Tiểu luận xác suất thống kê

Đây là bài tiểu luận về một số lý thuyết, công thức trong môn Lý Thuyết Xác Suất Thống Kê toán và một số bài tập liên quan kèm theo đáp án chi tiết. Nếu cảm thấy hay các bạn có thể tải về để theo dõi thuận tiện nhé, giá chỉ 7000 đồng thôi Cảm ơn các bạn đã ủng hộ cho mình, nghìn tym gửi đến các bạn ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH

BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Lý thuyết xác suất và thống kê toán Thời hạn nộp bài: Ngày 1/9/2021 lúc 11h (Không được nộp trễ) NỘI DUNG YÊU CẦU:

Câu 1 (2 điểm) Hãy trình bày sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau:

-Các công thức xác suất cơ bản (công thức cộng, công thức nhân, công thức Bernulli, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes).

- Biến ngẫu nhiên liên tục và các đặc trưng của nó.

- Phân phối nhị thức.

Câu 2 (3 điểm) Hãy nêu 10 bài tập cho các nội dung ở câu 1, có tính toán và giải chi tiết.

Câu 3 (2 điểm) Hãy trình bày sự hiểu biết của bạn về các nội dung sau:

- Kiểm định trung bình trên một tổng thể.

- Kiểm định tỉ lệ trên một tổng thể.

Câu 4 (3 điểm) Hãy nêu 10 bài tập cho các nội dung ở câu 3, có tính toán và giải chi tiết.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

Môn thi: Lý thuyết Xác suất Thống kê

Họ và tên sinh viên: Nguyễn Lê Tuấn Hùng

MSSV: 030836200057 Lớp học phần: D01

Số thứ tự: 17

THÔNG TIN BÀI THI

Bài thi có: (bằng số): …24… trang

(bằng chữ): …hai mươi bốn… trang

YÊU CẦU

BÀI LÀM

MỞ ĐẦU

Xác suất thống kê hiện nay xuất hiện nhiều trong đời sống xã hội, nó gắnliền với nhiều môn khoa học như toán học, hóa học, lý học và đặc biệttrong kinh tế học Cả thống kê và xác suất đều là một nhánh của toánhọc

Trong thực tế ta thường gặp vấn đề: phải kiểm tra xem 1 điều gì đó đúnghay sai, nội dung thông tin mà ta nhận được từ các nguồn cung cấp (1người, 1 cơ quan, 1 tờ báo, 1 tổ chức ) có đáng tin cậy không Công việckiểm tra lại nội dung thông tin mà ta nhận được xem có đáng tin cậykhông ta sẽ dùng đến thống kê Để giải các bài toán thống kê, ta có cácước lượng và kiểm định như ước lượng điểm, ước lượng khoảng cho tỷ lê,ước lượng khoảng cho giá trị trung bình, kiểm định trung bình, kiểm định

tỷ lệ và kiểm định phương sai

Ta thấy xác suất xuất hiện rất nhiều ở xung quanh ta như chơi xúc xắchay cá ngựa (chủ yếu là trong cờ bạc) Ví dụ như trong xúc xắc khi tatung, thì ta không biết được mặt nào sẽ xuất hiện, lúc thì mặt một chấmhay lúc xuất hiện mặt hai chấm Và khả năng xảy ra một trong sáu mặt

là như nhau Lý thuyết xác suất cũng được sử dụng để mô tả cơ học vàquy luật cơ bản của hệ thống phức tạp Để giải các bài toán xác xuất, ta

có các công thức giúp ta giải bài toán như công thức bù, công thức cộng,công thức xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, công thứcBayes, công thức Bernoulli, phân phối nhị thức và phân phối chuẩn

Cảm ơn GV Nguyễn Huy Thao đã hướng dẫn em hoàn thành bài tiểu luậnnày, nếu có sai sót mong thầy sẽ góp ý để các bài tiểu luận sau sẽ tốthơn

P(A + B) là xác suất của tổng hai biến cố

P(A) là xác suất biến cố A xảy ra

P(B) là xác suất biến cố B xảy ra

P(AB) là xác suất cả A và B xảy ra

b Mở rộng

Cho hệ biến cố {A1, A2,…An}, ta có công thức cộng xác suất được xác định

P(A1 + A2 +…+ An) = – + –…+ (–1)n–1 P(A1A2…An)

Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng các suất của chúng

P(A + B) = P(A) + P(B)

b Mở rộng

Cho hệ biến cố {A1, A2,…An}, ta có công thức cộng xác suất được xác định

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

1.2 Công thức xác suất có điều kiện

a Định nghĩa

Cho A và B là hai biến cố tùy ý, xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B

đã xảy ra, kí hiệu P(A/B) được xác định

P(A/B) = Trong đó:

P(A/B) là xác suất có điều kiện của biến cố A với biến cố B đã xảy ra

P(AB) là xác suất cả A và B xảy ra

P(B) là xác suất biến cố B xảy ra

b Mở rộng

Cho hệ biến cố{A1, A2,…An} và biến cố B tùy ý, ta có

P(A1, A2,…An) = P(A1) × P(A2/A1) × P(A3/A2A1) × P(An/A1A2…An-1)

c Lưu ý

 P(AB) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

 Khi biến cố A và B độc lập thì

→ P(AB) = P(A) × P(B/A) = P(A) × P(B)

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu A hoặc B xảy ra không ảnh hưởng đến cái còn lại

1.3 Công thức Bernoulli

Công thức Bernoulli cho phép ta tính xác suất xuất hiện k lần của một biến cố A bất kì trong

n lần thử với mỗi lần thử xác suất để xuất hiện biến cố A là như nhau và bằng p cho trước và(q = 1 – p) là xác suất biến cố A không xuất hiện trong mỗi lần thử

Ta có công thức Bernoulli được biểu diễn

= × ×

1.4 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

1.4.1 Công thức xác suất đầy đủ

a Định nghĩa về nhóm biến cố đầy đủ

Cho một nhóm gồm n biến cố bất kì {H1, H2,…Hn} được gọi là nhóm biến cố đầy đủ

b Công thức xác suất đầy đủ

Cho {H1, H2,…Hn} là một nhóm biến cố đầy đủ Giả sử A là một biến cố bất kì có thể xảy rađồng thời với một trong các biến cố Hi (i=1,…,n), ta có công thức xác suất đầy đủ

P(A) = P(H1) × P(A/H1) + P(H2) × P(A/H2) +…+ P(Hn) × P(A/Hn)

1.4.3 Công thức Bayes

Giả sử ta có một nhóm đầy đủ {H1, H2,…Hn} sau đó có thêm sự kiện A nào

1.5.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên là một quy tắc cho tương ứng một biến cố với một số thực bất kì Kí hiệu X,

Y, Z,…

1.5.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

 Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, vì giá trị được ghi nhận là vô hạn trải dài trên trụcgiá trị vậy xác suất của biến ngẫu nhiên sẽ được biểu diễn thông qua hàm mật độ xácsuất Hàm mật độ xác suất cho biết xác suất ứng với các giá trị của biến ngẫu nhiên

 Các tính chất (điều kiện) của hàm mật độ xác suất

 = 1

 f(x) 0 x

 P{aXb} = (điều kiện này cho phép ta tính được xác suất)

 Lưu ý: Với X là biến ngẫu nhiên liên tục thì

P{aX<b} = P{a<Xb} = P{a<X<b} = P{aXb}

1.5.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên liên tục

 Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục được xác định thông qua công thức liên quanđến hàm mật độ xác suất

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số p được kí hiệu là

X B(n;p) nếu X nhận một trong các giá trị 0,1,…,n với xác suất được xác định theo côngthức Bernoulli

= × × (với x=0,1,…n)Các đặc trưng của phân phối nhị thức

 EX = np

 Var(X) = np(1 – p)

 Mod(X): (n + 1)p – 1 m0 (n+1)p

 Câu 2

Bài tập 1 Một công ty vận tải xuất nhập khẩu cần tuyển nhân viên mới trong số 10 ứng viên

gồm 1 sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, 4 sinh viên tốt nghiệp loại khá và 5 sinh viên tốt nghiệploại trung bình của khoa Kinh Tế Quốc Tế trường Đại Học Ngân Hàng Xác suất để mỗi sinhviên tốt nghiệp loại giỏi, khá, trung bình được tuyển lần lượt là 0,9 ; 0,7 ; 0,5 Biết rằng công

ty chỉ tuyển được đúng 1 nhân viên mới Tính xác suất để nhân viên mới đó là sinh viên tốtnghiệp loại khá

GiảiGọi

A: “công ty chỉ tuyển 1 người”

