Gi iả phương trình: a.
Trang 19.1 Ch ng minh r ng: Đ nh th c s b ng không n u:ứ ằ ị ứ ẽ ằ ế
a/ Trong đ nh th c có hai dòng (hay hai c t) gi ng nhau ị ứ ộ ố
b/ Trong đ nh th c có hai dòng (hay hai c t) t l v i nhau.ị ứ ộ ỷ ệ ớ
c/ Trong đ nh th c có m t dòng (hay m t c t) là t h p tuy n tính c a các dòngị ứ ộ ộ ộ ổ ợ ế ủ (hay các c t) còn l i c a đ nh th c.ộ ạ ủ ị ứ
9.2 Ch ng minh r ng: Trong m t đ nh th c, t ng các tích c a các ph n t c a m tứ ằ ộ ị ứ ổ ủ ầ ử ủ ộ dòng (ho c m t c t) v i ph n bù đ i s c a các ph n t tặ ộ ộ ớ ầ ạ ố ủ ầ ử ương ng c a m t dòngứ ủ ộ (ho c c t) khác đ u b ng 0.ặ ộ ề ằ
9.3 Gi s ả ử A =(aij)n×n, A1,A2,,An là các c t c a A Ch ng minh r ng:ộ ủ ứ ằ 0
A
det ≠ ⇔ h véc t ệ ơ {A1,A2,,An} là h véc t đ c l p tuy n tính.ệ ơ ộ ậ ế
9.4 Ch ng minh r ng: các phép bi n đ i s c p th c hi n trên m t ma tr n khôngứ ằ ế ổ ơ ấ ự ệ ộ ậ
là thay đ i h ng c a ma tr n đó.ổ ạ ủ ậ
9.5 Cho A =( )a ij m×n, B là ma tr n vuông không suy bi n c p m Ch ng minh r ngậ ế ấ ứ ằ
( )B A rankA
Còn n u ế A =( )aij m×n, B là ma tr n vuông không suy bi n c p n thì ậ ế ấ rank( )A B = rankA Còn
n u ế A =( )a ij n×n, B là ma tr n vuông không suy bi n c p n thì ậ ế ấ rank( )A B = rank( )B A = rankA
9.6 N u A và B là các ma tr n vuông c p n có ế ậ ấ A.B=B.A thì:
B B A 2 A ) B
A
B A ) B A )(
B A
B B A 3 B A 3 A )
B
A
9.7 Ch ng minh r ng: N u ma tr n vuông A có ứ ằ ế ậ 2 =Ο
A thì các ma tr nậ
E A
vµ
E
A + − là nh ng ma tr n không suy bi n.ữ ậ ế
9.8 Đ nh th c c p n s thay đ i th nào n u: ị ứ ấ ẽ ổ ế ế
a/ Đ i d u t t c các ph n t c a nó.ổ ấ ấ ả ầ ử ủ
b/ Vi t các c t (hay các dòng c a nó) theo th t ngế ộ ủ ứ ự ượ ạc l i
9.9 Cho A là ma tr n vuông c p n và n u ậ ấ ế detA =det(kA) Hãy tính k
9.12 Ch ng minh r ng: N u ứ ằ ế detA =2 thì các ph n t c a ma tr n ngh ch đ oầ ử ủ ậ ị ả không th g m toàn các s nguyên.ể ồ ố
−
=
−
=
=
8 2
9 4
0 7 C
; 4 1
2 0
5 4 B
; 3 2
1 3
2 1 A
Hãy tính a/3A−2B; b/ 5A−4B−2C
9.17 Cho = −
3 1
4 7
2 5
A
B
−
=
−
=
2 1
1 2
3 4 B
; 1 3
1 5
3 1
A Tìm X bi t a/ ế 2A−3X =B; b/ − X =Ο
3
2 A
9.19 Tính: a/ A4 v i ớ A =00 10 ; b/ B3 v i ớ B=cossinaa −cossinaa
Trang 29.20 Ch ng minh r ng: ma tr n ứ ằ ậ X =ca bd tho mãn ph ng trình:ả ươ
Ο
=
− + +
−(a d)X (ad bc)E
X2 , trong đó E=01 10; Ο=00 00
9.21 Ch ng minh r ng: không t n t i các ma tr n vuông cùng c p A và B sao choứ ằ ồ ạ ậ ấ
E BA
AB− = , trong đó E là ma tr n đ n v cùng c p v i A và B ậ ơ ị ấ ớ
9.22 Cho TÝnhf(X) X 4X 3E
3 2
0 1
X = = 2 − + , trong đó E=01 10
4 3
1 2 B
; 3 2
2 1
A =− = = 3 + 2 − + Tính f(AB).
