chương 1 biến cố và xác suất của biến cố

Trang 1

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tơn Thất Tú

Chương 1 BIẾN CĨ VÀ XÁC SUÁT CỦA BIEN CO Bail: KIEN THUC VE GIẢI TÍCH TƠ HỢP - Số cách chọn k phần tử (khác nhau và khơng thứ tự) trong tập n phần tử: ! i n! C, = kl(n—k)! - Số cách chọn k phần tử (khác nhau và cĩ thứ tự) trong tập n phần tử: k n! A*=— " (m—k)! - Số hốn vị của l tập n phan tử: P =n! - Quy tac cộng: Quá trình M cĩ m phương án khác nhau đề thực hiện: + Phương án l: cĩ n, cách thực hiện + Phương án 2: cĩ 0, cách thực hiện te + Phương án m: cĩ n,, cach thực hiện Số cách thực hiện quá trình M là: n, +n, + +7n,

- Quy tắc nhân: Quá trình M được thực hiện qua m giai đoạn liên tiếp: + Giai đoạn 1: c6 n, cach thực hiện

+ Giai đoạn 2: cĩ ø, cách thực hiện

Trang 2

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tơn Thất Tú a) Các chữ số khác nhau b) Ít nhất 2 chữ số giống nhau c)_ Cĩ đúng 3 chữ số giống nhau DS: a) A>, b)l0-—A) c) C,,C2.9° Ví du 3: Cĩ 10 khách lên ngẫu nhiên 3 toa tàu Mỗi khách chỉ lên 1 toa và mỗi toa đều chứa được 10 khách Hỏi:

a) cĩ tất cả bao nhiêu cách đề lên

b) cĩ tất cả bao nhiêu cách lên đề toa 1 cĩ 4 khách e) cĩ tất cả bao nhiêu cách lên đề cĩ 2 toa cĩ 3 khách

Sc về :

I0“?

ĐS: )3” 8)GL2 ` ace

Bài 2: KHÁI NIỆM VẺ XÁC SUÁT

1 Khơng gian các biến cơ sơ cấp

1.1 Phép thử ngẫu nhiên

- Phép thư là việc thực hiện một nhĩm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đĩ xảy ra hay khơng

- Phép thử ngâu nhiên là thuật ngữ dùng đề chỉ những phép thử nghiệm mà ta cĩ thê tiễn hành lặp lại nhiều lần trong những điều kiện hồn tồn như nhau nhưng

kết quả của mỗi phép thử thì ta khơng thê đốn trước được

Ví dụ Ï:

+ Gieo một con xúc xắc, một đồng xu là các phép thử ngẫu nhiên vì mặt nào sẽ xuất hiện là điều ta khơng thê đốn được

+ Rút ngẫu nhiên 1 quân bài từ bộ bài gom 52 quân bài + Ðo chiều cao của một người gặp ngẫu nhiên trên đường

+ Kiểm tra lượng xăng bán ra ở một trạm xăng vào 2 ngày cuối tuần

1.2 Biến cơ ngẫu nhiên và khơng gian biến cỗ sơ cấp

- Biến cố ngau nhiên là thuật ngữ chỉ những sự vật, sự việc, hiện tượng cĩ thể xảy ra hay khơng xảy ra trong phép thử ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi các chữ cái In hoa như A B

Trang 3

- Khi các kết quả nào đĩ xảy ra kéo theo sự xảy ra của biến cĩ A thì ta bảo đĩ

là các kết quả thuận lợi cho biễn cơ A Số kết quả thuận lợi cho biến cĩ A kí hiệu là n(A)

- Mỗi biến cĩ A được xem là xảy ra nếu cĩ ít nhất I kết quả thuận lợi xảy ra Lưu ý: Mơi biến cĩ được xem như đồng nhất với tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi của nĩ

Ví dụ 2: Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi A là biến cơ "xuất hiện mặt cĩ số chăn chấm" Khi đĩ các kết cục “xuất hiện mặt 2 chấm, 4 chấm, 6 chấm” là các kết cục thuận lợi cho biến cĩ A và n(A)=3

- Tập tất cả các kết quả xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên được gọi là

khơng gian các biến cơ sơ cấp hay khơng gian mâu và kí hiệu là © Mỗi phần tử œc © được gọi là một biến cố sơ cấp Mỗi tập con A của khơng gian mẫu © được gọi là một biến cĩ

Ví dụ 3:

+ Xét phép thử gieo 1 đồng xu 2 lần liên tiếp Gọi A là biến cĩ “số lần xuất

hiện mặt sap bang số lần xuất hiện mặt ngửa” Lúc đĩ: Q={SS,SN,NS,NN} va

A={SN,NS}

+ Xét phép thu gieo déng thoi 2 con xtic xac Goi B 1a bién cơ “tơng sơ châm 0s

xuất hiện băng 8” Lúc đĩ: @={Œ j).1<¡ j<6} và 8={(2.6).(3.5).(4.4).(5.3).(6.2)} + Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên từ 1 đến 10 Gọi C là biến cĩ chọn được số

nguyên tố Lúc đĩ: @= {1.2 10} và C= {2.3.5.7}

Các biến cĩ đặc biệt:

- Biến cĩ chắc chắn kí hiệu © là biến cĩ luơn xảy ra khi thực hiện phép thử - Biến cĩ khơng thể kí hiệu Ø là biên cơ nhất định khơng xảy ra khi thực hiện

phép thử

Ví dụ 4: Gieo ngẫu nhiên 1 lần 2 con xúc xắc Biến cơ "tơng số chấm xuất hiện ở 2 con xúc xăc lớn hơn L2" là biên cơ khơng thê Tuy nhiên hiện tượng "tơng sơ

Trang 4

cham xuất hiện ở 2 con xúc xắc lớn hơn I" luơn xảy ra, hay nĩi cách khác, nĩ là

biến cĩ chắc chăn

1.3 Mối quan hệ giữa các biến cỗ

- Quan hệ bao hàm (kéo theo): Biến cĩ A được gọi là kéo theo biến cĩ B (kí hiệu Ac Ø) nếu sự xảy ra của A kéo theo sự xảy ra của B

- Quan hệ băng nhau: Hai biến cĩ A và B được gọi là bảng nhau nếu Ac B và

BEA

- Quan hệ xung khắc: Hai biến cĩ A và B được gọi là xưng khắc với nhau nêu hai biến cố này khơng thê xuất hiện đồng thời

1.4 Các pháp tốn trên biến cố

- Biến cơ tổng : Tổng (hop) cua hai bién co A va B (ki hiéu AUB) 1a bién c6 mà nĩ xảy ra khi ít nhất một trong hai biên cĩ A và B xảy ra

- Biển cĩ tích: Tích (giao) cua hai biến cố A và B (ki hiệu An hay A8) là

biến cơ mà nĩ xảy ra khi đồng thời cả hai biến cĩ A và B xảy ra

- Biến cĩ hiệu: Hiệu của hai biến cĩ A và B (kí hiệu A\v8) là biến cố mà nĩ

xảy ra khi biến cơ A xảy ra và B khơng xảy ra

- Biến cĩ đối của biến cơ A là biến cĩ, kí hiệu A sao cho trong mỗi phép thử xảy ra một trong hai biến cĩ A hay 4 nhưng chúng khơng thê đồng thời xảy ra

Nhận xét:

- Nếu A là biến cĩ đối của B thì B cũng là biến cĩ đối của A

- Hai biến cĩ đối nhau thì xung khắc nhưng điều ngược lại nĩi chung là khơng

đúng

- A=Q\A

- A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu A¬=Ø

Ví dụ 5: Gieo mot đồng xu Lúc đĩ hai biến cố "xuất hiện mặt sap" và "xuất hiện mặt ngửa" là xung khắc nhau và là biến cĩ đối của nhau

Vi du 6: Gieo 1 con xúc xắc Gọi A B là các biến cố: “số chấm xuất hiện là 2

và Š” tương ứng Khi đĩ A và B xung khăc với nhau nhưng AB

Trang 5

Ví dụ 7: Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc xắc Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện là số lẻ”, B là biến cĩ “tơng số châm xuất hiện >6” Khi đĩ:

AB: là biến cĩ “tổng số chấm bằng 7, 9 hoặc II” AUB: là biến cĩ “tổng số chấm lẻ hoặc >6” A\øØ: là biến cĩ “tổng số chấm bang 3 hoặc 5”

B\A: là biến cố “tổng số cham bằng 6, 8, 10 hoặc 12”

Ví dụ §: Cĩ 2 xạ thủ mỗi người bắn l viên đạn vào mục tiêu Gọi A và B

tương ứng là các biến cố: “người thứ nhất và thứ hai bắn trúng mục tiêu” tương

ứnø Khi đĩ ta cĩ biêu điện các biên cơ như Sau: 0s

- C6 dan tring dich: AUB

- _ Cĩ đúng | vién dan tring dich: ABU AB - _ Chỉ cĩ người thứ nhất bắn trúng: Aø - _ Cĩ nhiều nhất một viên đạn tring dich: AB UABUAB, AB, AUB Nhận xét: Ta cĩ luật De-Morgan về phủ định: UA, =NA,; NA, =UA, 2 Xác suất

2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển

Xét biến cố A trong khơng gian Q Giả sử phép thử cĩ n(©) kết cục đồng khả năng, trong đĩ cĩ m(A) kết cục thuận lợi cho biến cĩ A Lúc đĩ xác suất của biến cố

A kí hiệu P(A) được định nghĩa bằng cơng thức: _ H(A) P(A)= ‘ n(Q) Từ định nghĩa, ta cĩ tính chất cơ bản sau: (1) P(@)=0, P(Q)=1

(ii) 0< P(A)<1 với mọi biến cơ A

Ví dụ I: Trong một hộp cĩ 6 bi đen và 4 bi trăng Lấy ngẫu nhiên một viên Tìm xác suât lây được viên bi trang

Trang 6

Bài giảng: Xác suất và Thơng kê GV: Tơn Thất Tú Gia: Gọi A là biến cĩ: " lấy được viên bi trắng" Số kết cục đồng khả năng: n(O) =C|, =10 Số kết cục thuận lợi cho A: ø(A)=C†| =4 Vậy xác suất cần tìm: _— H(A) _ 4 P(A = (A) nm(Q) 10 4 = Ví dụ 2: Cĩ 25 hành khách lên ngẫu nhiên 5 toa tàu Tính xác suất đề toa thứ nhất cĩ đúng 4 khách Gọi A: "toa thứ nhất cĩ đúng 4 khách" Số kết cục đồng khả năng: n(Q) =5” Số kết cục thuận lợi cho A: n(4)= Cee Xác suất cần tìm: _ m(A) _ C;x4” n(@) 5” A)

Ví dụ 3: Một chiếc lồng nuơi các con chuột trong đĩ cĩ đúng 2 con chuột

trăng Người ta chọn ngẫu nhiên 4 con chuột từ chiếc lồng đĩ Hỏi trong lồng cĩ bao nhiêu con chuột ? Biết rằng xác suất chọn được 2 con chuột trắng bằng 2 lần xác suất chúng khơng được chọn

GIải:

Gọi ø là số chuột cĩ trong chiếc lơng (a>4), A là biến cơ trong 4 con chuột

được chọn cĩ 2 con chuột trăng

Trang 7

Ví dụ 4: Cĩ 12 quả trứng trong đĩ cĩ 3 quả hỏng Chia đều cho 3 người, mỗi người 4 quả Tìm xác suất các biến cĩ:

a) Mỗi người cĩ đúng một quả hỏng

b) Cĩ đúng l người cĩ 2 qua hong Giai:

Số kết cục đồng khả năng ø(Q) =CjC‡C)

a) Gọi A là biến cĩ mỗi người cĩ đúng một quả hỏng Số cách chia quả hỏng cho 3 người: 3'!

Số cách chia 9 quả khơng hỏng cho 3 người: CỷC‡C}

Suy ra số kết cục thuận lợi cho biến cĩ A: n(A)=3!C}Cÿ¿C) Vậy, Ai CC P()= 2) _ SC nữ) CCC, b) Gọi B là biến cĩ cĩ đúng 1 người cĩ 2 quả hỏng Ta cơ n(B)=C.C{G5C,C, Vậy, ¬ CCC P(B)= n(B) ae 2 Ca n(©) heya eg Nhận xét:

() Đề tính xác suất biến cĩ A theo định nghĩa cơ điên ta sử dụng các cơng thức tơ hợp đề đếm số kết quả đồng khả năng n(O) và số kết quả thuận lợi cho biến

cơ A là n(A)

(ii) Định nghĩa theo quan điểm cơ điền sẽ khơng thề áp dụng được nếu các kết

quả trong phép thử cĩ khả năng xuất hiện khác nhau hoặc số lượng kết quả của phép thử là vơ hạn

2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

Trang 8

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tơn Thất Tú Thực hiện phép thử n lân Giả sử cĩ m lân xuât hiện biên cơ A Lúc đĩ m được ‘aN A A A tA ” +A Ẫ ~ yo _K : 771 “1é A A A tA gol la tan so xuat hién cua biéncé6 A va tis6 f =— duoc goi 1a tan suáf xuât hiện lái

của A trong loạt phép thử Khi số phép thử tăng lên vơ hạn thì tần suất xuất hiện biến cĩ A sẽ dao động xung quanh một hằng số cĩ định và hằng số đĩ được gọi là

xác suất của biến cơ A

Vì thế, trong thực tế khi số phép thử n lớn, ta cĩ thê xem tần suất f như là xác suất của hiện tượng A

Ví dụ 5: Dé nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sắp khi tung một đồng xu người ta tiên hành tung nhiêu lân và được bảng kêt quả sau: Người thực hiện | Sơ lân tung | Sơ lân xuât hiện mặt sâp | Tân suât Buyffon 4040 2.048 0.5069 Pearson 12.000 6.019 0.5016 Pearson 24.000 12.012 0.5005

2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Bây giờ chúng ta xét vấn đề tính xác suất khi khơng gian mẫu cũng như các biến cĩ liên quan cĩ thê biều diễn dưới dạng các miền hình học Cụ thé, cho Q IA

miền đo được (trên đường thăng, trong mặt phăng trong khơng gian 3 chiều ) va

S là một miền con của nĩ Lấy M là một điểm trong miền © Kí hiệu A là biến cố

"điểm M thuộc miền S" Khi đĩ xác suất của biến cĩ A được định nghĩa là:

_ Jnes(S)

P(A) mes(Q) Ặ

trong đĩ kí hiệu mes(X) sé 1a:

- độ dài nếu Q là đường cong hay đoạn thăng

- diện tích nêu © là mặt cong hay miền trong hình phăng

- thé tích nếu Q là một khối 3 chiều

Ví dụ 6: (Bài tốn gặp gỡ) Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm cĩ định

trong khoảng thời gian từ 12h trưa đến 1h chiều Người đến trước sẽ đợi người kia

20 phút, sau đĩ sẽ bỏ đi nêu người kia khơng đên Tính xác suât hai người gặp

Trang 9

Bài giảng: Xác suất và Thơng kê GV: Tơn Thất Tú nhau, biết răng mơi người đên chơ hẹn trong thời gian quy định một cách ngau nhiên Gial: Goi x.y (phút) là thời điểm người thứ nhất và thứ hai đến điểm hẹn Ta cĩ ©={(x,y):0< x<60,0< y <60}

Hai người gặp nhau khi và chỉ khi |x— y|< 20, tức là:

$ ={(x, y):0< x<60,0< y<60.|x— y|< 20}

Biêu diện các mién Q va S lên mặt phăng tọa độ như hình vẽ: vb 60 0 20 60 “ Vậy xác suât cân tìm là: 60ˆ—40” _ 5 60° 0 P(A)=

