bài giảng
05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 1 C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng: =++ =++ =++ mnmn2 2m 1 1m 2n n2 2 22 1 21 1n n1 2 12 1 11 bxa xaxa bxa xaxa bxa xaxa x j là biến, a ij được gọi là hệ số (của ẩn) b i : được gọi là hệ số tự do (1) 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 2 ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2. Ma trận các hệ số của phương trình: = mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa A 3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do: [ ] T n21 n 2 1 x xx x x x X = = [ ] T m21 m 2 1 b bb b b b B = = Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 3 ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4. Ma trận bổ sung: = m 2 1 mn2m1m n22221 n11211 b b b a aa a aa a aa A 1.2. Nghiệm: • Một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số thực (c 1 ,c 2 ,…c n ) thoả hệ phương trình (1). • Hệ phương trình (1) được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, và được gọi là không tương thích (hệ vô nghiệm) nếu nó không có nghiệm. • Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương, nếu các tập hợp nghiệm của chúng là trùng nhau. 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 4 ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.3. Điều kiện tồn tại nghiệm: • Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung . 1.4. Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm: =++ =++ =++ 1axxx 1xaxx 1xxax 321 321 321 )2a()1a(2a3a a11 1a1 11a A 23 +−=+−== 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 5 ξ2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A -1 B, tức là: )Adet( )Adet( x j j = Trong đó A j là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do. 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 6 ξ2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.3. Ví dụ: Giải hệ phương trình: =+−− =++− =+ 8x3x2x 30x6x4x3 6x2x 321 321 31 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 7 ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không. Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổ sung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng ma trận bậc thang. = m 2 1 mn2m1m n22221 n11211 b b b a aa a aa a aa A 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 8 ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: =++ −=−+ =++ 7x7x11x4 2x2xx3 4x3x4x2 321 321 321 3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: 3.3.1. Định nghĩa: =++ =++ =++ 0xa xaxa 0xa xaxa 0xa xaxa nmn2 2m 1 1m n n2 2 22 1 21 n n1 2 12 1 11 [ ] T 0 00 0 0 0 X = = 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 9 ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: 3.3.1. Định nghĩa: =++ =++ =++ 0xa xaxa 0xa xaxa 0xa xaxa nmn2 2m 1 1m n n2 2 22 1 21 n n1 2 12 1 11 [ ] T 0 00 0 0 0 X = = Hệ luôn có nghiệm tầm thường 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 10 ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.3.2. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường. Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số. 3.3.3. Ví dụ: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 0 3 5 6 4 0 4 5 2 3 0 3 8 24 19 0 x x x x x x x x x x x x x x x x + + − = + + − = + − + = + + − = [...]... 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 12 ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.3.4 Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Giả sử rankA = k < n Ta có hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số Giả sử n-k tham số đó là x k+1, … xn x1 x2 xk c11 c12 … c1k 1 0 0 c11 c12 … c1k 0 1 0 0 0 1 cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k xk+1 xk+2 … xn Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần... xk+1 xk+2 … xn Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 13 ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau: x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4 8 -6 1 0 -7 5 0 1 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 14 ...ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 1 3 4 3 2 4 − 3 −3H1+ H 2 1 2 4 − 3 −4 H1+ H3 0 − 1 − 6 5 6 −4 5 H4 −3H1+ → 5 −2 3 15 0 − 3 − 18 0 8 24 − 19 2 12 − 10 −H 2 2 H 2 + H1 −3 H 2 + H 3 2H2 +H4 1 0 → 0 0 05/13/14 0 −8 7 1 6 − 5 0 0 0 0 0 0 Hệ phương trình tuyến tính 11 ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số . nghiệm: =++ =++ =++ 1axxx 1xaxx 1xxax 321 321 321 )2a()1a(2a3a a11 1a1 11a A 23 +−=+−== 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 5 ξ2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác. 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 1 C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại. do. 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 6 ξ2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.3. Ví dụ: Giải hệ phương trình: =+−− =++− =+ 8x3x2x 30x6x4x3 6x2x 321 321 31 05/13/14 Hệ phương trình tuyến tính 7 ξ3 PHƯƠNG