B: “gặp nhân viên được tuyển là loại khá”

Yêu cầu bài toán → Cần tìm P(B/A)

Bài tập 3 Một tiệm chuyên về các sản phẩm máy ảnh kinh doanh 4 loại nhãn hiệu chính là

Canon, Nikon, Sony và Fujifilm Trong cơ cấu hàng bán, Canon chiếm 55%, Nikon chiếm25%, Sony chiếm 15% và còn lại là Fujifilm Khi mua bán, cửa hàng cam kết với khách hàngrằng cả 4 nhãn hiệu camera khi bán ra đều được bảo hành trong thời hạn 12 tháng Sau mộtthời gian hoạt động, chủ cửa hàng đã khảo sát trên toàn bộ sản phẩm kinh doanh và cho rakết quả rằng có 3% máy Canon phải sửa chữa; con số này của 3 hãng còn lại lần lượt là 4%,6% và 7%

a Giả sử có khách hàng mua một máy ảnh, tính xác suất chiếc máy ảnh của người đóphải đem đi sửa trong thời hạn 12 tháng?

b Có một khách hàng mua chiếc máy ảnh chỉ mới 5 tháng nhưng phải đem đi sửa dogặp vấn đề kỹ thuật, hỏi xác suất mà chiếc máy ảnh này là của hãng Sony?

Giải

a Gọi

H1: “gặp máy mua phải là hãng Canon”

H2: “gặp máy mua phải là hãng Nikon”

H3: “gặp máy mua phải là hãng Sony”

H4: “gặp máy mua phải là hãng Fujifilm”

Ta có {H1, H2, H3, H4} tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ

Gọi A: “mua gặp máy phải bảo hành trong thời hạn”

P(A) = P(A/H1) P(H1) + P(A/H2) P(H2) + P(A/H3) P(H3) + P(A/H4) P(H4)

Bài tập 4 Giả sử tuổi thọ của một loài bọ cánh cam là một biến ngẫu nhiên liên tục X

b Gọi A: “gặp con bọ cánh cam chết trước một tháng tuổi”

Yêu cầu bài toán → cần tìm P(A) = P(X<1) = F(1) = – = 0,0508

Bài tập 5 Cho một mô hình đơn giản về chứng khoán Trong mỗi phiên giao dịch, xác suất

giá tăng lên một đơn vị là 0,4 Sự thay đổi giá của các phiên giao dịch là độc lập Tính xácsuất để sau 3 phiên giao dịch liên tiếp giá tăng lên một đơn vị?

GiảiXác suất để sau 3 phiên giao dịch liên tiếp giá tăng lên một đơn vị:

= 0,288

Bài tập 6 Giả sử có 3 máy bay phóng tên lửa vào 1 mục tiêu cho sẵn Với mỗi máy bay

được phóng 1 tên lửa thì xác suất trúng mục tiêu của mỗi máy bay lần lượt là 0,7; 0,8; 0,9.Việc phòng tên lửa trúng mục tiêu của mỗi máy bay là độc lập với nhau Hãy tính xác suất đểmục tiêu bị tiêu diệt, biết rằng mục tiêu bị tiêu diệt khi bị tên lửa bắn trúng?

Giải

Để mục tiêu bị tiêu diệt thì phải có ít nhất 1 tên lửa bắn trúng mục tiêu

Xác suất để máy bay thứ nhất bắn trượt: 1 – 0,7 = 0,3

Xác suất để máy bay thứ hai bắn trượt: 1 – 0,8 = 0,2

Xác suất để máy bay thứ ba bắn trượt: 1 – 0,9 = 0,1

Xác suất để cả ba lần bắn tên lửa của ba máy bay đều trượt: 0,3 0,2 0,1 = 0,006

Xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt: 1 – 0,006 = 0,994

Bài tập 7 Cho một phân phối nhị thức X N(3; ) Xác định các đặc trưng của phân phối nhị

Bài tập 8 Vào dịp sinh nhật của mình, một bé gái được người dì tặng cho một hộp đất nặn,

trong đó có 7 cục đất nặn màu và 3 cục đất nặn màu đen Bé gái sau đó đã cho mẹ 2 cục đấtnặn và cho bố 1 cục Hỏi xác suất bé gái còn lại

b Xác suất để còn lại 2 cục đất nặn màu đen: + = 0,525

c Xác suất để còn lại 1 cục đất nặn màu đen: + = 0,175

d Xác suất để còn lại ít nhất 1 cục đất nặn màu đen: 1 – = 0,9917

e Xác suất để còn không quá 1 cục đất nặn màu đen: + + = 0,1833

Bài tập 9 Giả sử Hoàng Xuân Vinh trong một buổi tập luyện trước thềm Olympic được ghi

nhận xác suất bắn trúng bia là 0,8 Giả sử

a Bắn 3 phát đạn liên tục Tính xác suất có ít nhất 1 lần bắn trúng bia?

b Hỏi cần phải bắn ít nhất bao nhiêu lần để xác suất bắn ít nhất một lần trúng bia nhận đượclớn hơn hoặc bằng 0,9?

Giải

a Gọi Y là số viên đạn trúng bia của Hoàng Xuân Vinh trong 3 nhát bán Ta có Y B(n;p) với

n = 3 và p = 0,8

Yêu cầu bài toán → cần tìm P(Y1) = 1 – P(Y=0) = 1 – = 0,992

b Gọi n là số lần bắn ít nhất một lần trúng bia nhận để xác suất nhận được lớn hơn hoặcbằng 0,9

Do Y B(n;p) với p = 0,8, xác suất để có ít nhất một lần bắn trúng trong n nhát bắn là

P(Y1) = 1 – P(Y=0) = 1 – = 1 –

Yêu cầu bài toán → 1 – 0,9

Yêu cầu bài toán → 0,1

Yêu cầu bài toán → ln(0,1) n ln(0,2)

Yêu cầu bài toán → ln(0,1) n ln(0,2)

Yêu cầu bài toán → n = 1,43

Như vậy để có xác suất có ít nhất một lần trúng bia lớn hơn hoặc bằng 0,9, Hoàng Xuân Vinhcần phải bắn ít nhất 2 phát đạn

Bài tập 10 Giả sử có một cặp vợ chồng sinh đôi Sinh đôi có thể do cùng trứng gọi là sinh

đôi thật, còn sinh đôi do hai trứng khác nhau được gọi là sinh đôi giả Đối với sinh đôi thậtthì giới tính luôn giống nhau Còn với sinh đôi giả thì giới tính của mỗi em bé là độc lập và

có xác suất bằng 0,5 Người ta thống kê được rằng, tồn tại 34% cặp sinh đôi là nam; 30% cặpsinh đôi là nữ và có tới 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau

a Hãy tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật?

b Hãy tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính?

Giải

a Gọi

A: “gặp cặp sinh đôi thật”

B: “gặp cặp sinh đôi cùng giới tính”

Theo giả thiết bài toán → P(B/A) = 1; P(/) = 0,5

 Câu 3

3.1 Kiểm định trung bình trên một tổng thể

Giả sử cho một tổng thể (n: phần tử) được phân chia ngẫu nhiên thành hai loại:

 Có tính chất A

 Không có tính chất A

Gọi là trung bình đối tượng có tính chất A trong tổng thể Có ý kiến cho rằng trung bìnhphần tử có tính chất A trên tổng thể là 0 Với mức ý nghĩa việc cần làm là kiểm định lại ýkiến đó?

 Ta có trung bình mẫu tuân theo phân phối chuẩn

N () Ta có N (0;1)

 Các trường hợp giả thiết cần kiểm định

hoặc hoặc ( đã biết)

Trường hợp 1: Với phương sai của tổng thể đã biết

 Ta có tiêu chuẩn kiểm định được xác định bằng

Gọi p là trung bình đối tượng có tính chất A trong tổng thể Có ý kiến cho rằng trung bìnhphần tử có tính chất A trên tổng thể là p0 Với mức ý nghĩa việc cần làm là kiểm định lại ýkiến đó?

 Ta có trung bình mẫu f tuân theo phân phối chuẩn

N () Ta có N (0;1) (Với q = 1 – p)

 Các trường hợp giả thiết cần kiểm định

hoặc hoặc ( đã biết)

 Ta có tiêu chuẩn kiểm định được xác định bằng

Bài tập 1 Một bao gạo có trọng lượng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng

lượng trung bình là 50kg Nghi ngờ máy đóng gói làm việc không bình thường làm trọnglượng bao gạo giảm sút nên đã tiến hành kiểm tra 25 sản phẩm và thu được số liệu được mô

ta qua bảng số liệu sau

Bài tập 2 Tại nhà máy Samsung đặt tại Khu Công Nghệ Cao Quận 9, TPHCM, người ta ghi

nhận rằng tỷ lệ điện thoại đạt loại A là 45% Sau khi áp dụng các công nghệ mới vào việc sảnxuất cũng như các con chip cao cấp hơn, người ta lấy 400 sản phẩm ra để kiểm tra và ghinhận được 215 sản phẩm loại A Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận rằng việc áp dụngcông nghệ mới vào có làm tăng tỷ lệ điện thoại loại A hay không?

Bài tập 3 Tại một công ty, trong một dây chuyền sản xuất, người ta sử dụng một máy khoan

để khoan lỗ trên bản thép Các lỗ được khoan khi máy hoạt động bình thường sẽ tuân theomột phân phối chuẩn với đường kính lỗ trung bình là 10mm Tuy nhiên, có nhiều ý kiến chorằng máy hoạt động không giống như số liệu đã cho và người ta nói ra rằng trên 9 lỗ khoanchỉ cho ra đường kính trung bình là 9,5mm với s = 0,485 nên họ kết luận chất lượng máykhoan đã xuống cấp Với mức ý nghĩa = 5%, hãy kiểm định ý kiến trên?

Giải

 Các đặc trưng của mẫu:

 n = 9

 = 9,5

Bài tập 4 Để kiểm tra một kho bảo quản hạt giống đảm báo kỹ thuật hay chưa để cấp chứng

chỉ, các nhà kiểm sát chọn ra 700 hạt ngẫu nhiên đem gieo thì thấy có 437 hạt nảy mầm Để

có thể có được chứng chỉ đòi hỏi tỷ lệ hạt nảy mầm kho bảo quản hạt giống phải dưới 65%.Với mức ý nghĩa = 5%, hãy kiểm định kho này đã đủ điều kiện để cấp chứng chỉ hay chưa?

Bài tập 5 Công ty Trách Nhiệm Hữu Hạn Một Thành Viên Phương Nam chuyên về sản xuất

bóng đèn cho các hộ dân trong tỉnh dự định sẽ sản xuất một loại bóng đèn mới có tuổi thọtrung bình là một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với = 3000 giờ Nếu thời giandùng dài hơn, công ty sẽ chịu một chi phí lớn hơn dự tính ban đầu; còn nếu thời gian dùngngắn hơn thì công ty phải chấp nhận việc mất khách hàng Để kiểm tra quy trình diễn rađúng như kế hoạch hay không, công ty sẽ chọn ra 64 bóng đèn ngẫu nhiên đốt thử và thấytuổi thọ trung bình các bóng đèn là 2873 giờ với độ lệch chuẩn là 121 giờ Với mức ý nghĩa

= 5%, hãy cho kết luận về quy trình sản xuất này?

Bài tập 6 Một công ty A mới đây đã thực hiện khảo sát về việc khách hàng có quay trở lại

sử dụng dịch vụ của công ty hay không Kết quả thu được là 60% tỷ lệ khách hàng đã sử

dõi khoảng 300 khách hàng thì ghi nhận có khoảng 167 khách hàng trở lại sử dụng dịch vụcông ty Hãy kiểm định ý kiến trên với mức ý nghĩa = 2,5%

Bài tập 7 Một cuộc khảo sát mới đây được thực hiện nhằm thu thập số liệu về doanh thu

(triệu đồng) hàng tháng của khoảng 100 hộ kinh doanh

Bài tập 8 Một trại nuôi vịt hiện sở hữu một giống vịt mới với trọng lượng tuân theo phân

phối chuẩn có trọng lượng trung bình là 2,8kg/con Gần đây, người ta lai giống vịt này vớigiống vịt khác nhiều nạc hơn Sau khi lai, chọn ngẫu nhiên trong 25 con cân thử người ta thuđược số liệu trung bình là 3,2kg và độ lệch chuẩn của mẫu là 0,5kg

a Với mức ý nghĩa = 5%, hãy kiểm định xem việc lai giống vịt đó có làm tăng trọnglượng trung bình của đàn vịt hay không?

b Nếu trang trại báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất chuồng là 3,3kg/con thì cóchấp nhận được hay không? ( = 5%)

Giảia

 Các đặc trưng của mẫu:

 n = 25

= 3,2