giáo án - bài giảng ma trận định thức

bài giảng ma trận định thức

Toán cao cấp

Bùi Thành trung Khoa Cơ bản Trường CĐ Kinh tế - Kỹ thuật Điện Biên

Tài liệu tham khảo

1 Bài giảng Đại số tuyến tính và ứng dụng Nguyễn Quang

Hoà Khoa Khoa học - Đại học Cần Thơ 2006

2 Giáo trình Đại số tuyến tính Hồ Hữu Lộc Khoa Khoa học -

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

A

aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j

Ký hiệu: A = [a ] hoặc A = (a )

n 1 12

11

a

00

a0

a

aa

n 1 12

a

a

aa

A

trong đó aij = 0 nếu i > j được gọi là ma trận tam giác trên

 Ma trận tam giác dưới:

aa

0

0a

aA

00

a0

0

0a

a

a

aA

trong đó aij = 0 nếu i ≠ j được gọi là ma trận chéo.

 Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aii=1; aij = 0, i≠j

10

0

01

I

1 MA TRẬN

1.1.3 Vectơ hàng (cột): Ma trận chỉ có một hàng (cột) được gọi là vectơ hàng (cột)

00

00

0

00

11

2819

2015

13

2416

1814

9

3027

1512

10

A

22

3

12

31

5

41

1 MA TRẬN

1.2.2 Phép nhân một số với ma trận:

a Định nghĩa: cho A=[aij]m x n, kR thì tích kA là một ma trận

cấp m x n được xác định bởi k.A=[k.aij]mxn

1 MA TRẬN

1.2.3 Phép nhân hai ma trận:

a Định nghĩa : Xét hai ma trận A=[aik]m x p; B=[bkj]p x n, Người ta gọi tích AB là ma trận C=[cij]m x n có m hàng và n cột, phần tử cij được xác định như sau:

k ik kj

pj ip 2j

i2 1j

03

01

12

13

21

02

3

112

1 MA TRẬN

b Một số tính chất: Với các giả thuyết các phép tính viết

dưới dạng thực hiện được, ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau:

• (A.B).C = A.(B.C)

• A(B+C) = AB + AC

• (B+C)A = BA + CA

• k(BC) = (kB)C = B(kC)

• Phép nhân ma trận nói chung không có tính giao hoán

• A=[aij]mxn => I.A = A.I = A

1020

4

1220

351

4

1540

2

10C

C1 2

1 MA TRẬN

Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo

kế hoạch sản xuất cho bởi ma trận A và ma trận B định

224

/10

3/412

161

0

3/56

105

20

3/11

20

0

01

18

/10

010

/102

/12

102

0

48

0

50

10

11

aa

a

aA

thì det(A) = a11a22 – a12a21

m 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

1

j 1

n

j 1 j

1 C ( 1) a det(A )a

)A

det(

4

32

1A

87

5

4.3.)

1

(97

6

4.2.)

1

(98

6

5.1.)1()A

2 ĐỊNH THỨC

2.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:

Tính chất 1:AT=A

43

2

1

42

31

Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột

Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức

ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu

43

Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột)

với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức

cũ nhân với k

Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có

một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài định thức

2 ĐỊNH THỨC

Tính chất 7: Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột)

có dạng tổng của hai số hạng thì định thức đó có thể phân tích thành tổng của hai định thức

Dòng thứ i nào đó của định thức có aij = a’ij + a”ij

thì det(A) = det(A’) + det(A”)

n 1

n

, in

, 2 i

, 1 i

n 2 22

21

n 1 12

11

,

a

aa

aa

a

aa

n 1

"

1 i

n 2 22

21

n 1 12

11

"

a

aa

aa

a

aa

A

2 ĐỊNH THỨC

Tính chất 8: Nếu định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp

tuyến tính của các hàng khác (hay của các cột khác) thì định

thức ấy bằng không

Tính chất 9: Khi ta công bội k của một hàng vào một hàng

khác (hay bội k của một cột vào một cột khác) thì được một

định thức mới bằng định thức cũ

51

6

754

31

2)

A

det( 

42

0

13

0

31

2

516

130

31

2

3 1

2

H 2

2 ĐỊNH THỨC

Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo

nn 22

11 nn

n 2 22

n 1 12

11

a

aaa

00

a

0

a

aa

2 ĐỊNH THỨC

2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC:

Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp

Nhân một hàng với một số k≠0 Định thức nhân với k Tính chất 5Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu Tính chất 2Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi Tính chất 9

2 ĐỊNH THỨC

84

32

18

90

432

1

87

65

)A

det( 

Ví dụ: Tính định thức bằng hai phương pháp:

84

32

18

90

87

65

432

10

18

90

128

40

43

21

4 1

2 1

H H

10

110

00

120

00

43

21

3 4

2 4

H H

3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Trong phần này ta chỉ nghiên cứu ma trận vuông cấp n

3.1 Ma trận không suy biến: Ta gọi ma trận vuông A cấp n là một ma trận không suy biến nếu det(A) ≠ 0

3.2 Ma trận nghịch đảo: Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n thoả mãn: AB = I thì B được gọi là

2 n

1

2 n 22

12

1 n 21

11 T

1

C

CC

CC

C

CC

A

1C

A

1A

Trong đó Cij là phần bù đại số của phần tử aij

2 n

1

2 n 22

12

1 n 21

11 T

1

C

CC

CC

C

CC

A

1C

A

1A

2

21

3A

11

32

33

31

A 1

3 Đổi chỗ hai dòng của ma trận cho nhau

Để tìm ma trận nghịch đảo dùng các phép biến đổi sơ cấp

sau cho: [A│I] = [I│A -1 ]

1

21

1A

2

011

00

1

12

0

01

0

21

1

100

01

0

00

1

34

2

22

1

21

1I

2 1

H H

2 HH

1

25

20

10

00

10

11

01

20

10

20

1

3

1

3 3

2 1

2

H

12H HH

H

2 H

H

41

12

24

31

A

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

4.2 Hạng của ma trận:

Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A

Nếu r là hạng của ma trận nếu:

• Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0

• Mọi định thức con cấp lớn hơn r trong ma trận A đều bằng 0

12

24

31

A

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang khi thoả các điều

kiện sau:

• A không có dòng 0 hoặc dòng 0 luôn ở dưới các dòng khác 0

• Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột

chứa phần tử chính của dòng trên

00

02

10

43

21

0

04

2B

2C

1D

Hệ quả: Hạng của ma trận A bằng số dòng khác không của

ma trận dạng bậc thang thu được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

4.4 Các phương pháp tìm hạng ma trận.

4.4.1 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa.

Bước 1: Tính các định thức con cấp p cao nhất có trong A:

- Nếu gặp một định thức khác 0 thì kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó

- Nếu tất cả các định thức đều bằng 0 thì tiếp tục bước 2

Bước 2: Tính các định thức con cấp p-1 có trong A:

- Nếu gặp một định thức khác 0 thì ta kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó

- Nếu tất cả các định thức đó đều bằng 0 thì tiếp tục bước 3

Bước 3, 4,… cho đến khi tìm được rankA

67

111

31

52

A

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

4.4.2 Phương pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp

Để tìm hạng của ma trận A ta biến đổi ma trận A về dạng bậc thang, số dòng khác dòng 0 là hạng của ma trận A

21

41

12

24

3

1A

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

5.1.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính:

a Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm

mn 2

2 m 1

1

m

2 n

n 2 2

22 1

21

1 n

n 1 2

12 1

11

bx

a

xa

a

xa

x

a

bx

a

xax

a

xj là biến,

aij được gọi là hệ số (của

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

xx

bb

b

mn 2

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

b

bb

a

aa

aa

a

aa

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm:

• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình

tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung

5.1.4 Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm:

x

x

1x

ax

x

1x

xax

3 2

1

3 2

1

3 2

1

)2a

()1a(2a

3

aa

11

1a

1

11

a

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương

trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận

hệ số khác không

5.2.2 Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy

nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:

)Adet(

)A

det(

x j  j

Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j

5.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME

2x

30x

6x

4x

3

6x

2x

3 2

1

3 2

1

3 1

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

n 1 12

aa

a

aa

A

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

11x

4

2x

2x

x

3

4x

3x

4x

2

3 2

1

3 2

1

3 2

a

xa

a

xa

x

a

0x

a

xax

a

n mn 2

2 m 1

1

m

n n 2 2

22 1

21

n n 1 2

12 1

11

0

5.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

a

xa

a

xa

x

a

0x

a

xax

a

n mn 2

2 m 1

1

m

n n 2 2

22 1

21

n n 1 2

12 1

5.4.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm

tầm thường

Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến

tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số

1518

30

56

10

34

21

1924

8

3

32

5

4

46

5

3

34

2

1

4 1

3 1

2 1

H H

34H H

H H 3

00

00

00

56

10

78

01

4 2

3 2

1 2

2

H H

23H H

H H

2 H

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

6x

0x

7x

8x

4 3

2

4 3

2

4 3

1

x5x

6x

x7x

8x

RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.4.4 Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Giả sử rankA = k < n Ta có hệ có vô số nghiệm

phụ thuộc n-k tham số Giả sử n-k tham số đó là xk+1, … xn.

Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau:

x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH