ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT của TAM GIÁC đều để GIẢI TOÁN

ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC ĐỀU ĐỂ GIẢI TOÁN Nguyễn Bá Đang Hội THHN Cách đây hơn nửa thế kỉ lúc đó tôi là học sinh cấp II, thầy giáo đưa ra bài toán “Cho hình vuông A B C D, E là điểm trong hình vuông sao E D C = E C D = 150. Chứng minh rằng tam giác EAB là tam giác đều”, sau mấy ngày nhóm chúng tôi đã tìm ra lời giải của bài toán. Cho đến nay nhiều người đã biết và có cách giải khác nhau về bài toán này, song đến bây giờ tôi vẫn không quên được cách giải của chúng tôi ngày đó

GIẢI TOÁN

Nguyễn Bá Đang Hội THHN

Cách đây hơn nửa thế kỉ lúc đó tôi là học

sinh cấp II, thầy giáo đưa ra bài toán “Cho

hình vuông ABCD, E là điểm trong hình vuông

saoEDC[ = [ECD =150 Chứng minh rằng tam

giác EAB là tam giác đều”, sau mấy ngày nhóm

chúng tôi đã tìm ra lời giải của bài toán Cho

đến nay nhiều người đã biết và có cách giải

khác nhau về bài toán này, song đến bây giờ

tôi vẫn không quên được cách giải của chúng

tôi ngày đó

Với tính chất đặc trưng của tam giác đều

có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau, tôi

đã vận dụng để giải nhiều bài toán hình học,

bằng cách dựng thêm hình để xuất hiện tam giác đều Xin giới thiệu cùng bạn đọc

Dựng tam giác đều DEI ⇒ [ADI =900−

d IDE− [EDC = 150 ⇒ tam giác ADI và tam giác CDE bằng nhau (c.g.c) ⇒ I A = EC,

[

I AD = 150 ⇒ [AID = 1500 ⇒ AIEd =

1500 ⇒ hai tam giác I AD, I AE bằng nhau (c.g.c)⇒ AD = AE ⇒tam giác EAB là tam giác đều Với tính chất đặc trưng của tam giác đều có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau, tôi đã vận dụng để giải nhiều bài toán hình học, bằng cách dựng thêm hình để xuất hiện tam giác đều Xin giới thiệu cùng bạn đọc

1 Một số dạng toán liên quan đến tam giác đều

Bài toán 1.1. Cho tam giác cân ABC(AB = AC, bA = 1000), P và Q là hai điểm trong tam giác thỏa mãn dPAB= [QAC=200;[PCB = [QCA=100 Chứng minh B, P, Q thẳng hàng

Hình 1:

cạnh BC ⇒ [ADC = 300, ACD[ = 200, theo giả thiết QAC[ = 200 ⇒ AD song song với

CD,⇒ [QCD =300 ⇒tứ giác ADCQ là hình thang cân⇒ AD=QC

1 Một số dạng toán liên quan đến tam giác đều 54

⇒∆ADB và ∆QCB bằng nhau (c,g,c)

⇒BD= BQ⇒∆BAQ là tam giác cânBAQ[ = [BAC− [QAC=1000−200=800 ⇒ [ABQ=

200 ⇒BQlà phân giác của gócABC.[

Kéo dài AB lấy điểm E sao cho BE = BC ⇒ ∆BEC cân ⇒ [BEC = [BCE = 700

⇒ [PCE = [BCE− [BCP =700−100 =600; ACE[ = [BCE− [BCA=700−400 =300 ⇒ CAlà phân giác góc[PCE bA =1000 ⇒ [CAE =800;CAP[ =800;

⇒∆CAE và ∆CAP bằng nhau (g,c,g)⇒CE=CP ⇒∆CPE là tam giác đều ;

⇒PE=PC ⇒ Pnằm trên đường phân giác gócCBE[⇒ B, P, Q thẳng hàng

Bài toán 1.2. Cho tam giác vuông ABC ( bA = 900), có góc [ABC = 400, D và E là hai điểm trên AB, AC sao cho ADE[ =200 Chứng minh rằng CD =2AD khi và chỉ khi DE =DB

Hình 2:

cạnh BC sao cho DI = DB ⇒ DIBd = DBId = 400 ⇒ BDId = 1800−800 = 1000

⇒EDId =1800− [ADE−BDId =600

* DE = DB ⇒ DE = DI, dEDI = 600⇒ ∆DEI là tam giác đều, ADE[ = 200 ⇒ [AED = 700

⇒ IDCd = ICDd =200 ⇒ [DCA =300 ⇒CD=2AD

* CD = 2AD, ∆ADC vuông ⇒ [ACD = 300 ⇒ [BCD = 500−300 = 200 CDId =

d

BID−ICDd =400−200 =200 ⇒ ∆IDC cân⇒ ID = IC dDIB =400 = [ABC ⇒ ∆BDI cân

⇒DI =DB⇒ DE=DB

Bài toán 1.3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC, bA = 200) Trên AB lấy điểm D sao cho

