Bài tập xác suất thống kê đại học và lời giải

Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân BÀI T P XÁC SU T TH NG KÊ Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 1: XÁC SU T 1.1 M t h p có 100 t m th c ghi s t nhiên hai th r i t theo th t t trái qua ph i Tính xác su t n 100, Rút ng u n a/ Rút c hai th l p nên m t s có hai ch s b/ Rút c hai th l p nên m t s chia h t cho Gi i a/ A :“Hai th rút c l p nên m t s có hai ch s ” A92 9.8 P ( A) = = ≈ 0, 0073 A100 100.99 b/ B : “Hai th rút c l p nên m t s chia h t cho 5” S chia h t cho t n ph i ho c có bi n c B thích h p v i ta rút th th hai m t cách tùy ý 20 th mang s 5;10;15;20;…;95;100, rút 99 th l i t vào v trí âu Do ó s trư ng h p thu n l i cho 99.20 P ( B) = 99.20 = 0, 20 A100 1.2 M t h p có ch a qu c u tr ng qu c u en kích thư c Rút ng u nhiên m t lúc qu c u Tính xác su t qu c u rút c có a/ Hai qu c u en b/ Ít nh t c u en c/ Toàn c u tr ng Gi i Rút ng u nhiên lúc 10 qu c u nên s trư ng h p C10 a/ A :”trong qu c u rút có qu c u en” P ( A) = C32 C7 = 0,30 C10 b/ B :”trong qu c u c rút có nh t qu c u en” P ( B) = C32 C7 + C3 C7 = C10 c/ C :”trong qu c u c ch n có tồn c u tr ng” ng kh Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P (C ) = C7 = C10 1.3 M t h p thu c có ng thu c t t ng ch t lư ng Ch n ng u nhiên l n lư t khơng tr l i ng Tính xác su t : a/ C hai ng c ch n b/ Ch ng c ch n u t t u tiên t t c/ hai ng có nh t m t ng thu c t t Gi i Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i ng nên trư ng h p ng kh A82 a/ A :” C hai ng c ch n b/ B :” Ch ng c ch n u t t” P ( A ) = A52 ≈ 0,357 A82 1 C3 C5 u tiên t t” P ( B ) = ≈ 0, 268 A8 c/ C :” hai ng có nh t m t ng thu c t t” P ( C ) = − A32 ≈ 0,893 A82 1.4 M t h p ng 15 qu bóng bàn ó có qu m i L n u ngư i ta l y ng u nhiên qu thi u, sau ó l i tr vào h p L n th hai l y ng u nhiên qu Tính xác su t c qu l y l n sau u m i Gi i t A :” c qu l y l n sau Bi :” Trong qu l y thi u m i” u có i qu m i” i ∈ {0;1; 2;3} Ta th y { B0 ; B1 ; B2 ; B3 } l p thành nhóm su t tồn ph n y bi n c , theo công th c xác P (A) = P (B0 )P (A | B0 ) + P (B1 )P (A | B1 ) + P (B2 )P (A | B2 ) + P (B3 )P (A | B3 ) = (20.84 + 135.56 + 216.35 + 84.20) ≈ 0, 089 207025 1.5 T m t l p có n sinh viên 12 nam sinh viên, ngư i ta ch n ng u nhiên sinh viên l p Ban cán b l p (BCB) Tính xác su t Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a/ BCB g m n nam, b/ BCB có nh t m t n , c/ BCB có nh t hai nam hai n Gi i t Ak : “BCB có k nam sinh viên” có: ( k ∈ {0,1, 2,3, 4,5} ), 5− k P ( Ak ) = k C12 C8 C5 20 a/ BCB g m n nam Xác su t ph i tính: P( A2 ) = b/ C12 C C5 20 = 77 323 t N: “BCB có nh t m t n ”, N = A5 Do ó, P( N ) = P( A5 ) = − P( A5 ) =− C12 C C5 20 = − 33 = 613 646 646 c/ t H: “BCB có nh t hai nam hai n ” Do ó, P ( H ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) 77 + C 12 C = 616 = 323 969 C5 20 1.6 T m t h p ch a viên bi viên bi tr ng ngư i ta l y ng u nhiên l n, m i l n viên bi, không hồn l i Tính xác su t l y c a/ viên bi ; b/ hai viên bi khác màu; c/ viên bi th hai bi tr ng Gi i V i i ∈ {1, 2} , ăt: Ti : “viên bi l y l n th i bi tr ng”, Di : “viên bi l y l n th i bi ” a/ t A :“l y c viên bi ”, có: P ( A) = P ( D1D2 ) = P ( D1 ) P ( D2 / D1 ) = = 14 13 12 b/ 39 t B : “l y c hai viên bi khác màu”, có: Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P ( B ) = P (T1 D2 + D1T2 ) = P (T1 D2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) P ( D2 / T1 ) + P ( D1 ) P (T2 / D1 ) Suy ra: P ( B) = + = 20 13 12 13 12 39 c/ T2 = T1T2 + D1T2 , nên xác su t ph i tính là: P (T2 ) = P (T1T2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) P (T2 / T1 ) + P ( D1 ) P ( D2 / T1 ) suy P (T2 ) = + = 13 12 13 12 13 1.7 M t công ty c n n nhân viên Có ngư i, g m nam n n p ơn xin d n, m i ngư i u có h i c n Tính xác su t ngư i c n, a) có nh t m t nam; b) có nh t m t n Gi i t Ak : “Có k nam c n nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} G i A : “có nh t nam” P ( A) = P ( A1 ) = C C = C8 70 a) G i B : “có nh t n ” P ( B ) = − P (A4 ) = − C 54 13 = C 84 14 1.8 M t công ty c n n nhân viên Có ngư i, g m nam n n p ơn xin d n, m i ngư i u có h i c n Tính xác su t ngư i c n, a/ có khơng q hai nam; b/ có ba n , bi t r ng có nh t m t n ã c n Gi i t Ak : “Có k nam c n nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} a/ G i C : “có khơng q nam” C C + C 52 C 32 P (C ) = P (A1 ) + P (A2 ) = = C 84 b/ G i D : “ch n n , bi t r ng có nh t n G i B : “Có nh t m t n c ch n” c n” Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Ta có P ( B ) = − P (A4 ) = − C 54 13 = C 84 14 P ( D ) = P (A1 | B ) = P (A1 ) = P (B ) 13 1.9 M t c a hàng sách c lư ng r ng: Trong t ng s khách hàng n c a hàng, có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách 15% khách th c hi n c hai i u G p ng u nhiên m t khách nhà sách Tính xác su t ngư i a/ không th c hi n c hai i u trên; b/ không mua sách, bi t r ng ngư i ã h i nhân viên bán hàng Gi i t A : “khách hàng c n tư v n” B : “khách hàng c n mua sách” Theo ta có: P ( A) = 0,3; P (B ) = 0, 2; P (AB ) = 0,15 a/ Xác su t khách hàng không c n mua sách không c n tư v n là: ( ) ( ) ( ) ( ) P A.B = P A + P B − P AB = −  15  13 + − − 1 − = 10 10  100  20 b/ không mua sách, bi t r ng ngư i ã h i nhân viên bán hàng ( ) P B /A = 15 ( ) = P (A) − P (AB ) = 10 − 100 = P AB P (A) 1.10 P ( A) 10 M t cu c i u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph m X , 50% dùng lo i s n ph m Y s nh ng ngư i dùng Y , có 36,5% dùng X Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân thành ph ó, tính xác su t ngư i y a/ Dùng c X Y ; b/ Không dùng X , không dùng Y Gi i t A : “ ngư i dân thành ph dùng s n ph m X ” B : “ ngư i dân thành ph dùng s n ph m Y ” Theo ta có: P (A ) = 0, 207; P ( B ) = 0,5; P ( A | B ) = 0,365 a) Xác su t ngư i dân ó dùng c X Y P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0,5.0,365 = 0,1825 b) Xác su t ngư i dân ó khơng dùng c X Y ( ) ( ) ( ) ( ) P A.B = P A + P B − P AB = 0, 4755 1.11 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân M t cu c i u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph m X , 50% dùng lo i s n ph m Y s nh ng ngư i dùng Y , có 36,5% dùng X Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân thành ph ó, tính xác su t ngư i y a/ Dùng c X Y ; b/ Dùng Y , bi t r ng ngư i y không dùng X Gi i t A : “ ngư i dân thành ph dùng s n ph m X ” B : “ ngư i dân thành ph dùng s n ph m Y ” Theo ta có: P ( A) = 0,207; P (B ) = 0,5; P (A / B ) = 0,365 a/ Xác su t ngư i dân ó dùng c X Y P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0,5.0,365 = 0,1825 b/ Xác su t ngư i dân ó dùng Y , bi t r ng không dùng X ( ) P B /A = ( ) = P (B ) − P (AB ) = 0,5 − 0,1852 = 0, 404 − 0, 207 P (A) P ( A) P AB 1.12 Theo m t cu c i u tra xác su t m t h gia ình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm 20 tri u (VN ) 0,75 Trong s h c i u tra 60% có thu nh p 20 tri u 52% có máy vi tính Tính xác su t m t h gia ình c ch n ng u nhiên a/ có máy vi tính có thu nh p hàng năm 20 tri u; b/ có máy vi tính, khơng có thu nh p 20 tri u Gi i t A : “H gia ình c ch n ng u nhiên có máy vi tính” B : “H gia ình c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm 20 tri u” Theo ta có: P (A) = 0,52; P ( B ) = 0, 6; P ( A / B ) = 0, 75 a/ Xác su t h gia ình c ch n có máy vi tính có thu nh p hàng năm 20 tri u là: P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác su t tri u là: h gia ình c ch n có máy vi tính thu nh p 20 ( ) P AB = P ( A) − P ( AB ) = 0,52 − 0, 45 = 0, 07 1.13 Theo m t cu c i u tra xác su t m t h gia ình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm 20 tri u (VN ) 0,75 Trong s h c i u tra 60% có thu nh p 20 tri u 52% có máy vi tính Tính xác su t m t h gia ình c ch n ng u nhiên a/ Có máy vi tính có thu nh p hàng năm 20 tri u; b/ Có thu nh p hàng năm 20 tri u, bi t r ng h ó khơng có máy vi tính Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i t A : “H gia ình c ch n ng u nhiên có máy vi tính” B : “H gia ình c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm 20 tri u” Theo ta có: P (A) = 0,52; P ( B ) = 0, 6; P ( A / B ) = 0, 75 a/ Xác su t h gia ình c ch n có máy vi tính có thu nh p hàng năm 20 tri u là: P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác su t h gia ình c ch n có thu nh p hàng năm 20 tri u khơng có máy vi tính là: ( ) P B /A = ( ) = P (B ) − P (AB ) = 0, − 0, 45 = 0,3125 − 0,52 P (A ) P (A) P AB 1.14 Trong m t i n có hai v n ng viên A B thi u A thi u trư c có hy v ng 80% th ng tr n Do nh hư ng tinh th n, n u A th ng tr n có 60% kh B th ng tr n, cịn n u A thua kh c a B ch cịn 30% Tính xác su t c a bi n c sau: a/ i n th ng hai tr n; b/ i n th ng nh t m t tr n Gi i t M i : “v n Theo ng viên i th ng” v i i ∈ {A, B} ( ) ta có: P (M A ) = 0,8; P ( M B / M A ) = 0, 6; P M B / M A = 0, a/ Xác su t i n th ng tr n P ( M AM B ) = P ( M A ) P ( M B / M A ) = 0,8.0, = 0, 48 b/ i n th ng nh t m t tr n nghĩa có nh t m t hai v n A, ho c B th ng Xác su t c n tính là: ng viên P ( M A ∪ M B ) = P ( M B ) + P ( M A ) − P ( M A M B ) = 0,54 + 0,8 − 0, 48 = 0,86 1.15 Trong m t i n có hai v n ng viên A B thi u A thi u trư c có hy v ng 80% th ng tr n Do nh hư ng tinh th n, n u A th ng tr n có 60% kh B th ng tr n, cịn n u A thua kh c a B ch cịn 30% Tính xác su t c a bi n c sau: a/ B th ng tr n; b/ i n ch th ng có m t tr n Gi i t M i : “v n Theo ng viên i th ng” v i i ∈ {A, B} ( ) ta có: P (M A ) = 0,8; P ( M B / M A ) = 0, 6; P M B / M A = 0, a/ Xác su t B th ng tr n là: ( ) ( ) P ( M B ) = P ( M A ) P ( M B | M A ) + P M A P M B | M A = 0,54 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ t D : “ i n ch th ng tr n” Xác su t i n ch th ng tr n là: ( ) ( ) P ( D ) = P M A M B + P M A M B = P ( M A ) − P ( M A M B ) + P ( M B ) − P ( M A M B ) = P ( M A ) + P ( M B ) − 2.P ( M A M B ) = 0,8 + 0,54 − 2.0, 48 = 0,38 ` 1.16 thành l p i n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t ch c m t cu c thi n g m vòng Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vịng th hai l y 70% thí sinh ã qua vịng th nh t vịng th ba l y 45% thí sinh ã qua vịng th hai vào c i n, thí sinh ph i vư t qua c c vịng thi Tính xác su t m t thí sinh b t kỳ a/ c vào i n; b/ B lo i vòng th ba Gi i t Ai : “thí sinh c ch n vịng i ” v i i ∈ {1, 2,3} Theo ta có: P ( A1 ) = 0,8; P ( A2 | A1 ) = 0, 7; P ( A3 | AA2 ) = 0, 45 a/ Xác su t thí sinh ó c vào i n P ( AA2A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | AA2 ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 1 b/ Xác su t ( thí sinh ó b lo i ) vòng th III ( P A1A2 A3 = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P A3 / A1A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) (1 − P ( A3 | AA2 ) ) = 0,8.0, 7.0,55 = 0, 308 1.17 thành l p i n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t ch c m t cu c thi n g m vòng Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vịng th hai l y 70% thí sinh ã qua vịng th nh t vịng th ba l y 45% thí sinh ã qua vòng th hai vào c i n, thí sinh ph i vư t qua c c vịng thi Tính xác su t m t thí sinh b t kỳ a/ c vào i n; b/ B lo i vòng th hai, bi t r ng thí sinh b lo i Gi i t Ai : “thí sinh c ch n Theo ta có: vịng i ” v i i ∈ {1, 2,3} P ( A1 ) = 0,8; P ( A2 | A1 ) = 0, 7; P ( A3 | AA2 ) = 0, 45 a/ Xác su t thí sinh ó c vào i n P ( AA2A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | AA2 ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 1 b/ t K: “Thí sinh ó b lo i” ( ) ( ) ( ) ( P ( K ) = P A1 + P A1 A2 + P AA2 A3 = − P ( A1 ) + P ( A1 ) − P ( AA2 ) + P AA2 A3 1 ) Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân ( ) = − P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) + P AA2 A3 = − 0,8.0, + 0,308 = 0, 748 V y, xác su t ( ) P A2 | K = thí sinh ó b lo i ( P A2 K P (K ) vòng II, bi t r ng thí sinh ó b lo i là: ) = P (A A ) = P (A ) P (A 2 P (K ) P (K ) | A1 ) = 0,8 (1 − 0, ) = 0, 3209 0, 748 1.18 M t lô hàng có s n ph m gi ng M i l n ki m tra, ngư i ta ch n ng u nhiên s n ph m; ki m tra xong tr s n ph m l i lơ hàng Tính xác su t sau l n ki m tra, s n ph m u c ki m tra Gi i Chia s n ph m thành nhóm G i Ai : “Ki m tra nhóm i ” i ∈ {1, 2,3} t A :”Sau l n ki m tra, s n ph m u c ki m tra” C 63 C 33 P (A1A2A3 ) = P (A1 )P (A2 | A1 )P (A3 | A1A2 ) = = 1764 C9 C9 1.19 M t l p h c c a Trư ng i h c AG có 2/3 nam sinh viên 1/3 n sinh viên S sinh viên quê An Giang chi m t l 40% n sinh viên, chi m t l 60% nam sinh viên a) Ch n ng u nhiên m t sinh viên c a l p Tính xác su t ch n c m t sinh viên quê An Giang N u bi t r ng sinh viên v a ch n quê An Giang xác su t sinh viên ó nam b ng bao nhiêu? b) Ch n ng u nhiên khơng hồn l i hai sinh viên c a l p Tính xác su t có nh t m t sinh viên quê An Giang, bi t r ng l p h c có 60 sinh viên Gi i a) t: B : “Ch n c sinh viên n ” P ( B ) = C : “Ch n c sinh viên quê An Giang” A : “Ch n c sinh viên nam” P ( A) = P (C ) = P ( AC ) + P ( BC ) = P ( A) P (C | A) + P ( B ) P (C | B ) = Do ó, P (A | C ) = 15 P (AC ) P (A)P (C | A) = = P (C ) P (C ) b) L p có 60 sinh viên suy có 40 sinh viên nam 20 sinh viên n S sinh viên Nam quê An Giang: 24 S sinh viên N quê An Giang: Nên t ng s sinh viên quê An Giang 32 sinh viên F : “ít nh t m t sinh viên quê An Giang” P (F ) = − P (F ) = − C 28 232 = C 60 295 1.20 10 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân H c ch p nh n nghĩa có th coi ch t lư ng bóng èn cơng ty ó s n xu t ng u 28 T i m t nông trư ng, i u tra kh i lư ng c a m t lo i trái cây, sau m t t bón m t lo i phân m i, ngư i ta cân th m t s trái c ch n ng u nhiên c k t qu sau: Kh i lư ng (gam) S trái [45, 50) [50, 55) 11 [55, 60) 25 [60, 65) 74 [65, 70) 187 [70, 75) 43 [75, 80) 16 ≥ 80 Trư c kia, kh i lư ng trung bình c a m i trái 65 gam Hãy ánh giá xem lo i phân bón m i có mang l i hi u qu không? (k t lu n m c ý nghĩa α = 1%) Gi i: T s li u ã cho ta tính c n = 361; x = 66,38; s = 5, 41 Ki m nh gi thi t H : µ = µ = 65( g ); H1 : µ > µ N u H úng U = X − µ0 s m c α = 1% n ~ N ( 0,1) V i α = 0, 01 ta suy ra: gtth = u1−α = u0,99 = 2,33 V i m u c th ta tính c: u = 66, 38 − 65 361 = 4,85 > gtth 5, 41 V y H b bác b nghĩa là: lo i phân bón m i có mang l i hi u qu (k t lu n m c ý nghĩa α = 1%) 29 M t công ty thương m i, d a vào kinh nghi m kh , ã xác nh r ng vào cu i năm 80% s hố ơn ã c tốn y , 10% kh t l i tháng, 6% kh t l i tháng, 4% kh t l i tháng Vào cu i năm nay, công ty ki m tra m t m u ng u nhiên g m 400 hoá ơn th y r ng: 287 hoá ơn ã c toán y , 49 kh t l i tháng, 30 kh t l i tháng 34 kh t l i tháng Như v y, vi c tốn hố ơn năm có cịn theo qui lu t nh ng năm trư c không? (k t lu n m c ý nghĩa α = 5% ) Gi i: Ta ki m nh gi thi t v phân ph i H : Vi c toán hoá ơn năm theo qui lu t năm trư c 111 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân H1 : Vi c tốn hố ơn năm khơng theo qui lu t năm trư c m c ý nghĩa α = 5% B ng t n s lý thuy t th c nghi m: l i Thanh toán Khu t l i Khu t l i Khu t tháng y ( x1 ) tháng ( x2 ) tháng ( x3 ) ( x4 ) T n s sát quan 287 49 30 34 lý 320 40 24 16 T n s thuy t Ta có: ( oi − ei ) i =1 ei Q =∑ ( 287 − 320 ) = 320 ( 49 − 40 ) + 40 ( 30 − 24 ) + 24 ( 34 − 16 ) + 16 = 27,178 2 V i α = 5% , gtth = χ1−α ( 3) = χ0,95 ( 3) = 7,815 Ta th y Q > χ1−α ( 3) nên: Vi c toán hố ơn năm khơng cịn theo qui lu t nh ng năm trư c (k t lu n m c ý nghĩa α = 5%) 30 l p k ho ch s n xu t m t hàng m i, m t công ty ã ti n hành i u tra v s thích c a khách hàng v lo i m u khác c a m t lo i hàng K t qu c trình bày b ng sau: A B C Thích 43 30 42 Khơng thích 35 53 39 Khơng có ý ki n 22 17 19 M u hàng Ý ki n Có hay khơng s phân bi t v s thích c a khách hàng trên? K t lu n m c ý nghĩa 5% Gi i: Ta ki m i v i lo i m u nói nh gi thi t v phân ph i H : Khơng có s phân bi t v s thích H1 : Có s phân bi t v s thích B ng i v i m t hàng (m c ý nghĩa 5%) i chi u t n s : Trong ngo c t n s lý thuy t: M u A 112 B C Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân hàng Ý ki n Thích 43 30 42 (38,33) (38,33) (38,33) Khơng thích 35 53 39 (42,33) (42,33) (42,33) Khơng có ý ki n 22 17 19 (19,33) (19,33) (19,33) ( oi − ei ) i =1 ei Q =∑ 2 = 7, 606 2 χ1−α ( ) = χ0,95 ( ) = 9, 488 Ta th y Q < χ1− α (8 ) nên H c ch p nh n nghĩa là: Khơng có s phân bi t v s thích i v i m t hàng 31 i u tra m t s s n ph m c a m t xí nghi p v chi u dài (X (cm)) hàm lư ng ch t A (Y (%)), ngư i ta có k t qu sau: Y 10 12 14 16 100 5 110 9 X 120 130 140 Các s n ph m có chi u dài khơng q 110cm hàm lư ng ch t A không 12% c g i s n ph m lo i II N u xí nghi p báo cáo r ng s n ph m lo i II có ch tiêu Y trung bình 10% có th ch p nh n c không? K t lu n m c ý nghĩa 5% (gi thi t hàm lư ng có phân ph i chu n) Gi i: B ng s li u cho ch tiêu Y c a nh ng s n ph m lo i A yj 10 12 nj 11 Giá tr trung bình m u: y = 9,85 giá tr l ch chu n m u: sY = 1, 56 , c m u n = 27 113 Bài t p Xác su t th ng kê Ta ki m Di p Hoàng Ân nh gi thi t sau: H : µY = µ0 = 10 ( % ) ; H1 : µY ≠ µ0 N u H úng BNN T = m c ý nghĩa 5% Y − µ0 n ~ t ( n − 1) SY V i m c ý nghĩa α = 5% ta tính c gtth = t ( 26) = 2, 0555 0,05 1− 9,85 − 10 V i m u c th ta tính c: t = 27 = −0,5 1, 56 Ta có t < gtth nên H không b bác b V y, ch p nh n báo cáo c a xí nghi p ( m c ý nghĩa 5%) 32 G o tiêu chu n xu t kh u g o có t l h t nguyên, h t v t m, theo th t , là: 90%, 6% 4% Ki m tra 1000 h t g o c a m t lô g o, ngư i ta th y ó có: H t nguyên: 880; h t v : 60 t m: 60 H i lô g o có tiêu chu n xu t kh u không? Cho k t lu n m c ý nghĩa 5% Gi i: k t lu n v tiêu chu n c a lô g o ta ki m H : Lô g o nh gi thi t sau: tiêu chu n xu t kh u tiêu chu n xu t kh u ( m c ý nghĩa 5%) H1 : Lô g o không N u H úng 1000 h t g o có 900 h t nguyên, 60 h t v 40 h t t m Ta có Q ( 880 − 900 ) = 900 ( 60 − 60 ) + 60 ( 60 − 40 ) + 40 = 10, 44 3) V i α = 5%, gtth = χ1(−0,05 = 7,815 Vì Q > gtth nên H b bác b V y, lô g o không tiêu chu n xu t kh u (k t lu n m c ý nghĩa 5%) 33 Giám c tr i gà Alpha xem l i h sơ c a m t t kh o sát v kh i lư ng c a gà xu t chu ng tr i gà th y s li u c ghi sau: Kh i lư ng (kg) 114 S gà Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [2,3; 2,7) [2,7; 2,9) 30 [2,9; 3,1) 41 [3,1; 3,3) 25 [3,3; 3,5) 10 [3,5; 3,7) [3,7; 3,9) Ban giám c tr i gà Alpha báo cáo r ng kh i lư ng trung bình c a gà kg Hãy cho nh n xét v báo cáo m c ý nghĩa 2% Gi i: T s li u ta tính c: n = 121; x = 3, 06; s = 0, 2826 Ta ki m nh gi thi t sau: H : µ X = µ0 = 3; H1 : µ X > µ0 m c α = 2% N u H úng BNN U = X − µ0 n ~ N ( 0,1) sX V i α = 2% , gtth = u1−α = u0,95 = 1, 6449 V i m u c th : u = x − µ0 3, 06 − n= 121 = 2, 3354 0, 2826 sX Vì u > gtth nên H b bác b nghĩa báo cáo c a Ban giám nghĩa 5%) c úng ( m c ý 34 so sánh th i gian c t trung bình c a m t máy ti n lo i cũ v i m t máy ti n lo i m i, ngư i ta cho m i máy c t th 10 l n o th i gian c t (tính b ng giây) K t qu thu c sau: Máy lo i cũ: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67 Máy lo i m i: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54 Bi t r ng th i gian c t c a máy lo i cũ c a máy lo i m i bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n có