Bài giảng xác suất thống kê

Xác suất của biến cố ngẫu nhiên1.1 Phép thử, biến cố và các phép tính đối với các biến cố 1.1.1 Phép thử, biến cố - Phép thử được hiểu là một nhóm các hành động, hoặc thí nghiệm để nghiê

Chương 1 Xác suất của biến cố ngẫu nhiên

1.1 Phép thử, biến cố và các phép tính đối với các biến cố

1.1.1 Phép thử, biến cố

- Phép thử được hiểu là một nhóm các hành động, hoặc thí nghiệm để nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào đó

- Biến cố (hay sự kiện) được hiểu là một

sự vật, hiện tượng trong cuộc sống Có thể hiểu biến cố là kết cục của phép thử.

- Biến cố không thể (ký hiệu ) là biến cố

nhất định không xảy ra thực hiện phép thử.

VD 1.3: biến cố “xuất hiện đồng thời mặt sấp

và ngửa” khi gieo đồng xu là .

- Biến cố ngẫu nhiên (bcnn) (thường ký hiệu là

A, B, C…) là biến cố xảy ra hay không xảy ra

thực hiện phép thử.

VD 1.4: biến cố “xuất hiện mặt 3 chấm” khi gieo

1 con xúc xắc là bcnn.

- Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có

cùng khả năng xuất hiện như nhau trong phép thử (không có biến cố nào ưu tiên xảy ra hơn các biến cố khác)

VD 1.5: gieo một lần con xúc xắc Gọi

là các biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, i=1, ,6 Các biến cố là đồng khả năng.

VD 1.6: Một hộp đựng 10 viên như nhau, trong đó có 3 bi trắng và 7 bi đen Lấy ngẫu

nhiên 1 viên bi từ hộp Nếu quan tâm đến việc lấy được bi màu gì thì ta có 2 biến cố không

đồng khả năng.

iA

A , ,A

1.1.3 Quan hệ và các phép tính

- Sự kéo theo : nếu A xảy ra thì B xảy ra.

VD 1.7: B là biến cố “xuất hiện mặt chẵn” khi gieo một 1 xúc xắc Ta có

- Biến cố tổng là biến cố xảy ra nếu ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.

Biến cố sơ cấp (bcsc) là biến cố không thể

biểu diễn thành tổng của các biến cố khác Về mặt hình học có thể hình dung, đó là phần

nhỏ nhất không thể phân chia nhỏ hơn nữa.

* Chú ý:

+ Mọi bcnn A đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một số bcsc nào đó Các bcsc trong tổng này gọi là thuận lợi cho A.

A ∪ B

+ Biến cố chắc chắn Ω là tổng của mọi bcsc có thể có, nên Ω còn gọi là không gian các bcsc hay không gian mẫu

+ Bcsc là bcnn, ngược lại, bcnn nói chung không là bcsc

- Biến cố tích hay AB là biến cố

xảy ra nếu A và B đồng thời xảy ra

VD 1.9: Phép thử là gieo con xúc xắc, A là bc xuất hiện mặt chẵn, B là bc xuất hiện mặt

- Biến cố xung khắc: hai bc A và B gọi là xung khắc nếu

VD 1.10: Bắn 1 viên đạn vào bia, A là bc có được 1 điểm, B là bc có được 2 điểm thì A và

VD 1.11: Cho 3 bc A, B, C Sử dụng các ký hiệu bc tổng, bc tích và bc đối lập để diễn tả các bc sau đây:

a) A, B, C đều xảy ra.

b) có ít nhất 1 bc xảy ra.

c) có đúng 2 bc xảy ra.

d) chỉ có 1 trong 3 bc xảy ra.

e) không có bc nào xảy ra.

1.1.4 Giải tích tổ hợp

1.1.4.1 Quy tắc nhân:

Giả sử một công việc hoàn thành qua k giai đoạn, giai đoạn thứ i có cách thì có tất cả cách hoàn thành công việc

1.1.4.2 Chỉnh hợp:

Chỉnh hợp chập k của n phần tử

là một bộ gồm k phần tử (lấy từ n phần tử) thoả:

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

VD 1.13: Một lớp phải học 8 môn, mỗi ngày học 2 môn Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong một ngày?

