biến cố và xác suất XSTK

Khái niệm phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên gọi tắt là phép thử là một thí nghiệm hay một hành động mà: - Kết quả của nó không đoán trước được; - Có thể xác định được tập hợp

Chương 1

Nội dung chính:

1 Một số kiến thức về giải tích tổ hợp

2 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

3 Mối quan hệ giữa các biến cố

4 Xác suất của biến cố

5 Các công thức tính xác suất

2 Quy tắc nhân

𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘

Công đoạn 𝐴1 có thể thực hiện theo 𝑛1 cách,

Công đoạn 𝐴2 có thể thực hiện theo 𝑛2 cách,

Công đoạn 𝐴𝑘 có thể thực hiện theo 𝑛𝑘 cách

Số cách có thể để thực hiện công việc đó là:

𝒏𝟏 × 𝒏𝟐× … × 𝒏𝒌

4 Chỉnh hợp

Cho tập 𝐴 có 𝒏 phần tử và số nguyên 𝒌 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) Khi lấy ra 𝑘 phần tử của 𝐴 và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập 𝑘 của 𝑛 phần tử của

5 Tổ hợp

Cho tập 𝐴 có 𝒏 phần tử và số nguyên 𝒌 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) Mỗi tập con của 𝐴 có 𝑘 phần tử được gọi là một tổ hợp

chập 𝑘 của 𝑛 phần tử của 𝐴 (gọi tắt là một tổ hợp chập 𝑘

𝒏 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟐 … (𝒏 − 𝒌 + 𝟏)

𝒌!

Ví dụ 1: Một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi vàng Có bao nhiêu cách lấy từ hộp:

a) 2 bi đỏ

b) 4 bi trong đó có nhiều nhất 2 bi đỏ

Đ/s: a) 10 b) 265

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách để lập ra một nhóm có 4 người từ nhóm có 15 người để đi làm một công việc

Ví dụ 3: Cho 5 chữ số {1, 2, 3, 4, 5} có bao nhiêu cách lập một số:

a) Có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số trên b) Có 3 chữ số từ các chữ số trên

§2 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

1 Khái niệm phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí

nghiệm hay một hành động mà:

- Kết quả của nó không đoán trước được;

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử được

gọi là không gian mẫu của phép thử, kí hiệu Ω -ômêga

(hoặc U)

2 Biến cố

Khi thực hiện phép thử T có thể xảy ra nhiều hiện tượng khác nhau Ta gọi các hiện tượng đó là biến cố hay kết cục của phép thử T

Định nghĩa:

• Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà

việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T

• Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được

gọi là một kết quả thuận lợi cho A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là 𝜴𝑨

Các biến cố thường được kí hiệu như sau:

- Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử, kí hiệu là Ω (hoặc 𝑈)

- Biến cố không thể có: Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử, kí hiệu là ∅ (hoặc 𝑉)

- Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử, thường được

kí hiệu bởi các chữ cái in hoa, chẳng hạn: A, B, C, , A1, A2, , An, B1, B2, , Bm,

Ví dụ 1: Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ – đây là một phép thử

- “Lấy được 2 viên bi xanh” – đây là một biến cố

- “Lấy được hai viên bi khác màu” – đây cũng là một biến cố

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc – đây là một phép thử

- “Xuất hiện mặt hai chấm ở mặt trên của con xúc

§3 Mối quan hệ giữa các biến cố

1 Sự kéo theo

Nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B cũng xảy ra, khi đó ta

nói rằng A kéo theo B, kí hiệu 𝑨 ⊂ 𝑩 hay 𝐵 ⊃ 𝐴

2 Sự tương đương

Nếu A kéo theo B và B cũng kéo theo A, thì ta nói rằng A

và B là hai biến cố tương đương, kí hiệu: 𝑨 = 𝑩

3 Biến cố tổng (hay hợp)

Cho hai biến cố 𝐴 và 𝐵 Biến cố “ít nhất một trong hai biến cố xảy ra” (𝐴 hoặc 𝐵 xảy ra), kí hiệu 𝑨 ∪ 𝑩, được gọi là tổng (hay hợp) của hai biến cố 𝐴, 𝐵

Biến cố tổng A∪B

4 Biến cố tích (hay giao)

Cho hai biến cố 𝐴 và 𝐵 Biến cố “ 𝐴 và 𝐵 xảy ra”, kí hiệu là 𝑨𝑩 (hay 𝑨 ∩ 𝑩), được gọi là tích (hay giao) của hai biến cố 𝐴 và 𝐵

Biến cố tích AB

Chú ý: Khái niệm tổng và tích của các biến cố có thể được mở rộng cho nhiều hơn hai biến cố

𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐 ∪ ⋯ ∪ 𝑨𝒏 = “ít nhất một trong các biến cố

𝑨𝟏, 𝑨𝟐, , 𝑨𝒏 xảy ra”

𝑨𝟏𝑨𝟐 … 𝑨𝒏 = “Các biến cố 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, … , 𝑨𝒏cùng xảy ra”

Hai biến cố xung khắc AB = ∅

Chú ý: Tổng của hai biến cố xung khắc 𝐴 và 𝐵 thường được kí hiệu dạng 𝐴 + 𝐵 (thay vì 𝐴 ∪ 𝐵)

6 Biến cố đối

Cho 𝐴 là một biến cố Biến cố “không xảy ra 𝑨”,

kí hiệu là 𝑨, được gọi là biến cố đối của A

Hai biến cố đối nhau A và 𝑨

Ví dụ 2: Hai xạ thủ, mỗi người bắn 1 viên đạn vào bia Gọi 𝑨𝒊 = “Xạ thủ 𝒊 bắn trúng bia”, 𝒊 = 1, 2

Biểu diễn các biến cố sau qua A1 và A2

a) Xạ thủ thứ nhất bắn trúng và xạ thủ thứ hai bắn trượt b) Cả hai xạ thủ cùng bắn trượt

c) Có ít nhất một người bắn trúng

d) Nhóm đầy đủ các biến cố

§4 Xác suất của biến cố

1 Xác suất của biến cố

Xác suất của biến cố A là một số không âm, nhỏ hơn hoặc bằng 1, kí hiệu là 𝐏 𝐀 (P – Probability),

đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của biến cố A khi thực hiện phép thử

2 Định nghĩa cổ điển của xác suất

hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu

hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A, kí

Ví dụ 1: Giả sử một gia đình có 3 con Khi đó xác suất

để gia đình đó có 2 con trai và 1 con gái là bao nhiêu?

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3, xác suất xuất hiện mặt có số chấm chẵn

Ví dụ 3: Một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi vàng Lấy ngẫu nhiên

từ hộp 4 bi Tính xác suất để trong đó có nhiều nhất 2

bi đỏ

3 Định nghĩa thống kê của xác suất

Tiến hành lặp đi lặp lại n lần phép thử T, có m lần xuất hiện biến cố A

𝒇 𝑨 = 𝒎

𝒏 − tần suất xuất hiện A

Khi n lớn thì:

𝑷(𝑨) ≈ 𝒇(𝑨)

Ví dụ 4: Buffon – nhà toán học người Pháp thế kỉ XVIII

4 Định nghĩa hình học của xác suất

Coi các kết cục đồng khả năng của một phép thử có thể biểu diễn bằng một hình hình học H nào đó, các kết cục thuận lợi cho biến cố A được biểu diễn bằng hình G ⊂ H và:

độ đo miền 𝑯

Độ đo có thể là số đo biểu thị độ dài, diện tích, thể tích

Ví dụ 5: Hai người bạn hẹn nhau tại một địa điểm nào đấy

trong khoảng thời gian từ 12 giờ - 13 giờ Mỗi người có thể đến điểm hẹn một cách ngẫu nhiên và họ qui ước rằng

ai đến trước sẽ chờ người đến sau không quá 15 phút Tìm

xác suất để hai người đó gặp nhau

Vào những năm 30 của thế kỉ 20, nhà toán học Kolmogorov người Nga đã xây dựng hệ tiên đề làm cơ sở cho việc định nghĩa một cách hoàn chỉnh khái niệm xác suất về mặt lí thuyết Ông là người xây dựng nền tảng cho

lí thuyết xác suất hiện đại

Andrei Nikolaievitch Kolmogorov (1903-1987)

5 Nguyên lí xác suất lớn và nguyên lí xác suất nhỏ

- Nguyên lí xác suất lớn: Một biến cố có xác suất rất lớn (gần bằng 1) thì có thể cho rằng trong thực

tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử

- Nguyên lí xác suất nhỏ: Một biến cố có xác suất rất nhỏ (gần bằng 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ra khi thực hiện phép thử

Ví dụ 1: Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh

tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12% và mắc cả hai bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó Tính xác suất để người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp

Định lí (công thức cộng xác suất tổng quát):

+ 𝑷 𝑨𝒊𝑨𝒋𝑨𝒌𝒊<𝒋<𝒌

2 Công thức nhân xác suất

a) Xác suất có điều kiện

Định nghĩa: Xác suất của biến cố 𝐴 được tính trong điều kiện biến cố 𝐵 đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của 𝐴 với điều kiện 𝐵,kí hiệu: 𝑷 𝑨 𝑩

Ví dụ 2: Giả sử trong một vùng dân cư gồm 𝑵 người

trong đó có 𝒏 đàn ông và 𝒎 phụ nữ (𝑵 = 𝒏 + 𝒎)

Trong 𝒏 đàn ông có 𝒌 người bị cận thị và trong 𝒎 phụ

nữ có 𝒍 người bị cận thị

Chọn ngẫu nhiên một người Tính xác suất để người

đó bị cận thị nếu biết rằng người đó là một phụ nữ

Ta có:

𝑷 𝑨 𝑩 = 𝑷 𝑨𝑩

𝑷(𝑩) nếu 𝑃 𝐵 > 0

Ví dụ 3: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất a) Tính xác suất để được hai mặt có tổng số chấm không

nhỏ hơn 10

b) Tính xác suất để được hai mặt có tổng số chấm không

nhỏ hơn 10 biết rằng ít nhất 1 con đã ra nốt 5 chấm

Nhận xét: +) 𝟎 ≤ 𝑷 𝑨 𝑩 ≤ 𝟏;

+) 𝑷 𝑨 𝑨 = 𝟏;

+) 𝑷 𝑨 + 𝑩 𝑪 = 𝑷 𝑨 𝑪 + 𝑷 𝑩 𝑪 , 𝑨𝑩 = ∅; +) 𝑷 𝑨 𝑩 = 𝟏 − 𝑷 𝑨 𝑩

Định lí: Với A và B là hai biến cố bất kì, ta có:

Ví dụ 3: Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài giống hệt nhau trong đó chỉ có hai chiếc

mở được cửa kho

Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào không trúng thì bỏ ra) Tìm xác suất để anh ta mở được ở lần thử thứ ba

b) Sự độc lập giữa các biến cố

Định nghĩa: Hai biến cố 𝐴 và 𝐵 được gọi là độc lập

hay không của biến cố này không ảnh hưởng tới xác

suất xảy ra biến cố kia)

Ví dụ 4: Hai xạ thủ, mỗi người bắn 1 viên đạn vào bia Khi đó 2 biến cố “người thứ nhất bắn trúng bia” và

Định lí: Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi

Nhận xét: Nếu hai biến cố 𝐴 và 𝐵 độc lập thì các cặp biến cố sau cũng độc lập: 𝐴 và 𝐵 , 𝐴 và 𝐵, 𝐴 và 𝐵

𝑷 𝑨𝑩 = 𝑷 𝑨 𝑷 𝑩

Ví dụ 5: Một công ty có 2 ôtô hoạt động độc lập Xác suất để mỗi ôtô bị hỏng trong ngày tương ứng là 0,2; 0,1 Tính xác suất để trong một ngày có:

a) Đúng một ôtô bị hỏng

b) Có ít nhất một ôtô bị hỏng

Ví dụ 6: Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư vào các dự

án I, II tương ứng là 9%, 7% và gặp rủi ro đồng thời khi đầu tư cả hai dự án là 4% Nếu đầu tư cả hai dự án, tính xác suất để:

a) Ít nhất một dự án gặp rủi ro

b) Chỉ dự án I gặp rủi ro

Định nghĩa: Các biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 được gọi là độc

lập từng đôi nếu mỗi cặp hai trong n biến cố đó độc lập

với nhau

Định nghĩa: Các biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 được gọi là độc lập với nhau (hay độc lập toàn phần) nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi nhóm biến cố tùy ý trong các biến

cố đã cho không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại

Định lí: Các biến cố 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, … , 𝑨𝒏 độc lập toàn phần khi và chỉ khi

𝑷 𝑨𝟏𝑨𝟐 … 𝑨𝒏 = 𝑷 𝑨𝟏 𝑷 𝑨𝟐 … 𝑷(𝑨𝒏)

Nhận xét: Các biến cố độc lập toàn phần ⟹ độc lập từng đôi, điều ngược lại nói chung không đúng

Ví dụ 7: Một hộp chứa 100 bóng đèn sợi đốt, trong đó có:

5 đèn hỏng cả dây tóc, cả bóng và cả đui đèn; 20 đèn hỏng

dây tóc và bóng; 20 đèn hỏng dây tóc và đui; 20 đèn hỏng bóng và đui; 5 đèn chỉ hỏng bóng; 5 đèn chỉ hỏng dây tóc;

5 đèn chỉ hỏng đui Lấy ngẫu nhiên 1 bóng

Gọi A = “lấy được đèn hỏng bóng”

Các biến cố A, B, C độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn phần

3 Công thức Becnulli (Bernoulli)

Dãy n phép thử Becnulli là dãy n phép thử thoả mãn

các điều kiện sau:

i) Các phép thử độc lập với nhau;

ii) Mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố 𝐴 hoặc 𝐴 xuất hiện;

iii) 𝑃 𝐴 = 𝑝 như nhau trong mọi phép thử

𝑷𝒌 𝒏; 𝒑 = 𝑪𝒏𝒌𝒑𝒌(𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌; 𝒌 = 𝟎, 𝟏, … , 𝒏

Ví dụ 8: Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của máy là 0,01

a) Cho máy xản suất 10 sản phẩm Tính xác suất có 2 phế phẩm; có ít hơn 3 phế phẩm

b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm trên 0,99

4 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayet

Giả sử 𝐻1, 𝐻2, … , 𝐻𝑛 lập nên một nhóm đầy đủ các

biến cố và 𝐴 là biến cố xảy ra đồng thời với một trong các biến cố đó Khi đó, ta có các công thức sau:

Công thức xác suất đầy đủ:

… + 𝑷 𝑯𝒏 𝑷 𝑨 𝑯𝒏

Công thức Bayet (Bayes):

Công thức Bayes, mang tên của linh mục và nhà toán học người Anh Thomas Bayes

Thomas Bayes (1702-1761)

𝒏 𝒊=𝟏

; 𝒋 = 𝟏, 𝒏

Ví dụ 9: Có 2 hộp sản phẩm, hộp thứ nhất có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm; hộp thứ hai có 12 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm để kiểm tra, nếu toàn chính phẩm thì mua hộp đó

a) Tính xác suất hộp sản phẩm được mua

b) Nếu biết rằng khách hàng này đã mua hộp sản phẩm thì khả năng khách hàng mua hộp nào lớn hơn?

?

Ví dụ 10: Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều, tối, trong đó 40% sản phẩm được sản xuất ở ca sáng; 40% sản phẩm sản xuất ở ca chiều; 20% sản phẩm được sản xuất ở ca tối Tỉ lệ phế phẩm trong các ca tương ứng là: 5%, 7%, 10% Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra

a) Tính xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm

b) Nếu sản phẩm được kiểm tra là phế phẩm, tính xác

suất sản phẩm đó của: ca sáng, ca chiều, ca tối

Ví dụ 11: Có 2 lô sản phẩm, lô thứ nhất có tỷ lệ chính phẩm là 3

4, còn lô thứ hai có tỷ lệ chính phẩm là 23 Lấy ngẫu nhiên một lô và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm

a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm?

b) Biết rằng sản phẩm lấy ra là chính phẩm, bỏ sản phẩm

trở lại lô rồi từ lô đó lấy tiếp một sản phẩm Tính xác suất để lần thứ hai cũng lấy được chính phẩm

Hiệp sĩ de Méré, là nhà văn và nhà triết học người Pháp, là một nhân vật lịch sử thích đánh bạc Ông ta hay chơi xúc sắc, và nhận thấy rằng trong 2 biến cố sau:

thì B ít xảy ra hơn Tuy nhiên ông không giải thích được tại sao Theo ông ta thì đáng nhẽ hai sự kiện đó phải có khả năng xảy ra

“từ bỏ toán”, nhưng có nhận lời suy nghĩ về câu hỏi của de

(1601-1665), một luật sư đồng thời là nhà toán học ở vùng

Toulouse (Pháp) Hai người cùng nhau phát minh ra lí thuyết

xác suất cổ điển, và giải được bài toán của de Méré

A = “Tung một con xúc sắc 4 lần, có ít nhất 1 lần

được 3 chấm”

B = “Tung một đôi xúc sắc 24 lần, có ít nhất 1 lần

được một đôi 3 chấm”