AD =BC Tính gócBDC?[

⇒ AC = AE=CE⇒ [DAE = [DAC+ [CAE=200+600 =800

[

BAC=200⇒ [ABC = [ACB =800

∆ABC và ∆EAD có DA=BC, AE= AB

vàDAE[ = [CBA ⇒hai tam giác bằng nhau

⇒ DE = AC = EC ⇒ A, D, C nằm trên đường tròn tâm E ⇒ [DCE = 12DEA[ = 100

⇒ [BDC = [DAC+ [DCA=200+100 =300

Hình 3:

Bài toán 1.4. Cho tam giác cân ABC (AB = AC, bA = 1100) P là điểm trong tam giác thỏa mãn[PBC=250, [PCB =300 Tính góc APC?[

∆ABC cân AB =AC, bA=1100⇒ [ABC =350, BDC[ =300 ⇒ [DBA =600−350 =250;

Hình 4:

Theo giả thiết [PBC = 250 ⇒ ∆DBA và ∆CBP có DB = CB, DBP[ = [CBP, BDA[ = [

BCP = 300 ⇒hai tam giác bằng nhau (c.g.c) ⇒ BA = BP ⇒ tam giác ABP cân [ABP =

600−250−250 =100 [BAP= BPAd = 1800−[2ABP =850, [PAC = Ab− [BAP =1100−850 =250

[

ACP =350−300 =50 ⇒ [APC =1800−250−50 =1500

Bài toán 1.5. Cho ba đường thẳng a, b, c song song với nhau Dựng tam giác đều ba đỉnh nằm trên ba đường thẳng trên

Giả sử ABC là tam giác đều nằm trên ba đường thẳng song song a, b, c Kẻ CH⊥b, dựng tam giác đều HCE

⇒ [bHE = cCEd = 300 ⇒ E cách đều b và c ⇒ E nằm trên đường thẳng song song với ba đường thẳng a, b, c cách đều b và c Đường thằng này cắt BC tại F ⇒ FB = FC

⇒ AF⊥BC ⇒FACd =300 ⇒FACd =CEFd ⇒tứ giác AFCE nội tiếp⇒ AE⊥ECCách dựng:

- Dựng tam giác đều HCE

- Dựng đường thẳng vuông góc với CE cắt đường thẳng a tại A ⇒CAlà cạnh tam giác đều

- Dựng đường tròn tâm A bán kính AC cắt đường thẳng b là đỉnh thứ ba của tam giác

Bài toán 1.6. Cho tam giác ABC, bA = 400, bB = 600 Điểm D trên cạnh AC và E trên cạnh

ABthỏa mãn DBC[ =400, [ECB = 700, đường thẳng BD và CE cắt nhau tại F Chứng minh

1 Một số dạng toán liên quan đến tam giác đều 56

Hình 5:

rằng AF vuông góc với cạnh BC

[

BAC= 400 ⇒ [CAK = 200, DB cắt AH tại F và cắt AK tại I ⇒ FB = FK⇒ FBKd = FKBd =

Hình 6:

400

⇒KFId =800, dFKI = 200⇒KIFd =1800−800−200 =800⇒tam giác KFI là tam giác cân

⇒KF=KI

Xét ∆ABC và ∆BKI có: AB = BK ABC[ = BKId = 600, BAC[ = KBId = 400 ⇒ hai tam giác bằng nhau (g.c.g) ⇒ BC = KI ⇒ BC = BF ⇒ ∆BCF là tam giác cân

⇒BCFd =BFCd = 18002−400 =700

Kéo dài CF cắt AB tại E,[BEC =1800−600−700 =500

Bài toán 1.7. Cho tam giác đều ABC, P là điểm trong tam giác đều thỏa mãn PA =5, PB=

4, PC =3 Tính cạnh tam giác đều ABC

⇒ PC = PQ= QC, PCQ[ =600⇒ [ [ACB =600] ⇒ [ACP = [BCQ⇒tam giác ACB và tam giác BCQ bằng nhau (c.g.c)⇒PA =QB=5

Tam giác BPQ có BQ2 =PB2+PQ2

Theo định lí đảo Pythagos ⇒ [BPQ = 900 ⇒ [BPC = [BPQ+ [QPC = 900+600 = 1500

⇒ BC2 = PB2+PC2−2PB.PC cos 1500 ⇒ BC2 = 16+9+12√3 = 25+12√3 ⇒ BC =

p

25+12√3

Hình 7:

2 Bài tập tự giải

Bài toán 2.1. Cho tam giác ABC (AB = AC, bA =200), trên cạnh AC lấy điểm D, trên cạnh

