MA TRẬN Câu 1: tìm ma trận X thỏa mãn AX=B với 1 1 A ; B 4 3 Giải a Xác định cỡ ma trận X 2x1 , ta đặt X= b 1 a 2a b AX B b 4a b 2a b a ,b 3 4a b / 3 X 1/ Câu 2: tính tích AB biết 1 1 A ; B 3 4 2 1 Giải: 2 22 1.1 3 43 2.3 4.1 1.3 3.1 1.2 2.2 3.4 10 18 2.1 4.2 1.2 2.4 18 2 1 Câu 3: A ; f ( x) x x f ( A) ? 3 Giải: f ( A) A2 A 3I 2 f ( A) 3 1 f ( A) 18 3 f ( A) 24 1 1 1 4 3 6 4 13 12 16 8 13 3 200 tính A ,A từ suy A 1 Câu 4: A Giải : 3 A2 A A 1 1 61 A3 A2 A 0 10 200 A200 0 3 1 3 1 6 1 9 1 1 1 Câu 5: tìm hạng ma trận A 2 4 Giải : 1 h2 h2 h1 1 1 1 h3 h3 3h1 h2 h3 A 2 0 0 0 4 0 0 1 0 0 0 r (A) 1 1 Câu 6: tính nghịch đảo( có) ma trận : A 1 2 1 Giải : 1 1 0 1 1 0 A I 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 I A1 0 1 1 A1 1 1 1 Câu 7: tính ma trận nghịch đảo 1 1 A Giải: det(A)= -2#0 nên A khả nghịch A11 (1)11 4; A12 (1)1 2 3; A13 (1)13 A21 4; A22 3; A31 2; A33 4 2 A 3 2 1 1 1 Cho ma trận A 1 2 Hãy tìm hạng A 3 1 Câu 8: đưa A= 1 ma trận bậc thang biến đổi sơ cấp 2 Giải: Biến đổi sơ cấp dòng A 1 1 D1 D2 5 0 -2 D1 + D2 D2 0 D3 D1 + D3 D3 D2 + D3 D3 7 0 Ma trận cuối bảng ma trận bậc thang có hai dòng khác khơng Vậy r(A) = câu 9: Tính hạng ma trận sau: 1 1 A 1 2 2 4 1 3 2 1 1 Giải: 1 2 Xét ma trận tạo hai dòng đầu A có định thức detA = 1 Ta xét tiếp ma trận tạo cột 1, 2, dòng 1, 2, ta có ma trận 1 B 1 1 chứa ma trận A có detB = 2 Tiếp tục xét ma trận cấp chứa ma trận B có hai ma trận B1 B2 1 1 B1 1 2 2 1 1 1 1 1 B2 1 3 2 1 0 2 4 1 2 1 Vậy detB1 detB2 Cả hai định thức Do rankA = Câu 10: Tìm điều kiện m để hạng ma trận sau 1 A m 12 Giải Nhận thấy ma trận A có hai dòng tỉ lệ với nhau, để ma trận có hạng m = T Nhận xét: Do rank ( A) rank ( A ) nên ta thay phép biến đổi dòng phép biến đổi cột để đưa ma trận A dạng bậc thang từ suy hạng ma trận A Câu 11: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 0 1 A 1 1 1 1 1 1 1 0 Giải: Xét ma trận sau: 0 1 1 1 1 1 0 0 3 1 0 d1 d1 d2 d3 d4 1 1 1 0 0 1 0 0 1 3 1 1 1 1 0 d1 13 d1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1/ 1/ 1/ 1/ 3 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1/ 1/ 1/ 1/ 1 0 2 / 1/ 1/ 1/ 0 1/ / 1/ 1/ d1 d1 d d3 d d d d1 0 1 0 1/ / 1/ 1/ 3 d3 d3 d1 0 1 1/ 1/ / 1/ 3 0 1 1/ 1/ / 1/ 3 d d d1 0 0 1 1/ 1/ 1/ / 0 0 1 1/ 1/ 1/ / 1 0 0 d d d3 d3 d d 0 2 / 1/ 0 1/ 2 / 1/ 1/ 0 1/ 1/ 1/ 1/ 2 / 1/ 1/ 2 / 3 1/ 1/ Vậy ma trận nghịch đảo ma trận A 1/ 1/ 2 / 1/ 1/ 2 / 1/ 1/ 1 A 1/ 1/ 2 / 1/ 1/ 1/ 2 / 3 1/ Câu 12: Bằng phương pháp giải hệ phương trình Tìm ma trận nghịch đảo ma trận a 1 A 1 1 1 1 a 1 a 1 1 a Giải Ta lập hệ phương trình sau: ax1 x2 x3 x4 x ax x x x1 x2 ax3 x4 x1 x2 x3 ax4 y1 (1) y2 (2) y3 (3) y4 (4) Cộng hai vế hệ phương trình ta có (a 3)( x1 x2 x3 x4 ) ( y1 y2 y3 y4 ) (*) Nếu a = -3 ta chọn tham số y1 , y2 , y3 , y4 cho y1 y2 y3 y4 Khi (*) vơ nghiệm nên hệ phương trình vơ nghiệm suy ma trận A không khả nghịch Nếu a 3 từ (*) ta có x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 (**) (a 3) Ta lấy dòng (1), (2), (3), (4) trừ cho (**) (a 2) y1 y2 y3 y4 a3 (a 1) x2 y1 (a 2) y2 y3 y4 a3 (a 1) x3 y1 y2 (a 2) y3 y4 a3 (a 1) x4 y1 y2 y3 (a 2) y4 a3 (a 1) x1 Nhận xét: - Nếu a = ta chọn giá trị tham số y1 , y2 , y3 , y4 cho (a 2) y1 y2 y3 y4 hệ phương trình vơ nghiệm A khơng khả nghịch - Nếu a (a 2) y1 y2 y3 y4 (a 1)(a 3) x2 y1 (a 2) y2 y3 y4 (a 1)(a 3) x3 y1 y2 (a 2) y3 y4 (a 1)(a 3) x4 y1 y2 y3 (a 2) y4 (a 1)(a 3) x1 Khi đó, chọn giá trị cho tham số y1 , y2 , y3 , y4 ta có ma trận nghịch đảo ma trận A là: 1 1 1 (a 2) 1 (a 2) 1 1 A1 1 (a 2) 1 (a 1)(a 3) 1 1 1 (a 2) 1 Kết luận: Nếu a = -3, a = ma trận A khơng khả nghịch Nếu a 1, a 3 ma trận A khả nghịch ma trận nghịch đảo A xác định công thức 1 1 1 (a 2) 1 (a 2) 1 1 1 A 1 (a 2) 1 (a 1)(a 3) 1 1 1 (a 2) 1 ĐỊNH THỨC 1 Câu 1: tính det(A) với A= 5 2 0 Giải: Khai triển theo hang thứ : 1 1 A5 2 4.(1)31 0 2 4.( 1)31 3 Câu 2: tính det(A) với A= 2 1 1 2 32 2 4 2 5 Giải: khai triển theo cột thứ A 3 3 2 1 (3) A12 A22 A32 A42 3 A12 A 2 87 1 1 3 Câu 3: tính định thức ma trận tam giác A= 0 0 0 4 1 8 9 0 Giải: 1 3 A0 2.(3).5.4.1 120 0 0 0 Câu 4: sử dụng phép biến đổi sơ cấp để tìm định thức 1 A 2 1 0 2 1 Giải : A 1 2 2 h2 h2 h1 h3 h3 3 h3 h4 h4 h1 1 1 1 1 11 A 1.(1) khai _ trien _ theo _ cot_ dau _ tien 1 1 A 1 1.(1)1 4 15 1 1 4 15 1 19 Câu 5: dùng phép biến đổi sơ cấp, tính định thức ma trận 3 A 3 4 1 1 2 2 1 Giải A 2 1 2 3 2 1 h3 h3 h1 h4 h4 h1 1 2 1 1 A 1.(1) khai _ trien _ theo _ cot_so_ 2 1 2 A 5 5 (2).