Bài giảng xác suất thống kê

Chương 1. Xác suất của biến cố ngẫu nhiên 1.1 Phép thử, biến cố và các phép tính đối với các biến cố 1.1.1 Phép thử, biến cố - Phép thử được hiểu là một nhóm các hành động, hoặc thí nghiệm để nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào đó. - Biến cố (hay sự kiện) được hiểu là một sự vật, hiện tượng trong cuộc sống. Có thể hiểu biến cố là kết cục của phép thử. VD 1.1: - phép thử là gieo 1 đồng xu, biến cố: “đồng xu sấp”, “đồng xu ngửa”. - phép thử là gieo 1 con xúc xắc, biến cố: “xuất hiện mặt 3 chấm”. - phép thử là bắn 1 viên đạn, biến cố : “bắn trúng”, “bắn trật”. 1.1.2 Các loại biến cố - Biến cố chắc chắn (ký hiệu Ω) là biến cố nhất định xảy ra thực hiện phép thử. VD 1.2: gieo 1 con xúc xắc, biến cố “xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7” là chắc chắn. - Biến cố không thể (ký hiệu ) là biến cố nhất định không xảy ra thực hiện phép thử. VD 1.3: biến cố “xuất hiện đồng thời mặt sấp và ngửa” khi gieo đồng xu là . - Biến cố ngẫu nhiên (bcnn) (thường ký hiệu là A, B, C…) là biến cố xảy ra hay không xảy ra thực hiện phép thử. VD 1.4: biến cố “xuất hiện mặt 3 chấm” khi gieo 1 con xúc xắc là bcnn. - Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có cùng khả năng xuất hiện như nhau trong phép thử (không có biến cố nào ưu tiên xảy ra hơn các biến cố khác). VD 1.5: gieo một lần con xúc xắc. Gọi là các biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, i=1, ,6. Các biến cố là đồng khả năng. VD 1.6: Một hộp đựng 10 viên như nhau, trong đó có 3 bi trắng và 7 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp. Nếu quan tâm đến việc lấy được bi màu gì thì ta có 2 biến cố không đồng khả năng. i A 1 6 A , ,A 1.1.3 Quan hệ và các phép tính - Sự kéo theo : nếu A xảy ra thì B xảy ra. VD 1.7: B là biến cố “xuất hiện mặt chẵn” khi gieo một 1 xúc xắc. Ta có - Sự bằng nhau 2 4 6 A B, A B, A B⊂ ⊂ ⊂ A B⊂ A B A B B A ⊂  = ⇔  ⊂  - Biến cố tổng là biến cố xảy ra nếu ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. Biến cố sơ cấp (bcsc) là biến cố không thể biểu diễn thành tổng của các biến cố khác. Về mặt hình học có thể hình dung, đó là phần nhỏ nhất không thể phân chia nhỏ hơn nữa. * Chú ý: + Mọi bcnn A đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một số bcsc nào đó. Các bcsc trong tổng này gọi là thuận lợi cho A. A B∪ + Biến cố chắc chắn Ω là tổng của mọi bcsc có thể có, nên Ω còn gọi là không gian các bcsc hay không gian mẫu. + Bcsc là bcnn, ngược lại, bcnn nói chung không là bcsc. VD 1.8: trong VD 1.5 và VD 1.7 là các bcsc. là bcnn nhưng không là bcsc. { } 1 2 3 4 5 6 A ,A ,A ,A ,A ,AΩ = 1 6 A , ,A 2 4 6 B A A A= ∪ ∪ - Biến cố tích hay AB là biến cố xảy ra nếu A và B đồng thời xảy ra. VD 1.9: Phép thử là gieo con xúc xắc, A là bc xuất hiện mặt chẵn, B là bc xuất hiện mặt nhỏ hơn 4. Ta có Khi đó: tức là xuất hiện mặt 2 chấm. A B∩ 2 4 6 1 2 3 A A A A B A A A = ∪ ∪ = ∪ ∪ 2 AB A= - Biến cố xung khắc: hai bc A và B gọi là xung khắc nếu VD 1.10: Bắn 1 viên đạn vào bia, A là bc có được 1 điểm, B là bc có được 2 điểm thì A và B là xung khắc. - Biến cố đối lập của A là bc A không xảy ra, nghĩa là * Chú ý: bc đối lập là xung khắc, ngược lại không đúng. AB = ∅ A A A , AA∪ = Ω = ∅ [...]... Tính xác suất để gọi được em giỏi ít nhất 1 môn 1.4 Công thức nhân xác suất 1.4.1 Xác suất có điều kiện: Định nghĩa: Cho 2 biến cố A và B Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, ký hiệu P(A/B), là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra Công thức tính: P(AB) P(A / B) = , P(B) > 0 P(B) P(BA) P(B / A) = , P(A) > 0 P(A) VD 1.21: Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng Tính xác suất. .. bắn vào 1 bia Xác suất trúng đích của viên thứ nhất, viên thứ hai, viên thứ ba tương ứng là 0,4; 0,5; 0,7 Tìm xác suất để a) có đúng 1 viên trúng đích b) có ít nhất 1 viên trúng đích VD 1.25: Từ lô sản phẩm có 20 sản phẩm trong đó có 5 sản phẩm xấu, lấy liên tiếp 2 sản phẩm (không hoàn lại) Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đều là sản phẩm xấu Bài tập: 33, 37 sách Bài tập 1.5 Công thức xác suất đầy đủ,... ngươi hút thuốc thấy có 91 người viêm phổi, khi đó có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc thì xác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng 91% 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo hình học (xem giáo trình tr 21) 1.2.4 Tính chất và ý nghĩa của xác suất: - Tính chất i P( )=0 ii P(Ω)=1 iii 0≤P(A)≤1, với mọi biến cố A - Ý nghĩa: xác suất P(A) đặc trưng cho khả năng xuất hiện biến cố A trong phép thử P(A) càng lớn (càng gần... Tính xác suất để: a/ xuất hiện mặt 1 chấm b/ xuất hiện mặt chẵn VD 1.16: Một lô hàng gồm 10 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng a/ Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt b/ Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 sản phẩm từ lô hàng Tìm xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra có đúng 2 sản phẩm tốt VD 1.17: Một hộp đựng 6 bi đỏ, 4 bi đen Lấy ngẫu nhiên 6 bi Tính xác suất. .. các bcsc là hữu hạn + tính chất đồng khả năng không phải bao giờ cũng xác định được 1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê: Nếu lặp lại n lần phép thử thấy bc A xảy ra m lần thì m gọi là tần số xảy ra bc A, còn tỷ số m f n (A) = (1) gọi là tần suất của biến cố A n Với n đủ lớn thì (1) xấp xỉ bằng một số p nào đó, được gọi là xác suất của A P(A) = lim f n (A) = p n →∞ m p ≈ (khi n đủ Trong thực tế,... k k Cn a b 1.2 Định nghĩa xác suất Để so sánh các biến cố về khả năng xuất hiện, người ta gán cho mỗi biến cố một con số không âm, sao cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố nào có khả năng xuất hiện nhiều hơn thì gán cho số lớn hơn, các biến cố đồng khả năng thì gán cho cùng một con số Số gán cho biến cố A, ký hiệu P(A), gọi là xác suất của biến cố A 1.2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển: m P(A) = n trong... lô đó chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm a/ Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt b/ Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc lô thứ nhất, lô thứ hai VD 1.29: Có 3 hộp thuốc Hộp 1 có 5 ống tốt và 2 ống xấu Hộp 2 có 4 ống tốt và 1 ống xấu Hộp 3 có 3 ống tốt Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó rút ngẫu nhiên 2 ống thuốc a/ Tìm xác suất để được 1 ống thuốc tốt và 1 ống... ống thuốc, ta thấy có 2 ống thuốc tốt Tìm xác suất để các ống đó ở hộp 2 VD 1.30: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 2 phân xưởng 1 và 2 Biết rằng phân xưởng 2 sản xuất gấp 4 lần phân xưởng 1, tỷ lệ bóng đèn hư của phân xưởng 1 là 10%, phân xưởng 2 là 20% Mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn của nhà máy a/ Tìm xác suất để bóng đèn này hư b/ Giả sử mua phải bóng hư Tìm xác suất để bóng đèn này thuộc phân xưởng 1,... càng nhỏ (càng gần 0) thì khả năng xuất hiện A càng ít Bài tập: 14-18 sách Bài tập 1.3 Công thức cộng i A, B xung khắc, tức AB= P(A B)=P(A)+P(B) Mở rộng: A,B,C xung khắc từng đôi: P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C) ii A, B bất kỳ: P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB) iii P(Ā)=1-P(A) VD 1.19: Một hộp đựng 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp Tính xác suất để a/ lấy 3 bi không có bi đỏ b/ lấy được ít nhất... A j = ∅, i ≠ j { } VD 1.26: Hệ A, A đầy đủ VD 1.27: Các biến cố A itrong VD 1.5 lập thành một hệ đầy đủ 1.5.2 Công thức xác suất đầy đủ, công thức giả thiết Bayes: Nếu trong một phép thử có biến cố B và một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi A1 , A 2 , , A n - Công thức xác suất đầy đủ: P(B) = P(A1 )P(B/ A1 ) + P(A 2 )P(B/ A 2 ) + + P(A n )P(B/ A n ) - Công thức Bayes (giả thiết): P(A i / B) . bao giờ cũng xác định được. 1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê: Nếu lặp lại n lần phép thử thấy bc A xảy ra m lần thì m gọi là tần số xảy ra bc A, còn tỷ số gọi là tần suất của biến. Tính xác suất để: a/ xuất hiện mặt 1 chấm. b/ xuất hiện mặt chẵn. m P(A) n = VD 1.16: Một lô hàng gồm 10 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng. a/ Tìm xác suất. lần) 4 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra có đúng 2 sản phẩm tốt. VD 1.17: Một hộp đựng 6 bi đỏ, 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 6 bi. Tính xác suất để: a/ cả 6 bi đều là bi