điểm giảng dạy phần Số phức, nói riêng bổ sung tập liên quan Số phức với nội dung tốn khác Chương trình Lượng giác, Tổ hợp, Hình học, … nhằm thể rõ quan hệ nội dung chương trình, góp phần nâng cao chất lượng việc dạy học mơn Tốn 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt 1.Bộ Giáo dục Đào tạo (2008), Giải tích 12 Nxb Giáo dục Bộ Giáo dục Đào tạo (2008), Giải tích 12- Sách giáo viên Nxb Giáo dục Hồng Chúng (1997), Phương pháp dạy học mơn tốn trường THP Nxb Giáo dục V.A.Cruchetxki: Những sở tâm lý học sư phạm, tập Nxb Giáo dục, Hà Nội,1981 Cao Thị Hà - Phạm Xuân Thám: Một số lực vận dụng số phức vào giải tốn Hình học phẳng lượng giác HS trường THPT Tạp chí giáo dục tr.33-35; số 198, kì - 9/08) Nguyễn Phụ Hy – Nguyễn Quốc Bảo (1996), Ứng dụng số phức để giải toán sơ cấp Nxb Giáo dục Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học sư phạm G Polya (1997), Sáng tạo toán học (người dịch: Nguyễn Sỹ Tuyển, Phạm Tất Đắc, Hồ Thuần, Nguyễn Giản) Nxb Giáo dục, Hà Nội G Polya (1997), Giải toán nào? (người dịch Hồ Thuần, Bùi Tường) NXB Giáo dục, Hà Nội 10 Nguyễn Thị Hương Trang, “ Một số vấn đề rèn luyện lực giải tốn cho học sinhTHPT” Tạp chí nghiên cứu giáo dục, số năm 2000 11 Võ Thanh Văn (chủ biên)- Lê Hiển Dương- Nguyễn Ngọc Giang (2009), Chuyên đề ứng dụng số phức giải toán THPT Nxb Đại học Sư phạm B Tiếng Anh 12 Titu Andreescu, Dorin Andrica, Complex Numbers from A to Z Birkhauser Boston, Basel, Berlin 87 Phụ lục Họ tên giáo viên: Trường công tác: Số năm giảng dạy: Xin vui lòng cho biết ý kiến cá nhân nội dung sau: Câu 1: Theo quý thầy cô, nội dung số phức trường phổ thơng: □ Khó □ Dễ □ Ít quan tâm □ Bình thường □ Rất quan tâm □ Ít □ Nhiều Câu 4: Trong trình giảng dạy số phức q thầy, có chý ý đến rèn luyện, bồi dưỡng cho học sinh khả sử dụng số phức công cụ giải tốn (lượng giác, tổ hợp, hình học, …): □ Khơng □ Thỉnh thoảng □ Hiếm □ Thường xuyên 88 Phụ lục PHIẾU THĂM DÒ HỌC SINH Họ tên: Giới tính (HS điền khơng) Lớp: Trường: (HS điền khơng) Xin em vui lịng đánh dấu x vào tương ứng trí Sau rèn luyện cách sử dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp, em tự đánh giá nội dung sau: a) STT Bài thức Bài lượ Giả bằn Tín b) STT Bài biểu Bài biểu Giả giác Tín 89 ... SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP 2.1 Định hướng sư phạm 2.2 Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác hợp 2.2.1 Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng. .. tài ? ?Bồi dưỡng lực ứng dụng Số phức vào giải toán Lượng giác Tổ hợp cho học sinh Trung học phổ thông? ?? làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải toán. .. toán lượng giác tổ hợp Từ rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng lực ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác tổ hợp cho học sinh THPT Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số vấn đề giải toán: lực lực giải