BÀI GIẢNG Cơ học ứng dụng Trần Hưng Trà, Dương Đình Hảo

Hệ lực cân bằng: Là hệ lực khi tác dụng lên một vật rắn cân bằng mà không làm mất trạng thái cân bằng của nó.. Hệ lực tương đương: Hai hệ lực được coi là tương đương với nhau khi thay

 Phương pháp nghiên cứu trong phần tĩnh học là phương pháp tiên đề kết hợp phương pháp mô hình

 Các kết quả nghiên cứu trong tĩnh học sẽ được áp dụng để giải thích các hiện tượng thực

tế, đồng cũng là cơ sở để học các môn sức bền vật liệu, cơ học kết cấu và một số môn học

cơ sở và chuyên môn khác

2

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

3

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1 Chất điểm, hệ chất điểm, vật rắn tuyệt đối, vật rắn cân bằng hệ quy chiếu và hệ đơn vị

Là vật thể có hình dạng bất biến nghĩa là khoảng cách hai phần tử bất kỳ trên nó luôn luôn không đổi

Hình 1.1: Minh họa sự biến dạng của vật khi chịu tác dụng của lực

d Vật rắn cân bằng:

Là vật rắn đang ở trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng và đều so với hệ quy chiếu

e Hệ quy chiếu:

Là một vật rắn được chọn làm chuẩn để quan sát, đánh giá vị trí của vật khảo sát

Trong cơ học ta thường gặp hai khái niệm về hệ quy chiếu là hệ quy chiếu quán tính và hệ quy chiếu phi quán tính

Hệ quy chiếu trong đó các định luật của Newton được nghiệm đúng được gọi là hệ quy chiếu quán tính, trong trường hợp ngược lại được gọi là hệ quy chiếu phi quán tính Với sai số cho phép trong kỹ thuật thường coi hệ quy chiếu gắn với trái đất là hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu chuyển động thẳng và đều trong hệ quy chiếu quán tính cũng được coi là hệ quy chiếu quán tính

f Hệ đơn vị:

Trong cơ học, chúng ta sử dụng 4 đại lượng cơ bản đó là: chiều dài, khối lượng, lực và thời gian Những đại lượng này liên hệ với nhau bởi định luật 2 Newton Có hai hệ đơn vị mà hiện nay người ta hay dùng đó là

hệ SI và hệ US

Hệ đơn vị SI: Là hệ thống đơn vị đo lường quốc tế viết tắt của International System of Units Đây là hệ

đơn vị được sử dụng phổ biến nhất

Hệ đơn vị US: Là hệ thống đơn vị Anh Mỹ (United States) thường được sử dụng cho những nước nói tiếng Anh Nó còn ký hiệu là FPS, viết tắt của foot-pound-second

Các bảng 1.1 và 1.2 và 1.3 là các bảng ký hiệu đơn vị của 4 đại lượng cơ bản trong hai hệ thống đơn vị

SI và US

Bảng 1.1a: Bảng ký hiệu đơn vị các đại lượng cơ bản

Vật rắn biến dạng

Vật rắn tuyệt đối

Bảng 1.2: Một số đơn vị được sử dụng trong cơ học

5

Bảng 1.3: Bảng chuyển đổi giữa hai hệ đơn vị SI và US

0.305m2.540 cm 1.609 km

28.35 g 40.454kg14.590 kg 907.20 kg Lực tác dụng 1 pound force

1 kip

1 lb

1 kip

Newton kilo Newton

4.448 N 4.448 kN Vận tốc (Tốc độ) 1 foot/second

0.305 m/s 0.514 m/s 0.447m/s1.609 km/h

Công suất 1 foot.pound/second

1 horsepower

1 ft.lb/sec

550 ft.lb/sec

Wat Wat

1.356 W 745.7 W

0.305 m/s20.025 m/s2

1.1.2 Lực, hệ lực, hệ lực cân bằng

a Lực:

Là thước đo tác dụng tương hỗ về cơ học giữa các vật thể

mà kết quả của nó là làm thay đổi hình dáng và kích thước

(biến dạng) hoặc trạng thái chuyển động của các vật thể

Hay nói một cách vắn tắt:

Lực là nguyên nhân gây ra sự biến đổi chuyển động và

biến dạng của các vật thể Lực có các đặc trưng sau:

Hình 1.2: Cách biểu diễn lực

 Điểm đặt: Là điểm mà vật nhận được sự tác dụng tương hỗ từ vật khác

Hình 1.3: Cách biểu diễn điểm đặt lực

 Phương, chiều: Biểu thị phương hướng chuyển động hay khuynh hướng chuyển động của vật thể khi

bị lực tác dụng

 Độ lớn: Là thước đo sự tác dụng mạnh yếu của lực và được biểu thị là bội số của lực lấy làm đơn vị

Do đó có thể dùng véctơ để biểu diễn các đặc trưng của lực, ví dụ như: F P   , ,

6

d Hệ lực cân bằng:

Là hệ lực khi tác dụng lên một vật rắn cân bằng mà

không làm mất trạng thái cân bằng của nó Ký hiệu:

1 2 3

( , , , , ) 0F F F   F n

e Hệ lực tương đương:

Hai hệ lực được coi là tương đương với nhau khi thay

thế hệ lực này bằng hệ lực khác thì kết quả tác dụng lên vật

thể không thay đổi Ký hiệu:

1.2 MÔ MEN CỦA LỰC

Mô men của một lực được quy ước là đại lượng véctơ, đặc trưng cho tác dụng cơ học làm vật thể quay hoặc bị biến dạng quanh một điểm hay một trục nào đó

1.2.1 Mô men của lực đối với một điểm

a Định nghĩa:

Mô men của lực F (đặt tại A) đối với một điểm (O) là một véctơ, ký hiệu m FO( )

(hoặc MO), có các đặc

trưng sau đây:

 Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa lực F và điểm O

 Chiều: Nếu nhìn từ điểm ngọn của véctơ thấy lực có xu hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng

hồ (hay nhìn thấy véc tơ rOA





quay một góc nhỏ nhất theo chiều ngược kim đồng hồ tới trùng với phương

và chiều của véctơ biểu diễn lực)

 Giá trị: Bằng tích độ lớn của lực nhân

với khoảng cách từ lực tới điểm O

Từ định nghĩa có thể biểu diễn mô men của

7

Hay: m O( )F (yF zzFy i)(zF xxF j z)(xF yyF k x)

(1.8) Hình chiếu véctơ mô men trên các trục tọa độ khi đó có thể xác định:

Hình 1.7: Mô men đối với 3 trục tọa độ

b Các tính chất của mô men:

 Mô men của một lực với một điểm nằm trên đường tác dụng của nó thì bằng 0

Từ biểu thức véc tơ xác định mô men:

( )

O

m F  r F

(1.10) Nếu điểm O nằm trên đường tác dụng của lực có nghĩa là r 

Điều cần chứng minh đã được làm rõ

 Hợp mô men của nhiều lực đối với cùng một điểm được thực hiện bằng phương pháp cộng véctơ

c Mô men của các lực đối với một điểm cùng nằm trong mặt phẳng:

Khi các lực nằm trong cùng mặt phẳng với điểm

O thì véctơ mô men của các lực đối với điểm O sẽ

song song với nhau và nằm trên cùng một trục, khi

đó ta sẽ dùng khái niệm mô men là một lượng đại số

để đơn giản trong tính toán và được định nghĩa như

sau:

Mô men của lực F đối với điểm cố định A không

nằm trên đường tác dụng của nó là đại lượng đại số

có giá trị bằng tích số giữa giá trị của lực F và

khoảng cách từ đường tác dụng của lực đến điểm A

8

Mô men có giá trị dương khi nó có tác dụng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ, trong trường hợp

ngược lại nó có giá trị âm

Nó cũng thỏa mãn các tính chất:

1 Mô men của một lực với một điểm nằm trên đường tác dụng của nó thì bằng 0

2 Mô men của hai lực trực đối nhau thì triệt tiêu

3 Muốn hợp các mô men cùng nằm trên mặt phẳng ta dùng phép cộng đại số

1.2.2 Mô men của lực đối với một trục

a Định nghĩa:

Mômen của lực F đối với trục  ký hiệu là m F( )

là đại lượng đại số có giá trị bằng mômen của lực

F’ đối với điểm O, với F’là hình chiếu của lực F lên mặt phẳng  vuông góc trục  O là giao điểm giữa trục  và mặt phẳng 

( ) O( ')

m F   m F 

(1.13)

Hình 1.9: Mô men của lực đối với một trục

Mô men của lực đối với một trục có giá trị dương khi làm cho vật có xu hướng quay ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn đầu mút của trục và ngược lại có giá trị âm

Hợp mô men của các lực đối với cùng một trục có thể thực hiện bởi phương pháp cộng đại số

1.2.3 Quan hệ giữa mô men của lực đối với một điểm cố định với mô men của lực đối với trục đi qua điểm cố định đó

Quan hệ giữa mô men của một lực đối với một điểm và mô men

của nó đối với trục đi qua điểm đang xét được mô tả qua định lý sau

 Định lý:

Mô men của lực F đối với trục  bằng hình chiếu lên trục 

của mô men lực F 

đối với điểm bất kỳ nào đó trên trục 

F

F1

r F

2

r F

r F

(*) Chiếu (*) lên trục ta được: m O( )F  /  r  F1 /  r  F2 /

 Phân tích các lực tác dụng lên hệ như hình vẽ

 Hai lực gây mô men tại điểm P đó là: W1

và W2

 Lấy mô men tại P ta được:

Một lực F = 400 N tác dụng vào một mã gia cường với

một góc hợp với phương thẳng đứng 1 góc  = 300 như hình vẽ

Hãy xác định mô men của lực F gây ra tại điểm O

 Chọn chiều dương của mô men ngược chiều kim đồng hồ

và lấy mô men của hai lực F x và F y quanh điểm O ta được:

Lúc này ta có:

600(4.35) 2610

O

4 2 4(460) 2(386)2610

M  F  F  

 N.m

 Trượt lực F dọc theo đường tác dụng của nó về điểm B, sau

 Tương tự ta cũng trượt lực F dọc theo đường tác

dụng của nó về điểm C, sau đó phân tích lực F làm 2 thành

phần F x và F y , trong đó thành phần F x không gây ra mô

men tại O (vì F x qua O) Do đó mô men tại O sẽ là:

2 3.86(6.77) 2610

12

1.3 NGẪU LỰC

1.3.1 Khái niệm về ngẫu lực

Ngẫu lực là cặp lực song song trái chiều và có cùng

cường độ Trong hệ lực không gian ngẫu lực được quy ước

như một đại lượng véctơ và có các đặc trưng như sau:

 Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa các lực

 Chiều: Đứng từ đầu ngọn thấy ngẫu làm vật quay ngược

chiều kim đồng hồ

 Cường độ: M = d.F (d: khoảng cách giữa hai đường tác

dụng của hai lực ngẫu, F: giá trị của lực)

 Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft, kip.ft Hình 1.16: Minh họa ngẫu lực

1.3.2 Các tính chất của ngẫu lực

a Tính chất 1:

Mô men đối với điểm bất kỳ nào đó của cặp ngẫu lực luôn luôn

không đổi và bằng véctơ mô men của ngẫu lực

b Tính chất 2:

Véctơ mô men của ngẫu lực bằng véctơ mô men của lực thành

phần thứ nhất đối với điểm bất kỳ nào đó trên đường tác dụng của lực

thành phần thứ hai

Chứng minh:

Giả sử ta có cặp ngẫu ( ,F F)

 

có đường tác dụng đi qua A và B,

ta hãy tính mô men của cặp lực ngẫu với điểm O

c Tính chất 3: Hai ngẫu lực có véctơ mô men bằng nhau thì tương đương với nhau

Hình 1.18: Minh họa tính chất 3 của ngẫu lực

Sự chuẩn xác của nhận xét trên được minh chứng bởi hai tính chất sau:

 Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, có cùng chiều, và cùng giá trị thì tương đương nhau

 Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng hay đến mặt phẳng song song với chính nó

Từ đây ta có thể suy ra:

 Ngẫu lực là véctơ tự do

 Tác dụng của ngẫu sẽ không thay đổi nếu ta thực hiện các phép biến đổi mà không làm thay đổi phương chiều và cường độ của véctơ mô men

13

d Tính chất 4:

Hợp hai ngẫu lực được một ngẫu lực có véctơ mô men

bằng tổng các véctơ mô men của hai ngẫu lực đã cho

Ví dụ 1.6

Khối trụ chịu tác dụng của một ngẫu lực gồm hai lực

song song ngược chiều và có độ lớn 100 N (hình 1.20) Để

thay thế ngẫu lực này người ta tác dụng vào khối trụ hai

 Trên hình vẽ chúng ta thấy khoảng cách các cặp ngẫu lực

lần lượt là d 1 , d 2 , d 3 Chọn chiều dương ngược chiều kim đồng hồ,

chúng ta có:

Hình 1.20: Minh họa ví dụ 1.6

1 1 2 2 3 3-200(4) 450(3) - 300(5) -950 lb.ft

Toàn bộ lý thuyết của phần tĩnh học được xây dựng

trên 6 tiên đề dưới đây:

1.4.1 Tiên đề 1 (Hệ hai lực cân bằng)

Điều kiện cần và đủ để hai lực cân bằng là chúng có

cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, có cùng

Tác dụng của một lực sẽ không thay đổi khi ta thêm vào

hay bớt đi hai lực cân bằng Hình 1.22: Hình minh họa tiên đề 1

Có thể mở rộng cho hệ lực:

Tác dụng của hệ lực sẽ không thay đổi khi thêm hay bớt một hệ lực cân bằng

 Hệ quả 1: Khi ta trượt lực trên đường tác dụng của nó thì tác dụng của lực lên vật thể không thay đổi

14

Có thể chứng minh bằng cách; giả sử có lực F 

đạt A, trên đường tác dụng của nó tại B thêm hai lực trực đối là ( ', F F   '')

với điều kiện (F' F''F)

, theo tiên đề 2 ta có:

 '( ', '')

F  F F F  

Hình 1.23: Cách chứng minh hệ quả 1

Theo tiên đề 1, hai lực ( ,F F '')

là các lực cùng phương ngược chiều và cùng giá trị nên cân bằng và theo tiên đề hai ta có thể bớt khỏ hệ lực, như vậy hệ lực sẽ tương đương với F  '

đặt B hay nói cách khác đi

, thì lực đã cho sẽ tương đương với hệ ( ,F R 1 ')

và tất nhiên vẫn là hệt lực cân bằng và điều tất nhiên là F R  1 '

có nghĩa là ( ,F R1 ')

  trực đối với nhau, hệ quả được chứng minh

1.4.3 Tiên đề 3 (Hình bình hành lực)

Hai lực tác dụng lên một vật rắn tại cùng một điểm sẽ tương

đương với một lực đặt tại điểm chung đó và có giá trị phương và

chiều được biểu diễn bằng véctơ tổng hai véctơ biểu diễn hai lực

thành phần

R F F

(1.17)

Từ tiên đề 3 cho phép chúng ta tìm hợp lực của hệ gồm nhiều

lực có cùng điểm đặt, hoặc phân tích một lực đã cho thành hai hay

1.4.6 Tiên đề 6 (Giải phóng liên kết)

Vật rắn chịu liên kết cân bằng có thể xem là vật tự do cân bằng khi thay thế các liên kết bằng các lực liên kết, khi đó các lực tác dụng và các lực liên kết tác dụng lên vật rắn sẽ là hệ lực cân bằng

Hình 1.29: Giải phóng liên kết hệ vật rắn

Ví dụ 1.8

Một cái móc đinh vít chịu tác dụng của 2 lực F 1 và F 2 như

hình 1.30a Hãy xác định độ lớn và hướng của hợp lực tác dụng

lên đinh vít

Giải:

 Áp dụng tiên đề hình bình hành lực ta xác định được hợp

lực F R Cách xác định được thể hiện trên hình 1.30b

 Xác định F R bằng cách sử dụng định lý Cosin trong tam

giác, được thể hiện trên hình 1.30c

 Dựa vào tiên đề 3 ta xác định được hợp lực như hình 1.31b

 Áp dụng định lý Sin trong tam giác như hình 1.31c ta có:

200

245 lbsin 60 sin 45

17

Ví dụ 1.10

Hãy xác định góc  hợp bởi thanh A và tấm tôn như hình 1.32a để cho hợp lực F R của hai lực F A và F B

có phương nằm ngang và chiều hướng sang phải?

Hợp lực F R của hai lực hoạt động tác

dụng lên khúc gỗ có phương dọc theo trục x

và có độ lớn là 10 kN Hãy xác định góc  của

dây cáp mắc vào B để cho F B đạt giá trị nhỏ

nhất Độ lớn của lực ở mỗi dây cáp trong

b Vật rắn không tự do (hay còn gọi vật rắn chịu liên kết):

Là vật rắn mà chuyển động của nó theo hướng nào đó bị ngăn trở bởi một vật khác

Vật cản trở chuyển động đó gọi là vật gây liên kết

c Liên kết:

Những điều kiện cản trở di chuyển của vật khảo sát được gọi là những liên kết đặt lên vật ấy

1.5.2 Lực liên kết, lực hoạt động và phản lực liên kết

 Phản lực liên kết: Là lực tác dụng của vật liên kết lên vật rắn khảo sát

 Áp lực: Lực liên kết do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết

1.6 CÁC DẠNG LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT CỦA NÓ

1.6.1 Liên kết tựa

Mặt tiếp xúc nhẵn phản lực liên kết có phương trùng với

pháp tuyến chung của mặt tiếp xúc

Khi hai bề mặt nhám (có ma sát), phản lực liên kết có hai

 Khi dây không có trọng lượng (trọng lượng nhỏ), sức căng

theo trục của dây

 Khi dây có trọng lượng sức căng theo phương tiếp tuyến

của dây

1.6.3 Liên kết con lăn trên mặt phẳng nhẵn

Phản lực liên kết có phương vuông góc với mặt phẳng tựa Hình 1.35: Liên kết dây mềm

Hình 1.36: Liên kết con lăn

1.6.4 Liên kết khớp trụ trượt (bản lề trụ) và máng trượt nhẵn

Phản lực có phương pháp tuyến với phương dịch chuyển

Hình 1.37: Liên kết bản lề trụ và máng trượt

1.6.6 Liên kết gối tựa (gối cố định)

Nếu chốt không ma sát có phản lực chưa thể xác định phương

nên thường được phân tích thành hai thành phần

Nếu vật bị chốt cứng vào gối phản lực còn có mô men phản

1 Liên kết tựa trên mặt phẳng nhẵn

2 Liên kết tựa trên mặt phẳng gồ ghề

3 Con lăn chuyển động trên đường ray

Phản lực liên kết có phương vuông góc với mặt tựa tiếp xúc

Ngoài phản lực pháp tuyến còn có phản lực ma sát

Ngoài phản lực pháp tuyến còn có phản lực theo phương ngang để cho con lăn không trượt khỏi rãnh

Ngoài các phản lực còn có mô men phản lực

21

Chương 2

HỆ LỰC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

22

2.1 PHÂN LOẠI HỆ LỰC

Như đã biết: Hệ lực là hệ thống gồm các lực cùng tác dụng lên một vật thể Tùy thuộc vào đường tác dụng của các lực mà người ta phân ra các hệ lực như sau:

2.1.1 Hệ lực tổng quát (hệ lực không gian)

Là hệ lực có các lực phân bố trong không gian, bao gồm các

23

2.1.6 Hệ lực phân bố

Hệ lực phân bố là hệ lực song song và phân bố theo một quy

luật nào đó trên một đường hay mặt phẳng

Trong phần này chúng ta chỉ tìm hiểu về lực phân bố trên

một đường thẳng

Xét một dầm thẳng chịu tác dụng của hệ lực song song phân bố

như hình 2.6 theo quy luật:

( )

w   w x 

(2.1) Giá trị của lực phân bố cũng theo quy luật: Hình 2.6: Hệ lực phân bố

( )

( )

w  w x - gọi là cường độ của phân bố lực trên dầm theo chiều dài

Ta chỉ xét hàm w  w x ( ) đơn trị Để tìm véctơ chính và mô men chính cũng như hợp lực của hệ lực phân bố ta chia nhỏ dầm thành n đoạn Xét đoạn dầm  xi Hệ lực phân bố trên đoạn  xi xem như không đổi

và tương đương với lực:

,( )

 

với xi  xi,  x,i1 (2.3) Khi đó véctơ chính của hệ lực song song cùng chiều với F i



và có giá trị:

,

1( ).

R

1

,)

(

l dx x w R

0)

Ta nhận thấy rằng: Giá trị véctơ chính của hệ lực phân bố chính bằng diện tích của biểu đồ lực phân bố

và đây cũng chính là giá trị của hợp lực

Mô men của lực phân bố trên đoạn  xi với điểm O có thể tính bởi công thức:

( i) ( )

(2.7) Mômen chính của hệ lực đối với điểm O (đầu mút của dầm) sẽ là:

i

i i i n

M

0 1

)()

xdx x w R

M d

0

0

)(

)(

(2.9)

a Cường độ lực phân bố đều: [w(x) = w]

Hợp lực của hệ lực:

wL wdx R

24

Vậy hợp lực đặt ra tại điểm giữa của dầm, có trị số bằng diện tích của hình chữ nhật phân bố lực

b Cường độ lực phân bố hình tam giác: 

Hợp lực của hệ lực có giá trị:

20

L w dx L

x w R

l



Và khoảng các từ điểm đặt của hợp lực đến đầu dầm:

Hình 2.8: Hệ lực phân bố tam giác

w dx

L L

R  w (Diện tích của tam

giác phân bố lực), và cách đỉnh của tam giác phân bố lực một đoạn bằng 2

3

d L (qua trọng tâm của tam giác)

c Cường độ lực phân bố theo kiểu hình thang:

Trong trường hợp này ta có thể phân hệ lực thành hai hệ, một hệ có

cường độ phân bố không đổi, một hệ có cường độ phân bố theo hình tam

giác để tìm hợp lực của hai hệ này sau đó hợp lại

2.2.2 Mô men chính của hệ lực

Mô men chính của hệ lực M O đối với tâm O, là một véctơ bằng tổng hình học các véctơ mô men các lực đối với tâm O

Trọng lượng của các thành phần xe tải được

biểu diễn như hình vẽ Hãy xác định véctơ chính

Hệ lực tác dụng vào mái dàn như hình vẽ Hãy

xác định véctơ chính của hệ lực tác dụng vào mái dàn

6.35898.2

Trên hình 2.12, giới thiệu cách xác định hợp lực của một số hệ lực đơn giản 2 hoặc 3 lực bằng phương pháp hình học:

 Hình 2.12a mô tả cách hợp lực của hai lực cắt nhau tại một điểm, nếu hai lực không cùng điểm đặt, trượt lực để có cùng điểm đặt rồi thu gọn (hình 2.12b)

 Để thuận tiện người ta thường dùng phương pháp tam giác lực được trình bày trên hình 2.12c Theo phương pháp này, muốn tìm hợp lực của hệ lực cùng nằm trên mặt phẳng có đường tác dụng cắt nhau tại một điểm ta cứ lần lượt đặt gốc véctơ biểu diễn lực sau, lên ngọn của véctơ lực trước cho đến hết, véctơ nối gốc véctơ lực thứ nhất đến ngọn véctơ lực cuối cùng chính là hợp lực của hệ lực

Rx

F

030





030

Ry F

R F

26

 Trên hình 2.12d biểu diễn cách tìm hợp 3 lực cùng trên mặt phẳng

 Hình 2.12e giới thiệu cách tìm hợp lực của 2 lực song song trên cơ sở vận dụng tiên đề 2 và 3

 Thuận tiện:

 Hệ lực đơn giản (hệ lực là đồng quy, phẳng)

 Số lực thuộc hệ không nhiều

2.3.2 Phương pháp dời lực song song

Thu gọn hệ lực bằng phương pháp hình học gặp khá nhiều khó khăn, nên cần có một phương pháp khác thuận tiện hơn, để có thể giải được các bài toán thu gọn hệ lực phức tạp Đó là phương pháp dời lực song song dựa trên cơ sở định lý dời lực song song

a Định lý:

Lực  F

đặt tại A tương đương với chính nó đặt tại B và ngẫu lực có mô men bằng mô men của lực F 

đối với điểm B

Định lý được chứng minh nhờ vận dụng tiên

đề 2 Cách chứng minh được mô tả trên hình 2.13

Nếu tại B thêm cặp lực trực đối F 

đối với B

Hình 2.13: Minh họa định lý dời lực song song

(F A,F B )M  m B(F A)

đặt trong không gian, hãy thu gọn hệ lực về tâm O

Để thu gọn hệ lực này, trước hết ta thu gọn từng lực về tâm O, nhờ định lý dời lực song song

 Hệ lực không gian thu gọn về một điểm sẽ tương đương với một véctơ chính và một mô men chính

 Véctơ chính bằng tổng véctơ các lực thuộc hệ

 Mô men chính bằng tổng véctơ các ngẫu tập trung và các véctơ mô men của các lực thuộc hệ đối với tâm thu gọn

 Thêm trường hợp tổng quát

Hình 2.15: Minh họa thu gọn hệ lực tổng quát về một điểm

Tương tự như trên ta có:

 Véctơ chính bằng tổng véctơ các lực thuộc hệ

 Mô men chính bằng tổng véctơ các ngẫu tập trung và các véctơ mô men của các lực thuộc hệ đối với tâm thu gọn

Ví dụ 2.3

Một lực có giá trị 40 lb tác dụng vào đầu tay quay của cơ cấu điều khiển trục quay OB, xem hình 2.16

Hãy cho biết tác dụng của lực lên trục tại điểm O

29

Áp dụng định lý dời lực song song ta dời lực tác dụng tại A về điểm đặt O (hình 2.16a) Để tương đương với lực đặt tại A ngoài lực  F

dời về O, ta phải thêm vào ngẫu lực M 

bằng mô men của lực đặt tại A (ký hiệu F A

) Ngẫu này có thể xác định bởi công thức:

Véctơ ngẫu vuông góc với mặt phẳng chứa lực và đoạn OA nên nằm trên mặt phẳng Oyz và hợp với

chiều dương của trục Oz một góc θ bằng:

Thay thế hệ thống lực trên dầm bằng một lực và một ngẫu

lực tương đương đặt tại A

F

Ry F R

F

A



quay cùng chiều kim đồng hồ

2.4 CÁC ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN VÀ BIẾN THIÊN KHI THU GỌN HỆ LỰC VỀ MỘT ĐIỂM

Khi thu gọn hệ lực về một điểm tồn tại các lượng bất biến với mọi tâm thu gọn đó là véctơ chính '

R const



và tích vô hướng giữa véctơ chính và mô men chính R M ' O const

Còn véctơ mô men chính thì biến đổi với tâm thu gọn

2.4.1 Các đại lượng biến thiên

Mô men chính biến thiên đối với các tâm thu gọn và lượng biến thiên đó được thể hiện qua định lý sau đây:

31

( ) ( )

2.4.2 Các đại lượng bất biến

a Đại lượng bất biến thứ nhất:

Khi thu gọn hệ lực về một điểm, véctơ chính luôn là véctơ không đổi về phương, chiều và cường độ (lưu ý điểm đặt của véctơ chính phụ thuộc tâm thu gọn)

'

R  const



b Đại lượng bất biến thứ hai:

Trong phép thu gọn hệ lực, tích vô hướng giữa mô men chính và véctơ chính luôn là hằng số

Giả sử khi thu gọn về tâm O hệ lực có ( ',R M O)

và khi thu gọn hệ lực về tâm O1 hệ lực sẽ tương đương với ( ',R M O1)

Áp dụng định lý biến thiên của mô men chính với tâm O1 và tâm O, ta có:

nên có thể viết: mO1( ')R (MOmO1( ')) 'R R mO1( ') ' R R

Hình 2.19

32

2.5.1 Hệ lực có hợp lực

,00

với véctơ lực  R

có phương chiều giá trị giống R,

, và d = M o /R’, khi đó hệ lực sẽ tương đương với

đặt tại O1, điều đó có nghĩa là M O1 0

, định lý biến thiên mô men chính với hai tâm thu gọn O1 và O có thể viết:

 Vị trí của hợp lực: Vì đây là hệ lực phẳng nên hệ lực có hợp lực Do đó ta áp dụng định lý Varginons

và chọn chiều dương mô men ngược kim đồng hồ như sau:

Một dầm công xôn chịu một lực phân bố như hình vẽ

Hãy xác định độ lớn và vị trí hợp lực của lực phân bố này

(hình 2.22a)

Giải:

 Nhìn vào hình vẽ ta thấy: đây là hệ lực phân bố theo

dang hình thang Do vậy ta chia hệ lực phân bố này làm 2

dạng là phân bố đều và phân bố tam giác Sau đó đưa chúng về

(9)(50) 450 lb

F F

1(9) 4.5 ft2

 

 Ta cũng có thể giải theo cách thứ 2 bằng việc chia hệ

lực phân bố hình thang thành 2 hệ lực phân bố tam giác như

hình 2.22d Tại đây ta cũng đi tính độ lớn và vị trí của lực

phân bố này

 Độ lớn và vị trí:

Hình 2.22: Minh họa ví dụ 2.7

34

3

4

1(9)(100) 450 lb2

1(9)(50) 225 lb2

1

9 (9) 6 ft3

x x

 Phân tích hệ lực phân bố hình thang

thành hai dạng: 1 dạng là phân bố đều và một

dạng là phân bố tam giác

Một cần trục được cấp 3 lực có độ lớn 60 lb, 250 lb và 175 lb Hãy thay thế hệ lực này bằng một hợp lực

và cho biết phương chiều và vị trí phương của hợp lực nằm trên AB và BC

 Vị trí của hợp lực: Vì đây là hệ lực phẳng nên hệ lực có hợp lực Do đó ta áp dụng định lý Varginons

và chọn chiều dương mô men ngược kim đồng hồ như sau:

- Vị trí phương của hợp lực nằm trên AB

- Áp dụng định lý Varginons và chọn chiều dương mô

d d

- Lúc này vị trí của R có thể là A hoặc B nhưng vì R x và R y đều dương nên A là vị trí cần chọn

- Vị trí của R cắt trục x có thể được xác định như sau:

36

140 50(5) 60 cos 45 (4) 60sin 45 (7)1.79 m

y

R b b

Một phiến đá bị tác dụng bởi 4 lực song

song Hãy xác định độ lớn, hướng và vị trí

của hợp lực tác dụng vào phiến đá trên

 Hướng của hợp lực đi xuống (ngược

hướng với hướng của trục z)

y y

Ta cũng có thể thay thế M2(R,,R,)

, với d = M 2 /R’ (hình 2.27c) Có thể giản ước được hệ

lực chỉ còn tương đương với hệ (M 1, (R,))

38

Chương 3

ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC

39

3.1 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN

3.1.1 Trường hợp tổng quát

Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian (hệ lực tổng quát) cân

bằng là véctơ chính bằng 0, mô men chính của hệ lực với điểm bất kỳ

Vì hệ lực đồng quy luôn luôn có hợp lực, vì vậy khi hợp lực triệt

tiêu, theo định lý Varginons mô men chính đương nhiên triệt tiêu

Nên phương trình cân bằng của nó có dạng:

y iy i n

z iz i

3.1.3 Trường hợp hệ lực song song

Đối với hệ lực song song, khi ta chọn hệ tọa độ có một trục song

song với đường tác dụng của các lực thì hình chiếu của các lực trên

các trục còn lại và mô men của các lực đối với trục song song với các

đường tác dụng của lực đương nhiên bằng 0 Nên phương trình cân

bằng của hệ lực song song sẽ có dạng:

n

x ix i n

y y i i n

z z

i i

Giả sử hệ lực có các lực cắt trục x, khi đó mô men của các lực với

trục x đương nhiên bằng 0 nên phương trình cân bằng sẽ có dạng: