Bài tập ma trận định thức

Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:a Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau. b Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau.c Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hay các cột) còn lại của định thức.Giải:Chứng minh: chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức: (1).dòng idòng ktrong đó . Mà định thức (1) có hai dòng giống nhau nên định thức bằng không 

9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:

a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau

b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau

c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hay các cột) còn lại của định thức

9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một

dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng (hoặc cột) khác đều bằng 0

9.3 Giả sử A(aij)nn, A1,A2,,An là các cột của A Chứng minh rằng: detA0

 hệ véc tơ A1,A2,,An là hệ véc tơ độc lập tuyến tính

9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không là

thay đổi hạng của ma trận đó

9.5 Cho A  a ijm n



 , B là ma trận vuông không suy biến cấp m Chứng minh rằng

B A rankA

Còn nếu A  a ijm n



 , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rankA B rankA Còn nếu A  a ijn n



 , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rankA B rankB A rankA

9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có A.BB.A thì:

B B A 2 A ) B

A

B A ) B A )(

B A

B B A 3 B A 3 A )

B

A

9.7 Chứng minh rằng: Nếu ma trận vuông A có A2  thì các ma trận

E A

vµ

E

A  là những ma trận không suy biến

9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:

a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó

b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại

9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu detAdet(kA) Hãy tính k

9.12 Chứng minh rằng: Nếu detA2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể gồm toàn các số nguyên



























































8 2

9 4

0 7 C

; 4 1

2 0

5 4 B

; 3 2

1 3

2 1 A Hãy tính a/3A 2B; b/ 5A 4B 2C





































5 2

1 3 B

; 3 1

4 7

2 5

A

B





































2 1

1 2

3 4 B

; 1 3

1 5

3 1

A Tìm X biết a/ 2A 3XB; b/  X

3

2 A

9.19 Tính: a/ A4 với 













0 0

1 0

A ; b/ B3 với 











a cos a sin

a sin a

cos B

9.20 Chứng minh rằng: ma trận Xa b thoả mãn phương trình:









 (a d)X (ad bc)E











 1 0

0 1















0 0

0 0

9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho

E BA

AB  , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B

9.22 Cho TÝnh (X) X 4X 3E

3 2

0 1





















 1 0

0 1

4 3

1 2 B

; 3 2

2 1



























9.24 Chứng minh rằng: ma trận 















3 0 0

0 1 0

0 0 1

X là nghiệm của đa thức E

9 X 9 X X

)

X

9.25 Tìm (f(A))2 nếu 



















3 0 1

2 1 0

0 2 1

A và (X)XE

Giải các phương trình sau:

3 x 4

x 3 2











































2 3 / 31

1 3 / 2 det x

3 1

2 1 x

1 3 2

0 0

3 x

0 x 4 8

2 x 12 6

























9.29 Cho a1, a2, …, an–1 là các hằng số tuỳ ý cho trước, khác nhau và khác 0 Giải phương trình:

a a a a

a a a a

a a a a

x x x x

det

n 3

1 n

2 1 n 1 n

n 2

3 2

2 2 2

n 1

3 1

2 1 1

n 3

2





































9.30 Tính các định thức sau: a/

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1

) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1

) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1

) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1

) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 D









































































b/ D a xx bxx xx





9.31 Giải phương trình:

0







Sử dụng tính các chất của định thức, tính các định thức từ bài 32 đến bài 36: 9.32 D 12721273 22722273

9.33 a/

556 275 363

2 2 2

654 373 461

D  ; b/

0 x x x 1

x 0 x x 1

x x 0 x 1

x x x 0 1

1 1 1 1 0

Dn 

9.34 a/

5 4 1 2

3 8 4 4

1 2 9 1

2 6 7 3

D  ; b/

x 0 0 0 a

1 x 0 0 a

0 0 x 0 a

0 0 1 x a

0 0 0 1 a

D

n

1 n

2 1 0

1 n













9.35

2 3 4 5

3 4 5 6 D

4 6 8 10

2 3 7 8

9.36 a/

n n n n n

n 4 4 4 4

n 4 3 3 3

n 4 3 2 2

n 4 3 2 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 4 2

2 2 2 2 5

c/

n 2 2 2 2

2 4 2 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 1

9.37 Cho ma trận A cấp 10 10 có dạng:

10

A

, các phần tử

dạng a10,1 1010;ak,k1 1k1,9; E là ma trận đơn vị cấp 10 Chứng minh rằng:

10 10

10 )

E

A

det(     

9.38 a/ Dùng công thức khai triển định thức, tính các định thức sau:

a/

0 0 3 2 0

0 0 3 5 1

0 0 1 2 0

2 2 3 0 0

1 1 2 1 3



2 1 0 0 0 0

10 9 0 0 0 0

8 6 1 6 0 0

1 5 1 2 0 0

3 0 5 0 4 3

2 0 0 0 2 1 D





9.39 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 

















2 3 1

1 2 1

3 1 5 A

9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận:

a/





























4 3 3 1

1 2 4 1

2 1 5 2

0 1 2 1



























1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

1 1 1 1 1





















2 2 1

1 4 2

2 1 3

9.41 Giải phương trình ma trận: a/ AX B

































 



0 1

2 2

6 3 B

; 2 3 1

1 2 1

3 1 2 A































































2 1 1

1 1 3

3 6 2 C

; 9 3 0

4 3 3

15 4

9 B

; 1 0 2

1 1 1

2 1 3

c/ AX B với































1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1



































1 0 0 0

2 n 1 0 0

1 n 2 1 0

n 3 2 1 B

9.42 Với giá trị nào của  thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo:

a/ A 1 32 20



; b/ A 2 2 01

0 1



























3 1

1 3

4 5 1























2 3

1 2

1 2

9.43 Dùng phương pháp định thức bao quanh, tìm hạng của ma trận:

a/

0 10 1 10



;

B

1 3 6 12 2







9.44 Dùng các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận:

A







;

9.45 Chứng minh rằng một ma trận có hạng bằng r bao giờ cũng viết được thành

tổng của r ma trận có hạng bằng 1

9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng rank(AB)rankArankB

9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ

a/ A1  ( 1, 0, 3,1); A 2 (1, 2,1,3); A 3 (2,1,1, 1); A 4 (4, 3,3,5) 

b/ B1  ( 1, 0, 3,2); B 2 (1, 2,1, 0); B 3 (2, 0,1, 1); B 4 (2, 3,3,1) 

9.48 a/ Cho hệ véc tơ A1 (2,3,5); A2 (3,7,8); A3 (1, 6, ); X  (1,3,5) Tìm giá trị của  để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A1,A2,A3 b/ Cho hệ véc tơ

A1  ( 6,7,3, 2);A 2 (1,3,2,7);A3  ( 4,18,10,3);X (1,8,5, ) 

Tìm giá trị của  để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A1,A2,A3 c/ Cho hệ véc tơ A1 (1, 1,a); A 2 (3,2,2); A3 (4,3,1); C (2,1,3)

Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A1,A2,A3

A1 (4,5,3, 1);A 2 (1, 7,2, 3);A  3  ( 4,1, 1,3);C  ( 2,8,a, 4)

Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A1,A2,A3

9.49 Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ sau, biểu diễn các véc tơ còn lại theo cơ sở đó:

a/ A1 (1,2, 1,3); A 2 (0,3, 3,7); A 3 (7,5,2, 0); A4 (2,1,1, 1) 

b/ A1 (2,1,1,3,5); A2 (1,2,1,1,3); A3 (7,1,6, 0,4); A4 (3, 4, 4,1,2);

 5

A (3,1,3,2,1)

9.50 Cho  A , A ,1 2 , Am là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính Nếu mỗi véc

tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1 thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

9.51 Cho A , A ,1 2 , Am là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính Nếu mỗi véc tơ của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải

9.2:  Chứng minh:

n

kj ij

j 1

a A



 chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức:

11 12 1n

21 22 2 n

k1 k2 kn

k1 k2 kn

n1 n2 nn

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

(*1)

.

dòng i dòng k

trong đó n  2 Mà định thức (*1) có hai dòng giống nhau nên định thức bằng không 

n

kj ij

j 1







9.3  Điều kiện cần: Cho A  a ij n n



 có det A  0, ta cần chứng minh hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính Giả sử ngược lại hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là phụ thuộc tuyến tính, theo hệ quả 9.3.5 thì detA0, mâu thuẫn với giả thiết Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính – Điều kiện đủ: Giả sử hệ n véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính, theo định nghĩa của hạng của hệ véc tơ thì rankA1,A2, ,Ann, theo định lý 9.5.1 thì

n

rankA  , theo định nghĩa hạng của ma trận thì det A  0 □

9.5  Do B là ma trận không suy biến nên tồn tại B1 Xét ma trận ghép A B  1, nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được B A B  1  B A B B  1B A E Đó chính là phép khử toàn phần thực hiện trên ma trận B  1 nó là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên ma trận A để được B.A  rankB A rankA

Để chứng minh rankA B rankA, ta lấy chuyển vị B,  

m n ji

B (



   Xét ma trận ghép A  ( B  1 ) , nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được

A ( B ) B A B ( B ) ( AB ) E

.

B    1       1   (vì B.( B  1 ) ( B  1 B ) E) Như vậy từ ma trận A, nhờ các phép chuyển vị và các phép biến đổi sơ cấp, ta đã thu được ma trận A.B 

A B rankA

rank  □

9.7  Ta có det A  E A E   det A E det A  E  (*1)

Vì AEEA nên        2 2

det AE A E det A  E , do 2

det A  E det E  ( 1) 0  det A E 0 và det A  E 0  các ma trận AE và A E là những ma trận không suy biến

9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi

dấu tất cả n dòng của định thức Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng của định thức làm cho định thức đổi dấu Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n làm cho định thức được nhân với n

( 1) b/ Đối với định thức cấp chẵn (n2k) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k cho nhau; dòng 2 và dòng 2k 1 cho nhau; … dòng k và dòng k 1 Ta cũng đã biết: khi đổi chỗ 2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với k

( 1) Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4 thì định thức không đổi dấu

Đối với định thức cấp lẻ (n 2k1) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k1

cho nhau; dòng 2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k2 Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k1 theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với

( 1) Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu

Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các định thức cấp 4k và 4k 1 không thay đổi, các định thức cấp 4k 1 vµ 4k  2 sẽ đổi dấu (k nguyên dương)

det(kA)k det A nên n

k det A det A Nếu det A0 thì det(kA)det A

đúng với mọi k Còn nếu det A0 thì n

k 1  k 1 nếu n lẻ; k 1 nếu n chẵn

9.10 Chứng minh rằng: Nếu 1

A

A  thì A n E; A n1 A n0,1,2,3,

 Từ giả thiết 1

A

A E E n nguyên dương 

2 n 1

A  A n nguyên dương □

9.11 Chứng minh rằng: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thoả mãn

BA

AB  và detA0 thì 1 1

BA B

A B A BAA  A ABA  BA

□

9.12 Chứng minh rằng: Nếu detA2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể gồm toàn các số nguyên

 Do det A  2 0  tồn tại ma trận nghịch đảo 1

A.A E 

(det A).(det A ) det(A.A ) det E1 vì detA2  det A 1 1

2



  1

A không thể toàn các số nguyên

9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho

E BA

AB  , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B

Từ sự tồn tại của các ma trận AB và BA kéo theo A và B là các ma trận vuông cùng cấp Giả sử A  aij n n; B  bij n n; AB  cij n n; BA  dij n n

phần tử trên đường chéo chính của ma trận AB BA 

n

1

V  (c  d )

ik ki ik ki

i 1 k 1 k 1 i

tử trên đường chéo chính của ma trận đơn vị E là VE n Vậy không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho AB BAE

9.29 Phương trình

2 3 n

2 3 n

1 1 1 1

2 3 n

2 2 2 2

2 3 n

n 1 n 1 n 1 n 1

a  a  a  a 

(với điều kiện a1, a2, …, an–1

là các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n nghiệm Dễ dàng thấy x1 0, x2 a , x1 3 a ,2 , xn an 1 là n nghiệm khác nhau của phương trình, vì vậy nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi □

9.30 a/

(2)

              

=

(3)

           

vì định thức (2)

có được từ định thức (3) bằng cách cộng vào cột 3 một tổ hợp tuyến tính của 2 cột đầu



(5)

            

Vì định

thức (5) có cột 4 bằng tổ hợp tuyến tính của 3 cột đầu





2

cùng có hai cột giống nhau nên nó bằng 0 Định thức đầu tiên là định thức của ma trận

tam giác nên ab 0 11 0 xx ab(c x) abc abx

0 0 c x

cột cuối, mỗi định thức thành hai định thức, ta được:

D abc abx acx 0 1 0 ax 0 1 1 xbc 1 1 0 x b 1 1 1

1 1 1

0 1 1 0

0 1 1

 ; 1 0 11 1 1 0

1 0 1

 (có hai cột giống nhau); 1 1 00 1 0 1

0 1 1

 ; 1 0 01 1 0 1

1 0 1

 

Dabcabxacxxbc

Nếu chẳng hạn a0 thì D xb 1 11 0 xx bcx

1 0 c x

Nếu x0 thì D 0 b 0a 0 0 abc

0 0 c

  (Đáp số trong sách sai)

9.31 Phương trình:

0







 

là phương trình bậc n 1

nên nó có không quá n 1 nghiệm khác nhau Nhưng dễ thấy phương trình có n 1

nghiệm khác nhau là x1 0; x2 1; ; xn 1  n 2  phương trình chỉ có các nghiệm đó mà thôi (Đáp số trong sách bài tập thiếu nghiệm – không điểm)

□

9.33 a/

556 275 363

2 2 2

654 373 461

D 

98 98 98

363 275 556

thì định thức bằng 0.

9.33 b/  n

0 1 1 1 1

1 0 x x x

1 x 0 x x D

1 x x 0 x

1 x x x 0

dòng từ thứ hai trở đi, ta được:

n

0 1 1 1 1

1 x 0 0 0

1 0 x 0 0

D

1 0 0 x 0

1 0 0 0 x











Khai triển định thức theo dòng n, ta được:

n 1 n

1 1 1 1 0 1 1 1

x 0 0 0 1 x 0 0

D ( 1) 0 x 0 0 x 1 0 x 0

0 0 x 0 1 0 0 x

(*1)

Khai triển định thứ nhất theo cột n 1 (là định thức cấp n 1 ), ta được

n 2

1 1 1 1

x 0 0 0

D 0 x 0 0 x

0 0 x 0







;

Định thức thứ hai

0 1 1 1

1 x 0 0

1 0 x 0

1 0 0 x





 chính là Dn 1 Thay vào (*1), ta được công thức:

n 1 n 2

D  ( 1)  x   x.D  n nguyên dương (*2)

Ta có D3 10 1x 10 2x

4

D  ( 1) x  x.2x3x  Ta chứng minh

n

D  ( 1)  (n 1)x  n nguyên dương (*3) hiển nhiên công thức đã đúng với n3 Giả sử (*3) đã đúng với n, ta chứng minh (*3) cũng đúng với n 1 Theo (*2) thì n n 1

D   ( 1) x   x.D theo (*3) thì

n 1

D   ( 1) x   x.( 1)  (n 1).x  ( 1) x n n 1 (1 n 1)  ( 1) n.x n n 1 , tức là (*3) cũng đúng với n 1 □

9.34 a/  Định thức có cột một và cột 4 tỷ lệ với nhau thì định thức bằng 0.

9.34 b/ 

x 0 0 0 a

1 x 0 0 a

0 0 x 0 a

0 0 1 x a

0 0 0 1 a

D

n

1 n

2 1 0

1 n











 khai triển theo dòng n 1 , ta được:

0 1

n 1

a 1 0 0

1 0 0 0

a x 1 0

x 1 0 0

D ( 1) a 0 x 0 0 x a 0 x 0 ( 1) a ( 1) x.D

0 0 x 1 a 0 0 x















=

a x.D n nguyên dương (*1)

2



n

i 0



      nguyên dương (*2) Hiển nhiên (*2) đã đúng với n2 Giả sử (*2) đã đúng với n nguyên dương tuỳ ý, theo (*1) thì

D  a  x.D  , theo (*2) thì n n i

i 0

D  a  x a x 



a x  a x a  x a x a 

i

i 0

a x



 



 , tức là (*2) đúng với n  n 1

□

9.35

2 3 4 5

3 4 5 6

4 6 8 10

2 3 7 8

  , (dòng 3 và dòng 1 tỷ lệ với nhau)