tieu luan xac suat thong ke

31 2.6K 12
tieu luan xac suat thong ke

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

tiểu luận xác suất thông kê Đoàn Vương Nguyên

Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán Nhóm 1: 1. Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071) 2. Bùi Văn Tiệp (08267261) 3. Phạm Văn Toàn (08096701) 4. Nguyễn Như Tuân (08251411) Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009 Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán Nhóm 1: 1. Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071) 2. Bùi Văn Tiệp (08267261) 3. Phạm Văn Toàn (08096701) 4. Nguyễn Như Tuân (08251411) Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009 Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến PHẦN I: LÝ THUYẾT Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất 3.1. Phân phối liên tục: Phân phối đều và phân phối chuẩn 3.1.1. Phân phối đều: • Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là: • Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối đều là: • Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối đều trên [a,b] là: Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất của phân phối đều. của phân phối đều. • Các đặc trưng số của phân phối đều: Kỳ vọng: ( ) ( ) ( ) 2 b a x a b E X xf x dx dx Med X b a +∞ −∞ + = = = = − ∫ ∫ Phương sai: D(X) = E(X 2 ) – E 2 (X) Với: E(X 2 ) = 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 3 b a x x f x dx dx b ab a b a +∞ −∞ = = + + − ∫ ∫ Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến ( ) ( ) 2 b a x a b E X xf x dx dx b a +∞ −∞ + = = = − ∫ ∫ (Tính ở trên) Suy ra phương sai: D(X) = E(X 2 ) – E 2 (X) = 2 2 1 ( ) 3 b ab a+ + - ( 2 a b+ ) 2 = 2 ( ) 12 b a− 3.1.2. Phân phối chuẩn: • Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với hai tham số µ và σ 2 nếu có hàm mật độ là: f(x)= 2 2 ( ) 2 1 2 x e µ σ σ π − − Kí hiệu: X ~ N(µ;σ 2 ) • Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là: F(X)= 2 2 ( ) 2 1 2 t x e dt µ σ σ π − − −∞ ∫  Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên hàm sơ cấp nên ta không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp. • Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn như sau: Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn.  Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chuông. • Các đặc trưng số của phân phối chuẩn: Kỳ vọng: E(X) = 2 2 ( ) 2 1 . 2 x x e dx µ σ σ π − +∞ − −∞ ∫ = µ Phương sai: D(X) = E(X 2 ) – E 2 (X) Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến Với: E(X 2 ) = 2 2 ( ) 2 2 1 . 2 x x e dx µ σ σ π − +∞ − −∞ ∫ = µ 2 + σ 2 E 2 (X) = µ 2 Suy ra: D(X) = E(X 2 ) – E 2 (X) = µ 2 + σ 2 – µ 2 = σ 2 Vậy phương sai : D(X) = σ 2  Ta thấy hai tham số µ và σ 2 chính là kì vọng và phương sai của phân phối chuẩn. Tới đây ta có thể khẳng định phân phối chuẩn hoàn toàn xác định khi biết kì vọng và phương sai của nó. • Tính xác suất: Giả sử X ~ N( µ ;σ 2 ) P[a≤ X ≤b] = 2 2 ( ) 2 1 2 x b a e dx µ σ σ π − − ∫ = ( ) ( ) b a µ µ φ φ σ σ − − − • Quy tắc 3 σ : Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng µ và phương sai σ 2 [ ] 2 ( ) 1 X P X P µ ε ε µ ε φ σ σ σ   − − < = < = −     Với ε σ = ta có: [ ]=2 (1) - 1 = 0,6826P X µ σ φ − < Với 2 ε σ = ta có: [ 2 ]=2 (2) - 1 = 0,9544P X µ σ φ − < Với 3 ε σ = ta có: [ 3 ]=2 (3) - 1 = 0,9973P X µ σ φ − <  Như vậy nếu X ~ N(( µ ;σ 2 ) thì [ ] 1P X µ ε − < = khi 3 ε σ > . Điều này có nghĩa là nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai σ 2 thì gần như chắc chắn rằng X sẽ nhận giá trị trong khoảng [ µ - 3σ , µ + 3σ] • Bổ sung về kiến thức phân phối chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối với kì vọng µ = 0 và phương sai σ 2 = 1 thì X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc hoặc phân phối Gauss. Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc được kí hiệu là ( )x ϕ còn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí hiệu là ( )x φ còn gọi là hàm Laplace. - Hàm ( )x ϕ là hàm chẵn, ( ) ( )x x ϕ ϕ − = , trong khoảng (0, +∞) thì hàm ( )x ϕ đơn điệu giảm. (0) 0,3989 ϕ = , (1) 0,2420 ϕ = , (2) 0,0540 ϕ = , (3) 0,0044 ϕ = , (4) 0,0001 ϕ = và nếu x≥4 thì ( )x ϕ 0 ≈ - Hàm ( )x φ = ( ) x t dt ϕ −∞ ∫  Hàm ( )x φ là hàm lẻ. Ta có: (0) 0,5 φ = , (1) 0,2420 φ = , (2) 0,0540 φ = , (3) 0,0044 φ = , (3,9) 0,0001 φ = và nếu x≥4 thì ( ) 1x φ ≈ và nếu x < -4 thì ( ) 0x φ ≈ Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến Hình 5 : Đồ thị hàm ( )x ϕ Hình 6 : Đồ thị hàm ( )x φ 3.2. Định lý giới hạn trung tâm (Lyapounov) Cho họ các biến ngẫu nhiên {X 1 , X 2 , X 3 , .X n ) độc lập từng đôi một. Đặt Y = 1 n i i X = ∑ ; 1 EX n i i µ = = ∑ và 2 1 ar n i i V X σ = = ∑ Nếu EX i , VarX i hữu hạn và 3 3 1 EX lim 0 n i i n i E X σ →∞ = − = ∑ Thì Y 2 ( ; ) µ σ ∈ 3.3. Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội và nhị thức, Poisson và Nhị thức 3.3.1. Xấp xỉ xác suất giữa siêu bội và nhị thức: • Khi N khá lớn, n khá nhỏ so với N lúc đó quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với quy luật phân phối nhị thức. H(N, M, n) ≈ B(n, p) Ta có: P[X=K] = . . . K n K K K n K M N M n n N p q c c c c − − − ≈ với (q=1–p) • Ví dụ : Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ? Giải: Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra.  X={0,1,2, .,9,10} Ta có: X ~ H(1000, 600, 10) ≈ B(10; 0,6) Suy ra: P[X=K] = 10 10 600 400 10 10 1000 . .(0,6) .(0,4) K K K K Kc c c c − − ≈ với K= 0;10 Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm lấy ra. Suy ra: P(A) = P[X=3]= 3 7 3 3 7 600 400 10 10 1000 . .(0,6) .(0,4) c c c c ≈ = 0,04246 3.3.2. Xấp xỉ xác suất giữa poisson và nhị thức: • Khi n khá lớn (n≥100) và p khá nhỏ (p≤0,05) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối poisson. B(n, p) ≈ P ( λ ) Ta có: P(X=K) = . . . ! K K K n K n e p q K c λ λ − − ≈ với λ =np và K= 0;∞ • Ví dụ: Tại một trận địa phòng không, người ta bố trí 1000 khẩu súng trường. Xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu súng là 0,001. Nếu máy bay bị bắn trúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,8. Nếu máy bay bị bắn trúng ít nhất 2 phát thì chắc chắn bị rơi. Tính xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi lần bắn một viên. Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu  X={0,1,2, .,1000} Ta có: X ~ B(1000; 0,001) ≈ P ( λ ) Với: λ = np = 1000 x 0,001 = 1 Suy ra: X ~ B(1000; 0,001) ≈ P (1) Gọi B là biến cố máy bay bị rơi. Gọi A 0 là biến cố không có viên đạn nào trúng máy bay A 1 là biến cố có 1 viên đạn bắn trúng máy bay A 2 là biến cố có 2 viên đạn bắn trúng máy bay Ta có A 0 , A 1 , A 2 lập thành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(B) = P(A 0 ).P(B/ A 0 ) + P(A 1 ).P(B/A 1 ) + P(A 2 ).P(B/A 2 ) Với P(A 0 ) = P(X=0) = 1 0 0 0 1000 1000 .1 1 .(0,001) .(0,999) 0! e e c − ≈ = P(B/ A 0 ) = 0 P(A 1 ) = P(X=1) = 1 1 1 1 999 1000 .1 1 .(0,001) .(0,999) 1! e e c − ≈ = P(B/A 1 ) = 0,8 P(A 2 ) = P[X≥2] = 1 – P[X<2] = 1 - 2 e P(B/A 2 ) = 1 Suy ra: P(B) = P(A 0 ).P(B/ A 0 ) + P(A 1 ).P(B/A 1 ) + P(A 2 ).P(B/A 2 ) = 1 e .0 + 1 e .0,8 + (1 - 2 e ).1 = 0,5585 Vậy xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi khẩu bắn một viên là 0,5585 3.4. Xấp xỉ xác suất giữa: Chuẩn và nhị thức • Khi n khá lớn (n≥30) và P không quá gần 0, cũng không quá gần 1 (0< P <1) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn và ta có: o P[X=K] = 1 . . . ( ) K K n K n p q u c ϕ σ − ≈ với K u µ σ − = o P[K 1 <X<K 2 ] = 2 1 ( ) ( ) K K µ µ ϕ ϕ σ σ − − − • Ví dụ: Một xạ thủ bắn 100 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,8. Tìm xác suất để có 70 viên đạn trúng mục tiêu? Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu  X = {0,1,2, 100} X ~ B(100; 0,8) ≈ N 2 ( ; ) µ σ Với µ =100. 0,8 = 80 và 2 σ = npq = 100.0,8.0,2 = 16 Suy ra: X ~ B(100; 0,8) ≈ N(80;16) Gọi A là biến cố có 70 viên đạn trúng mục tiêu Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến Suy ra: P(A) = P(X=70) = 70 70 30 100 1 70 80 1 .(0,8) .