l ch chu n, theo th t , 13,5 giây 14,5 giây V i m c ý nghĩa 5%, có th cho r ng máy lo i m i t t (có th i gian c t trung bình hơn) máy lo i cũ hay không? Gi i: G i X , Y theo th t BNN ch th i gian c t c a máy ti n cũ máy ti n m i 115 Bài t p Xác su t th ng kê Ta ki m Di p Hoàng Ân nh gi thi t sau: H : µ X = µY ; H1; µ X > µY N u H úng thù BNN U = X −Y σX n + σ Y2 m c ý nghĩa 5% ~ N ( 0,1) m V i α = 5% , gtth = u1−0,05 = u0,95 = 1, 6449 V i m u c th ta tính c: x = 57; s X = 13, 6; y = 52; sY = 14, 46 Do ó u = 57 − 52 = 2, 988 13, 14,5 + 10 10 Vì u > gtth nên H b bác b V y, có th cho r ng máy lo i m i t t (có th i gian c t trung bình hơn) máy lo i cũ 116 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 7: TƯƠNG QUAN VÀ H I QUY 7.1 Xem vectơ ng u nhiên (X,Y) tuân theo lu t phân ph i chu n hai chi u mà m t m u ng u nhiên g m c p c ch n sau: xi yi 11 17 21 25 29 32 a) Hãy tính giá tr h s tương quan m u c a X Y cho nh n xét nh gi thi t v s tương quan gi a X Y b) Hãy ki m c) Hãy l p hàm h i quy n tính m u d 20 Y nh n giá tr bao nhiêu? m c α = 5% oán n u X l y giá tr b ng Gi i: a) r = ∑ xi yi − n x y b) Ki m = 0,996 X Y có quan h g n n tính (n −1)s X sY nh gi thi t H : ρ = 0; H : ρ ≠ m c α = 5% N u H úng T = R n−2 − R2 ~ t ( n − 2) n ( n = R = ∑ (Xi − X ).(Yi − Y ) i =1 ( n − 1) S X SY h s tương quan m u) 6) V i α = 5% , gtth = t1(−α / = 2,4469 V i m u c th , ta có r = 0,996 t = r n −2 = 0,996 = 27,3 1− r − 0,9962 Vì t > gtth nên H b bác b nghĩa X ,Y th t s tương quan c) Phương trình h i quy n tính m u: y = −0.107 + 4,107 x T ó, n u X = 20 Y = 82,036 7.2 M t s s n xu t ã ghi l i s ti n ã chi cho vi c nghiên c u phát tri n l i nhu n hàng năm c a s năm v a qua sau: ( ơn v 106 VN ) Chi nghiên c u 11 L i nhu n 31 40 30 34 25 20 117 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân a) Hãy tính giá tr h s tương quan m u gi a chi nghiên c u l i nhu n b) Chi nghiên c u l i nhu n có th c s tương quan không? (k t lu n m c ý nghĩa α = 2%) c) Vi t phương trình ng h i qui n tính m u c a l i nhu n theo chi phí nghiên c u Gi i: a) r = 0, 909 b) Ki m nh gi thi t H : ρ = 0; H1 : ρ ≠ m c ý nghĩa α = 1% N u H úng BNN T = R n−2 − R2 ~ t ( n − 2) gtth = t1−α / ( t − ) = t0,99 ( ) = 3,7469 V i m u c th ta có t = 0,909 = 4,361 − 0,9092 Vì t > gthh nên H b bác b Nghĩa X Y th c s tương quan m c ý nghĩa α = 2%) (k t lu n c) Phương trình ng h i quy n tính m u: y = x + 20 7.3 o chi u cao Y (cm) chi u dài chi dư i X (cm) c a m t nhóm niên, ngư i ta thu c s li u sau: yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172 xi 78 79 80 81 82 83 84 85 (a) Tính giá tr h s tương quan m u c a X Y (b) m c ý nghĩa α = 5%, cho nh n xét v tài li u cho r ng h s tương quan c a X Y 0,9 (c) Vi t phương trình ng h i quy m u c a Y theo X áp s : (a) r = 0,996 (b) Ki m nh gi thi t H0: ρ = 0,9 Tr c nghi m U uôi c s d ng, v i 118 i v i H1: ρ ≠ 0,9 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân U = Z − µZ ~ N (0,1) σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; v i m u c th , có : ( ) + 0,996 z = ln = 3,106 , ( ) + 0,9 µ Z = ln + − 0,9 − 0,996 0,9 = 1,5365; 2(8 −1) u= σZ = , z − µZ = 3,509 σZ u > gtth nên m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t H0 b bác b , nghĩa tài li u không c ch p nh n ( m c ý nghĩa α = 5%) Vì (c) y = 1,768x + 21,857 7.4 M t gi ng viên d y môn th ng kê yêu c u m i sinh viên ph i làm m t án phân tích d li u d kỳ thi h t mơn Sau ó, m t m u g m 10 sinh viên c ch n ng u nhiên, i m s c ghi l i sau: i m thi 81 62 74 78 93 69 72 83 i m án 76 71 69 76 87 62 80 75 90 84 92 79 (a) Tìm kho ng tin c y 95% cho i m thi trung bình c a m t sinh viên (gi thi t i m thi c a sinh viên tuân theo lu t phân ph i chu n) (b) m c ý nghĩa 5%, ánh giá v s tương quan n tính gi a hai lo i i m Gi i: (a) G i X i m thi c a sinh viên Ta có: x = 78,6 s = 9,57 Kho ng tin c y 95% cho i m thi trung bình c a m t sinh viên: ( x − e; x + e ) ( ) e = t1+γ s 5,97 = 2,2622 = 4, 27 10 10 Kho ng tin c y c n tìm ( 74,33; 82,87 ) (b) G i Y i m án c a sinh viên Chúng ta ph i có quy t t ρ = ρX ,Y nh gi a hai gi thi t: H 0: ρ = N u H0 úng BNN 119 H1: ρ ≠ 0, Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân T= R 10 − ~ t(8) − R2 (8) t0,975 = 2,3060 ; V i m c α = 5% , giá tr t i h n là: v i m u c th , có h s tương quan m u: r = 0,776 Do ó: t= 0, 776 − (0, 776) = 3, 48 Vì |t| >2,306 nên gi thi t H0 b bác b m c ý nghĩa α = 5% khác, ch p nh n r ng X Y tương quan m c ý nghĩa 5% Nói cách 7.5 th c hi n m t cơng trình nghiên c u v m i quan h gi a chi u cao Y(m) ng kính X(cm) c a m t lo i cây, ngư i ta quan sát m t m u ng u nhiên có k t qu sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 6 10 10 (a) Hãy tính giá tr h s tương quan m u c a X Y cho nh n xét (b) Vi t phương trình ng th ng h i quy m u c a Y theo X Hãy d báo chi u cao c a có ng kính 45 cm Gi i: (a) r = 0,939 Vì r r t g n nên gi a X Y có h i qui n tính (b) y = 0,166x + 1,041 D báo chi u cao c a có ng kính 45 cm là: y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m 7.6 X (%) Y(kg/mm2) hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph m i u tra m t s s n ph m, b ng sau: X Y T ns 2 10 10 10 4 15 15 15 20 20 25 25 a) Hãy tính giá tr trung bình m u c a X, Y; phương sai m u c a X, Y h s tương quan m u gi a X Y b) Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X T tiêu X ch tiêu Y bao nhiêu? Gi i: a) Ta có trung bình m u: 120 ód ốn xem n u ch Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân x = 5,93; y = 15,17; Phương sai m u: σ X = 3, 44; σ Y2 = 28, 42 H s tương quan m u: r = 0,66 b) Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x N u X có giá tr Y s nh n giá tr 21 7.7 X (%) Y(kg/mm2) hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph m i u tra m t s s n ph m, b ng sau: X Y T ns 2 10 10 10 4 15 15 15 20 20 25 25 a) Tính giá tr h s tương quan m u gi X Y Vi t Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X nh gi thi t xem X Y có tương quan không b) Ki m m c ý nghĩa 5%? Gi i: a) Giá tr h s tương quan m u: r = 0,66 Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x nh gi thi t H : ρ = 0; H1 : ρ ≠ b) Ki m m c ý nghĩa 5% N u H úng BNN T= R n−2 − R2 ~ t (n − 2) ( ) V i m c ý nghĩa 5%, gtth = t0,975 = 2,0484 28 V i m u c th ta có t=r n−2 = 4, 69 1− r2 Vì t > gtth nên H b bác b , nghĩa X Y tương quan m c ý nghĩa 5% 7.8 X (%) Y(kg/mm2) hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph m i u tra m t s s n ph m, b ng sau: X Y T ns 2 10 10 10 4 15 15 15 20 20 25 25 a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ch tiêu Y (gi thi t ch tiêu Y tuân theo lu t phân ph i chu n) 121 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b) Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X T tiêu X ch tiêu Y bao nhiêu? ód ốn xem n u ch Gi i: a) Trung bình m u ch tiêu Y là: y = 15,17; sY = 5,33 Kho ng tin c y 95% cho trung bình ch tiêu Y là: ( y − e; y + e ) ( ) V i e = t0,975 29 sY 5,33 = 2, 0452 = 1,99 ≈ 30 30 V y kho ng tin c y c n tìm là: (13,18;17,16 ) b) Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x N u X có giá tr Y s nh n giá tr 21 7.9 X (%) Y(kg/mm2) hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph m i u tra m t s s n ph m, b ng sau: X Y T ns 2 10 10 10 4 15 15 15 20 20 25 25 a) Có tài li u cho r ng trung bình ch tiêu X 6,5% Hãy cho nh n xét v tài li u m c ý nghĩa 5% Gi thi t ch tiêu X, Y tuân theo lu t phân ph i chu n b) Tính giá tr h s tương quan m u c a X Y Vi t phương trình ng th ng h i quy m u c a Y theo X Gi i: a) Ki m nh gi thi t H : µ X = µ0 = 6,5; H1 : µ X ≠ µ0 N u H úng BNN T = V i m c ý nghĩa 5% X − µ0 n ~ t ( n − 1) S ( ) m c ý nghĩa 5%, gtth = t0,975 = 2,0452 29 Vói m u c th ta tính c: t = 5,93 − 6,5 30 = 0,908 3, 44 Vì t < gtth nên H không b bác b nghĩa ta ch p nh n tài liêu m c ý nghĩa 5% b) Giá tr h s tương quan m u: r = 0,66 Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x 122 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 7.10 Nghiên c u lư ng phân bón (X kg) c dùng bón cho ru ng m t v ; Y(kg/1000m2) su t lúa Th ng kê 30 h gia ình, k t qu sau: S h xi 40 40 50 50 50 60 60 60 yi 270 280 280 290 300 300 310 320 a) Tính giá tr h s tương quan m u c a X Y Vi t phương trình h i quy m u Y theo X b) Ki m nh gi thi t cho r ng h s tương quan c a X Y b ng 0,9 m c ý nghĩa α = 5% Gi i: a) Giá tr h s tương quan m u: r = 0,891 Phương trình ng h i quy m u: Y = 210,15 + 1,64 X nh gi thi t H : ρ = ρ = 0,9; H1 : ρ ≠ ρ b) Ki m m c ý nghĩa α = 5% Tr c nghi m U uôi c s d ng, v i U = Z − µZ ~ N (0,1) σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; V i m u c th , ta có  + 0,891  z = z = ln   = 1,427  − 0,891  ( ) + 0,9 µ Z = ln + u = − 0,9 0,9 = 1, 488; 2(30 −1) σZ = 27 z − µZ = 0,317 σZ Vì | u |< gtth nên H c ch p nh n nghĩa gi thi t h s tương quan c a X Y b ng 0,9 úng m c ý nghĩa α = 5% 7.11 nghiên c u s tương quan gi a chi u cao X (cm) s c n ngY (kg) ngư i, quan sát m t m u ng u nhiên, ngư i ta có k t qu sau: yk xi [40, 45) 65) [45, 50) 123 [50, 55) [55, 60) [60, Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [140, 145) [145, 150) [150, 155) 10 [155, 160) 1 [160, 165) (a) Hãy l p b ng phân b t n s , t n su t cho giá tr c a X, Y (b) Tính giá tr trung bình m u, l ch chu n m u h s tương quan m u c a X Y Vi t phương trình ng th ng h i quy n tính m u c a Y theo X Gi i: a) B ng t n s , t n su t c a X Y: Bi n X Bi n Y L p T ns T n su t L p T ns T n su t [140, 145) 0,094 [40, 45) 0,019 [145, 150) 0,170 [45, 50) 0,113 [150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453 [155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302 [160, 165) 0,038 [60, 65) 0,113 b) x = 152,69; y = 54, 23; sX = 5,14; sY = 4, 41 r = 0,6544 Phương trình h i quy: y = −31,59 + 0,56x 7.12 nghiên c u s tương quan gi a chi u cao X (cm) s c n ngY (kg) ngư i, quan sát m t m u ng u nhiên, ngư i ta có k t qu sau: yk xi [40, 45) 65) [45, 50) 124 [50, 55) [55, 60) [60, Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [140, 145) [145, 150) [150, 155) 10 [155, 160) 1 [160, 165) a) Tính giá tr h s tương quan m u c a X Y Vi t phương trình ng th ng h i quy n tính m u c a Y theo X b) Có tài li u cho bi t h s tương quan gi a X Y 0,65 Hãy cho nh n xét v tài li u ó, m c α = 5% Gi i: a) r = 0,6544 Phương trình h i quy: y = −31,59 + 0,56x b) Ki m 5% nh gi thi t H : ρ = 0,65 i v i H1: ρ ≠ 0,65 m cα= Tr c nghi m U uôi c s d ng, v i U = Z − µZ ~ N (0,1) σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; v i m u c th , có : ( ) + 0,6544 z = ln = 0,783 , ) 0,65 = 0,7816; 2(53 −1) u= ( z − µZ = 0,01 σZ + 0,65 µ Z = ln + − 0,65 Vì − 0,6544 u < gtth nên σZ = , 50 m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t H c ch p nh n, nghĩa tài li u c ch p nh n ( m c ý nghĩa α = 5%) 125 ... t f ( x ) hàm m t xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c X b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F ( x ) c a X c/ Tính xác su t P ( < X < 3) Gi i 38 xác Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân ... M A = 0, a/ Xác su t B th ng tr n là: ( ) ( ) P ( M B ) = P ( M A ) P ( M B | M A ) + P M A P M B | M A = 0,54 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ t D : “ i n ch th ng tr n” Xác su t i... viên trư t c Toán Tâm lý v i xác su t không 13 i p = 0,17 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hồng Ân Do ó, ch n 12 sinh viên nghĩa th c hi n 12 phép th Bernoulli v i xác su t thành công (trư t c