9.24 Ch ng minh r ng: ma tr n ứ ằ ậ
=
3 0 0
0 1 0
0 0 1
X là nghi m c a đa th cệ ủ ứ
E 9 X 9 X X
)
X
(
9.25 Tìm (f(A))2 n u ế
=
3 0 1
2 1 0
0 2 1
Gi i các ph ả ươ ng trình sau:
3 x 4
x 3 2 det + − = ; 9.27 = −
2 3 / 31
1 3 / 2 det x
3 1
2 1 x
1 3 2
0 0
3 x
0 x 4 8
2 x 12 6
−
−
9.29 Cho a1, a2, …, an–1 là các h ng s tuỳ ý cho trằ ố ước, khác nhau và khác 0 Gi iả
phương trình:
a a a a
a a a a
a a a a
x x x x
det
n 3
1 n
2 1 n 1 n
n 2
3 2
2 2 2
n 1
3 1
2 1 1
n 3
2
=
−
−
−
9.30 Tính các đ nh th c sau: a/ ị ứ
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 D
+ η +
η +
η
ηγ γ+ γ+ γ+
+ δ +
δ +
δ
α
=
b/ D a xx b xx xx
+
+
Trang 39.31 Gi i phả ương trình:
0
−
=
−
− −
S d ng tính các ch t c a đ nh th c, tính các đ nh th c t bài 32 đ n bài 36 ử ụ ấ ủ ị ứ ị ứ ừ ế :
9.32 D= 12721273 22722273
9.33 a/
556 275 363
2 2 2
654 373 461
D= ; b/
0 x x x 1
x 0 x x 1
x x 0 x 1
x x x 0 1
1 1 1 1 0
Dn =
9.34 a/
5 4 1 2
3 8 4 4
1 2 9 1
2 6 7 3
D= ; b/
x 0 0 0 a
1 x 0 0 a
0 0 x 0 a
0 0 1 x a
0 0 0 1 a
D
n
1 n
2 1 0
1 n
−
−
−
=
− +
9.35
2 3 4 5
3 4 5 6 D
4 6 8 10
2 3 7 8
9.36 a/
n n n n n
n 4 4 4 4
n 4 3 3 3
n 4 3 2 2
n 4 3 2 1
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 4 2
2 2 2 2 5
c/
n 2 2 2 2
2 4 2 2 2
2 2 3 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 1
9.37 Cho ma tr n A c p ậ ấ 10×10 có d ng: ạ
10
A
, các ph n tầ ử
Trang 4d ng ạ a10,1 =10−10;ak,k+1=1∀k=1,9; E là ma tr n đ n v c p 10 Ch ng minh r ng:ậ ơ ị ấ ứ ằ
10 10
10 )
E
A
9.38 a/ Dùng công th c khai tri n đ nh th c, tính các đ nh th c sau:ứ ể ị ứ ị ứ
a/
0 0 3 2 0
0 0 3 5 1
0 0 1 2 0
2 2 3 0 0
1 1 2 1 3
−
2 1 0 0 0 0
10 9 0 0 0 0
8 6 1 6 0 0
1 5 1 2 0 0
3 0 5 0 4 3
2 0 0 0 2 1 D
−
=
9.39 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n ậ ị ả ủ ậ
−
=
2 3 1
1 2 1
3 1 5 A
9.40 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n: ậ ị ả ủ ậ
a/
−
−
−
=
4 3 3 1
1 2 4 1
2 1 5 2
0 1 2 1
=
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
1 1 1 1 1
−
=
2 2 1
1 4 2
2 1 3
9.41 Gi i phả ương trình ma tr n: a/ ậ AX =B
