0

Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải tích không gian_SKKN toán THPT

71 2,541 2
  • Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải tích không gian_SKKN toán THPT

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/03/2015, 05:00

MỤC LỤC Trang A. MỞ ĐẦU 2 I. Đặt vấn đề 2 1. Thực trạng 2 2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới 5 3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài 5 II. Phương pháp tiến hành 5 1.Cơ sở lý luận 5 2. Các biện pháp tiến hành 6 B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 6 1. Nhiệm vụ và giải pháp của đề tài 6 2. Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa mãn điều kiện cho trước 6 3. Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng 20 4. Bài tập áp dụng 34 5. Khả năng áp dụng 36 5.1. Quá trình áp dụng 36 5.2. Thời gian áp dụng 36 5.3. Kết quả thu được sau khi thực hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm 36 C. KẾT LUẬN 37 1. Kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp 37 2. Đề xuất, kiến nghị 38 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Trường THPT Lý Tự Giáo viên: Nguyễn Văn SKKN: Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải Tran Sáng kiến kinh nghiệm: TÍNH HIỆU QUẢ TRONG LỜI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN A. MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề 1. Thực trạng Chương trình cải cách sách giáo khoa lớp 12 hiện hành, bên cạnh các bài toán cơ bản, tương đối đơn giản như: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên đường thẳng và lên mặt phẳng, hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng, viết phương trình đường thẳng, viết phương trình mặt phẳng,… còn có những bài toán phức tạp, đòi hỏi người giải cần có một kiến thức nhất định, như tìm tọa độ của điểm thuộc đường thẳng, thuộc mặt phẳng sao cho thỏa biểu thức lớn nhất, nhỏ nhất, hoặc viết phương trình đường thẳng cách điểm cho trước lớn nhất Đây là những dạng toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đẳng. Từ thực tế giảng dạy học sinh 12 tại trường, tôi nhận thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi, những em có nhu cầu học ôn thi đại học và cao đẳng. Đứng trước bài toán loại này người giải có sự lựa nhiều phương pháp khác nhau sao cho lời giải hiệu quả. Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, vectơ, phương pháp tọa độ thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc. Từ ví dụ sau, phần nào sẽ thấy được việc lựa chọn phương pháp quan trọng như thế nào khi tiến hành giải toán nói chung, và khi giải toán cực trị hình học giải tích không gian nói riêng. Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(2;5;3) và x − 1 = y z − 2 . Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa ñường thẳng d: = 2 1 2 ñường thẳng d sao cho khoảng cách từ A ñến (α ) lớn nhất. (ðề thi ñại học năm 2008, khối A). Ph ươ ng pháp gi ả i ph ổ bi ế n Phương trình mp (α ) dạng: ax +by +cz +d = 0, a 2 +b 2 +c 2 >0 mp (α ) chứa d nên mp (α ) qua M,N. Ta có:  a + 2c + d = 0   c =  − a − d 2 = − 2a − b 2  − a − b + d = 0   d = a + b  ⇔ Phương trình mp (α ) viết lại: ax +by - 2 a + b 2 z +a +b = 0 2a + 5b − 3 (2a + b) + a + b 2 2 a 2 + b 2 +  2a + b    2   Khoảng cách từ A đến mp (α ) là: d(A, (α )) = = 9 b 8a 2 + 5b 2 + 4ab 9 5 • a= 0, ta có: d(A, (α )) = (1) • a ≠ 0, chọn a = 1 ta có: d(A, (α )) = 9 b 9b 5b 2 + 4b + 8 = 5 b 2 + 4 b + 8 Đ ặt f( b ) = 9b , f’(b) = 5b + 2 9 5b 2 + 4b + 8 − 9b 5b 2 + 4b + 8 ( 5b 2 + 4b + 8 ) 2 5b 2 + 4b + 8 f ’ ( b ) = 0 ⇔ 9(5b 2 + 4b + 8) = 9b(5b+2) ⇔ 18b = -72 ⇔ b = -4 9 5 lim f (b) = BBT của hàm f(b) Ta có b→±∞ b - ∞ f’(b) + ∞ -4 - 0 + f(b) 9 5 9 5 − 9 2 9 2 D ự a v à o B B T s u y r a v ớ i a ≠ 0 , 0 < d ( A , ( α ) ) ≤ (2) 9 2 Từ (1) và (2) suy ra d(A, (α )) lớn nhất khi d(A, (α )) = tại b = -4, (a = 1) Vậy phương trình mp (α ): x - 4y +z – 3 = 0. Nh ậ n xét: Với phương pháp giải tổng quát như trên có nhiều sự hạn chế: Dài dòng và tổng hợp nhiều kiến thức khó, gây nhiều khó khăn cho cả học sinh khá trong việc luyện tập dạng toán này. Bài toán sẽ đơn giản hơn khi ta giải quyết theo hướng sau. Đường thẳng d đi qua M(1;0;2) và có vtcp: u d (2;1;2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d, AH = const. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mp (α ). Ta có khoảng cách từ A đến mp ( α ) : d(A, (α ))=AK ≤ AH, Do đó d(A, (α )) lớn nhất ⇔ H ≡ K ⇔ mp (α ) ⊥ mp(A,d). Ta tìm được VTPT của mp(A,d) là n = [MA , u ]= (9;0;−9) Mặt phẳng (α ) chứa d đồng thời mp (α ) ⊥ mp(A,d) nên ta tìm được VTPT của mp ( α ) là: n = [n, u ]= (9;−36;9) Vậy phương trình của mp (α ) là: 9x -36y +9z -27 = 0 ⇔ x - 4y +z – 3 = 0. d α d Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Với mỗi bài toán có đặc thù riêng, người giải cần lựa chọn phương pháp giải thích hợp, để mang lại hiệu quả. Đứng trước thực trạng trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu. Được sự động viên, giúp đỡ của quý thầy cô giáo tổ Toán - Tin, Ban Giám hiệu Trường THPT Lý Tự Trọng, tôi đã mạnh dạn viết SKKN: “TÍNH HIỆU QUẢ TRONG LỜI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN”. • Thuận lợi - Đa số học sinh nắm tốt kiến thức cơ bản bộ môn hình học giải tích không gian . - Đa số học sinh chịu khó, chịu nghiên cứu các dạng bài tập. - Được sự động viên của BGH, sự góp ý nhiệt tình của quý thầy cô giáo tổ Toán – Tin Trường THPT Lý Tự Trọng. • Khó khăn - Học sinh không có thế mạnh bộ môn hình. - Không có nhiều thời gian để đưa ra đầy đủ các dạng bài tập về cực trị. - Đặc điểm phần cực trị kiến thức khó hiểu, gây khó khăn trong việc dạy. 2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới - Với mỗi bài toán, việc định ra một hướng giải hiệu quả không những giúp cho người giải tiết kiệm được thời gian, hạn chế việc vận dụng những kỉ năng phức tạp, mà nó còn là một vấn đề mang tính khoa học trong tư duy, cũng như trong cách suy nghĩ. Với SKKN“ Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải tích không gian” cũng vậy. Với việc định hướng lời giải đúng cho từng loại bài toán cực trị, mang lại nhiều lợi ích cho người giải. Người giải đã chuyển từ bài toán khó, phức tạp thành bài toán dễ mang lại hiệu quả cao. 3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài - Học sinh lớp 12A 1 , 12A 2 Trường THPT Lý Tự Trọng. - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu hướng giải quyết các bài toán cực trị hình học giải tích không gian hiệu quả. II. Phương pháp tiến hành 1. Cơ sở lý luận Trong thực tế dạy học, yêu cầu người giáo viên không những trang bị cho học sinh phương pháp giải được bài toán cực trị, mà còn phải biết chọn lọc hướng giải quyết bài toán sao cho ngắn gọn, đảm bảo tính hiệu quả. Tránh trường hợp sử dụng các cách giải phức tạp làm cho học sinh rối và tính hiệu quả không cao. Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên, chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao. Trong sáng kiến kinh nghiệm này, chủ yếu tập trung vào việc phân tích tìm lời giải bài toán và tính hiệu quả của từng phương pháp lựa chọn, sao cho mang lại kết quả ngắn gọn và hiệu quả nhất. 2. Các biện pháp tiến hành • Phương pháp phân tích tổng hợp. • Phương pháp thực nghiệm. • Phương pháp toán học để xử lý số liệu thu được. *) Số liệu thống kê trước khi thực hiện đề tài. Tiến hành điều tra mức độ hiểu biết của học sinh lớp 12a1, 12a2 Trường THPT Lý Tự Trọng về “Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải tích không gian” trong 2 năm học, số lượng học sinh biết giải hiệu quả bài toán thể hiện qua bảng sau: Năm học Lớp Số lượng Không biết giải Biết giải nhưng chưa hiệu quả Biết giải hiệu quả bài toán 2010- 2011 12a1+ 12a2 95 83 87,4% 12 12,6% 0 0% 2011 - 2012 12a1+ 12a2 95 79 87,2% 16 12,8% 0 0% B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1. Nhiệm vụ và giải pháp của đề tài Dạng toán cực trị trong hình học giải tích không gian nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn phương pháp giải hiệu quả, đi đôi với việc vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học, không những mang lại kết quả cao trong bài giải, mà còn làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo của học sinh để mang lại hiệu quả cao trong giải toán cực trị hình học giải tích không gian. Cũng nhằm mục đích giúp cho các em tự tin hơn, trước khi bước vào các kì thi quan trọng cuối cấp THPT. Để đạt kết quả cao, học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan. 2. Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước Lời giải: TH1: Đường thẳng AB và đường thẳng d đồng phẳng. Phương pháp làm giống như hình học phẳng. TH2: Đường thẳng AB và đường thẳng d không đồng phẳng. - Khi đó có hai khả năng sau: 1. Nếu d và AB vuông góc với nhau Bài toán 1: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng d và hai ñiểm phân biệt A, B không thuộc d. Tìm ñiểm M trên ñường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất. Ta làm như sau: - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, B và vuông góc với d. - Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mp(α). - Kết luận M là điểm cần tìm. 2.N ế u d và AB không vuông gó c v ớ i nhau Ta làm như sau: - Đưa phương trình của đường thẳng d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t. -Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB. -Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t. -Tính tọa độ của M và kết luận. Bình luận phương pháp: +) Trong trường hợp ñường thẳng AB và ñường thẳng d không ñồng phẳng và không vuông góc nhau, nếu ta sử dụng phương pháp phân tích ñể xác ñịnh vị trí của ñiểm M cần tìm, rồi tiến hành tìm tọa ñộ ñiểm M là cách làm khó, tổng hợp khá nhiều kiến thức, khá phức tạp. Phương pháp tiến hành giải tìm t ñể f(t) = MA + MB nhỏ nhất như trên là cách giải ñơn giản mang lại hiệu quả nhất. +) Nghệ thuật nhất trong bài toán trên là xử lý tìm t ñể hàm số f(t) = MA + MB nhỏ nhất. Tôi ñã vận dụng phương pháp chuyển từ hình học không gian về hình học phẳng, rồi tiến hành giải. Bài giải khá ngắn gọn và ñộc ñáo mà qua thí ñiểm, học sinh tiếp cận dễ dàng, rất hiệu quả mà ít sai sót. Lớp bài toán này ñược tôi trình bày dưới 2 cách cho dễ so sánh và thấy ñược sự ưu việt của việc chuyển về hình học phẳng. ( d ) : x-1 y + 2 z-3 Ví dụ 1 : Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng và hai = = −2 2 1 ñiểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3). Hãy tìm ñiểm M trên d sao cho MC + MD ñạt giá trị nhỏ nhất. L ờ i giả i:  x = 1 + 2t Đường thẳng d có phương trình tham số :  y = − 2 − 2t  z = 3 + t Suy ra đường thẳng d đi qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp Với CD = (7;5;−4) Ta có u. CD = 14 -10 – 4 = 0 ⇒ d ⊥ CD   [...]... hàm để giải tìm t, rồi suy ra tọa độ điểm M Nhận xét: Một lần nữa chúng ta nhận thấy sự ưu việt trong khâu xử lí bài toán về hình học phẳng Trong dạng toán này, nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm t là việc làm phức tạp, người giải phải có nhiều kỉ năng Giải bằng phương pháp đạo hàm cái khó nhất là phải giải phương trình f’(t) = 0, rất khó khăn ngay cả những học sinh có học lực khá Bài tập... giải số 1, lời giải bài toán rất tự nhiên Tính hiệu quả cao hơn cách giải 2  Với cách giải 1 giáo viên chỉ cần chỉ cho học sinh kỉ thuật nhóm dạng bình phương của biểu thức bậc 2 Phân tích ý 2: Nếu áp dụng cách 2 vào giải ý 2 của bài toán, khi đó điểm J tìm được có tọa độ lẻ, việc tìm tọa độ hình chiếu của điểm J cũng khó khăn Nếu dùng cách 2 để giải ý 2 lời giải cụ thể như sau: 2) Gọi điểm J(x; y;... mặt cầu (S): x + ( y − ) + (z − ) = 2 2 1 2 3 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng Bài toán 1: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñ thẳng ∆ không ñi qua A Viết phương trình mặt phẳng (α) ch Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆, K cố định, đoạn AK không đổi Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK, vậy d(A; (α))... +2     Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm N t;0 ∈ Ox ; ( ) Khi đó MA − MB = H 1; 2 ; K 2; 2 ( ) ( ) 3 NH − NK Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox Suy ra MA − MB 3 NH − NK ≤ 3HK = Bài toán này vô nghiệm vì KH || Ox Nhận xét: Rõ ràng với phương pháp qui về hình học phẳng như trên giúp người giải, giải quyết bài toán rất hiệu quả, cho kết quả ngắn gọn d: x−1 = y−2 = z−1 Ví dụ 4: Trong KG Oxyz,... 4(MJ −3 trị nhỏ nhất hi MJ khi đó 4M + JB) B M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳngd 14 7 JM = t + 4;t − ;t −  khi M là Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t),  3 hình chiếu 3 vuông   góc của J lên đường thẳng d JM.u = 0 hay 3t – 3 = 0 t = 1 thì Vậy M( MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất 5; 0; 1) thì Vận dụng cách 1 để giải ý 2 của bài toán xem như là bài tập Bài tập tương tự: Bài 1: Trong không gian... Tìm tọa độ H và H’ lần lượt là hình chiếu của A, B lên d Bước 2 : Tính AH và BH’ Bước 3 : Tìm M thỏa mãn MH = − AH MH ' =>ycbt BH ' ( Trong đó B’ là điểm sao cho B’H’ = BH’, A, B’ khác phía với d và A, B’, d đồng phẳng) Nhận xét: Với cách giải này bài toán trở nên phức tạp, học sinh tiếp nhận không tự nhiên mang tính áp đặt, lời giải khó hiểu 2) Tương tự câu 1), ta tính được MA − MB = 3 ( t 2 − 2t... mp(α)) sao cho: k MA + a) 1 1 k2 MA2 + + kn MAn có giá trị nhỏ nhất b) T = k MA2 + k MA2 + + k MA2 ñạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất 1 n 1 n 2 2 Phân tích tìm lời giải:   1) Nếu bài toán thuộc loại: Tìm M thuộc đường thẳng -N u thức ế T đạt 2 At + Bt + C u giá trị Cách 1: Ta chuyển đường thẳng về dạng tham nhỏ số t rồi chuyển bài toán về k nhất dạ f ( f (t) = At 2 + Bt + C ) rồi ta nhóm...  Ví dụ 1 :Trong KG Oxyz,cho ñường thẳng d: y = 4 + t và hai ñiểm A(1;2; 3),   z = −2 Phân tích tìm lời giải: Gọi MH là đường cao của tam giác MAB Rõ ràng đoạn AB có độ dài không đổi, nên SMAB nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, mà AB và d chéo nhau Vậy MH nhỏ nhất khi và chỉ khi MH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và d -Bài toán này được giải dựa trên lập luận như trên Lời giải: - Lấy... đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 38 c , tại đ38 ạ+ 10 t 3 đ ư ợ f 3 , tl ứà c3 t = 7 Nh ận xét : Q ua 2 cá ch tiế n hà nh nh ư trê n ph ươ ng ph áp ch uy ển về xét bà i to án tro ng hì nh họ c ph ẳn g khá dễ, ngắn gọn, hiệu quả, người giải không cần dùng các kiến thức phức tạp, cũng không cần các kỉ năng cao Cách giải thứ 2 dùng công cụ đạo hàm, đòi hỏi người giải phải có kỉ năng cao hơn, cách giải dài... dài dòng và phức tạp hơn nhiều, không có sự sáng tạo, tính hiệu quả không cao d ( ) :x + )2 0 + ( −t 3( )2 − t + ( )2 0 0 ( −t −t ) )2 + 3 2 ( t − 4t + 6 + −t 2 ( )2 3 − t2 − 2t t +3 + ) y z Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho ñường thẳng = = và hai ñiểm 1 1 1 A 0;0;3 , B 0;3;3 Tìm tọa ñộ ñiểm M ( ) ( ) ∈ d ( ) sao cho: 1) 2) nhỏ nhất MA + MB MA − MB lớn nhất  Lời giải: x=t 1)Cách 1: Chuyển về dạng . 39 Trường THPT Lý Tự Giáo viên: Nguyễn Văn SKKN: Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải Tran Sáng kiến kinh nghiệm: TÍNH HIỆU QUẢ TRONG LỜI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH. học sinh lớp 12a1, 12a2 Trường THPT Lý Tự Trọng về Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải tích không gian trong 2 năm học, số lượng học sinh biết giải hiệu quả bài toán. cách suy nghĩ. Với SKKN Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải tích không gian cũng vậy. Với việc định hướng lời giải đúng cho từng loại bài toán cực trị, mang lại nhiều
- Xem thêm -

Xem thêm: Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải tích không gian_SKKN toán THPT, Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải tích không gian_SKKN toán THPT, Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học giải tích không gian_SKKN toán THPT, B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 6, Nếu d và AB không vuông góc với nhau, Vận dụng cách 1 để giải ý 2 của bài toán xem như là bài tập. Bài tập tương tự:, 3 t 2(3 2t) 2.2t 7 0 9t 4 0 t 4, Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng, Bài tập vận dụng

Mục lục

Xem thêm