1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

bai giảng hệ phương trình tuyến tính

14 2,2K 47

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 14
Dung lượng 328,5 KB

Nội dung

bài giảng

Trang 1

C HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

ξ1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính:

1 Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm

m phương trình n ẩn có dạng:

= +

+

= +

+

= +

+

m n

mn 2

2 m 1

1

m

2 n

n 2 2

22 1

21

1 n

n 1 2

12 1

11

b x

a

x a

x

a

b x

a

x a

x

a

b x

a

x a x

a

xj là biến,

aij được gọi là hệ số (của

ẩn)

b: được gọi là hệ số tự

(1)

Trang 2

ξ 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2 Ma trận các hệ số của phương trình:

=

mn 2

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

a

a a

a

a a

a

a a

A

3 Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:

n 2

1 n

2

1

x

x x

x

x

x

m 2

1 m

2

1

b

b b

b

b

b

=

Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B

Trang 3

ξ 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

4 Ma trận bổ sung:

=

m

2 1

mn 2

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

b

b b

a

a a

a

a a

a

a a

A

1.2 Nghiệm:

• Một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số thực (c1,c2,…cn) thoả

hệ phương trình (1).

• Hệ phương trình (1) được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, và được gọi là không tương thích (hệ vô nghiệm) nếu nó không có nghiệm.

• Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương, nếu các tập hợp

nghiệm của chúng là trùng nhau.

Trang 4

ξ 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm:

• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình

tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung

1.4 Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm:



= +

+

= +

+

= +

+

1 ax

x

x

1 x

ax

x

1 x

x ax

3 2

1

3 2

1

3 2

1

) 2 a

( ) 1 a ( 2 a

3

a a

1 1

1 a

1

1 1

a

Trang 5

ξ 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME

2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương

trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận

hệ số khác không

2.2 Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy

nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:

) A det(

) A

det(

x j = j

Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do

Trang 6

ξ 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME

2.3 Ví dụ: Giải hệ phương trình:



= +

= +

+

= +

8 x

3 x

2 x

30 x

6 x

4 x

3

6 x

2 x

3 2

1

3 2

1

3 1

Trang 7

ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3.1 Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không

Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổ sung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng ma trận bậc thang

=

m

2 1

mn 2

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

b

b b

a

a a

a

a a

a

a a

A

Trang 8

ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:



= +

+

=

− +

= +

+

7 x

7 x

11 x

4

2 x

2 x

x

3

4 x

3 x

4 x

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3.3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

3.3.1 Định nghĩa:

= +

+

= +

+

= +

+

0 x

a

x a

x

a

0 x

a

x a

x

a

0 x

a

x a x

a

n mn 2

2 m 1

1

m

n n 2 2

22 1

21

n n 1 2

12 1

11

[0 0 0]T

0

0

0

=

Trang 9

ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3.3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

3.3.1 Định nghĩa:

= +

+

= +

+

= +

+

0 x

a

x a

x

a

0 x

a

x a

x

a

0 x

a

x a x

a

n mn 2

2 m 1

1

m

n n 2 2

22 1

21

n n 1 2

12 1

11

[0 0 0]T

0

0

0

=

Hệ luôn có nghiệm tầm thường

Trang 10

ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3.3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm

tầm thường

Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến

tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số

3.3.3 Ví dụ:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 8 24 19 0

Trang 11

ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

+

10 12

2 0

15 18

3 0

5 6

1 0

3 4

2 1

19 24

8

3

3 2

5

4

4 6

5

3

3 4

2

1

4 1

3 1

2 1

H H

34H H

H H 3

+

0 0

0 0

0 0

0 0

5 6

1 0

7 8

0 1

4 2

3 2

1 2

2

H H

23H H

H H

2 H

Trang 12

ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

− +

+

= +

x 5 x

6 x

0 x

7 x

8 x

4 3

2

4 3

1

+

=

=

4 3

2

4 3

1

x 5 x

6 x

x 7 x

8 x

RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2

Trang 13

ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3.3.4 Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Giả sử rankA = k < n Ta có hệ có vô số nghiệm

phụ thuộc n-k tham số Giả sử n-k tham số đó là xk+1, … xn.

cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k 0 0 1

Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Trang 14

ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS

Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau:

x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4

Ngày đăng: 13/05/2014, 17:08

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w