ABlấy điểm E sao choDBA[ =300vàECA[ =200 Tính góc DEC.[

Lời giải. Dựng góc dFBE=200, CE và BF cắt nhau tại I

AB = AC, bA =200 ⇒ [ABC = [ACB =800 ⇒ [ECB = FBCd =800−200 =600 ⇒tam giác

Hình 8:

IBClà tam giác đều⇒EFsong song với BC ⇒tam giác IEF là tam giác đều

Theo giả thiết DBA[ =300⇒ [DBC = [ABC− [ABD =500⇒ [CDB=1800− [DBC− [DCB =

500⇒tam giác CBD là tam giác cân⇒CB=CD

⇒CD=CI ⇒tam giác CDI cân

⇒CIDd =CDId = 12(1800−200) = 800⇒DIFd =1800−BIDd =1800−1400 =400

Mặt khác dBFC =1800−FBCd −FCBd =400 ⇒tam giác DIF là tam giác cân⇒DF =DI

⇒hai tam giác DEF và DEI bằng nhau (c.c.c)

⇒ [FED= [DEC= 12FECd =300

Bài toán 2.2. Cho tam giác ABC, BAC[ = 600, O là điểm trong tam giác sao cho

[

BOA = [AOC = 1200, gọi D, I là trung điểm AC và AB Chứng minh tứ giác AIOD là tứ giác nội tiếp

⇒ \NOA+ [AOC =600+1200 =1800 ⇒N, O, C thẳng hàng

Tương tự B, O, M thẳng hàng

2 Bài tập tự giải 58

Hình 9:

[

BNO = [BAO ⇒ [BAO = [OCA

Theo giả thiết BOA[ = [AOC =1200 ⇒∆OAB và ∆OCA đồng dạng, OI, OD là trung tuyến của hai tam giác⇒OIBd = [ODA⇒ [AIO+ [ODA=1800tứ giác AIOD nội tiếp đường tròn

Bài toán 2.3. Cho tam giác ABC, góc BAC[ = 600, và đường phân giác AD, CE thỏa mãn

AC+CD = AE+EC Tính các góc của tam giác ABC

CN = CD Theo giả thiết BAC[ = 600, AC+CD = AE+EC ⇒tam giác AMN là tam giác đều

[

Hình 10:

[

BAD = [DAC ⇒ [AD⊥MN] ⇒ DM = DN, \AMD = \AND ⇒ [ECD = \AMD ⇒ D

nằm trên MC hoặc DM =DC =DN

Nếu D không nằm trên MC ⇒ tam giác DCM là tam giác đều ⇒ [ACB = 1200

⇒ Ab+Cb=1800 ⇒Dnằm trên MC ⇒ Mtrùng với đỉnh B⇒ EB=EC ⇒ [EBC = [ECB ⇒ [

BAC+3.12[ACB=1800 ⇒ [ACB=800⇒ [ABC =400

Bài toán 2.4. Cho tam giác đều ABC, điểm M trên AB qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N Gọi O là tâm của tam giác AMN, I là trung điểm của BN Tính các góc của tam giác OIC

⇒CO=CE, OCE[ =600ACB[ =600⇒ [BCE= [ACE⇒∆ACO và ∆BCE bằng nhau (c.g.c)

Hình 11:

⇒ [CBE= [CAO =300MNsong song với BC ⇒ \MNB = [NBC⇒ [ONB = \ON M+ \MNB=

300+ \MNB NBE[ = [NBC+ [CBE= \MNB+300⇒ [ONB= [NBE⇒ONsong song với BE Theo giả thiết IN = IB⇒ IO =IE ⇒OI⊥CI ⇒các góc của tam giác OIC

Bài toán 2.5. Cho tam giác cân ABC (AB = AC, bA = 200), D là điểm ngoài tam giác ABC sao cho DA= DC, ADC[ =1000 Chứng minh rằng AB =BC+CD

Hình 12:

⇒ [DAC = 12(1800−1000) = 400 ⇒ [DAE = [DAC+ [CAB = 400+200 = 600 ⇒tam giác DAEđều⇒ [ADE=600, DE = AE=DC ⇒tam giác DEC cân,

[

EDC = [ADC− [ADE = 1000 −600 = 400 ⇒ [DEC = [DCE = 12(1800−400) = 700

⇒ [BEC =1800− [AED− [DEC =1800−600−700 =500

Theo giả thiết AB = AC, bA = 200 ⇒ [ABC = 12(1800−200) = 800 ⇒ [BCE =

1800− [CBE− [BEC =500 ⇒tam giác BCE cân⇒BC =BE⇒ AB =BC+CD

Bài toán 2.6. Cho tam giác đều ABC, M là điểm trên cung nhỏ BC Chứng minh rằng MA=

MB+MC

Chứng minh tam giác ABD và tam giác BMC bằng nhau

2 Bài tập tự giải 60

Hình 13: