Lời giải một số bài tập xác suất thống kê đại học GTVT

Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ lượng xăng hao phí... Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ mức hao phí nguyên liệu để sản xuất một sản phẩm.. Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài toán

Lời giải một số bài tập Bài 28 Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ lượng xăng hao phí Theo giả thiết X ∼

N (a, σ2) với a = EX là tham số cần phải ước lượng và phương sai DX = σ2

chưa biết Để ước lượng a ta xét đại lượng ngẫu nhiên

√ n

S0

Ứng với n = 28 < 30, đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối student với n − 1 bậc

tự do

Với độ tin cậy γ cho trước ta đặt α = 1 − γ Khi đó ta cần sử dụng phân vị t(n−1,α) được xác định bởi ràng buộc

P (|T | > t(n−1,α)) = α Thay γ = 0, 95 ta có α = 1 − γ = 0, 05 Thay n = 28 thì t(n−1,α) = t(27;0,05) =

2, 052 Từ đẳng thức xác định t(n−1,α)ta có

P (|T | < t(n−1,α)) = γ Đẳng thức này tương đương với

PX −t(n−1,α)S

0

√

n < a < X +

t(n−1,α)S0

√ n



= γ

Do đó ta chọn công thức ước lượng là



x − t(n−1,α)s

0

√

t(n−1,α)s0

√ n



Tiếp theo chúng ta tính các đặc trưng thực nghiệm từ mẫu được cho Đặt xi =

ai−1+ ai

2 và lập bảng tính như sau

xi ni nixi nix2

i

Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:

¯

x = 1

nΣ

m i=1nixi = 141, 8

s2 = 1

nΣ

m i=1nix2i − (¯x)2 = 720, 04

28 − (5, 0643)2 ≈ 0, 0686,

s02 = n

n − 1s

2 = 28

27× 0, 0686 ≈ 0, 0711,

s0 =√

s02 =p0, 0711 ≈ 0, 2667 Như vậy thay các số liệu thực nghiệm vào công thức ước lượng ta thu được khoảng ước lượng thực nghiệm



5, 0643 −2, 052 × 0, 2667√

2, 052 × 0, 2667

√ 28



Rút gọn chúng ta thu được kết quả

(4, 9609; 5, 1677)

Bài 38 Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ lượng xăng hao phí Theo giả thiết X ∼

N (a, σ2) với a = EX là tham số cần phải ước lượng và phương sai DX = σ2

chưa biết Để ước lượng a ta xét đại lượng ngẫu nhiên

√ n

S0

Ứng với n = 100 > 30, đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật chuẩn tắc N (0, 1)

Với độ tin cậy γ cho trước ta sử dụng phân vị uγ được xác định bởi đẳng thức:

uγ= Φ−1γ

2



Thay γ = 0, 95 ta thu được uγ = Φ−1(0, 475) = 1, 96 Khi đó ta có đẳng thức

P (|T | < uγ) = γ Đẳng thức này tương đương với

PX − uγS

0

√

n < a < X +

uγS0

√ n



= γ

Do đó ta chọn công thức ước lượng là



x − uγs

0

√

n; x +

uγs0

√ n



Tiếp theo chúng ta tính các đặc trưng thực nghiệm từ mẫu được cho Đặt xi =

ai−1+ ai

2 và lập bảng tính như sau

xi ni nixi nix2i

Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:

¯

x = 1

nΣ

m i=1nixi = 4606

100 ≈ 46, 06

s2 = 1

nΣ

m i=1nix2i − (¯x)2 = 212764

100 − (46, 06)2 ≈ 6, 1164,

s02 = n

n − 1s

2

99 × 6, 1164 ≈ 6, 1782,

s0 =√

s02 =p6, 1782 ≈ 2, 4856 Như vậy thay các số liệu thực nghiệm vào công thức ước lượng ta thu được khoảng ước lượng thực nghiệm



46, 06 −1, 96 × 2, 4856√

1, 96 × 2, 4856

√ 100



Rút gọn chúng ta thu được kết quả

(45, 5728; 46, 5472)

Bài 46 Ta ký hiệu tỷ lệ dân sử dụng Internet là p Theo giả thiết kích thước của

mẫu thực nghiệm là n = 2500 Tần suất thực nghiệm tương ứng là

2500 = 0, 392

Kiểm tra điều kiện đối với kích thước n:

nf = 2500 × 0, 392 = 980 > 10, n(1 − f ) = 2500(1 − 0, 392) = 1520 > 10

Ký hiệu tần suất ngẫu nhiên là ˆf = ¯X Khi đó ta chọn đại lượng ngẫu nhiên

T = ( ˆf − p)

√ n q

ˆ

f (1 − ˆf )

Do n đủ lớn nên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật chuẩn tắc N (0, 1)

Với độ tin cậy γ cho trước ta sử dụng phân vị uγ được xác định bởi đẳng thức:

uγ= Φ−1γ

2



Thay γ = 0, 98 ta thu được uγ = Φ−1(0, 49) = 2, 33 Khi đó ta có đẳng thức

P (|T | < uγ) = γ Đẳng thức này tương đương với

P f −ˆ uγ

q ˆ

f (1 − ˆf )

√

n < p < ˆf +

uγ

q ˆ

f (1 − ˆf )

√ n

!

= γ

Do đó ta chọn công thức ước lượng là

ˆ

f − uγ

q ˆ

f (1 − ˆf )

√

uγ

q ˆ

f (1 − ˆf )

√ n

!

Thay các giá trị thực nghiệm f = 0, 392, n = 2500, uγ = 2, 33 ta thu được khoảng ước lượng:

0, 392 − 2, 33p0, 392(1 − 0, 392)

√

0, 392 + 2, 33p0, 392(1 − 0, 392)

√ 2500

!

Rút gọn chúng ta thu được kết quả

(0, 3668; 0, 4172) b) Ký hiệu N là số dân của thành phố Ký hiệu M là số dân thành phố sử dụng Internet Khi đó tỷ lệ dân sử dụng Internet là

N Theo giả thiết ta có N = 7.106 Áp dụng kết quả câu a) ta có:

0, 3668 < p < 0, 4172

⇔ 0, 3668 < M

7.106 < 0, 4172

⇔ 2.567.600 < M

7.106 < 2.920.400

(1) Vậy số tối thiểu người dân sử dụng Internet là 2.567.600 người

Bài 60 Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ mức hao phí nguyên liệu để sản xuất

một sản phẩm Theo giả thiết X ∼ N (a, σ2) với a = EX là mức hao phí trung bình và phương sai DX = σ2 đã biết Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài toán kiểm định một phía

Đối thiết H1 : a > 65

Do đã biết phương sai DX = σ2 = 4 nên chúng ta chọn tiêu chuẩn kiểm định

√ n σ Trên cơ sở giả thiết Ho đúng thì đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất chuẩn tắc N (0, 1) Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng miền bác bỏ Wα sao cho

P (T ∈ Wα) = α Căn cứ vào đối thiết H1 : a > 65 và T có phân phối xác suất chuẩn tắc N (0, 1) ta chọn miền bác bỏ là

Wα = (u1−2α; +∞)

trong đó u1−2α = Φ−1

1 − 2α 2

 với Φ−1 là hàm ngược của hàm Laplace

Thay α = 0, 05 ta có u1−2α = Φ−1(0, 45) = 1, 64 (tra bảng) Vậy ta xây dựng được

Wα = (1, 64; +∞) Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T Từ mẫu thực nghiệm ta đặt xi = ai−1+ ai

2 và lập bảng tính như sau

xi ni nixi

Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:

¯

x = 1 n

m

X

i=1

nixi = 2346

36 ≈ 65, 1667 Như vậy ta nhận được

tqs = (¯x − 65)

√ n

(65, 1667 − 65)√

36

Do tqs 6∈ Wα nên ta chưa có cơ sở bác bỏ Ho

Bài 66. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ thời gian để hoàn thành một sản phẩm Theo giả thiết X ∼ N (a, σ2) với a = EX là thời gian trung bình để hoàn thành một sản phẩm và phương sai DX = σ2chưa biết

Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài toán kiểm định hai phía

Đối thiết H1 : a 6= 14

Do chưa biết phương sai DX = σ2nên chúng ta chọn tiêu chuẩn kiểm định

√ n

S0

Trên cơ sở giả thiết Ho đúng thì đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất theo luật student với n − 1 bậc tự do Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng miền bác bỏ Wαsao cho

P (T ∈ Wα) = α

Căn cứ vào đối thiết H1 : a 6= 14 và T có phân phối xác suất tuân theo luật student với n − 1 bậc tự do nên ta chọn miền bác bỏ là

Wα = (−∞; −t(n−1,α)) ∪ (t(n−1,α); +∞) trong đó t(n−1,α)là phân vị của biến student được xác định theo ràng buộc

P (|T | > t(n−1,α)) = α Thay α = 0, 05 và n = 25 ta có t(n−1,α) = t(24;0,05) = 2, 064 (tra bảng) Vậy ta xây dựng được

Wα= (−∞; −2, 064) ∪ (2, 064; +∞) Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T Từ mẫu thực nghiệm ta đặt xi = ai−1+ ai

2 và lập bảng tính như sau

xi ni nixi nix2

i

P

Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:

¯

x = 1 n

m

X

i=1

nixi = 381

25 = 15, 24

s2 = 1

n

m

X

i=1

nix2i − (¯x)2 = 5937

25 − (15, 24)2 = 5, 2224,

s02 = n

n − 1s

2 = 25

24× 5, 2224 = 5, 44,

s0 =√

s02 =p5, 44 ≈ 2, 3324 Như vậy thay các số liệu thực nghiệm để tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn

T ta nhận được

tqs = (¯x − 14)

√ n

√ 25

Do tqs ∈ Wα nên ta bác bỏ Hovà thay thế bởi H1

Bài 69 Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ trọng lượng của bao phân đạm Theo

giả thiết X ∼ N (a, σ2) với a = EX là trọng lượng trung bình và phương sai

DX = σ2 chưa biết Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài toán kiểm định một phía

Đối thiết H1 : a < 50

Do chưa biết phương sai DX = σ2nên chúng ta chọn tiêu chuẩn kiểm định

√ n

S0

Trên cơ sở giả thiết Hođúng thì đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất xấp

xỉ luật phân phối chuẩn tắc N (0, 1) Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng miền bác bỏ Wαsao cho

P (T ∈ Wα) = α Căn cứ vào đối thiết H1 : a < 50 và T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc nên ta chọn miền bác bỏ là

Wα = (−∞; −u1−2α)

trong đó u1−2α = Φ−11 − 2α

2

 với Φ−1 là hàm ngược của hàm Laplace

Thay α = 0, 05 ta có u1−2α = Φ−1(0, 45) = 1, 64 (tra bảng)

Vậy ta xây dựng được

Wα = (−∞; −1, 64) Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T Từ mẫu thực nghiệm ta đặt xi = ai−1+ ai

2 và lập bảng tính như sau

i

P

Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:

¯

x = 1

n

m

X

i=1

nixi = 4865

100 = 48, 65

s2 = 1

n

m

X

i=1

nix2i − (¯x)2 = 236795

100 − (48, 65)2 = 1, 1275,

s02 = n

n − 1s

2 = 100

99 × 1, 1275 = 1, 1389,

s0 =

√

s02=p1, 1389 ≈ 1, 0672 Như vậy thay các số liệu thực nghiệm để tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn

T ta nhận được

tqs = (¯x − 50)

√ n

√ 100

Do tqs ∈ Wα nên ta bác bỏ Hovà thay thế bởi H1

Bài 75 Gọi p là tỷ lệ phế phẩm của máy Đặt p0 = 0, 06 Theo yêu cầu chúng ta

có bài toán kiểm định

Giả thiết Ho : p = 0, 06 Đối thiết H1 : p > 0, 06

Từ số liệu được cho ta có kích thước mẫu thực nghiệm n = 400 Kiểm tra điều kiện đối với kích thước n

np0 = 400 × 0, 06 = 24 > 5 n(1 − p0) = 400 × (1 − 0, 06) = 376 > 5

Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định là

T = ( ¯X − p0)

√ n

pp0(1 − p0) trong đó ˆf là tần suất ngẫu nhiên

Vì n đủ lớn nên trên cơ sở giả thiết Hođúng đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc N (0, 1) Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng miền bác bỏ Wαsao cho

P (T ∈ Wα) = α

Căn cứ vào đối thiết của bài toán là H1 : p > p0 và căn cứ vào tiêu chuẩn T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc nên ta chọn miền bác bỏ là

Wα = (u1−2α; +∞)

trong đó u1−2α = Φ−11 − 2α

2

 với Φ−1 là hàm ngược của hàm Laplace

Thay α = 0, 05 ta có u1−2α = Φ−1(0, 45) = 1, 64 (tra bảng)

Vậy ta xây dựng được

Wα = (1, 64; +∞) Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T Từ mẫu thực nghiệm ta có tần suất thực nghiệm là

27

400 = 0, 0675 Thay các giá trị thực nghiệm f = 0, 0675, n = 400 và p0 = 0, 06 ta thu được giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn T như sau:

tqs = (f − p0)

√ n

pp0(1 − p0) =

(0, 0675 − 0, 06)√

400 p0, 06(1 − 0, 06) ≈ 0, 6316

Do tqs 6∈ Wα nên ta chưa có cơ sở bác bỏ Ho

Bài 87 Từ số liệu được cho ta lập bảng tính

i xiyi

P

18, 4 35, 8 42, 4662 160, 4918 82, 5263

Từ bảng tính ta được hệ số tương quan thực nghiệm

rtn =

n

n

X

i=1

xiyi−

n

X

i=1

xi

n

X

i=1

yi

v u u tn

n

X

i=1

x2

i − (

n

X

i=1

xi)2

v u u tn

n

X

i=1

y2

i − (

n

X

i=1

yi)2

p8 × 42, 4662 − (18, 4)2p8 × 160, 4918 − (35, 8)2

≈ 0, 9098 b) Giả sử hàm hồi quy tuyến tính phải tìm là y = ax + b Chúng ta sẽ ước lượng các hệ số của hàm hồi quy theo phương pháp bình phương tối thiểu Cụ thể là các

hệ số a, b được xác định bởi hệ phương trình tuyến tính











(

n

X

i=1

x2i)a + (

n

X

i=1

xi)b =

n

X

i=1

xiyi (

n

X

i=1

xi)a + nb =

n

X

i=1

yi

Thay các số liệu thực nghiệm vào hệ trên ta thu được

(

42, 4662a + 18, 4b = 82, 5263

18, 4a + 8b = 35, 8 Giải hệ ta nhận được kết quả

(

a ≈ 1, 2743

b ≈ 1, 5442 Như vậy ta nhận được hàm hồi quy tuyến tính y = 1, 2743x + 1, 5442