2.4 Định nghĩa theo hệ tiên đề

Định nghĩa này do nhà tốn học lỗi lạc người Nga tên là Kolmogorov đưa ra năm 1933

Ta gọi bộ ba (Ĩ.S.P) trong đĩ:

¡)_O là mội tập tùy ý khác rỗng

ii) 3 là một ø- đại SỐ các tập con của ©,

ii) P là độ đo xác suất ø -cộng tính xác định trên 3 là một khơng gian xác suất

Tập O@ được gọi là khơng gian các biển cố sơ cấp và mỗi phần tử øe © là một biến cĩ sơ cấp Tập Ae 3 được gọi là một biển cố và P(A) được gọi là xác suất

của biên cơ A

Trang 10

Bài giảng: Xác suất và Thơng kê GV: Tơn Thất Tú

2.5 Tính chất cơ bản của xác suất

(1) 0< P(A)<1 với mọi biến cĩ A (I1) P(Ø)=0 P(O)=I

Bài 3: CÁC ĐỊNH LÝ VÉ XÁC SUÁT

1 Định lý cộng

Cho A và B là hai biến cĩ, lúc đĩ

P(AUB)= P(A)+ P(B)- P(AB)

Hệ qua:

(i) P(AUB)=P(A)+P(B) voi A B là hai biến cố xung khắc (ii) P(A)=1-P(A)

(11) P(AUBUC)= P(A)+P(B)+ P(C)—P(AB)— P(BC)-P(CA)+P(ABC) Tơng quát hơn ta cĩ "cơng thức bao hàm và loại trừ”:

F[ÙA |=Š?tA0-EPAaA+ Y Pa nd AA) Pe A.A)

i=] i= i<j i<j<k

Trường hợp đặc biệt, khi A,.A A, là các biến cơ xung khắc đơi một thì

PUA ) = P(A) + P(A,)+ +P(A,) i=l Ví dụ L: Một lơ sản phẩm cĩ 10 sản phẩm trong đĩ cĩ 4 phế phẩm và 6 chính phẩm Lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phâm Tính xác suất đề 4 sản phẩm lấy ra cĩ ít nhất 2 chính phẩm Giai:

Goi A, la biến cĩ 4 sản phẩm lấy ra cĩ ¡ chính phâm

Trang 11

Bài giảng: Xác suất và Thơng kê GV: Tơn Thất Tú v2 >2 CC, | “10 3 | | ; P(A,) = ° ==, P(A,) 7 = =—, P(A.) =—* = — © ae 3 Vì thê, Ppa 42

Ví du 2: Một lớp cĩ 20 sinh viên, trong đĩ cĩ 10 sinh viên biết tiếng Anh, 12

sinh viên biết tiêng Pháp và 7 sinh viên biết cả hai thứ tiếng Chọn ngẫu nhiên một

sinh viên Tìm xác suât đề:

quả

a) Sinh viên đĩ biết ít nhất một ngoại ngữ

b) Sinh viên đĩ học đúng một ngoại ngữ Giải:

a) Gọi A., B lần lượt là các biến cĩ sinh viên biết tiếng Anh, tiếng Pháp C là biến cĩ sinh viên biết ít nhất một ngoại ngữ Ta cĩ C=AUB 2 3 P(C) = P(A)+ P(B)-— P(AN pF 20 20 20 4 b) Gọi D là biến cĩ sinh viên đĩ biết đúng một ngoại ngữ Ta cĩ D= ABUAB

Do tính xung khắc nên P(D)= P(AB)+ P(AB)

Mặt khác, P(ð) = P(BQ) = P(B(At2A))= P(ABU AB)= P(AB)+P(AB)

Suyra P(AB) = P(B)— P(AB) Tương tự P(Að) = P(A)- P(AB)

2

Do d6 P(D) = P(A)+P(B)~2P(AB)=ˆ° 2020 ^ 20 +22 ~2+_” = tn | bo

Ví dụ 3: Một giỏ cam cĩ 20 quả trong đĩ cĩ 5 quả bị hỏng Lấy ngẫu nhiên 3 Tính xác suất lấy được ít nhất một quả hỏng

Giai:

Goi A: “lay duge ft nhat 1 qua hong”

=A: “lay được 3 quả khơng hỏng”

Tạ Cổ:

Trang 12

P(A)=1~ P(Ä)=1—-<

20

2 Xác suât cĩ điêu kiện, định lý nhân xác suât a) Xác suất cĩ điều kiện

Cho A và B là hai biến cĩ, trong đĩ P(8)>0 Khi đĩ tỉ số i được gọi là

xác suát điểu Kiện của biên cơ A với điêu kiện biên cơ B đã xảy ra và kí hiệu: P(AmÐ) P(B) _ P(AILB)= Đối với xác suất điều kiện ta cũng cĩ các tính chất sau: Với P(P) >0 thì © O<P(AIB)<1

® P(GI|B)=0, P(BIB)=I1, P(O|IB)=l ° P(AIB)=1— P(AI B) P(AIB)=1— P(AIB) e P(AUC!B)=P(AIB)+P(C|IB)—P(ACIB)

Ví dụ 4: Một cơng ty đấu thầu 2 dự án A và B Xác suất thắng thầu dự án A và B tướng ứng là 0.6 và 0,7 Xác suất thắng thầu đồng thời cả 2 dự án là 0,5 Tính

Xác suất:

a) Cơng ty thăng thầu dự án A biết đã thắng thầu dự án B

b) Cơng ty khơng thăng thầu dự án B biết đã thắng thầu dự án A CIả1: Gọi A B là các biến cĩ: “cơng ty thăng thầu dự án A và B” tương ứng s3 a) Pca pee) thổ 2 P(B) 0,7 7 = nS b) Pe |) 1A At a P(A) 0.6 6

Ví dụ 5: Một hộp cĩ 4 bi do va 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt khơng hồn

lại 2 viên Tính xác suất đề lấy viên bi thứ 2 là bi do, biết răng viên bi lấy ra đầu

tiên là bị đỏ

Trang 13

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tơn Thất Tú Gial: Gọi A, là biên cơ viên bị lây ra ở lân thứ ¡ là bị đỏ P(A, 1A) =) P(A) P(AA) =24 =2, P(A)=Š = A 7 7 4 l Do đĩ, P(A, IÁ)=7-

Nhận xét: Trong nhiều trường hợp, ta cĩ thể tính xác suất cĩ điều kiện P(AI)

theo “trực quan”, nghĩa là xem B đã xảy ra khi đĩ tính riêng xác suất của A trong

“khơng gian mẫu đã thay đồi”

Chăng hạn, đối với ví dụ trên khi A, đã xảy ra, trong hộp cịn lại 3 bi đỏ và 3

bi xanh Vì thế xác suất đề lần tiếp theo lây được bi đỏ sẽ là

3

P(A, 1A) == ° 6

wl

b) Định lý nhân xác suất

Từ định nghĩa trên ta suy ra rằng P(AB) = P(A).P(BIA) nếu P(A)#0 Tương tự, ta sẽ cĩ P(AB)= P(A).P(B| A) = P(B).P(A| B) néu P(B)#0

Trong trường hợp tơng quát

PCA A, A,) = P(A,)P(A, (APA, lÁA,) PÚ, l2 Ä.¡) néu P(AA, A,_,) #0

Vi du 6: Một hộp chứa 6 quả bĩng màu đỏ và 4 quả màu xanh Lấy ra | qua

bĩng Nếu đĩ là quả bĩng màu xanh thì ta bỏ thêm vào 3 quả màu xanh nữa, nếu đĩ

là quả bĩng màu đỏ thì ta bỏ thêm vào 1 qua mau đỏ Sau đĩ lấy ra I quả bĩng

Tính xác suất đề 2 quả bĩng lấy ra ở 2 lần đều cĩ màu xanh

Giai:

Gọi A, là biến cĩ quả bĩng lấy ra lần thir i c6 mau xanh, i=1,2

A là biến cố 2 quả bĩng lấy ra đều màu xanh

Ta cĩ A=AA,

Trang 14

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tơn Thất Tú Do đĩ P(A)= P(AA.)= P(A,)P(A ay 2 at — r nợ ” 10 13 65 bo

Ví dụ 7: Một lơ hàng cĩ 9 sản phẩm Mỗi lần kiểm tra chất lượng lay 3 san phẩm Sau khi kiém tra xong lai tra vào lơ hàng Tính xác suất đề sau 3 lần kiêm tra

lơ hàng, tất cả các sản phâm đều được kiểm tra

Giải:

Gọi A là biến cĩ lần thứ ¡ lây ra 3 sản phâm mới đề kiêm tra

A là biến cĩ sau 3 lần kiểm tra tất cả sản phâm đều được kiểm tra Ta cĩ A=A,A,A, Do đĩ €Œ_ 5 C; 174 ec P(A) = P(A,).P(A, |A,).P(A, | A,A,) =1t se 9

Ví dụ §: Một hộp cĩ 4 chính phâm và 2 phé phâm Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại lần lượt từng sản phẩm đề kiểm tra cho đến khi lấy được 2 phế phẩm thì thơi

Tìm xác suất của các biến cơ sau:

a) Việc kiêm tra dừng lại khi kiểm tra đến sản phẩm thứ 2 b) Việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra đến sản phâm thứ 3

c) Giả sử việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra đến sản phâm thứ 3 Tìm xác suất đề sản phâm kiềm tra ở lần | là chính phẩm

Giai:

Goi A, là biến cĩ sản phẩm lấy ra ở lan thtr 7 1A phé pham, i=1,2,3

a) Gọi A là biến cơ việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra đến sản pham thứ 2 Ta cĩ A=A.A,

Do đĩ

| 2l PĐ)= P(AA,)=FG@I)PA(A, LA)=—*—=— (A) A, ) (A, ) P(A, | A,) 65 15

b) Gọi B 1a bién cé viéc kiém tra dừng lại khi kiểm tra đến sản phâm thứ 3

Tac6 B=AA,A,UAA,A,

Trang 15

Vì A.A,A, A,A,A, xung khắc nên

P(B) = P(A,A,A, UA, A,A,) = P(A,A, A) + P(A, A, Ay) P(AA,A,) = P(A) P(A, 1A,)P(A,1AA,) =2* 2b at, 65 4 15 AA A PIAL! —_ 2 4 1 1 PARA) =F RCE a Amo" He l es 5 4 15 Vậy P(B) = mo 6 1X += c) Xác suât cân tìm là P(A OB) P(A, |B) = P(B) Mat khac, A OB =A, D(A,A:A, A,A,A; =A, NAA,A, UA, NA, AA, =A,A,A, : Vì thê — PAAAY Me 1 PA a= 7 2, P(B) qs 2

Ví dụ 9: Trong thời gian cĩ dịch bệnh ở một vùng dân cư, cứ 200 người bị

bệnh thì cĩ 20 người đi cấp cứu Xác suất gặp người đi cấp cứu do mắc phải dịch ở

vùng đĩ là 0,03 Tìm tỉ lệ mắc bệnh của vùng dân cư đĩ Giải:

Gọi A là biến cĩ chọn ra một người ở vùng dân cư đĩ bị dịch

B là biến cơ người chọn ra ở vùng đĩ phải đi cấp cứu Theo giả thiết, ta cĩ

Trang 16

- Dãy n biến cố A A được gọi là độc lập từng đơi một nếu P(A,A,)= P(A,)P(A,) Vi # j

- Dãy n biến cĩ A, A, được gọi là độc lập (tồn bộ) nếu ta lấy ra một dãy con bất kì các biến cĩ khác nhau từ các biến cĩ trên thì xác suất của tích các biến cĩ này bằng tích xác suất của từng biến cơ nghĩa là:

P(A.) =[] P(A), Voi moi 1c {1,2, ,n}

kel kel

Nhận xét:

() Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(AIB)=P(A) hoặc P(BI A)= P(B)., hay nĩi cách khác là sự xảy ra hay khơng xảy ra của biến cĩ này khơng ảnh hưởng đến sự xảy ra hay khơng xảy ra của biến cĩ khác

(1) Cho nhĩm {A,.A, A,} độc lập, khi đĩ nhĩm {ð,.B, B,} với B là A hoặc 4A cũng độc lập

(11) Cho nhĩm {A,.A, A,} độc lập Khi đĩ mọi nhĩm con của nhĩm này cũng độc lập

(iv) Từ tính độc lập tồn bộ suy ra tính độc lập đơi một, tuy nhiên điều ngược lại nĩi chung là khơng đúng

Ví dụ 10: Cho O={a.b.e.d} với xác suất xuất hiện z.b,c.¿ đều như nhau tức

la P(a) = P(b) = P(c) = P(d)=114 Xét 3 biến cơ A={a,d},B={b,d},C={c,d} Khi d6,

dé thay P(AB) = P(BC) = P(AC) = P(d)=1/4 va P(A) = P(B) = P(C)=1/2 Từ đĩ ta suy

ra rang 3 biến cố A, B, C đơi một độc lập với nhau Tuy nhiên P(ABC) = P(d)=1/4# P(A).P(B).P(C)=1/8 hay nĩi cách khác 3 biến cố này khơng

độc lập theo nhĩm

Ví dụ 11: Một nồi hơi cĩ 3 van bảo hiểm hoạt động độc lập với xác suất hỏng

cua van 1, van 2, van 3 trong khoảng thời gian T tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3 Nồi hơi

hoạt động an tồn nếu cĩ ít nhất một van khơng hỏng Tính xác suất đề nơi hơi hoạt động an tồn trong khoảng thời gian T

Trang 17

Gial:

Goi A, 1a bién cé: "van i bi hong trong khoang thoi gian T", i=1,2.3 A là biến cĩ: "nồi hơi hoạt động an tồn trong thời gian T"

P(A,) =0,1; P(A,)=0.2: P(A,)=0.3

Suyra: P(A)=0.9: P(A,)=0.8: P(A,)=0.7

Do các van hoạt động độc lập nên các biến cĩ A, A, A, độc lập

Tac6: A=A,UA,UA,

Xác suât nơi hơi hoạt động an tồn trong khoảng thời gian T là:

P(A) = P(A,)+ P(A,) + P(A,)— P(A, A,) — P(A, A,) — P(A, A,) + P(A,AGA,)

= P(A) + P(A,) + P(A,)- P(A, )P(A,) ~ P(A, A,) — P(A, )P(A,) + P(A, P(A, PCA) =0,9+0,8+0, 7—0,9*0,8—0,9*0, 7-0,8*0, 7—0,9*0,8*0, 7 =0,994,

Ví dụ 12: Phải gieo ít nhất bao nhiêu con xúc xắc để xác suất cĩ ít nhất một

con xuất hiện mặt 6 chấm lớn hơn hay băng 0.9 Cải:

Giả sử ta cần phải gieo n con Gọi A, là biến cố "con thứ ¡ xuất hiện mặt 6

châm" ¡=I,n A là biên cơ "cĩ ít nhât một con xuât hiện mặt 6 cham"

Ta cĩ P(A)=1- P(A)>0.9 > P(A)<0.1

Mặt khác P(A)= P(A,A A,)= P(A,)P(A,) P(A,) = B 3 „f5 0 Do đĩ B #01 + =12.62925 6 ln— 6 Vậy cần thực hiện ít nhất 13 lần

3 Cơng thức xác suât đây đú và cơng thức Bayes

Định nghĩa: Nhĩm biên cơ HỊ H„ được gọi là đáy ẩu nêu thỏa mãn 2 điêu

kiện:

Ù) H,¬H, =Ø, Vi# j,

Trang 18

ii) LH, =2

i=l

Vi du 13: {A,A},{@,Q} la cdc nhém bién cé day đủ

a) Cơng thức xác suất đây đủ

Cho 7, /7, là một nhĩm biến cố đầy đủ và P(,)>0.¡=1.n Khi đĩ với biến cĩ A bắt kì ta luơn cĩ: P(A)=>_ P(H,).P(AIH,) a Cơng thức trên được gọi là cơng thức xác suất đầy đủ ( hay cơng thức xác suất tồn phần)

Nĩi riêng, ta cĩ P(B)= P(A).P(BIA)+ P(A).(BIA) Với 0< P(A)<1

Ý nghĩa cơng thức xác suất tồn phần: Cơng thức xác suất tồn phần giúp ta

tính xác suất xay ra cua mot biến cố dựa vào một nhĩm day du cac gia thiét chi phối nĩ

Ví dụ 14: Cĩ 2 lơ sản phâm Lơ I cĩ 50 sản phâm trong đĩ cĩ 20 sản phẩm

xấu Lơ 2 cĩ 40 sản phẩm trong đĩ cĩ 15 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên một lơ và

từ đĩ lấy ra I sản phẩm Tìm xác suất đề sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt Giai: Goi H, 1a bién c6 "lay duoc 16 thir i", i=/,2 A là biến cĩ "sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt" Ta cĩ {H,.H,} lập thành nhĩm biến cĩ đầy đủ Theo cơng thức xác suất đầy đủ thì: P(A) = P(H,).P(A IH,)+ P(H,).P(AIH.) 1,30 1 25 49 _2 50 2 40 80°

Ví dụ 15: Một nhĩm cĩ 3 người nhưng chỉ cĩ 2 vé xem bĩng đá Đề chia vé

họ làm như sau: Lấy 3 phiếu, 2 phiếu ghi số 1 và I phiếu ghi số 0 Sau đĩ thay

Trang 19

phiên nhau bốc ngẫu nhiên lần lượt khơng hồn lại Ai được phiếu ghi số 1 thì được

vé Hỏi việc bơc phiêu đĩ cĩ cơng băng hay khơng ?

Giai:

Goi A, la biến cĩ người bốc lần thứ ¡ được vé, ¡=1.3 Ta cĩ:

P(A, ( pra P(A,)= 2 a P(A,

a vl, ¥ 2

P(A,) = P(A,).P(A, |A,) + P(A,).P(A, \A)=>" tase

Goi B, la biến cĩ hai người bốc đầu tiên đã bốc hết ¡ vé, ¡=1.2 Lúc đĩ:

P(B,) = P(A, A, UAA,) = P(A,A,) + P(AA,)

= TH ).P(A, | A,)+ P(A,).P(A, 1A) : VÌ oe 3 t2) *]==, 3 2 P(B,) = P(A,A,) = P(A,).P(A, | A,) = x ¬ a | Ta c6 {B,,B,} la nhom bién cé day du Do dé: 9

P(A,) = P(B,).P(A, | B,) + P(B,).P(A, |B, 1 và Ose

Vậy P(A)= P(A,)= P(A,) hay nĩi cách khác việc bốc phiếu đĩ là cơng băng b) Cơng thức Bayes Cho A là một biến cĩ và P(A)>0 #, , là một nhĩm biến cĩ đầy đủ Lúc đĩ ta cĩ cơng thức: PCH: yaya A) EPA) | P(A) 5_P(H,).P(AIH,) j=l Nĩi riêng vì B.B là một hệ đầy đủ nên ta cĩ: P(B)P(A|B)+P(B)P(AIB)

Các biên cơ /H, //, thường được gọi là cdc gia thuyét Cac xac suat

P(H,) P(H,) được xác định trước khi phép thử tiễn hành và do đo chúng được gọi

Trang 20

là các xác suất tiên nghiệm Các xác suất P(H, IA) P(H,LA) được xác định sau khi

phép thử được tiến hành và biến cĩ A đã xảy ra và do do chúng được gọi là các xác

suất hậu nghiệm Vì thế cơng thức Bayes cịn được gọi là cơng thức tính xác suất hậu nghiệm

Ý nghĩa cơng thức Bayes: Cơng thức Bayes cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra của các giả thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử là biến cơ A đã xảy ra

Ví dụ 16: Hai máy sản xuất ra cùng một loại linh kiện như nhau Các linh kiện này được đĩng chung vào một thùng Năng suất của máy thứ hai gấp đơi năng suất

của máy thứ nhất Máy thứ nhất sản xuất trung bình được 63% linh kiện loại tốt,

cịn máy thứ hai được 81% linh kiện loại tốt Từ thùng hàng lấy ngẫu nhiên một

linh kiện thì thấy được linh kiện loại tốt Tìm xác suất đê linh kiện đĩ là do máy thứ

nhất sản xuất

GIải:

Gọi A, là biến cĩ "linh kiện lấy ra do máy thứ ¡ sản suất", i=/,2 A là biến cĩ "linh kiện lấy ra là linh kiện tốt"

Ta can tinh P(A,| A)

Theo giả thiết, ta cĩ: P(A)=-=.P(A;)=—,P(AIA)=063 ; P(QAIl4)=0,S5I : to | to |b

Theo cơng thức xác suất đầy đủ thì P(A)= P(A,).P(AIA,)+ P(A,).P(AIA,)=0.75

Sử dụng cơng thức Bayes ta được: —*0,63 P(A).P(AlA) _ 3 » P(A) 0,75 P(A,| A) = =0,28

Ví dụ L7: Một cửa hàng bán bĩng đèn cùng loại do 3 cơ sở sản xuất cung cấp

Cơ sở L, II, II cung cấp lượng hàng tương ứng là 40%, 35%, 25% Biết tỉ lệ bĩng hỏng do cơ sở IL II, HII sản xuất lần lượt là 2%, 2%, 3% Ta mua ngẫu nhiên I bĩng

của cửa hàng Giả sử bĩng mua bị hỏng Hỏi bĩng ta mua cĩ khả năng do cơ so nao

sản xuât nhât 2

Trang 21

Bài giảng: Xác suất và Thống kê GV: Tơn Thất Tú Giai: Goi A, la biến cơ "bĩng ta mua do cơ sở 7 sản xuất" i=1,2,3 A là biến cố bĩng ta mua bị hỏng Ta cĩ: P(A) = P(A,)P(AIA,) + P(A,)P(Al A,)+P(A;)P(AlA;) =0,4* 0,02 +0, 35 *0,02 +0, 25 *0,03 =0,0225 P(A)P(AIA,) _ 0,4*0,02 _ 16 P(A, | A) = P(A) 0,0225 45 2 5 3 *(), 2 P(A, |A) = PCAPCAIA,) _ 0,35%0,02 _ 14 P(A) 0,0225 45 25*0,03 15 P(A, 1A) = POADPUAI AY) _ 0.25% 0,03 _ 15 P(A) 0,0225 45

So sánh P(A,LA).P(A,lA).P(A.,LA) suy ra bĩng hỏng do ta mua cĩ khả năng do

cơ sở Ï sản xuất nhiều nhất

Ví dụ 1§: T¡ lệ người dân ở tỉnh A nghiện thuốc lá là 30%, trong số người nghiện thuốc tỉ lệ người bị bệnh phơi là 60% Trong số những người khơng nghiện

thuốc cĩ 20% bị bệnh phối Chọn ngẫu nhiên một người Tính xác suất người đĩ

nghiện thuốc trong hai trường họp

a) Biết người đĩ bị bệnh phơi

b) Biết người đĩ khơng bị bệnh phơi GIải:

Gọi A, B lần lượt là biến cĩ người được chọn nghiện thuốc, bị bệnh phối

Ta cĩ {A.A} là nhĩm biến cĩ đầy đủ

Trang 22

PLA).P(B IA) _ P(A)[I-P(BIA)]_ 0.3*-0.6)_ 3

P(AIB)= : P(B) = I—P(B) I-0.32 — 17 |

Ví dụ 19: Một máy bay băn độc lập 2 quả tên lửa vào một mục tiêu Xác suất

quả thứ nhất và thứ 2 trúng là 0,6 và 0.7 Nếu cĩ 1 quả trúng thì mục tiêu bị tiêu

diệt với xác suât 0,7 và nêu cĩ 2 quả trúng thì xác suât này 1a 0,9 a) Tính xác suất cĩ ít nhất | quả trúng

b) Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệt

c) Biết mục tiêu khơng bị tiêu diệt, tính xác suất cả 2 quả đều trúng

Giải:

a) Gọi A, là biến cĩ quả tên lửa thir i trúng, ¡ =I,2

Xác suất cĩ ít nhất I quả trúng:

P(A, UA,) =1— P(A,A,) =1— P(A,) P(A,) =1-0,4*0,3 =0,88

b) Goi H,,i=0,1,2 1a biến cĩ cĩ ï quả tên lửa trúng mục tiêu

A là biến cĩ mục tiêu bị phá hủy Ta cĩ {H,.H,.H,} là nhĩm đầy đủ

P(H,) = P(AA,)=0,4*0,3=0,12

P(H,) = P(A,A, UA,A,) = P(A,A,) + P(A,A,) = 0,6*0,3+0,4*0,7 =0, 46 P(H,) = P(A,A,) =0,6*0,7 =0,42

Theo cơng thức xác suất tồn phan

Trang 23

Bài 4: CƠNG THỨC XÁC SUÁT NHỊ THỨC

1 Dãy phép thử Bernoulli

Day n phép thu G G, duoc goi la day n phép thu Bernoulli nếu thỏa mãn các điều kiện sau: - Dãy n phép thử đĩ độc lập - Trong mỗi phép thử chỉ xảy ra một trong hai biến cĩ, kí hiệu A (thành cơng) va A (thất bại) - Xác suất xuất hiện biến cĩ A là P(A) khơng đổi trong các phép thử 2 Cơng thức xác suất nhị thức

Đặt P(A) = p Ta quan tâm đến bài tốn sau:

Bài tốn: Tìm xác suất dé trong dãy m phép thử Bernoulli cĩ đúng # lần biến

cơ A xuất hiện GIải:

- Chọn k vị trí cho biến cĩ A xuất hiện cĩ €‡ cách

- Ứng với mỗi kết quả ta được biến cĩ tích cĩ dạng A A AA., trong đĩ xuất

hiện đúng & lần A và ø-k lần A Vì tính độc lập nên xác suất xảy ra I kết quả như thế tương ứng là P(A A AA) = P(A) P(A) P(A).P(A)= p*—p)**

- Do tính xung khắc nên xác suất cần tìm (kí hiệu p,(@&)) là: p,(k)= Cƒpˆ“(I—p)"“ Cơng thức trên được gọi là cơng thức xác suất nhị thức (hay cơng thức Bernoulli ) Ví dụ 1; Gieo ngẫu nhiên 20 lần một đồng xu cân đối và đồng chất Tính xác suất đề:

a) Cĩ đúng | lần xuất hiện mặt sap

b) Cĩ ít nhất hai lần xuất hiện mặt sắp

Giai:

Trang 24

Xem việc gieo ngẫu nhiên 20 lần đồng xu cân đối và đồng chất là tiến hành

dãy 20 phép thử Bernoulli với xác suất xuất hiện mặt sắp p=1/2

a) Theo cơng thức xác suất nhị thức : p,(k)= Cƒ pˆ(I- p)*° : | _ | 20 VGi n=20, k=1 HCO: p, ()=C, 5] b) Xác suât cân tìm là: ry? nà? Po (kK 2 2) =1 = py (k <2) =1-— py (0) — pry) =1- [2] — Cy G

Ví dụ 2: Một đề thi trắc nghiệm cĩ 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi cĩ 4 phương án

chọn trong đĩ chỉ cĩ I phương án đúng Một sinh viên vào thi chọn ngẫu nhiên các

phương án Tính xác suất sinh này làm đúng 4 câu Giải:

Xem việc sinh viên chọn phương án trả lời cho 10 câu hỏi là tiễn hành một dãy

10 phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng là p=1/4 Theo cơng thức xác suât nhị thức, xác suât cân tìm

4 6

] 3 Py (4) = Cy (5) B Ề

3 Số lần cĩ khả năng lớn nhất

Bài tốn: Tìm k sao cho xác suất p (k) đạt giá trị lớn nhất

- Kết quả: Đặt q=1—p và gọi K là giá trị cần tìm Khi đĩ K là số nguyên thỏa

điều kiện:

np—q<SŠK<Snp—q+]

Ví dụ 3: Một xưởng dệt cĩ 50 máy dệt Xác suất mỗi máy dệt bị hỏng trong mỗi ca làm việc là 0.1 Mỗi thợ sửa máy trong mỗi ca làm việc chỉ sửa được 2 máy

Hỏi phải bố trí tối thiểu bao nhiêu người đề năng suất của ca làm việc được đảm

bảo tốt nhất

GIải:

Trang 25

Bài tốn thỏa điều kiện dãy phép thử Bernoulli với »= 50 và p=0.1

Gọi K là số máy hỏng với khả năng lớn nhất trong mỗi ca làm việc

Ta cĩ: „=l-p=0,9

Suy ra K =5 Điều này cĩ nghĩa là trong mỗi ca làm việc khả năng cĩ 5 máy bị

hỏng là lớn nhất Vì thế cần bĩ trí tối thiểu 3 thợ sửa máy đề cĩ thể đảm bảo năng

suất

Trang 26

Bài tập chương Í

I Một vé số gồm 5 chữ số Một người mua ngẫu nhiên I vé Tính xác suất của các biến cơ sau:

a) người này trúng giải 7 biết vé trúng giải 7 tận cùng là 40

b) người này trúng giải 6 biết vé trúng giải 6 tận cùng là 123 hoặc 246

c) giải khuyến khích biết vé trúng giải khuyến khích chỉ khác giải đặc biệt I

chữ số ở một hàng nào đĩ và chỉ cĩ l giải đặc biệt

2 Cĩ 7 khách bước ngẫu nhiên lên 3 toa tàu Biết mỗi khách chỉ lên 1 toa và các toa đều chứa được cả 7 khách Tính xác suất:

a) Cĩ I toa cĩ 5 khách b) Cĩ 2 toa cĩ 3 khách c) Mỗi toa đều cĩ khách

d) Cĩ đúng Ï toa cĩ 3 khách

3 Một trị chơi truyền hình chọn các ơ chữ đề tạo thành chữ YAMAHA

Người chơi được chọn ngẫu nhiên 4 ơ, biết cĩ 16 ơ chữ YA 9ơ chữ MA, 4ơ chữ

HA và 1 ơ chữ YAMAHA Nếu người chơi chọn được 4 ơ chữ tạo thành ít nhất |

chữ YAMAHA người thắng Tính xác suất người chơi thắng với:

a) ding | cht YAMAHA duoc tạo thành b) 2 cht YAMAHA duoc tao thanh

4 Cĩ 10 đơi găng tay cùng loại nhưng khác màu Chọn ngẫu nhiên 6 chiếc găng tay Tính xác suất :

a) khơng chọn được I đơi nào b) chọn được đúng 3 đơi

Trang 27

6 Chọn ngẫu nhiên 3 số Mỗi số được chọn từ các số tự nhiên từ I đến 9 Tính xác suất :

a) Tổng của chúng băng 5 b) Tích của chúng chia hết cho 2 c) Tích của chúng chia hết cho 10

d) Cĩ đúng 2 số bằng nhau

7 Hai cơng ty A và B cùng kinh doanh một mặt hàng Xác suất cong ty A

thua lỗ là 0.2 và xác suất cơng ty B thua lỗ là 0.4 Tuy nhiên trên thực tế khả năng

cả hai cơng ty cùng thua lỗ chỉ là 0,1 Tìm xác suất các biến cơ sau đây:

a) Chỉ cĩ một cơng ty thua lỗ

b) Cĩ ít nhất một cơng ty làm ăn khơng thua lỗ

e) Biết cĩ ít nhất I cơng ty thua lỗ, tính xác suất chỉ cơng ty A thua lỗ

§ Trên giá cĩ n quyền sách khác nhau, ø>4 trong đĩ cĩ 3 quyên của tác giả A Người ta xếp ngẫu nhiên n quyên sách này thành I hàng Tính xác suất 3 quyền

sách cua tac gia A:

a) Đứng cạnh nhau

b) Khơng cĩ hai quyền nào đứng cạnh nhau

9 Một hộp cĩ 7T và 3Ð Lấy ngẫu nhiên lần lượt khơng hồn lại các viên bi cho đến khi lấy được bi trăng thì dừng

a) Tính xác suất việc làm này dừng lại sau khơng quá 3 lần lấy

b) Biết việc làm này dừng sại sau khơng quá 2 lần, tính xác suất lần | lay duoc

bị đen

I0 Một hộp cĩ 2T và 3Ð Hai người A và B luân phiên rút ngẫu nhiên khơng hồn lại các viên bi Người nào rút được viên bi trăng trước thì thắng cuộc và trị

chơi dừng lại Biết A rút trước Tính xác suất :

a) Sau khi kết thúc trong hộp cịn | bi đen

b) Người B thăng cuộc

Trang 28

II Trong hộp cĩ 10 quả cầu trong đĩ cĩ 7 quả cầu đánh dấu số 1, 3 quả đánh dấu số 2 Mỗi lần chơi, người A rút I quả khơng hồn lại rồi đến người B rút 1 qua

khơng hồn lại Người rút được quả cĩ số lớn hơn thì thăng cuộc, nếu khơng thì 2

người tiếp tục chơi tiếp Tính xác suất:

a) Trong lần đầu tiên cĩ người thắng cuộc b) Người A thắng cuộc trong lần chơi thứ 2 c) Người B thắng cuộc trong lần chơi thứ 2

12 Mot may bay dén oanh tac | muc tiéu phai bay qua 3 tuyén phong thu lién

tiếp độc lập Xác suất máy bay bị bắn rơi ở mỗi tuyến phịng thủ đều bằng 0.6

a) Tính xác suất máy bay khơng đến được mục tiêu

b) Biết máy bay khơng đến được mục tiêu tính xác suất nĩ bi ban roi ở tuyến

phịng thủ số 2

I3 Trong cửa hàng cĩ 6 hộp bút loại I và 4 hộp bút loại 2 Hộp loại l cĩ l4 cây bút đỏ và 6 bút xanh Hộp loại 2 cĩ 8 bút đĩ và I2 bút xanh Một sinh viên chọn ngẫu nhiên I hộp rồi rút ngẫu nhiên 2 cây bút đề mua

a) Tính xác suất sinh viên này chọn được 2 bút xanh

b) Biết sinh viên này chọn được ít nhất 1 bút đỏ hỏi khả năng sinh viên đã

chọn được hộp bút loại nào là cao hơn ?

I4 Cĩ 2 lơ sản phâm Lơ I cĩ 12 chính phẩm và § phế phẩm Lơ 2 cĩ l6

chính phâm và 3 phé pham Lay ngau nhién | san phâm từ lơ I chuyền sang lơ 2,

sau đĩ, từ lơ 2 lẫy ngẫu nhiên 1 sản phẩm chuyền sang lơ 1 Cuối cùng từ lơ 1 lấy

ngẫu nhiên ra I sản phâm

a) Tính xác suất cả 3 lần đều lấy được chính phẩm

b) Tính xác suất sản pham lay ra ở lần cuối là của lơ 2

15 C6 3 hộp chưa bi Hộp 1: 4T 6Ð Hộp 2: 3T 6Ð Hộp 3: 5T 4Ð Lấy ngẫu

nhiên l viên từ hộp 1 chuyên sang hộp 2 rồi lấy ngẫu nhiên 1 viên từ hộp 2 chuyền

sang hộp 3 Sau đĩ từ hộp 3 lấy ngẫu nhiên I viên Tính xác suất:

a) Hai viên lây lân đâu cùng màu

Trang 29

b) Hai viên bi cuối cùng màu

c) Cả 3 viên lấy ra đều cùng màu

d) Viên bi lấy cuối cùng màu trắng

e) Viên bi lấy cuối cùng là của hộp I

I6 Cĩ 2 hộp chưa bi HI : 6T và 4Ð Hộp 2 : 2T và §Ð Lấy ngẫu nhiên I viên từ hộp I và 2 viên từ hộp 2

a) Tính xác suất trong 3 viên lấy ra cĩ ít nhất I bi trăng b) Tính xác suất trong 3 viên lay ra cĩ đúng 2 bị trăng

c) Biết trong 3 viên lây ra cĩ đúng I bị trăng Tính xác suât bị này là của hộp

17 Một thiết bị cĩ 2 bộ phận hoạt động độc lập Xác suất trong thời gian làm việc cĩ ít nhất I bộ phận bị hỏng là 0.28 Xác suất bộ phận thứ nhất bị hỏng là 0

a) Tính xác suất cĩ đúng 1 bộ phận bị hỏng

b) Biết cĩ bộ phận bị hỏng tính xác suất chỉ bộ phận thứ 2 bị hỏng

I8 Một cơng ty đấu thầu 2 dự án A và B Xác suất thắng thầu dự án A là 60% Nếu thắng dự án A thì xác suất thắng dự án B là 70% ngược lại thì thắng dự án B với xác suất 40%

a) Tính xác suất cơng ty thắng dự án B

b) Tính xác suất cơng ty thăng ít nhất I dự án

c) Tính xác suất cơng ty thắng đúng I dự án

d) Biết cơng ty thua dự 4n B, tính xác suất cơng ty thua dự án A

e) Biết cơng ty thắng ít nhất I dự án tính xác suất cơng ty thăng dự án A

19 Một cơng ty đấu thầu 2 dự án A và B Xác suất thăng thầu dự án A và B là

Trang 30

20 Mỗi tín hiệu phát đi được phát lặp lại liên tục 3 lần độc lập đề tăng khả

năng máy thu nhận được tín hiệu Biết xác suất máy thu nhận được tín hiệu đối với mỗi lần tín hiệu phát ra là 0.6 Tính xác suất máy thu nhận được tín hiệu

21 Một vùng cĩ tỉ lệ nam giới là 46% Trong một nạn dịch, tỉ lệ mắc bệnh ở nam 1a 10% và ở nữ là 15%

a) Chọn ngẫu nhiên I người ở vùng này Tính xác suất người này mắc bệnh b) Chọn ngẫu nhiên 3 người ở vùng này, tính xác suất cĩ ít nhất l người mắc bệnh

22 Một cặp trẻ sinh đơi cĩ thể do cùng một trứng (sinh đơi thật) hoặc do 2 trứng khác nhau sinh ra (sinh đơi giả) Cặp sinh đơi thật luơn cĩ cùng giới tính Cặp sinh đơi giả thì giới tính của mỗi bé độc lập với nhau và xác suất bé trai là 0.6

Theo thống kê cho biết cĩ 34% cặp sinh đơi là trai, 30% cặp sinh đơi là gái và 36% cặp sinh đơi là khác giới tính

a) Tìm tỉ lệ cặp sinh đơi thật trong các cặp sinh đơi

b) Tìm tỉ lệ cặp sinh đơi thật trong các cặp sinh đơi cĩ cùng giới tính

23 Một lơ hàng cĩ 20 sản phẩm trong đĩ cĩ 2 phế phẩm và 1§ chính phẩm

Trong quá trình vận chuyên I sản phâm khơng rõ chất lượng bị thất lạc Sau đĩ

người ta lấy ra 1 sản phẩm đề kiểm tra

a) Tính xác suất sản phâm lấy ra kiểm tra là phế phẩm

b) Biết sản phẩm lấy ra kiểm tra là chính phẩm hỏi khả năng sản phẩm bị thất

lạc thuộc loại sản phâm nào nhiều hơn ?

e) Biết sản phâm lẫy ra kiêm tra là phế phẩm Tính xác suất nếu lấy tiếp 1 sản pham nữa ta cũng được phế phâm

24 Một hộp cĩ I5 quả bĩng bàn, trong đĩ cĩ 3 quả đã sử dụng và I2 quả mới Ngày đầu tiên I người chọn ngẫu nhiên 2 quả đề sử dụng và cuối ngày hồn trả lại

Ngày thứ 2 thực hiện tương tự Tính xác suất : a) Sau hai ngày, trong hộp cịn đúng 8 qua moi b) Ngày thứ 2 người này chọn được ít nhất l quả mới

Trang 31

25 Một người cĩ 3 chỗ ưa thích như nhau đề câu cá Xác suất câu được cá

trong một lần thả câu ở chỗ thứ nhất, thứ hai và thứ ba tương ứng là 0.6; 0.7 và 0.8 Người đĩ đi đến một địa điểm thả câu 3 lần

a) Tính xác suất người đĩ câu được cá

b) Biết người này khơng câu được cá, tính xác suất người này chọn chỗ thứ nhất đề câu

26 Một nhà máy dệt cĩ 100 máy hoạt động độc lập Xác suất mỗi máy dệt bị hỏng trong thời gian làm việc là 8%

^ +

a) Tính xác suất trong | ca làm việc cĩ khơng ít hơn 3 máy hỏng

b) Trong mỗi ca làm việc mỗi thợ máy cĩ thể sửa được 2 máy hỏng Hỏi cần

bố trí tối thiểu bao nhiêu thợ máy đề đảm bảo ca làm việc hoạt động bình thường

27 Một người tham gia trị chơi truyền hình phải trả lời 10 câu hỏi độc lập với xác suất trả lời đúng mỗi câu là 0.6 Mỗi câu trả lời đúng được 10 điểm và sai bị trừ 5 điểm Ban đầu mỗi người chơi được thưởng 20 điềm

a) Tính xác suất người này trả lời đúng 5 câu

b) Tìm số điềm đạt được của người này với xác suất lớn nhất

28 Trên giá cĩ I0 cây súng, trong đĩ cĩ 6 cây loại I và 4 cây loại 2 Một xạ thủ chọn ngẫu nhiên 1 cây súng Biết xác suất xạ thủ bắn trúng ở mỗi lần khi sử dung sting loai | và loại 2 1a 0,4 va 0,3 tương ứng

a) Gia su xa thu ban | phat Tinh xac suất viên đạn trúng đích

b) Giả sử xạ thủ bắn 3 phát độc lập thì cĩ ít nhất 1 viên đạn trúng đích Tính

xác suất xạ thủ này đã chọn được súng loại Ï

29 Cĩ 10 xạ thủ, trong đĩ cĩ 7 xạ thủ loại | và 3 xạ thủ loại 2 Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ loại | va 2 lan lượt là 0,8 và 0.6

Trang 32

30 Cĩ 2 cầu thủ, mỗi người ném bĩng 2 lần vào rỗ một cách độc lập Xác suất ném trúng rỗ của câu thủ 1 và 2 là 0.3 và 0.4 Tính xác suất :

a) Số lần ném trúng rỗ của 2 cầu thủ là như nhau

b) Số lần ném trúng rỗ của cầu thủ thứ nhất nhiều hơn của cầu thủ thứ 2 31 Một người tung ngẫu nhiên đồng thời 3 con xúc xắc

a) Tính xác suất cĩ đúng 2 con xúc xắc xuất hiện cùng số chấm

b) Hỏi phải tung tối thiêu đồng thời 3 con xúc xắc bao nhiêu lần đề xác suất cĩ

ít nhất I lần cĩ đúng 2 con xúc xắc xuất hiện cùng số chấm khơng nhỏ hơn 0,999 2

32 Một em bé rút ngẫu nhiên cĩ hồn lại 20 lan I viên bi trong hộp cĩ 8 bi trăng và 2 bi đen Tính xác suất cĩ ít nhất 1 lần em rút được bi đen

33 Một đồn tàu cĩ 40 khách chuẩn bị vào øa kế tiếp với 25 khách đang chờ đợi Biết răng đến øa kế tiếp mỗi hành khách cĩ thê xuống tàu với xác suất là 0.3 và

mỗi khách mới cĩ thê lên tàu với xác suất là 0,6 Tính xác suất khi tàu rời ga kế tiếp :

a) Trên tàu cĩ 30 người b) Trên tàu cĩ 3l người

34 Ban điều tra nhận định tội nhân khai thật với xác suất 90% Đề kiêm tra lại, người ta dùng một máy điện tử đề đo sự thật Biết rằng máy này xác định đúng sự thật với xác suất là 95% với người nĩi thật và 5% với người nĩi dối

a) Người ta dùng máy kiểm tra | lần và máy xác nhận đúng sự thật Tính xác

suất đề tội nhân khai thật

b) Người ta dùng máy 3 lần liên tiếp, độc lập thì máy đều xác nhận đúng sự

thật Tính xác suất đề tội nhân khai thật

35 Một chiếc máy bay cĩ thể xuất hiện ở vị trí A với xác suất là 60% và ở vị

trí B với xác suất là 40% Cĩ 3 phương án bĩ trí 4 khâu pháo bắn máy bay như

sau :

- Phương án I : Đặt 3 khâu ở A và I khẩu ở B - Phương án 2 : Đặt 2 khâu ở A và 2 khẩu ở B

Trang 33

- Phương án I : Đặt I khâu ở A và 3 khâu ở B

Biết xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 70% và các khẩu pháo

hoạt động độc lập với nhau Hãy chọn phương án bồ trí các khâu pháo tốt nhất 36 Trong mỗi phép thử 2 con xúc xắc được gieo ngẫu nhiên đồng thời Tính xác suất trong 10 phép thử như thế cĩ ít nhất 1 phép thử mà tổng số chấm trên 2

con xúc xăc băng 5

Trang 34

1 Mơ phỏng thí nghiệm gieo đồng xu: - Phát sinh giá trị của R

- Nếu &<0.5 thì cho kết quả xuất hiện mặt “sap”, ngược lại thì cho kết quả mặt “ngửa”

2 Mơ phỏng gieo con xúc xác: - Phat sinh giá trị của R - Nếu R nằm trong khoảng | 2 :4] thì cho xuất hiện kết quá là “mặt ¡*, với ¡=1,2 6 tương ứng Bài tập về mơ phỏng 1 Mơ phỏng thí nghiệm gieo đồng thời 2 đồng xu với các yêu cầu sau: - số lần gieo nhập vào từ bàn phím

~ chỉ in kết quả cho trường hợp sĩ lần gieo khơng vượt quá 100 - cĩ thơng kê về số lần xuất hiện các kết quả

- dự đốn xác suất xuất hiện của biến cĩ “hai đồng xu xuất hiện 2 mặt khác nhau” bằng tần suất của hiện của nĩ

2 Mơ phỏng thí nghiệm gieo l con xúc xắc với các yêu cầu sau: - số lần gieo nhập vào từ bàn phím

- chỉ in kết quả cho trường hợp sĩ lần gieo khơng vượt quá 200 - cĩ thơng kê về số lần xuất hiện các kết quả

- dự đốn xác suất xuất hiện của biến cơ “số chấm xuất hiện khơng vượt quá 4” bang tần suất của hiện của nĩ

3 Bằng mơ phỏng hãy dự đốn xác suất của biến cĩ “tổng số chấm xuất hiện khi gieo 2 con xúc xắc là một số nguyên tố”

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	6,11 MB