(1)13 5 30 Câu 6: tính định thức n 1 n Dn 1 2 1 2 3 Giải : Khai triển theo hang ta có : Dn =7A11+5A12 11 Dn 7(1) 0 11 5(1) 0 0 0 0 0 11 Dn Dn 1 5.2(1) 0 0 Dn Dn 1 10 Dn Dn Dn 1 2( Dn 1 Dn ) Dn 1 Dn 2( Dn 5Dn 3 ) Dn Dn 1 2n ( D2 D1 ) Dn Dn 1 10 Dn Dn Dn 1 5( Dn 1 Dn ) Dn 1 Dn 5( Dn Dn 3 ) Dn Dn 1 5n ( D2 D1 ) Từ ta có Dn 5Dn1 2n2 ( D2 5D1 ) Câu 7: sử dụng định lý laplace tính định thức ma trận sau 1 2 a) A= 3 d 0 2 b) B= 1 0 a b c 5 0 0 5 1 0 5 Giải a) Xét ma trận A a b c d 0 Nhận thấy dòng có nhiều số 0, nên khai triển định thức theo dòng ta có: a A (1) 1 d0 b c Tiếp tục khai triển theo dòng thứ định thức b ta có: c A d c a b dc(ab) abcd b) Xét ma trận B 1 1 0 1 1 1 Khai triển theo dòng có B (1) 3 (1) 1 0 Khai triển theo dòng cuối định thức có: B (1)1 3.5.(1)33 1 (1)1 4.(1)23 1 25 Câu 8: sử dụng định lý Laplace( tổng quát) tính định thức ma trận 0 2 A= 0 5 1 0 5 Giải: Chọn M ma trận vuông cấp tạo phần tử dòng dòng Khi đó, A (1)1 4 2 (1)1 413 1 (1)1 41 (1)1 4 2 4 0 5 (1)1 41 (1)1 4 41 0 5 1 (1)(5)5 25 Ta chọn ma trận dựa dòng 3, cột cột Áp dụng định lý Laplace ta có 1 31 det A (1) 1 1 252 Câu 9: tính det(A) biết 1 0 A1 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 1 2 Giải: Ta chọn cột để khai triển Tuy nhiên, trước hết ta nhân dòng với -2 cộng vào dòng nhân dòng với -1 cộng vào dòng Khi 1 1 1 1 1 4 1 1 0 1 Khai triển theo cột ta 1 1 1 4 1 1 1 2 Tiếp theo ta thực bước sau định thức cấp Ta nhân cột với (-1) với cột 3, sau nhân cột với cộng vào cột Định thức trở thành: 2 1 1 5 1 1 1 0 Tiếp theo ta khai triển theo dòng định thức 2 (1)(1) 1 5 1 Câu 10: giả phương trình : x x 1 x2 0 x 1 x x x2 0 x5 x100 0 Giải: Ta khai triển vế trái theo dòng ta x x2 VT (1) ( x 1) X x2 0 x100 Ta tiếp tục khai triển theo dòng ta VT (1 x ) x100 x (1 x ) x100 x Vậy phương trình cho tương đương với (1 x )2 x100 x 1, x Câu 11: dùng phương pháp quy nạp tính định thức a1b1 Dn a2b1 a1b2 a1bn a2b2 a2bn anb1 anb2 anbn Giải Ta tách định thức theo cột thứ n, ta a1b1 0 a2b1 a2bn 1 Dn an 1b1 anb1 a1b1 a1bn 1 an 1bn 1 anbn 1 a1bn 1 0 a2b1 a2bn 1 a1b1 bn a1bn 1 a1bn a2b1 a2bn 1 a2bn an 1b1 anb1 an 1bn 1 anbn 1 a1b1 an 1bn anbn a1bn 1 a1 a2b1 a2bn 1 a2 an 1b1 an 1bn 1 an 1b1 an 1bn 1 an 1 anb1 anb1 an anbn 1 anbn 1 Ta khai triển định thức đầu theo cột thứ n ta định thức đầu Dn 1 Nhân cột thứ n định thức thứ với (bi ) cộng vào cột thứ i với i tương ứng nhận giá trị từ 1, 2, …., n-1 Ta có a1 a2 Dn Dn 1 bn Dn 1 bn an 0 an 1 0 an Từ ta có công thức truy hồi Dn Dn1 bn an Suy ra, Dn Dn1 bn an ( Dn 2 bn 1an 1 ) bn an D1 b2 a2 bn 1an 1 bn an Mặt khác, D1 b1a1 Do đó, Dn b1a1 b2 a2 bn an Câu 12: Cho a, b , a b Hãy tính định thức sau ab ab 0 a b ab 0 Dn 0 a b 0 ab ab Giải: Khai triển định thức theo dòng đầu ta ab 0 a b ab 0 Dn (a b) Dn 1 ab 0 a b 0 ab ab Tiếp tục khai triển định thức sau theo cột ta có Dn (a b) Dn1 abDn2 với n Suy ra, Dn aDn1 b( Dn1 aDn2 ) (1) Dn bDn1 a( Dn1 bDn2 ) (2) với n Áp dụng công thức truy hồi ta suy n2 n Từ (1) Dn aDn1 b( Dn1 aDn2 ) b ( Dn2 aDn3 ) b ( D2 aD1 ) b Từ (2) Dn bDn1 a( Dn1 bDn2 ) a2 (Dn2 bDn3 ) a n2 (D2 bD1 ) a n 2 Với D2 a b ab D1 a b Suy ra, Dn a n 1 b n 1 a b Câu 13: Tính định thức cấp n n sin(21 ) D sin(1 ) sin(1 n ) sin( 1 ) sin(2 ) sin( n ) sin( n 1 ) sin( n ) sin(2 n ) Giải: sin(1 ) sin(21 ) sin( ) sin(2 ) A sin( n 1 ) sin( n ) Ta có sin 1 sin sin sin n cos 1 cos cos cos n sin(1 n ) sin( n ) sin(2 n ) cos 1 cos cos sin sin sin 0. 0 0 (B) (C) ,n2 0 Ta có det A det B.det C sin (1 ), n 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1)Giải hệ phương trình : x 2y z 2x 3y z 3x y 4z 7 Ta có : 2 1 A 2 ; B 4 7 Khi cos n sin n 2 D 2 14 4 Ta lại có : 2 1 1 2 Dx 3 14; D y 2 ; D z 2 3 14 7 4 7 4 7 3 Nên x Dx D Dy D 14 14 1; y 0; z z 1 14 D 14 D 14 2) Giải hệ phương trình x y 2z x y 2z x y 2z Ta có 1 2 D 1 0; D x ; 0 1 1 D y 0; D z 0 1 Hệ phương trình vơ nghiệm D = 3) Giải hệ phương trình : 3x1 x x x1 5x x 12 =-6 2x1 4x 2x x 3x 3 =9 5x1 4x Giải : 0 Tìm hạng ma trận : A 1 5 1 1 ; B 3 4 1 1 5 6 12 6 3 9 Định thức 5 D 36 Do hạng (A)=3 Để tính hạng B ta cần tính định thức B bao quanh D Đó : 1 5 12 6 , 5 12 6 3 0 Vì hạng (B) = = hạng (B) Vậy hệ có nghiệm.Giải hệ phương trình ( gồm phương trình ứng với dòng định thức D ) ; x1 5x x 12 2x1 4x 6 2x x 3x 3 Đó hệ Cramer D ≠0 Áp dụng cơng thức Cramer ta có nghiệm ( 1, -2 , 1) 4)Giải hệ phương trình : 3x1 x x 2x x1 x 2x 4x x1 x 3x 6x 9 12x 2x x 2x 10 Giải : Tìm hạng ma trận : 1 1 1 2 A 1 6 12 2 2 1 2 B= 6 9 12 2 10 Ta thấy định thức : D 1 1 2 Tính định thức cấp ba A bao quanh D Chúng Do hạng ( A)=2 Làm tương tự ta tìm hạng (B)=2 Vậy hệ có nghiệm Giải hệ ( gồm phương trình ứng với dòng định thức D ): 3x1 x x 2x x1 x 2x 4x Viết hệ dạng : 3x1 x x 2x x1 x 2x 4x Cho x3 c3 ,x c4 ta có hệ Cramer: 3x1 x c3 2c4 x1 x 2c3 4c4 Giải hệ ta : x1 c3 2c4 ,x 5c3 10c4 14 c3 2c4 5c3 10c4 14 , ,c3 ,c4 2 Nghiệm tổng quát : Nếu cho,chẳng hạn cho c3 0,c4 nghiệm riêng (-1,-2,0,1) 5) Giải hệ phương trình : 2x 2y z 1 y z1 x y z 1 Ta có : 2 1 A 1 A2 1 2 1 1 1; A 1 1 1 1 1 2 1 2 1 4; A 1 1 1 1 3 1 Vậy x A1 A 2; y A2 A 4; z A3 A 3 6) Giải hệ phương trình : x1 2x 3x 4x 2x1 x 2x 3x 3x1 2x x 2x 4x 3x 2x x 18 Giải theo phương pháp Gauss : h2 h2 h3 2 2 4 5 h2 h2 2h1 h3 h3 3h1 h4 h4 4h1 18 3 4 5 h3 h3 4h2 h4 h4 5h2 8 10 14 10 15 10 3 0 0 7 h4 h4 8h3 10 10 Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình : 4 5 8 8 10 14 10 15 10 h3 h4 h3 h3 10 10 10 10 20 20 0 0 4 0 1 0 7 6 2 6 x1 2x 3x 4x x1 x 4x 5x x 1 x3 x x3 x 3 2x 6 7) Tìm tất m để hai hệ phương trình sau x 2y 5z x 3y 7z x 4y 9z 1 x 4y 9z x 2y 7z 3x 10y mz 2 h2 h2 h1 5 h3 h3 h1 h3 h3 2h2 1 9 4 0 0 Vậy hệ cho tương đương : x 2y 5x y 2z x Đặt : z y 2 z Thay nghiệm hệ phươn gtrifnh ( 1) vào hệ phương trình thứ hệ (2) ta thấy : 2(2) 7 2 Vì α số tùy ý nên chọn α≠0 ta thấy nghiệm hệ (1) Không nghiệm hệ (2) nên hệ không tươn g đương 8) Giải biện luận hệ phương trình : x1 x x 2x x1 2x 3x 4x x1 x 4x x m 4x 3x x mx m2 6m 1 1 2 3 1 1 4 1 m 1 1 2 2 3 1 m8 h3 h3 2h2 h4 h4 h2 m 1 m2 6m 1 1 2 0 1 0 m6 1 1 2 0 0 m7 h2 h2 h1 h3 h3 h1 h4 h4 4h1 m m 6m h4 h4 h3 m 1 m2 6m 1 m 1 m2 7m Vậy hệ cho tương đương với hệ sau : x1 x x 2x x 2x 2x x3 x m (m 7)x m2 7m x m x m 1 x4 Nếu m-7 ≠0 hệ cho có nghiệm x 2x 2x 2m x x x 2x 1 ? x1 x x 2x Nếu m =7 x 2x 2x x3 x x4 t x 8 t Cho x t ta x 17 4t x t 8 Vậy với m=7 hệ phương trình vơ số nghiệm 9) Xác định a để hệ ba ẩn : 2 a x 0 1 a y 0 a z 0 Dùng phương pháp Gauss 2 a 1 a 1 a A 1 a 1 a a 2 a 2 a 3a a2 3a 2 a Trường hợp ta có : a a ta có : 2 2 A 0 1 2 r(A) nên hệ có nghiệm tầm thường 2 0 1 Trường hợp a a 1 1 1 a 1 a a a A 0 3 a 3 a 3a a2 3a 2 0 a 3a a a Ta có a 3a a 1 r(A) nên hệ có nghiệm khơng tầm thường 1 + Nếu a =2 A nên hệ tương đương với 0 0 x 3y z Do nghiệm khơng tầm thường x= c , y= , z =c với c ∈ R\{0} y0 1 3 + Nếu a= -1 A nên hệ tương đương với 4 0 0 x 3y 2z c có nghiệm tầm thường : x ,y c,z c với c ∈ R\{0} 4 y z0 ... hạng ma trận sau: 1 1 A 1 2 2 4 1 3 2 1 1 Giải: 1 2 Xét ma trận tạo hai dòng đầu A có định thức detA = 1 Ta xét tiếp ma trận tạo cột 1, 2, dòng 1, 2, ta có ma trận. .. detB1 detB2 Cả hai định thức Do rankA = Câu 10: Tìm điều kiện m để hạng ma trận sau 1 A m 12 Giải Nhận thấy ma trận A có hai dòng tỉ lệ với nhau, để ma trận có hạng m = T Nhận... phép biến đổi cột để đưa ma trận A dạng bậc thang từ suy hạng ma trận A Câu 11: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 0 1 A 1 1 1 1 1 1 1 0 Giải: Xét ma trận sau: 0 1 1 1