−
−
=
−
=
0 1
2 2
6 3 B
; 2 3 1
1 2 1
3 1 2 A
=
−
−
=
=
2 1 1
1 1 3
3 6 2 C
; 9 3 0
4 3 3
15 4
9 B
; 1 0 2
1 1 1
2 1 3
c/ AX =B v i ớ
=
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
−−
=
1 0 0 0
2 n 1 0 0
1 n 2 1 0
n 3 2 1 B
9.42 V i giá tr nào c a ớ ị ủ λ thì các ma tr n sau có ma tr n ngh ch đ o:ậ ậ ị ả
a/ A 1 32 20
−
= λ
; b/
2 0
0 1
λ
= λ
λ
−
=
3 1
1 3
4 5 1
−
λ λ
λ
=
2 3
1 2
1 2
9.43 Dùng phương pháp đ nh th c bao quanh, tìm h ng c a ma tr n:ị ứ ạ ủ ậ
a/
1 3 0 1
0 10 1 10
−
;
B
−
−
9.44 Dùng các phép bi n đ i s c p, tìm h ng c a ma tr n:ế ổ ơ ấ ạ ủ ậ
Trang 51 2 1 1 1
A
− − −
−
;
9.45 Ch ng minh r ng m t ma tr n có h ng b ng r bao gi cũng vi t đ c thànhứ ằ ộ ậ ạ ằ ờ ế ượ
t ng c a r ma tr n có h ng b ng 1.ổ ủ ậ ạ ằ
9.46 Cho hai ma tr n cùng c p A và B, ch ng minh r ngậ ấ ứ ằ
9.47 Xét s ph thu c tuy n tính c a h véc tự ụ ộ ế ủ ệ ơ
a/ {A1= −( 1,0, 3,1); A− 2= −(1, 2,1,3); A3 =(2,1,1, 1); A− 4=(4, 3,3,5)− }
b/ {B1= −( 1,0, 3,2); B− 2 = −(1, 2,1,0); B3=(2,0,1, 1); B− 4=(2, 3,3,1)− }
9.48 a/ Cho h véc t ệ ơ {A1=(2,3,5); A2=(3,7,8); A3=(1, 6, ); X− λ =(1,3,5)} Tìm giá tr c a ị ủ λ đ véc t ể ơ X bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ể ễ ế ượ ệ ơ {A1,A2,A3}
b/ Cho h véc tệ ơ
{A1= −( 6,7,3, 2);A− 2 =(1,3,2,7);A3= −( 4,18,10,3);X =(1,8,5, )λ }
Tìm giá tr c a ị ủ λ đ véc t ể ơ X bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ể ễ ế ượ ệ ơ {A1,A2,A3} c/ Cho h véc t ệ ơ {A1=(1, 1,a); A− 2=(3,2,2); A3=(4,3,1); C (2,1,3)= }
Tìm giá tr c a a đ véc t C bi u di n tuy n tính đị ủ ể ơ ể ễ ế ược qua h véc t ệ ơ {A1,A2,A3}
{A1=(4,5,3, 1);A− 2 = −(1, 7,2, 3);A− 3= −( 4,1, 1,3);C ( 2,8,a,4)− = − }
Tìm giá tr c a a đ véc t C bi u di n tuy n tính đị ủ ể ơ ể ễ ế ược qua h véc t ệ ơ {A1,A2,A3}
9.49 Tìm h ng và m t c s c a h véc t sau, bi u di n các véc t còn l i theo c s đó:ạ ộ ơ ở ủ ệ ơ ể ễ ơ ạ ơ ở a/ {A1=(1,2, 1,3); A− 2=(0,3, 3,7); A− 3=(7,5,2,0); A4 =(2,1,1, 1)− }
b/ {A1=(2,1,1,3,5); A2=(1,2,1,1,3); A3=(7,1,6,0,4); A4 =(3,4,4,1,2);
} 5
A =(3,1,3,2,1)
9.50 Cho {A ,A ,1 2 ,Am} là h m véc t n chi u đ c l p tuy n tính N u m i vécệ ơ ề ộ ậ ế ế ỗ
t c a h ơ ủ ệ đ u b sung thêm thành ph n th ề ổ ầ ứ n 1+ thì h m ệ véc t ơ n 1+ chi u m i làề ớ
đ c l p tuy n tính hay ộ ậ ế ph thu c tuy n tính? ụ ộ ế
9.51 Cho {A ,A ,1 2 ,Am} là h m véc t n chi u ph thu c tuy n tính N u m i vécệ ơ ề ụ ộ ế ế ỗ
t c a h đ u b t đi thành ph n th n thì h m véc t ơ ủ ệ ề ớ ầ ứ ệ ơ n 1+ chi u m i là đ c l p tuy nề ớ ộ ậ ế tính hay ph thu c tuy n tính?ụ ộ ế
Gi i ả
9.2: Ch ng minh ứ :
n
kj ij
j 1
a A
=
∑ chính là công th c khai tri n theo dòng i c a đ nh th c: ứ ể ủ ị ứ
.
Trang 611 12 1n
(*1)
dòng i dòng k
trong đó n ≥ 2 Mà đ nh th c (*1) có hai dòng gi ng nhau nên đ nh th c b ng không ị ứ ố ị ứ ằ ⇒ n
kj ij
j 1
= =
∑
9.3 Đi u ki n c n: Cho ề ệ ầ A =( )a ij n×n có det A ≠ 0, ta c n ch ng minh h véc t dòngầ ứ ệ ơ (ho c ặ c t) c a ma tr n là đ c l p tuy n tính Gi s ng c l i h véc t dòng (ho c c t)ộ ủ ậ ộ ậ ế ả ử ượ ạ ệ ơ ặ ộ
c a maủ tr n là ph thu c tuy n tínhậ ụ ộ ế , theo h qu 9.3.5 thì ệ ả detA=0, mâu thu n v i giẫ ớ ả thi t Mâu thu n đó ch ng t ế ẫ ứ ỏh véc t dòng (ho c c t) c a ma tr n là đ c l p tuy n tính ệ ơ ặ ộ ủ ậ ộ ậ ế – Đi u ki n đ : Gi s h n véc t dòng (ho c c t) c a ma tr n là đ c l p tuy n tính, theo ề ệ ủ ả ử ệ ơ ặ ộ ủ ậ ộ ậ ế
đ nh nghĩa c a h ng c a h véc t thì ị ủ ạ ủ ệ ơ rank(A1,A2, ,An)=n, theo đ nh lý 9.5.1 thì ị
n
rankA= , theo đ nh nghĩa h ng c a ma tr n thì ị ạ ủ ậ det A ≠ 0 □
9.5 Do B là ma tr n không suy bi n nên t n t i ậ ế ồ ạ B−1 Xét ma tr n ghép ậ (A B−1), nhân vào bên trái c a ma tr n này v i B, ta đủ ậ ớ ược B (A B − 1) (= B A B B − 1)=(B A E) Đó chính là phép kh toàn ph n th c hi n trên ma tr n ử ầ ự ệ ậ B−1⇒ nó là các phép bi n đ i sế ổ ơ
c p th c hi n trên ma tr n A đ đấ ự ệ ậ ể ược B.A ⇒rank( )B A = rankA
Đ ch ng minh ể ứ rank( )A B = rankA, ta l y chuy n v ấ ể ị B ′, ( B−1)′vµ A′=( )a ji n×m Xét ma
tr n ghép ậ (A ′ ( B − 1 ) ′), nhân vào bên trái c a ma tr n này v i ủ ậ ớ B ′, ta đ cượ
.
B ′ ′ − 1 ′ = ′ ′ ′ − 1 ′ = ′ (vì B′.( B − 1 )′= ( B − 1 B )′= E) Nh v y t ma tr n A,ư ậ ừ ậ
nh các phép chuy n v và các phép bi n đ i s c p, ta đã thu đ c ma tr n A.B ờ ể ị ế ổ ơ ấ ượ ậ ⇒ ( )A B rankA
rank = □
9.7 Ta có det A[ ( +E A) ( −E) ] =[det A( +E) ]⋅[det A( −E) ] (*1)
Vì AE=EA nên [ ( ) ( ) ] ( 2 2)
tr n ậ A+E và A−E là nh ng ma tr n không suy bi n.ữ ậ ế
9.8 a/ Vi c đ i d u t t c các ph n t c a đ nh th c c p n đ ng nghĩa v i vi c đ iệ ổ ấ ấ ả ầ ử ủ ị ứ ấ ồ ớ ệ ổ
d u t t c n dòng c a đ nh th c Ta đã bi t vi c đ i d u các ph n t trên m t dòngấ ấ ả ủ ị ứ ế ệ ổ ấ ầ ử ộ
c a đ nh th c làm cho đ nh th c đ i d u Vì v y vi c đ i d u t t c các ph n t c aủ ị ứ ị ứ ổ ấ ậ ệ ổ ấ ấ ả ầ ử ủ
đ nh th c c p n làm cho đ nh th c đị ứ ấ ị ứ ược nhân v i ớ n
( 1)− b/ Đ i v i đ nh th c c p ch n (ố ớ ị ứ ấ ẵ n=2k) thì vi c vi t các dòng (hay các c t c a nó)ệ ế ộ ủ theo th t ngứ ự ượ ạ ồc l i đ ng nghĩa v i vi c đ i ch k c p dòng: dòng 1 và dòng ớ ệ ổ ỗ ặ 2k
cho nhau; dòng 2 và dòng 2k 1− cho nhau; … dòng k và dòng k 1+ Ta cũng đã bi t:ế khi đ i ch 2 dòng nào đó cho nhau thì đ nh th c đ i d u Do đó khi vi t các dòngổ ỗ ị ứ ổ ấ ế
c a đ nh th c c p ủ ị ứ ấ 2k theo th t ngứ ự ượ ạc l i, đ nh th c đị ứ ược nhân v i ớ ( 1)− k Ch ngẳ
Trang 7h n khi làm nh v y đ i v i đ nh th c c p 2 thì đ nh th c đ i d u, còn v i đ nh th cạ ư ậ ố ớ ị ứ ấ ị ứ ổ ấ ớ ị ứ
c p 4 thì đ nh th c không đ i d u.ấ ị ứ ổ ấ
Đ i v i đ nh th c c p l (ố ớ ị ứ ấ ẻ n=2k 1+ ) thì vi c vi t các dòng (hay các c t c a nó)ệ ế ộ ủ theo th t ngứ ự ượ ạ ồc l i đ ng nghĩa v i vi c đ i ch k c p dòng: dòng 1 và dòng ớ ệ ổ ỗ ặ 2k 1+ cho nhau; dòng 2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k +2 Do đó khi vi t cácế dòng c a đ nh th c c p ủ ị ứ ấ 2k 1+ theo th t ngứ ự ượ ạc l i, đ nh th c cũng đ c nhân v iị ứ ượ ớ
k
( 1)− Ch ng h n khi làm nh v y đ i v i đ nh th c c p 3 thì đ nh th c đ i d u, cònẳ ạ ư ậ ố ớ ị ứ ấ ị ứ ổ ấ
v i đ nh th c c p 5 thì đ nh th c không đ i d u.ớ ị ứ ấ ị ứ ổ ấ
Nh v y khi vi t các dòng (hay các c t) c a đ nh th c theo th t ngư ậ ế ộ ủ ị ứ ứ ự ượ ạc l i thì các
đ nh th c c p ị ứ ấ 4k và 4k 1+ không thay đ i, các đ nh th c c p ổ ị ứ ấ 4k 1 vµ 4k− −2 sẽ
đ i d u (k nguyên dổ ấ ương)
k det A =det A N u ế det A =0 thì det(kA)=det A
đúng v i m i k Còn n u ớ ọ ế det A ≠0 thì kn =1⇒k 1= n u n l ; ế ẻ k= ±1 n u n ch n.ế ẵ
9.10 Ch ng minh r ng: N u ứ ằ ế 1
A
A = − thì A n =E; A n+1=A ∀n=0,1,2,3,
T gi thi t ừ ả ế 1
A
A = − ⇒A2 =A A−1 =E ⇒ A2n =En =E ∀n nguyên dương ⇒
2n 1
A + =A ∀n nguyên dương □
9.11 Ch ng minh r ng: N u A, B là các ma tr n vuông cùng c p tho mãnứ ằ ế ậ ấ ả BA
AB = và detA ≠0 thì 1 1
BA B
A B−1 =A BAA−1 −1=A ABA−1 −1=BA−1 □
9.12 Ch ng minh r ng: N u ứ ằ ế detA =2 thì các ph n t c a ma tr n ngh ch đ oầ ử ủ ậ ị ả không th g m toàn các s nguyên.ể ồ ố
Do det A = ≠2 0 ⇒ t n t i ma tr n ngh ch đ o ồ ạ ậ ị ả 1
(det A).(det A )− =det(A.A )− =det E 1= vì detA =2 ⇒det A 1 1
2
A− không thể toàn các s nguyên ố
9.21 Ch ng minh r ng: không t n t i các ma tr n vuông cùng c p A và B sao choứ ằ ồ ạ ậ ấ
E BA
AB − = , trong đó E là ma tr n đ n v cùng c p v i A và B ậ ơ ị ấ ớ
T s t n t i c a các ma tr n AB và BA kéo theo A và B là các ma tr n vuông cùngừ ự ồ ạ ủ ậ ậ
c p.ấ
Gi s ả ử A =( )aij n n× ; B=( )bij n n× ; AB=( )cij n n× ; BA=( )dij n n× G i ọ VAB BA− là t ngổ các ph n t trên đầ ử ường chéo chính c a ma tr n ủ ậ AB BA− ⇒ AB BA n ii ii
1
ik ki ik ki
i 1 k 1 k 1
ik ki ki ik
i 1 k 1 k 1 i
∑∑ ∑∑ Trong khi đó t ng các ph nổ ầ
t trên đử ường chéo chính c a ma tr n đ n v E là ủ ậ ơ ị VE=n V y không t n t i các maậ ồ ạ
tr n vuông cùng c p A và B sao cho ậ ấ AB−BA=E
Trang 89.29 Ph ng trình ươ
(v i đi u ki n aớ ề ệ 1, a2, …, an–1
là các h ng s khác nhau và khác 0) là ph ng trình b c n nên nó có t i đa là nằ ố ươ ậ ố nghi m D dàng th y ệ ễ ấ x1=0, x2=a , x1 3=a ,2 , xn =an 1− là n nghi m khác nhau c aệ ủ
ph ng trình, vì v y nó ch có các nghi m ươ ậ ỉ ệ ấy mà thôi
□
9.30 a/
(2)
1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 43
=
(3)
1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43
vì đ nh th c (2)ị ứ
có đ c t đ nh th c (3) b ng cách c ng vào c t 3 m t t h p tuy n tính c a 2 c tượ ừ ị ứ ằ ộ ộ ộ ổ ợ ế ủ ộ
đ u.ầ
⇒
(5)
η η η + η + 1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43η η η + η + η +
Vì đ nhị
th c (5) có c t 4 b ng t h p tuy n tính c a 3 c t đ u.ứ ộ ằ ổ ợ ế ủ ộ ầ
b/ N uế abcx≠0:
+
+
2
cùng có hai c t gi ng nhau nên nó b ng 0 Đ nh th c đ u tiên là đ nh th c c a maộ ố ằ ị ứ ầ ị ứ ủ
tr n tam giác nên ậ ab 0 11 0 xx ab(c x) abc abx
+ L i tách hai đ nh th c gi aạ ị ứ ữ theo c t cu i, m i đ nh th c thành hai đ nh th c, ta độ ố ỗ ị ứ ị ứ ược:
Trang 92 2
1 1 1
1 0 1
1 0 1 = (có hai c t gi ng nhau); ộ ố 1 1 00 1 0 1
1 0 0
N u ch ng h n ế ẳ ạ a 0= thì
1 0 c x
N u ế x =0 thì
a 0 0
0 0 c
= = (Đáp s trong sách sai ố )
9.31 Ph ng trình: ươ
0
−
=
−
− −
là phương trình b c ậ n 1−
nên nó có không quá n 1− nghi m khác nhau Nh ng d th y phệ ư ễ ấ ương trình có n 1−
nghi m khác nhau là ệ x1=0; x2 =1; ; xn 1− = −n 2 ⇒ phương trình ch có cácỉ nghi m đó mà thôiệ (Đáp s trong sách bài t p thi u nghi m – không đi m)ố ậ ế ệ ể
□
9.33 a/
556 275 363
2 2 2
654 373 461
363 275 556
= = (Đ nh th c có hai dòng t l v iị ứ ỷ ệ ớ nhau thì đ nh th c b ng 0.ị ứ ằ
9.33 b/ n
0 1 1 1 1
1 0 x x x
1 x 0 x x D
1 x x 0 x
1 x x x 0
= L y dòng 1 nhân v i –x đ c ng vào cácấ ớ ể ộ
dòng t th hai tr đi, ta đừ ứ ở ược:
n
D
−
−
=
−
−
Khai tri n đ nh th c theo dòng n, ta để ị ứ ược:
n 1 n
(*1)
Khai tri n đ nh th nh t theo c t ể ị ứ ấ ộ n 1− (là đ nh th c c p ị ứ ấ n 1− ), ta đ cượ
Trang 10n 2
x 0 0 0
−
−
−
;
Đ nh th c th hai ị ứ ứ
−
−
− chính là Dn 1− Thay vào (*1), ta đ c công th c:ượ ứ
n 1 n 2
D = −( 1) − x − −x.D − ∀n nguyên d ng (*2)ươ
Ta có 3
4
D = −( 1) x −x.2x= −3x ⇒ Ta ch ng minhứ
n
D = −( 1) − (n 1)x− − ∀n nguyên dương (*3) hi n nhiên công th c đãể ứ đúng v i ớ n 3= Gi s (*3) đã đúng v i n, ta ch ng minh (*3) cũng đúng v i ả ử ớ ứ ớ n 1+ Theo (*2) thì n n 1
D + = −( 1) x − −x.D theo (*3) thì
n 1
( 1) n.x− − , t c là (*3)ứ cũng đúng v i ớ n 1+ □
9.34 a/ Đ nh th c có c t m t và c t 4 t l v i nhau thì đ nh th c b ng 0.ị ứ ộ ộ ộ ỷ ệ ớ ị ứ ằ
9.34 b/
x 0 0 0 a
1 x 0 0 a
0 0 x 0 a
0 0 1 x a
0 0 0 1 a
D
n
1 n
2 1 0
1 n
−
−
−
=
− + khai tri n theo dòng ể n 1+ , ta được:
0 1
n 1
1 0 0 0
+
−
−
−
−
−
−
=
a +x.D ∀n nguyên dương (*1)
2
−
n
i 0
=
= + + +L + =∑ ∀ nguyên dương (*2) Hi n nhiênể (*2) đã đúng v i ớ n 2= Gi s (*2) đã đúng v i n nguyên d ng tuỳ ý, theo (*1) thìả ử ớ ươ
D + =a+ +x.D + , theo (*2) thì n n i
i 0
=