Đang tải... (xem toàn văn)
bài giảng ma trận định thức
Toán cao cấp Bùi Thành trung Khoa Cơ Trường CĐ Kinh tế - Kỹ thuật Điện Biên Ma trận - Định thức Tài liệu tham khảo Bài giảng Đại số tuyến tính ứng dụng Nguyễn Quang Hoà Khoa Khoa học - Đại học Cần Thơ 2006 Giáo trình Đại số tuyến tính Hồ Hữu Lộc Khoa Khoa học - Đại học Cần Thơ 2006 Bài giảng Đại số tuyến tính Đặng Văn Thuận Khoa Sư phạm - Đại học Cần Thơ 1999 Toán học cao cấp, tập 1,2,3 Nguyễn Đình Trí NXB Giáo dục 2004 Bài giảng Vi tích phân C Lê Phương Quân Khoa Khoa học - Đại học Cần Thơ 2006 Tất giáo trình giảng Đại số tuyến tính Vi tích phân Ma trận - Định thức Nội dung học phần 1 Ma trận - Định thức, Hệ phương trình tuyến tính Hàm số giới hạn Đạo hàm vi phân Hàm nhiều biến Tích phân Phương trình vi phân Ma trận - Định thức CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịch đảo 4 Hạng ma trận 5 Hệ phương trình tuyến tính Ma trận - Định thức ξ1 MA TRẬN 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng n cột gọi ma trận cấp m x n a11 a12 a a 22 21 A= a m1 a m a1n a n a mn aij phần tử ma trận A hàng i cột j Ký hiệu: A = [aij]m x n A = (aij)m x n Ma trận - Định thức ξ1 MA TRẬN 1.1.2 Ma trận vng: • Ma trận vuông: Khi m = n , gọi ma trận vuông cấp n a11 a A = 21 an1 a12 a22 an a1n a2 n ann Các phần tử a11,a22,…ann gọi phần tử chéo Đường thẳng xuyên qua phần tử chéo gọi đường chéo Ma trận - Định thức ξ1 MA TRẬN • Ma trận tam giác trên: a11 a12 a1n a11 a12 a1n 0 a a 2n a 22 a 2n 22 A= A= 0 a nn a nn aij = i > j gọi ma trận tam giác • Ma trận tam giác dưới: a11 a11 a a a 22 a 22 A = 21 A = 21 a a a m a nn a m a nn n1 n1 aij = i < j gọi ma trận tam giác Ma trận - Định thức ξ1 MA TRẬN • Ma trận chéo: a11 a11 a a 22 22 A= A= a nn a nn aij = i ≠ j gọi ma trận chéo • Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aii=1; aij = 0, ∀i≠j I= 0 Ma trận - Định thức ξ1 MA TRẬN 1.1.3 Vectơ hàng (cột): Ma trận có hàng (cột) gọi vectơ hàng (cột) 1.1.4 Ma trận không: 0 0 θ= 0 1.1.5 Ma trận nhau: 1) A=[aij]m x n; B=[bij]m x n 2) aij = bij với i,j a b 7 = c d Khi A B ta viết A = B Ma trận - Định thức ξ1 MA TRẬN 1.1.6 Ma trận chuyển vị: A=[aij]m x n => AT=[aji]n x m 10 9 A= 13 11 12 14 15 18 15 18 20 17 27 16 19 25 30 24 28 31 Ma trận - Định thức 10 ξ4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.4.2 Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp Để tìm hạng ma trận A ta biến đổi ma trận A dạng bậc thang, số dòng khác dịng hạng ma trận A Ví dụ: Tìm hạng ma trận 2 −3 A= 1 4 − − − 2 −3 −3 L2 + L3 0 −7 → 0 −7 0 A → 0 −5 0 0 0 L2 =−2 L1 + L2 L3 = L1 + L3 Ma trận - Định thức 40 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 5.1.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: a Định nghĩa: Đó hệ phương trình đại số bậc gồm m phương trình n ẩn có dạng: a x1 + a x + a x n = b1 12 1n 11 a 21x1 + a 22 x + a 2n x n = b a x + a x + a x mn n = b m x m1 biến, m2 j aij gọi hệ số (của ẩn) bi: gọi hệ số tự Ma trận - Định thức 41 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH b Ma trận hệ số phương trình: a11 a12 a1n a a 22 a n A = 21 a a m a mn m1 c Ma trận cột ẩn ma trận cột hệ số tự do: x1 b1 x b X = = [ x1 x x n ] T B = = [ b1 b b m ] T xn b m Hệ phương trình (1) viết: AX = B Ma trận - Định thức 42 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH d Ma trận bổ sung: a11 a12 a1n b1 a a 22 a 2n b A = 21 a m1 a m a mn b m 5.1.2 Nghiệm: • Một nghiệm hệ phương trình (1) n số thực (c1,c2,…cn) thoả hệ phương trình (1) • Hệ phương trình (1) gọi tương thích có nghiệm, gọi khơng tương thích (hệ vơ nghiệm) khơng có nghiệm • Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương, tập hợp nghiệm chúng trùng Ma trận - Định thức 43 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.1.3 Điều kiện tồn nghiệm: • Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm hạng ma trận A hạng ma trận bổ sung 5.1.4 Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm: ax1 + x + x = x1 + ax + x = x + x + ax = a 1 A = a = a − 3a + = (a − 1) (a + 2) 1 a Ma trận - Định thức 44 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 5.2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình Crame hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn định thức ma trận hệ số khác khơng 5.2.2 Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm tính cơng thức X = A-1B, tức là: det(A j ) xj = det(A ) Trong Aj ma trận thu từ A cách thay cột thứ j cột phần tử tự Ma trận - Định thức 45 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.2.3 Ví dụ: Giải hệ phương trình: 2x = x1 + − 3x1 + x + x = 30 − x − x + 3x = Ma trận - Định thức 46 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 5.3.1 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn khác ma trận hệ số không Ta thực phép toán hàng ma trận bổ sung hệ phương trình (1) đưa ma trận dạng ma trận bậc thang a11 a12 a a 22 21 A= a m1 a m a1n b1 a 2n b a mn b m Ma trận - Định thức 47 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2 x1 + x + 3x = x − 2x = − 3x1 + 4 x + 11x + x = 5.4 Hệ phương trình tuyến tính nhất: 5.4.1 Định nghĩa: a x1 + a x + a x n = 0 11 12 1n 0 a 21x1 + a 22 x + a 2n x n = X = = [ 0 0] T 0 a x + a x + a x mn n = m1 m2 Ma trận - Định thức 48 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.4 Hệ phương trình tuyến tính nhất: 5.4.1 Định nghĩa: a x1 + a x + a x n = 12 1n 11 a 21x1 + a 22 x + a 2n x n = a x + a x + a x mn n = m1 m2 0 0 Hệ ln có nghiệm tầm thường X = = [ 0 0] T 0 Ma trận - Định thức 49 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.4.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính nhất: Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình có nghiệm tầm thường Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n hệ phương trình tuyến tính có vơ số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số 5.4.3 Ví dụ: x1 3x 4 x1 3 x1 +2 x2 +5 x2 +5 x2 +8 x2 +4 x3 +6 x3 −2 x3 +24 x3 −3 x4 −4 x4 +3 x4 −19 x4 = = = = 0 0 Ma trận - Định thức 50 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 3 4 3 − 3 −3H1+ H − 3 −4H1+ H3 0 − − 6 −4 5 H4 −3H1+ → −2 3 15 0 − − 18 0 24 − 19 12 − 10 −H 2 H + H1 −3 H + H 2H2 +H4 1 0 → 0 0 −8 − 5 0 0 0 0 Ma trận - Định thức 51 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH RankA = 2, số ẩn nên hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số X1, X2 x1 − 8x + x = x + x + − 5x 4= 8x − x x1 = x = − x + 5x Ma trận - Định thức 52 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.4.4 Hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất: Giả sử rankA = k < n Ta có hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc n-k tham số Giả sử n-k tham số x k+1, … xn x1 x2 xk c11 c12 … c1k c11 c12 … c1k 0 cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k xk+1 xk+2 … xn Hệ gọi hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính Ma trận - Định thức 53 ξ5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Áp dụng: Sử dụng ví dụ ta tìm hệ nghiệm sau: x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4 -6 -7 Ma trận - Định thức 54 ... MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịch đảo 4 Hạng ma trận 5 Hệ phương trình tuyến tính Ma trận - Định thức ξ1 MA TRẬN 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Định. .. p A Định thức ma trận gọi định thức cấp p A Ví dụ: Xét ma trận cấp 3x4: 2 −3 A= 1 4 − − − 2 Ma trận - Định thức 32 ξ4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.2 Hạng ma trận: Định nghĩa: Hạng ma trận. .. có AA-1 = A-1A = I 3.3 Sự ma trận nghịch đảo: Định lý: Nếu A khả nghịch A-1 Ma trận - Định thức 27 ξ3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.4 Sự tồn ma trận nghịch đảo biểu thức nó: Định lý: Nếu det(A)≠0 ma trận