TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ, Các khái niệm cơ bản của xát suất, ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM

TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ, Các khái niệm cơ bản, ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TPHCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN SÁC XUẤT THỐNG KÊ

TIỂU LUẬN:

Nhóm thực hiện: nhóm 9 Lớp: B211301106

Khóa: 2007-2011 Giáo viên hướng dẫn: GV PHAN MINH CHÍNH

TPHCM, Ngày 07 tháng 06 năm 2009

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN SÁC XUẤT THỐNG KÊ

Nhóm thực hiện: nhóm 9 Lớp: B211301106

Khóa: 2007-2011 Giáo viên hướng dẫn: GV PHAN MINH CHÍNH

TPHCM, Ngày 07 tháng 06 năm 2009

A Các khái niệm cơ bản của xát suất

1 Biến cố ngẩu nhiên

Phép thử và biến cố

- phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm nào đó hay quan sát một hiện tượng

nào đó để xem có xảy ra hay không Hiện tượng có xảy ra hay không trong phépthử được gọi là biến cố ngẩu nhiên Biến cố ngẩu nhiên được ký hiệu A,B,C…

a) Biến cố chắc chắn trong một phép thử , biến cố nhất định xảy ra là chắc

b) Biến cố đối lập

- Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu chúng thỏa mãn 2 điều kiệnsau :

1) A và B xung khắc với nhau

2) Phải có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra nghĩa là A B = Ω

II XÁT SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.1.Định nghĩa xát suất dạng cổ điên

Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng , trong đó có mkhả năng thuận lợi cho biến cố A xuất hiện thì xát suất của A là :

2.2 Định nghĩa theo thống kê

- Quan sát biến cố A trong 1 phép thử nào đó , lặp lại phép thử n lần với điều kiệnnhư nhau Gọi m là số lần xuất hiện thì tần suất của A trong n phép thử là fn(A)=

- Xát suất của biến cố A là P(A) = lim fn (A) Trong thực hành , với n đủ lớn thì

P(A)

P(A) = =

≈ fn (A)

Ưu điểm và hạn chế

-Ưu điểm : không đòi hỏi phép thử có hữu hạn các biến cố và biến cố đồngkhả năng mà dựa trên quan sát thực tế , vì vậy định nghĩa này được ứng dụng rộngrãi

- Hạn chế : Đòi hỏi phải lăp lại phép thử nhiều lần , Trong thực tế có nhiều bàitoán không cho phép do diều kiện và kinh phí làm phép thử

2.3.Định nghĩa theo hình học

Cho miền Ω Gọi độ đo của Ω là độ dài , diện tích ,thể tích ( ứng với Ω là đường

cong, miền phẳng khối ) Gọi A là biến cố điểm M  S  b Ω Ta có P(A) =

2.4 Tính chất của xác suất

i) 0  P(A)  1 , với mọi biến cố A ; ii) P( ) = 0 iii) P(Ω)=1

2.5 Ý nghĩa của xát suất

Xát suất là số đo mức độ tin chắc , thường xuyên xảy ra của 1 biển cố trong phépthử

Chú ý : Xát suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử

III CÔNG THỨC TÍNH XÁT SUẤT

3.1 Công thức cộng xát suất

a) Biến cố xung khắc

-A và B xung khắc thì : P(A B) = P(A) + P(B)

- Họ { Ai} (i=1,2,…,n) thì : P ( A1  A2 …. An )=P(A1) + P(A2) + …+ P(An)

1.4 Công thức nhân xác suất

1.4.1 Xác suất có điều kiện:

1.4.2 Biến cố độc lập, công thức nhân:

Biến cố độc lập: 2 biến cố A và B gọi là độc lập nếu P(A/B)=P(A) (hoặc

P(B/A)=P(B)), tức là sự xảy ra hay không của biến cố này không ảnh hưởng đếnkhả năng xảy ra của biến cố kia

P(A)

P(AB)P(A / B) , P(B) 0

P(B)

+ A, B độc lập: P(AB)=P(A)P(B).