(0,2) . ( ) . ( 2,5) 4 4 4 c ϕ ϕ − ≈ = − 1 1 . (2,5) .0,0175 0,004375 4 4 ϕ = = = Vậy xác suất để có 70 viên trúng mục tiêu là 0,004375 PHẦN II: BÀI TẬP XÁC SUẤT II.1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỔNG – TÍCH Câu 3: Trong một hộp có 8 bi trắng và 6 bi đen. Lấy lần lượt từ hộp ra 2 bi (không hoàn lại). Tính xác suất cả 2 đều là bi trắng; một bi trắng và một bi đen? Giải: Xác suất cả hai đều là bi trắng: Gọi A là biến cố lần 1 lấy được bi trắng B là biến cố lần 2 lấy được bi trắng C là biến cố cả hai lần lấy đươc bi trắng 1 1 8 7 1 1 14 13 8*7 4 ( ) ( * ) ( )* ( / ) * 14*13 13 C C P C P A B P A P B A C C = = = = = Vậy xác suất lấy được cả hai đều là bi trắng là : 4 13 Xác suất 1 bi trắng và 1 bi đen Gọi A là biến cố lấy được lần 1 là bi trắng B là biến cố lấy được lần 2 là bi đen C là biến cố lấy được một bi trắng và một bi đen 1 1 1 1 8 6 6 8 1 1 1 1 14 13 14 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) 48 48 48 182 182 91 C AB AB P C P AB AB P AB P AB P A P BA P A P B A C C C C C C C C = ∪ = ∪ = + = + = + = + = II.2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ - BAYES Câu 15: Bao lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ hai 30kg và 2% hạt lép; bao thứ ba 50kg và 3% hạt lép. Trộn cả ba bao lúa vào bao thứ tư rồi bốc ra 1 hạt. Tính xác suất hạt bốc ra là hạt lép; giả sử hạt bốc ra không lép, tính xác suất hạt này là của bao thứ 2. Giải: Xác suất hạt bốc ra là hạt lép Gọi A 1 : “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ nhất” A 2 : “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ hai” A 3 : “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ ba” B: “Biến cố hạt bốc ra là hạt lép” Ta có P(B) = P(A 1 ).P(B/A 1 ) + P(A 2 ).P(B/A 2 ) + P(A 3 ).P(B/A 3 ) Với P(A 1 ) = 20 0,2 20 30 50 = + + Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến P(A 2 ) = 30 0,3 20 30 50 = + + P(A 3 ) = 50 0,5 20 30 50 = + + P(B/A 1 ) = 0,01 P(B/A 2 ) = 0,02 P(B/A 3 ) = 0,03 ⇒ P(B) = 0,2.0,01+0,3.0,02+0,5.0,03 = 0,023 = 2,3% Vậy xác suất bốc ra hạt lép là 2,3% Xác suất hạt bốc ra là hạt không lép ở bao thứ hai: Gọi B : “Biến cố hạt lấy ra không lép” ⇒ P( B ) = 1- P(B) = 1 – 0,023 = 0,977 Suy ra : 2 ( / )P A B = 2 2 ( ). ( / ) ( ) P A P B A P B = 0,3.0,98 0,3009 0,977 = = 30,09% Vậy xác suất bốc ra hạt không lép ở bao thứ hai là 30,09% Câu 27: Hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 2 bi đỏ; hộp thứ ba có 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ ba ra 1 bi, tính xác suất bi này là màu xanh. Giải: Gọi A là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 1 thì A là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 1 Gọi B là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 2 thì B là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 2 Gọi C là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 3 P(A) = 7 3 1 7 1 3 = C C 7 4 7 3 1)( =−=⇒ AP Áp dụng công thức đầy đủ P(B)= P(B/A).P(A) + P(B/ A )P( A )= 7 4 . 7 3 . 1 9 1 6 1 9 1 7 C C C C + = 7 5 7 2 7 5 1)(1)( =−=−=⇒ BPBP Áp dụng công thức đầy đủ P(C) = P(C/B).P(B) + P(C/ B ).P( B ) = 28 11 7 2 . 12 4 7 5 . 12 5 7 2 . 7 5 . 1 12 1 4 1 12 1 5 =+=+ C C C C Vậy xác suất bốc được bi xanh ở hộp 3 là: 28 11 Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suấtThống GVHD: Trần Chiến II.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC Câu 28: Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm (chọn một lần) a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được. c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu. Giải: a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được { } 0,1,2X = [ ] [ ] [ ] 0 2 5 3 0 2 8 1 1 5 3 1 2 8 2 0 5 3 2 2 8 1.3 3 0 0 28 28 5.3 15 1 1 28 28 10 2 2 28 C C X P P X C C C X P P X C C C X P P X C = ⇒ = = = = = = ⇒ = = = = = = ⇒ = = = = Ta có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt) X 0 1 2 ( ) P X 3 28 15 28 10 28 Khi 0 ( ) ( ) ( ) 0x F X P X x P≤ ⇒ = < = ∅ = Khi [ ] [ ] 3 0 1 ( ) 0 28 x F X P X x P X< ≤ ⇒ = < = = = Khi [ ] [ ] [ ] 3 15 18 1 2 ( ) 0 1 28 28 28 x F X P X x P X P X< ≤ ⇒ = < = = + = = + = Khi [ ] [ ] [ ] [ ] 2 ( ) 0 1 2 3 15 10 1 18 18 28 x F X P X x P X P X P X> ⇒ = < = = + = + = = + + = Vậy hàm phân phối xác suất là: 0 nếu 0x ≤ ( )F X = 3 28 nếu 0<x ≤ 1 18 28 nếu 1<x ≤ 2 1 nếu x>2 b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được. Gọi X là số sản phẩm xấu được chọn: { } 0,1,2X = Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

Ngày đăng: 08/09/2013, 16:32

Hình ảnh liên quan

Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất  của phân phối đều.         của phân phối đều. - tieu luan xac suat thong ke

Hình 1.

Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất của phân phối đều. của phân phối đều Xem tại trang 3 của tài liệu.
Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác phân phối chuẩn.                    suất của phân phối chuẩn. - tieu luan xac suat thong ke

Hình 3.

Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn Xem tại trang 4 của tài liệu.
Ta có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt) - tieu luan xac suat thong ke

a.

có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt) Xem tại trang 10 của tài liệu.
Bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm xấu) - tieu luan xac suat thong ke

Bảng ph.

ân phối xác suất của X(Số sản phẩm xấu) Xem tại trang 11 của tài liệu.
Bảng xét dấu f(x): - tieu luan xac suat thong ke

Bảng x.

ét dấu f(x): Xem tại trang 12 của tài liệu.
− == (Tra bảng C) - tieu luan xac suat thong ke

ra.

bảng C) Xem tại trang 21 của tài liệu.
Lập bảng cho máy 1 và máy 2: - tieu luan xac suat thong ke

p.

bảng cho máy 1 và máy 2: Xem tại trang 22 của tài liệu.
Ta lập bảng tín h: - tieu luan xac suat thong ke

a.

lập bảng tín h: Xem tại trang 25 của tài liệu.
Ta có bảng số liệu sau: - tieu luan xac suat thong ke

a.

có bảng số liệu sau: Xem tại trang 27 của tài liệu.
Lập bảng để tính xy - tieu luan xac suat thong ke

p.

bảng để tính xy Xem tại trang 28 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan