Bài giảng ma trận, định thức (mô hình toán)

Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC §1 : MA TRẬN VÀ PHÉP TOÁN MA TRẬN I Các khái niệm ma trận: 1.Định nghĩa: Ma trận bảng số xếp theo dòng theo cột Một ma trận có m dịng n cột gọi ma trận cấp mxn Ma trận A cấp mxn viết dạng A=  a11   a 21   a  m1 a12 a 22 am a1n   a n    a mn   A =  a11 a  21    a m1 a12 a 22 am a 1n  a n     a mn  (1.1) aij phần tử nằm dòng i cột j ma trận A Ta dùng ký hiệu A = (aij)mxn (1.2) + Hai ma trận A, B gọi nhau, ký hiệu A = B chúng cấp phần tử vị trí tương ứng đơi  aij = bij (aij) mxn = (bij)mxn ⇔ i = 1,2, , m; j = 1,2, , n  + Ma trận không cấp mxn, ký hiệu = 0mxn ma trận cấp mxn có tất ptử + Ma trận đối ma trận A = (aij)mxn ma trận cấp, ký hiệu –A mà -A = (-aij)mxn Chú ý: Ta xem dòng ma trận A vectơ n chiều cột vectơ m chiều Như ma trận cấp mxn cho tương ứng với hệ vectơ dòng gồm m vectơ n chiều hệ vectơ cột gồm n vectơ m chiều Các dạng ma trận: a Ma trận vuông: ma trận có số dịng số cột Ma trận vng có n dịng, n cột gọi ma trận vuông cấp n A=  a11 a  21   a n1 a12 a 22 an a1n  a n     a nn  Trong ma trận vng A, đường chéo nối góc bên trái với góc bên phải gọi đường chéo chính, đường chéo cịn lại gọi đường chéo phụ b Ma trận tam giác: ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo a11 0    0 a12 a 22 a1n  a n     a nn  (aij = i > j)  a11 a  21    a n1 a 22 an     (aij=0  a nn  i p vectơ hệ (x) biểu diễn tuyến tính qua hệ (y) hệ (x) phụ thuộc tuyến tinh Hệ quả: a Nếu (x) độc lập tuyến tính vectơ (x) biểu diễn tuyến tính qua (y) m ≤ p b Nếu (x), (y) độc lập tuyến tính vectơ (x) biểu diễn tuyến tính qua (y), đồng thời vectơ (y) biểu diễn tuyến tính qua (x) m = p Định lý 4: Mọi hệ vectơ n chiều với số vectơ lớn n phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: X1 = (12, -2, 3, 5); X2 = (5, 6, -7, 1); X3 = (2, 5, 0, -23); X4 = (3, 7, 0,3); X5 = (0, 3, 5, -56) phụ thuộc tuyến tính §4 CƠ SỞ CỦA KHƠNG GIAN VECTƠ 1.Cơ sở không gian vectơ Rn: 43 Định lý: Trong không gian Rn cho trược hệ n vectơ độc lập tuyến tính P1, P2, …, Pn (4.1) Khi vectơ X∈ Rn biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ (4.1) X = k1 P1 + k2P2 + … + knPn (ki số thực, i = 1, 2, …, n xác định nhất) CM: Với X vectơ n chiều bất kỳ, ta có hệ vectơ X, P1, P2, …, Pn phụ thuộc tuyến tính Do tồn số thực k, k1, k2, …, kn không đồng thời cho: kX + k1P1 + k2P2 + … +knPn = Trong hệ thức phải có k ≠ 0, k = P 1, P2, …, Pn phụ thuộc tuyến tính Do ta suy ra: X =− k1 k k P1 − P2 − − n Pn k k k 44 Giả sử có hai tổ hợp tuyến tính vectơ P 1, P2, …, Pn X X= α1 P1 + α P2 + + α n Pn = β1 P1 + β P2 + + β n Pn ⇒ = (α1 − β1 ) P1 + (α − β ) P2 + + (α n − β n ) Pn Do P1, P2, …, Pn độc lập tuyến tính nên α1 = β1 , α = β , , α n = β n Định nghĩa: + Mỗi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính có số vectơ n gọi sở không gian Rn + Cho { P , P , ,P } sở Rn Khi n ∀X ∈ Rn tồn n số thực (k1, k2, …, kn) cho X = k1P1 + k2P2 + … + knPn Bộ số (k1, k2, …, kn) gọi toạ độ vectơ X sở { P , P , ,P } n Ví dụ 1: Trong Rn, xét hệ vectơ {E1 = (1, 0, …, 0); E2 = (0, 1, 0, …, 0); En = (0, 0, …, 1)} Dễ thấy hệ vectơ độc lập tuyến tính, ta goi hệ vectơ sở đơn vị hay sở 45 tắc Rn Với vectơ X = (x1, x2, …, xn) ta có: X = x1E1 + x2E2 + … + xnEn Do toạ độ X sở đơn vị (x1, x2, …, xn) Ví dụ 2: Trong R3, xét hệ vectơ {X1 = (1, 1, 1); X2 = (0, 1, 1); X3 = (0, 0, )} Dễ dàng chứng minh sở R3 Tìm toạ độ vectơ V = (1, 2, 3) sở Ta có: k1(1,1,1) + k2(0, 1, 1) + k3(0,0,1) = (1, 2, 3) ( k1, k2, k3 số thực )  k1  ⇔ k1 + k k + k + k  =1 =2 =3 k1 =  ⇔ k2 = k =1  Vậy toạ độ V sở (1, 1, 1) Cơ sở không gian con: Cho L không gian không gian Rn 46 Định nghĩa: Một hệ vectơ P1, P2, …, Pr L gọi sở thoả mãn điều kiện: + P1, P2 …, Pr độc lập tuyến tính + Mọi vectơ L biểu diễn tuyến tính qua P1, P2, …, Pr Ví dụ: Trong R3, xét tập hợp L = {X: X = (x1, x2, 0) ,ở x1 , x2 số thực} Dễ thấy L không gian R3 có sơ hệ gồm vectơ E1 = (1, 0, 0); E2 = (0, 1, 0) Thật : + E1, E2 độc lập tuyến tính + Mọi vectơ X = (x1,x2, 0)∈ L biểu diễn tuyến tính qua E1, E2 X = x1E1 + x2 E2 47 Dễ dàng thấy hai sở không gian L ⊂ Rn có số vectơ Định nghĩa: Số vectơ sở không gian không gian Rn gọi số chiều khơng gian Khơng gian có số chiều r gọi khơng gian r chiều Ví dụ: Trở lại ví dụ ta thấy L không gian chiều không gian R3 Nhận xét: Trong không gian r chiều không gian Rn, hệ vectơ có số vectơ lớn r phụ thuộc tuyến tính Nếu cho trước sở P 1, P2, …, Pr không gian L vectơ X L biểu diễn dạng X = k1P1 + k2P2 + …+ krPr ( k1, k2, , kr số thực ) §5 HẠNG CỦA MỘT HỆ VECTƠ 48 I Khái niệm sở hạng hệ vectơ: Cho hệ m vectơ n chiều : X1, X2, …, Xm (5.1) Định nghĩa: Cơ sở hệ vectơ (5.1) hệ thoả mãn điều kiện: + Độc lập tuyến tính + Mọi vectơ (5.1) biểu diễn tuyến tính qua hệ Ví dụ: Cho hệ vectơ chiều X1 = (1, 2, 0, 1); X2 = (1, 3, 2, 0); X3 = (2, 3, -2 , 3); X4 = (1, 4, -1) Hệ {X1, X2} sở hệ vectơ X X1, X2 độc lập tuyến tính Mọi vectơ hệ biểu diễn tuyến tính qua X1, X2 X1 = 1X1 + X2 X2 = 0X1 + 1X2 X3 = 3X1- X2 X4 = -X1 + X2 49 Hệ { X1, X3} sở hệ vectơ X1, X3 độc lập tuyến tính Mọi vectơ hệ biểu diễn tuyến tính qua X1, X3 X1 = 1X1 + 0X3 X2 = 3X1 – X3 X3 = X1 + 1X3 X4 = 5X1 – 2X3 Nhận xét : Hai sở hệ vectơ có số vectơ Định nghĩa: Hạng hệ vectơ số vectơ sở hệ vectơ * Hạng hệ vectơ khơng vượt số vectơ hệ số chiều không gian vectơ II Các định lý hạng: Định lý 1: Nếu hạng hệ (5.1) r < m hệ (5.1) có số vectơ lốn r phụ thuộc tuyến tính 50 Hệ quả: Một hệ vectơ n chiều phụ thuộc tuyến tính hạng nhỏ số vectơ Định lý 2: Nếu hạng hệ vectơ bàng r hệ có số vectơ r độc lập tuyến tính sở CM: Giả sử hạng (5.1) r P1, P2, …, Pr sở nó.Ta có: Pi = 0P1 + 0P2 + … + 0Pi-1 + 1Pi + 0Pi+1 + …+ 0Pr (I = 1, 2, …,r) Nếu r < m vectơ X j (5.1) khác P1, P2, …, Pr Cũng biểu diễn tuyến tính qua P1 P2, …,Pr Thật vậy: Theo định lý hệ vectơ: X j, P1, P2, …, Pr phụ thuộc tuyến tính Suy tồn số thực k, ki (i = 1, 2, …, r) không đồng thời cho: kXj + k1P1 + k2P2 + … + krPr = 51 (5.2) Từ (5.2) suy k ≠ k = hệ P1, P2, …, Pr phụ thuộc tuyến tính Do đó: Xj = − k1 − k2 − kr P1 + P2 + + Pr k k k Định lý 3: Cho hệ vectơ n chiều X1, X2, …, Xm (5.3) Y1, Y2, …, Yp (5.4) Nếu vectơ (5.3) biểu diễn tuyến tính qua vectơ (5.4) hạng (5.3) khơng lớn hạng (5.4) CM: Gọi (P), (Q) sở (5.3) (5.4) Từ giả thiết suy ra, vectơ (p) biểu diễn tuyến tính qua vectơ (Q) Vì (P) độc lập tuyến tính nên số vectơ (P) khơng lớn số vectơ (Q) III Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng: Phép biến đổi thêm, bớt vectơ: 52 Cho hệ vectơ n c iều : X1, X2, …, Xm (5.5) X1, X2, …, Xm, X (5.6) Định lý: Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ (5.5) hạng (5.5) (5.6) ằng CM: Gọi (P) sở (5.5) (P) hệ độc lập tuyến tính (5.6) Do X biểu diễn tuyến tính qua hệ (5.5) nên X biểu diễn tuyến tính qua (P) Vậy (P) sở (5.6) hai hệ vectơ có hạng 2.Các phép biến đổi sơ cấp: Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đố với hệ vectơ gọi phép biến đổi sơ cấp a Đổi chỗ vectơ hệ b Nhân vectơ hệ với số k ≠ c Cộng vào vectơ hệ tích vectơ khác hệ với số 53 Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp hệ vectơ khơng làm thay đổi hạng CM: a Định lý hiển nhiên phép biến đổi sơ cấp thứ b Xét hệ vectơ n chiều bất kỳ: X1, X2, …, Xm (5.7) Nhân vectơ X1 hệ với số k ≠ ta hệ vectơ: kX1, X2, …, Xm (5.8) Theo định lý vừa chứng minh hai hệ (5.7) (5.8) có hạng hạng hệ vectơ: kX1, X1, X2, …, Xm (5.9) c Từ hệ vectơ (5.7), cộng vào vectơ X1 tích vectơ X2 với số k, ta đuợc hệ vectơ X1 + kX2, X2, …, Xm 54 (5.10) Xét hệ vectơ: X1 + kX2, X1, X2, …, Xm (5.11) Hạng hệ (5.11) hạng (5.7) (5.10) vì: X1 + kX2 = X1 + kX2 + 0X3 + … + 0Xm X1 = (X1 + kX2) – kX2 + 0X3 + … + 0Xm 55 ... dòng định thức c.Nếu định thức ta đổi chỗ dòng giữ ngun dịng cịn lại định thức đổi dấu d .Định thức có dịng e.Nếu nhân dịng định thức với số k định thức nhận định thức cũ nhân thêm với k f .Định thức. .. hạng ma trận 19 Hệ 2: Hạng ma trận hạng hệ vectơ dịng Hệ 3: Định thức hệ vectơ dịng ( cột ) phụ thuộc tuyến Định thức sở ma trận: Định nghĩa: Định thức khác cấp cao ma trận A gọi định thức sở ma. .. §2: ĐỊNH THỨC 1 .Định thức: Cho A ma trận vuông cấp n Định thức ma trận A gọi định thức cấp n, ký hiệu │A│ hay detA DetA = a11 a 21 a n1 a12 a 22 an a1n a n a nn Và tính sau: • Định thức