Mở rộng:

+ A, B tùy ý:

Mở rộng:

1.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

1.5.1 Hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi

Hệ các biến cố: được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu trong phép thử bắtbuộc có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra

1.5.2 Công thức xác suất đầy đủ, công thức giả thiết Bayes:

Nếu trong một phép thử có biến cố B và một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từngđôi

-Công thức xác suất đầy đủ:

- Công thức Bayes (giả thiết):

P(B)P(A )P(B/ A )





II Biến ngẩu nhiên và luật phân phối xác suất

1.1 Khái niệm và phân loại biến ngẩu nhiên

a Khái niệm:

- Một biến số được gọi là ngẩu nhiên nếu trong kêtd quả của phép thử nó nhận một

và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của cácnhân tố ngẩu nhiên

- các biến cố ngẩu nhiên được gọi là:X,Y,Z còn các giá trị của chúng là:x,y,x

b phân loại biến ngẩu nhiên:

- Biên ngẩu nhiên (bnn) được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể lập nên 1 tập hợphữu hạn hoặc điếm được

1.2 Luật phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên

- Luật phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên là một cách biểu diễn quan hệ giữa

các giá trị của biến ngẩu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trịđó

1.2.1 Phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên

a trường hợp rời rạc

Cho biến ngẩu nhiên rời rạc X có X = { x1,x2, xn } với xác suất tương ứng là pi =P{ X= xi}

Ta có phân phối xác suất (dạng bảng )

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 11

X x1 x2 xn

p2 pn

Trường hợp biến ngẩu nhiên liên tục thi phân phối xác suất được gọi là hàm độ

xác suất cho biến ngẩu nhiên liên tục X.Hàm f(x), x R được gọi là hàm mật độxác suất của X nếu thỏa:

- Về măt hình học ,xác suất biến ngẩu nhiên (bnn) X nhận giá trị (a;b) bằng

diện tích hình thang cong giới hạn x=a ,x=b ,y = f(x) và trục Ox

- Nếu f(x) thỏa f(x)≥ 0, x R và ∫

¿∞

+∞

f ( x ) dx=1 thì f(x) là hàm xác suất của bnnnào đó

1.2.2 Hàm phân phối xác suất

- Hàm phân phôi xác suất của biến ngẩu nhiên X ,kí hiệu F(x) hoặc Fx(x), là xácsuất để X nhận giá trị nhỏ hơn x (với x là số thực bất kì F(x) =P{ X<x} x R.+hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái của sốx

+Với biên ngẩu nhiên rời rạc X = { x1, x2,…xn} :

- giả sử x1<x2<…<xn , ta có hàm phân phối xác suất của X :

Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào đó

2.2.2 Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suấtf(x) được định nghĩa

2.2.3 Một số tính chất cơ bản

i liên tục và Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 13

2.3 Một số luật phân phối

2.3.1 Loại rời rạc

2.3.1.1 Phân phối siêu bội

Định nghĩa: Ta nói X có phân phối siêu bội với xs tương ứng

+ xs xuất hiện A trong mỗi phép thử là như nhau và

Mô hình phân phối nhị thức: Giả sử X là số lần xuất hiện bc thắng lợi A trong

dãy n phép thử Bernoulli, với P(A)=p Hãy tìm luật phân phối của X

Định nghĩa: Ta nói X có phân phối nhị thức với xs tương ứng

n N

2.3.1.3 Phân phối Poisson:

Cho ĐLNN rời rạc X Ta nói X có phân phối Poisson với tham số , nếu X nhậncác giá trị 0, 1, 2,… với xs tương ứng

2.3.2 Loại liên tục

2.3.2.1 Phân phối chuẩn:

ĐLNN X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ ppxs có dạng

trong đó là các tham số,

Ký hiệu

2.3.2.2 Xs của ĐLNN X có phân phối chuẩn

i Phân phối chuẩn đơn giản:

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 15

(x ) 2

+ rời rạc nếu X và Y rời rạc

+ liên tục nếu X và Y liên tục

2.4.2 Luật pp của vectơ ngẫu nhiên

m

p p p

Phần hai : BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một khẩu pháo là 0,6 biết rằng mục tiêu bị

tiêu diệt khi bị 3 quả đạn pháo bắn trúng Gọi X là số đạn bắn đến khi mục tiêu bịdiệt Tìm

a) Gọi X là số đạn bắn trúng khi mục tiêu bị tiêu diệt theo đề bài X nhận cácgiá trị x = 3, 4, 5, 6.

Vậy số viên đạn mà khẩu pháo bắn ra là 6 viên trong đó xác suất trúng mỗi viên là0,6 Nên có thể xem đây là 1 dãy có 6 phép thử độc lập với xác suất mỗi phép thử

Câu 2: Năng suất lúa ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với

kì vọng 42tạ/ha và   3tạ/ha Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì

có 2 thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha

Giải Gọi X là năng suất của lúa ở một địa phương có phân phối chuẩn X ~ N (  , 2)Với kì vọng (năng suất trung bình) E X( )   42tạ/ha và   3tạ/ha

Hay X ~ N (42 , 32)

Ta có: P(41X 43) là năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 1tạ/ha

b) E(X) =

100

3 100

Câu 4: Ba học sinh cùng làm bài thi Xác suất làm được bài của sinh viên A là

0,8 Của sinh viên B là 0,7 Của sinh viên C là 0,6 Tìm xác suất của biến cố sau:a) Có 2 sinh viên làm được bài

b) Nếu có 2 sinh viên làm được bài hãy tìm xác suất để sinh viên A không làmđược bài

Câu 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng

mục tiêu hoặc hết cả 4 viên thì thôi Gọi X là số viên đạn đã bắn Mốt Mod [X] ?

Giải:

Gọi xác suất bắn trúng của xạ thủ đó là p thì (0 ≤ p≤ 1)

Gọi X là số viên đạn đã bắn Thì X nhận các giá trị x = 1, 2, 3, 4P(X=1) = p

Câu 7: Cho Z = 2X – Y + 5 biết

(X,Y) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,0) (2,1)ij

− 1 1 3

= 1 3

V ậ y P ( A B )=1

3

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 25

Câu 10/ Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu , mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có 1 lựachọn đúng Mỗi câu sinh viên làm đúng được 1 điểm Tính sác xuất để sinh viênlàm được đúng 5 điểm

Giải

Đề thi có 10 câu mỗi câu có 4 lựa chọn trong đó chỉ có 1 lựa chọn đúng Vậy trong

10 câu thì tỉ lệ đúng mỗi câu là 14 = 0,25

Gọi X là sỗ câu đúng đánh được ( cũng chính là số điểm đạt được)

Thì X có phân phối nhị thức X B ( 10 ; 0,25)

Vậy xác suất để sinh viên được 5 điểm là P( X =5) = C105 0,25 5 0,75 5 = 0,058 =5,8%

C âu 11:C ó 3 nh ó m h ọ c Nh ó m I c ó 5 nam2 nữ , nh ó m II c ó 4 nam1 n ữ , nh ó m III c ó 3 nam

2 n ữ Ch ọ n ng ẫ u nhi ê n 1sinh vi ê n trong nh ó mthì đ ượ c sinh vi ê n nam X á c xu ấ t đ ể

sinh viê n đó thu ộ c nh ó m II

Gi ả i:G ọ i A1l à biế n c ố sinh viê n đ ượ c ch ọ n ở nh ó m I

G ọ i A2l à biế n c ố sinh viê n đ ượ c ch ọ n ở nh ó m II G ọ i A3l à bi ế n c ố sinh vi ê n đ ượ c ch ọ n ở nh ó m I

II

Gọi B là biến cố chọn được sinh viên nam

Đây là một hệ đầy đủ

= 14 37

C âu 12 : L ấ y ng ẫ u nhi ê n1 l á b à it ừ b ộ b ài 52l á X á c su ấ t l ấ y đ ượ c lá Á ch ho ặ c l á C ơ