1.1.4.4 Tổ hợp

Tổ hợp chập k của n phần tử là một bộ gồm k phần tử (lấy từ n phần tử)

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

k n

VD 1.14: Có bao nhiêu cách lập một tổ gồm 3 người

từ 10 người đã cho?

1.1.4.5 Nhị thức Newton:

1.2 Định nghĩa xác suất

Để so sánh các biến cố về khả năng xuất hiện, người

ta gán cho mỗi biến cố một con số không âm, sao

cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố nào có khả năng xuất hiện nhiều hơn thì gán cho số lớn hơn, các biến

cố đồng khả năng thì gán cho cùng một con số.

Số gán cho biến cố A, ký hiệu P(A), gọi là xác suất của biến cố A.

1.2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển:

trong đó n là số các bcsc đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử, m là số bcsc thuận lợi cho biến

n

=

VD 1.16: Một lô hàng gồm 10 sản phẩm,

trong đó có 3 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng.

a/ Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.

b/ Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 sản phẩm từ lô hàng Tìm xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra

có đúng 2 sản phẩm tốt.

VD 1.17: Một hộp đựng 6 bi đỏ, 4 bi đen Lấy ngẫu nhiên 6 bi Tính xác suất để:

1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê:

Nếu lặp lại n lần phép thử thấy bc A xảy ra m lần thì m gọi là tần số xảy ra bc A, còn tỷ số

gọi là tần suất của biến cố A

Với n đủ lớn thì (1) xấp xỉ bằng một số p nào

đó, được gọi là xác suất của A.

Trong thực tế, người ta coi (khi n đủ lớn).

P(A) lim f (A) p

→∞

mp

n

≈

VD 1.18: Khi quan sát 100 ngươi hút thuốc thấy có 91 người viêm phổi, khi đó có thể nói

rằng nếu bạn hút thuốc thì xác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng 91%

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo hình học (xem giáo trình tr 21).

1.2.4 Tính chất và ý nghĩa của xác suất:

- Tính chất

i P( )=0

ii P(Ω)=1 iii 0≤P(A)≤1, với mọi biến cố A.

- Ý nghĩa: xác suất P(A) đặc trưng cho

khả năng xuất hiện biến cố A trong phép

thử P(A) càng lớn (càng gần 1) thì khả năng xuất hiện A càng nhiều, P(A) càng nhỏ (càng gần 0) thì khả năng xuất hiện A càng ít.

Bài tập: 14-18 sách Bài tập

VD 1.19: Một hộp đựng 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp Tính xác suất để

a/ lấy 3 bi không có bi đỏ.

b/ lấy được ít nhất 1 bi đỏ.

VD 1.20: Một lớp học có 100 học sinh, trong đó có

30 em giỏi cả Toán lẫn Ngoại ngữ, 40 em giỏi

Toán, 50 em giỏi Ngoại ngữ Gọi ngẫu nhiên 1 học sinh của lớp Tính xác suất để gọi được em giỏi ít nhất 1 môn.

1.4 Công thức nhân xác suất

1.4.1 Xác suất có điều kiện:

Định nghĩa:

Cho 2 biến cố A và B Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, ký hiệu P(A/B), là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra.

VD 1.22: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên

Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam Khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau Tính xác suất để cả 2 người nữ được chọn, biết

rằng có ít nhất 1 người nữ đã được chọn.

1.4.2 Biến cố độc lập, công thức nhân:

Biến cố độc lập: 2 biến cố A và B gọi là độc lập nếu P(A/B)=P(A) (hoặc P(B/A)=P(B)), tức

là sự xảy ra hay không của biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia.

* Chú ý:

+ Việc kiểm tra tính độc lập của các biến

cố thường dựa vào thực tế và trực giác.

VD 1.23: Các biến cố của các phép thử sau là độc lập

+ n xạ thủ bắn vào 1 bia, kết quả bắn của mỗi người là các biến cố độc lập.