P(A2)=C131

C521 = 13

52=

1 4

V ậ y P(X2 +Y 2≤ 1)=∬

r ,φ

❑

drdφ cosφ V ớ i ∀ r , φ={0≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π

0

π

4

dφ cosφ

Câu 14: Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ chính phẩm 0,95 Tìm xác

suất để số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong khoảng từ 900 đến 980

Giải:

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 29

Gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn X có phân phối nhị thức X ~ B(1000 ;0,95)

nhưng vì n = 1000 ( sản phẩm ) là lớn và p = 0,95 không quá gần 0 và 1 nên :

Câu 15: Có 2 lô hàng, mỗi lô gồm 10000 sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm loại I của lô

thứ nhất, thứ hai tương ứng là 70% , 80% Người ta lần lượt lấy từ mỗi lô ra 10 sảnphẩm để kiểm tra (lấy không hoàn lại) Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra có

từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô hàng đó

a) Tìm xác suất để lô hàng thứ nhất được mua

b) Tìm xác suất để ít nhất một lô hàng được mua

A1 là biến cố lô hàng thứ nhất được mua

A2 là biến cố lô hàng thứ hai được mua

Xi là số sản phẩm lấy ra để kiểm tra

Theo đề bài thì lô hàng thứ nhất và thứ hai có quy luật phân bố siêu bội

.(lấy không hoàn lại)

XI ~ H(10000;7000;10)

XII ~ H(1000;8000;10)

Nhưng vì số tổng sản phẩm là N = 10000 rất lớn trong khi đó số sản phẩm lấy ra n

= 10 rất nhỏ nên có thể coi 2 lô hàn có quy luật phân phối nhị thức

= 0,233 + 0,121 + 0,028 = 0,382

b/ Xác suất để lô hàng thứ hai được mua là:

P(A2) = P(8 ¿X≤ 10) = P( X =8) + P( X =9) + P( X =10)

= C 108 (0,8) 8 (0,2) 2 + C 109 (0,8) 9 ( 0,2) 1 + C 1010 (0,8) 10 (0,2)0

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 31

= 0,302 + 0,268 + 0,107 = 0,677.

Gọi A là biến cố có ít nhất một lô hàng được mua

⇒ ´A là biến cố không có lô hàng nào được mua

P(A) = 1 - P( A− ) = 1 – P( A− 1 A− 2) = 1 - P( A− 1).P( A− 2)

= 1- (1-0,382).(1-0,677) ≈0,8

Câu 16: Một lô hàng gồm 10000 sản phẩm , trong đó có 40000 sản phẩm loại II Chọn

ngẫu nhiên 2400 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại để kiểm tra

a) Tính xác suất để trong số 2400 sản phẩm chọn ra kiểm tra có không quá 960 sảnphẩm loại II

b) Tính số sản phẩm loại II trung bình có trong 2400 sản phẩm được chọn Nếu chọntheo phương thức không hoàn lại thì kết quả thay đổi thế nào?

Câu 17: Trong ngày lễ quân đội, người ta đưa hai khẩu súng A và B Xạ thủ M

vào chơi sẽ được rút ngẫu nhiên 4 cây bài trong 52 cây (trong đó có 4 cây A t) Nếu

có ít nhất 1 cây A t thì M lấy được súng A, ngược lại sẽ lấy được súng B Sau đóbắn 100 viên đạn Người ta biết rằng với M thì xác suất bắn trúng bia bằng súng A

là 0,8 và bằng súng B là 0,7 Nếu trong 100 viên đạn đó trúng 80 viên thì đượcthưởng 1 tivi, có 50 viên trúng thì được thưởng 1 catxet Nếu có trên 80 viên trúng

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 33

thì được 1 đồng hồ treo tường Nếu dưới 40 viên thì phát 50 ngàn đồng Tính xácsuất của các biến cố

a) Được thưởng tivi

b) Được thưởng catxet

c) Được thưởng đồng hồ tường

d) Bị phạt 50 ngàn đồng

Giải:

Gọi X là số lá át mà xạ thủ M rút được:

¿ >X H (52,4,4 )

Gọi A1 là biến cố xạ thủ M rút được khẩu súng A

Gọi A2 là biến cố xạ thủ M rút được khẩu súng B

Gọi XA là số đạn bắt trúng của xạ thủ M khi dùng khẩu súng A ¿ >X A B (100,0.8)

vì n=100 khá lớn và pA=0.8 không quá gần 0 và 1 nên có thể xem 1 cách gần đúng

XA có phân phối chuẩn là :X A H (μ , δ2

) với {δ2=npq=100× 0.8 ×0.2=16μ=np=100 × 0.8=80

+Ph ươ ng sai: D ( X )=E(X2)− ¿

Câu 19: X,Y là hai BNN có hàm mật độ đồng thời là:

2 y ln x

với x≥1

Câu 20: Ở một cửa hàng bảng số lít trung bình bán ra trong một ngày :

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 39

Vậy ước lượng nước mắm trung bình bán trong một ngày là : ( 59,9625 ;64,6625 ).

⇒ Khoảng ước lượng là ( x n−ε ; x n+ε ) hay ( 58,7125 ; 65,9125 ).

Vậy ước lượng nước mắm trung bình bán trong một ngày là : ( 58,7125 ;65,9125 )

b/ Nếu mỗi lít nước mắm có giá là 6 ngàn đồng thì cửa hàng cần phải dự trữ móntiền trung bình trong một ngày để lấy nước mắm cung cấp cho khách hàng là :( 58,7125.6 ; 65,9125.6 ) hay ( 352,275 ; 395,475 ) (ngàn)

c/ Với độ tin cậy 1−α ta ước lượng được ( δ12;δ22 ) với

Câu21 Cân thử trọng lượng 15 con gia súc ở một trại chăn nuôi khi xuất

chuồng, ta được các kết quả sau:

a/ Trọng lượng con gia súc có phân phối chuẩn :

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 43

α=0.01 ⇒t α n−1=t0.0114 =4.66 với t=2.67<t α n−1=t0.0114

= 4.66 ta chấp nhận HoVậy ta chấp nhận trọng lượng trung bình của gia súc là 3.9 kg

Câu 22 Tại một nông trường, để điều tra trọng lượng một loại trái cây, người ta

cân thử một số trái cây được kết quả cho trong bảng sau

a) Ước lượng trọng lượng trung bình của loại trái cây ở nông trường với độ tin

cậy 99%

b) Để ước lượng trung bình của một loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy

99% và độ chính xác 0,22g thì cần cân them bao nhiêu trái cây nữa?

c) Người ta quy ước những trái cây có trọng lượng nhỏ hơn 60g là thuộc loại

II Hãy ước lượng tỉ lệ trái cây loái II với độ tin cậy 95%

d) Sau đợt kiểm tra, người ta bón them một loại phân hóa học mới làm cho

trọng lượng trung bình một trái cây là 70g Hãy cho kết luận về tác dụng của

loại phân này với mức ý nghĩa 1%

Giải:

Trọng lượng trung bình của trái cây ta có bảng sau

a.Ước lượng trung bình đám động

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 45

⇒tổng số trái cây loại II là m=2+11+25=38

Trong tổng số trái cây là n=361

Tức trọng lượng trung bình của trái cây là < 70(g)

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 47

Câu 23: Người ta dùng phương sai hay độ lệch tiêu chuẩn làm độ đo đánh giá sự

rủi ro của cổ phiếu Điều tra NN giá cổ phiếu công ty A trong 25 ngày tính được2

1 6,52

s  , của công ty B trong 22 ngày tính được s 22 3, 47 Với mức ý nghĩa 5%

có thể cho rằng độ rủi ro cổ phiếu của công ty A cao hơn của công ty B không?

Giải:

Gọi rủi ro cổ phiếu của công ty A là A2

Gọi rủi ro cổ phiếu của công ty B là B2

Vì g = 1,88 < f = 2,37  chấp nhận H0 tức với mức ý nghĩa là 5% thì vẫn chưa

đủ để nói rủi ro cổ phiếu của công ty nào là hơn