+ gieo 1 đồng xu n lần, kết quả của mỗi lần gieo là các biến cố độc lập

VD 1.24: 3 viên đạn độc lập bắn vào 1 bia Xác suất trúng đích của viên thứ nhất, viên thứ hai, viên thứ

Bài tập: 33, 37 sách Bài tập

1.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes 1.5.1 Hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi

Hệ các biến cố được gọi là đầy

đủ và xung khắc từng đôi nếu trong phép thử bắt buộc có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra

Nếu trong một phép thử có biến cố B và một

hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi

A ,A , ,A

{ }A,A

iA

- Công thức xác suất đầy đủ:

- Công thức Bayes (giả thiết):

P(B)P(A )P(B/ A )

VD 1.28: Có 2 lô sản phẩm Lô 1 có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt Lô 2 có

20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô đó chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm

a/ Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.

b/ Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm

tốt Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc lô thứ nhất, lô thứ hai

VD 1.29: Có 3 hộp thuốc Hộp 1 có 5 ống tốt

và 2 ống xấu Hộp 2 có 4 ống tốt và 1 ống xấu Hộp 3 có 3 ống tốt Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó rút ngẫu nhiên 2 ống thuốc.

a/ Tìm xác suất để được 1 ống thuốc tốt và 1 ống thuốc xấu.

b/ Khi rút 2 ống thuốc, ta thấy có 2 ống

thuốc tốt Tìm xác suất để các ống đó ở hộp 2

a/ Tìm xác suất để bóng đèn này hư.

b/ Giả sử mua phải bóng hư Tìm xác suất để bóng đèn này thuộc phân xưởng 1, phân xưởng 2.

Bài tập: Ba xạ thủ cùng bắn 1 con thú (mỗi người bắn 1 viên đạn) Xác suất bắn trúng của từng người tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8 Biết

rằng nếu trúng 1 phát đạn thì xs để con thú bị tiêu diệt là 0,5; trúng 2 phát đạn thì xs để con thú bị tiêu diệt là 0,8; còn nếu trúng 3 phát

đạn thì chắc chắn con thú bị tiêu diệt.

a) Tính xs để con thú bị tiêu diệt.

b) Tính xs để con thú bị tiêu diệt do trúng 2

phát đạn.

Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫu nhiên)

(ĐLNN) là các đại lượng ứng với mỗi kết quả

của phép thử cho một số với một xác suất nào đó ĐLNN ký hiệu bằng X, Y, Z… Giá trị của nó ký hiệu bằng x, y, z…

ĐLNN chia làm hai loại: loại rời rạc và loại liên tục.

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

2.1 ĐLNN rời rạc

2.1.1 Định nghĩa

Giá trị của nó là tập hữu hạn hoặc đếm được.

VD 2.1: - X là số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo một lần đồng xu X có thể nhận 2 giá trị là 0, 1.

- X là số chấm ở mặt xuất hiện khi gieo một lần con xúc xắc X nhận một trong các giá trị:

1,2,3,4,5,6.

- X là số viên đạn trúng đích khi bắn liên tiếp 3 viên đạn độc lập vào 1 bia Giá trị có thể của X

là 0,1,2,3.

Giả sử X là ĐLNN rời rạc Nó nhận các giá trị có thể có với xác suất tương ứng là

Bảng trên gọi là luật phân phối của X Nếu có bảng trên thì xác suất

VD 2.2: Gieo 1 lần con xúc xắc đều đặn Gọi

X là số chấm ở mặt xuất hiện Tìm phân phối xác suất của X Tính P[1≤X≤3].

VD 2.3: Ba xạ thủ độc lập bắn vào 1 bia (mỗi người bắn 1 viên) Xác suất để các xạ thủ

bắn trúng là 0,8; 0,7; 0,6 Gọi X là số viên

đạn trúng bia.

a/ Lập luật phân phối của X.

b/ Tính P[2≤X≤5].

2.1.2 Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc

X, ký hiệu , được định nghĩa

VD 2.4: xét lại VD 2.3, tìm hàm phân phối của X.

VD 2.5: Một người có 3 viên đạn Xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,6 Người này bắn đến khi hoặc hết đạn hoặc trúng mục tiêu mới thôi Gọi X là số viên đạn sẽ bắn.

a/ Tìm luật phân phối của X.

b/ Tìm hàm phân phối xác suất của X c/ Tính P[1≤X<4].

2.2 ĐLNN liên tục

2.2.1 Định nghĩa

Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào đó.

VD 2.6: Nếu quan sát nhiệt độ X tại một thời điểm trong ngày thì ta có ĐLNN liên tục.

Thay cho việc liệt kê các giá trị ,

ta chỉ ra đoạn (a,b) mà X nhận giá trị ở đoạn

đó Còn thay cho các xác suất , ta đưa ra hàm f(x) với

Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ phân phối xác suất.

2.2.2 Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suất f(x) được định nghĩa

2.2.3 Một số tính chất cơ bản

i liên tục và

x X

VD 2.7: ĐLNN liên tục X có hàm phân phối xác suất

VD 2.8: ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suất

a) Viết hàm phân phối xác suất của X b) Tính

2.3 Một số luật phân phối

2.3.1 Loại rời rạc

2.3.1.1 Phân phối siêu bội

* Mô hình bài toán: Cho tập hợp gồm N phần tử, trong đó có phần tử có tính chất

A Lấy ngẫu nhiên n phần tử (không hoàn lại) Gọi X là số phần tử có tính chất A trong

n phần tử lấy ra Lập luật phân phối của X

AN

A

X H(N, N ,n)∈

* Định nghĩa: Ta nói X có phân phối siêu bội với xs tương ứng

VD 2.9: Từ nhóm 9 nhà bác học, trong đó

có 5 nhà vật lý và 4 nhà toán học, chọn ngẫu nhiên 3 nhà bác học để thành lập hội đồng Tính xs để trong 3 nhà bác học này có đúng

+ xs xuất hiện A trong mỗi phép thử là

X B(n;p)∈

P(A) p= P(A) 1 p= −

VD 2.10: Gieo 10 lần một con xúc xắc và

xem mặt 6 có xuất hiện không?

Ở đây n=10, A=“xuất hiện mặt 6 chấm”.

* Mô hình phân phối nhị thức: Giả sử X là

số lần xuất hiện bc thắng lợi A trong dãy n phép thử Bernoulli, với P(A)=p Hãy tìm luật phân phối của X.

* Định nghĩa: Ta nói X có phân phối nhị

thức với xs tương ứng

VD 2.11: Một nhà máy sản xuất tự động với tỷ lệ phế phẩm là 3% Lấy liên tiếp 10 sản phẩm (có hoàn lại) để kiểm tra Tính xs để

trong số đó

a) có 2 phế phẩm.

b) có không quá 2 phế phẩm.

k k n k n

P[X k] C p q= = − , k 0,1, ,n=

2.3.1.3 Phân phối Poisson:

Cho ĐLNN rời rạc X Ta nói X có phân phối Poisson với tham số , nếu X nhận các giá trị 0, 1, 2,… với xs tương ứng

Bài tập: 49, 57 sách Bài tập

X P( )∈ λλ

ke

P[X k] , k 0,1,2,

k!

−λλ

2.3.2 Loại liên tục

2.3.2.1 Phân phối chuẩn:

ĐLNN X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ ppxs có dạng

(x ) 2

2

X N( ,∈ µ σ )

2.3.2.2 Xs của ĐLNN X có phân phối chuẩn

i Phân phối chuẩn đơn giản:

ii Phân phối chuẩn tổng quát

VD 2.13: Trọng lượng của một loại sản phẩm là X có pp chuẩn, Tính tỷ lệ những sản phẩm có trọng lượng từ 9,5 đến 11kg

VD 2.14: Chiều cao X của trẻ em có pp

chuẩn N(1,3;0,01) Tính xs để trẻ em có

chiều cao trong khoảng (1,2; 1,4)

210kg, 0,25

2.4 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều (vectơ ngẫu nhiên)

2.4.1 Định nghĩa

Một cặp ĐLNN được xét đồng thời (X,Y) gọi là vectơ ngẫu nhiên VTNN chia làm hai

+ liên tục nếu X và Y liên tục 2.4.2 Luật pp của vectơ ngẫu nhiên

2.4.2.1 Loại rời rạc

* Bảng ppxs đồng thời của X và Y

1 2 m

ppp

y y y

q q q

VD 2.15: Giả sử ppxs đồng thời của X và Y là

Tìm pp của X và Y.

0,16 0,2

3

0,18 0,3

2

0,06 0,1

1

2 1

YX

* Phân phối có điều kiện

+ của X với điều kiện

+ của Y với điều kiện

X x x x1 2 m

1/ j 2 / j m / j

p p pj

Yi

Y / xP

y y y1/ i 2 / i n / i

q q q

VD 2.16: Thống kê dân số của một vùng theo 2 chỉ tiêu: giới tính X, học vấn Y, được kết quả:

a) Lập luật ppxs của học vấn, giới tính.

b) Học vấn có độc lập với giới tính không?

c) Lập luật ppxs học vấn của nữ.

0,12 0,22

0,15

Nữ: 1

0,16 0,25

0,10

Nam: 0

đại học 2

phổ thông

1

thất học 0 Y

X

* Mật độ pp có điều kiện

+ của X với điều kiện Y=y:

+ của Y với điều kiện X=x:

VD 2.17: Giả sử hàm mật độ pp đồng thời của X và Y là

với x>0, y>0 trường hợp khác a) Tìm A.

b) Tìm hàm mật độ của X và Y.

c) X và Y có độc lập?

Bài tập: 58, 62 sách Bài tập

(x y)Ae

2.4.3 Hàm của các ĐLNN:

* Trường hợp 1 chiều:

+ X nhận các giá trị nhận các giá trị

+ Xác suất

VD 2.18: Cho X có luật phân phối

0,15 2

0,15 0,3

0,1 1

2 1

0

X Y

- Với X rời rạc, Mod[X] là giá trị của X

ứng với xác suất lớn nhất (hay còn gọi là giá trị tin chắc nhất).

- Với X liên tục, Mod[X] là giá trị làm cho hàm mật độ pp f(x) đạt giá trị lớn nhất

* Kỳ vọng toán học: M(X)

- Định nghĩa

nếu X rời rạc

nếu X liên tục có hàm mật độ f(x) xác định trên [a,b]

VD 2.20: Tính M(X)

n

i i

i 1 b a

x pM(X)

1 0 1 2

−

0,1 0,2 0,3 0,4

- Ý nghĩa: M(X) là giá trị trung bình (về mặt xác suất) của X

VD 2.21: Cho X có luật pp

Tính M(2X+1),

VD 2.22: X có hàm mật độ

trường hợp khác Tính

XXP

* Phương sai D(X) và độ lệch tiêu chuẩn

1 0 1 2

−

0,1 0,2 0,3 0,4

- Ý nghĩa: D(X) là thông số đo mức độ phân tán của X quanh kỳ vọng Trong kỹ thuật,

D(X) đặc trưng cho độ sai số của thiết bị,

trong kinh doanh nó đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định.

- Hiệp phương sai

VD 2.24: X và Y có ppxs đồng thời

a) Tìm ppxs của X và Y.

b) Tính hệ số tương quan.

0,03 0,12

0,05 0,8

0,35 0,3

0,15 0,4

8 5

2

Y X

2.4.6 Đặc trưng số của một số luật phân phối

np q k np q 1− ≤ ≤ − +

X B(n,p)∈

M[X] = µ

2D[X] = σ

2.5 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm

2.5.1 Khái niệm hội tụ của dãy ngẫu nhiên

n

X → X

n n

n n

c) Dãy hội tụ theo xác suất về X, ký hiệu

d) Dãy hội tụ theo phân phối về X, ký

hiệu

, trong các trường hợp sau

- Rời rạc: và X đều rời rạc có cùng tập giá trị T thì

n

(X )P

n

X → X

n n

n

(X )F

n

X → X

n(X )

F n

n n

- Liên tục: X liên tục, còn tùy ý thì

F n

n n

b) Luật số lớn Chebyshev:

Nếu dãy ĐLNN độc lập từng đôi, có phương sai thì

* Hệ quả (luật số lớn Bernoulli):

Nếu là tần suất xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử độc lập với p(A)=p thì

f (A) → p(A) p=