bài giảng
Trang 1C HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
ξ1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính:
1 Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm
m phương trình n ẩn có dạng:
= +
+
= +
+
= +
+
m n
mn 2
2 m 1
1
m
2 n
n 2 2
22 1
21
1 n
n 1 2
12 1
11
b x
a
x a
x
a
b x
a
x a
x
a
b x
a
x a x
a
xj là biến,
aij được gọi là hệ số (của
ẩn)
b: được gọi là hệ số tự
(1)
Trang 2ξ 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2 Ma trận các hệ số của phương trình:
=
mn 2
m 1
m
n 2 22
21
n 1 12
11
a
a a
a
a a
a
a a
A
3 Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:
n 2
1 n
2
1
x
x x
x
x
x
m 2
1 m
2
1
b
b b
b
b
b
=
Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B
Trang 3ξ 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4 Ma trận bổ sung:
=
m
2 1
mn 2
m 1
m
n 2 22
21
n 1 12
11
b
b b
a
a a
a
a a
a
a a
A
1.2 Nghiệm:
• Một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số thực (c1,c2,…cn) thoả
hệ phương trình (1).
• Hệ phương trình (1) được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, và được gọi là không tương thích (hệ vô nghiệm) nếu nó không có nghiệm.
• Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương, nếu các tập hợp
nghiệm của chúng là trùng nhau.
Trang 4ξ 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm:
• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình
tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung
1.4 Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm:
= +
+
= +
+
= +
+
1 ax
x
x
1 x
ax
x
1 x
x ax
3 2
1
3 2
1
3 2
1
) 2 a
( ) 1 a ( 2 a
3
a a
1 1
1 a
1
1 1
a
Trang 5ξ 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương
trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận
hệ số khác không
2.2 Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy
nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:
) A det(
) A
det(
x j = j
Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do
Trang 6ξ 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.3 Ví dụ: Giải hệ phương trình:
= +
−
−
= +
+
−
= +
8 x
3 x
2 x
30 x
6 x
4 x
3
6 x
2 x
3 2
1
3 2
1
3 1
Trang 7ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.1 Định nghĩa:
Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không
Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổ sung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng ma trận bậc thang
=
m
2 1
mn 2
m 1
m
n 2 22
21
n 1 12
11
b
b b
a
a a
a
a a
a
a a
A
Trang 8ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
= +
+
−
=
− +
= +
+
7 x
7 x
11 x
4
2 x
2 x
x
3
4 x
3 x
4 x
2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
3.3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
3.3.1 Định nghĩa:
= +
+
= +
+
= +
+
0 x
a
x a
x
a
0 x
a
x a
x
a
0 x
a
x a x
a
n mn 2
2 m 1
1
m
n n 2 2
22 1
21
n n 1 2
12 1
11
[0 0 0]T
0
0
0
=
Trang 9ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
3.3.1 Định nghĩa:
= +
+
= +
+
= +
+
0 x
a
x a
x
a
0 x
a
x a
x
a
0 x
a
x a x
a
n mn 2
2 m 1
1
m
n n 2 2
22 1
21
n n 1 2
12 1
11
[0 0 0]T
0
0
0
=
Hệ luôn có nghiệm tầm thường
Trang 10ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm
tầm thường
Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số
3.3.3 Ví dụ:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 8 24 19 0
Trang 11ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
10 12
2 0
15 18
3 0
5 6
1 0
3 4
2 1
19 24
8
3
3 2
5
4
4 6
5
3
3 4
2
1
4 1
3 1
2 1
H H
34H H
H H 3
−
−
+
−
0 0
0 0
0 0
0 0
5 6
1 0
7 8
0 1
4 2
3 2
1 2
2
H H
23H H
H H
2 H
Trang 12ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
− +
+
= +
−
x 5 x
6 x
0 x
7 x
8 x
4 3
2
4 3
1
+
−
=
−
=
4 3
2
4 3
1
x 5 x
6 x
x 7 x
8 x
RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2
Trang 13ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3.4 Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Giả sử rankA = k < n Ta có hệ có vô số nghiệm
phụ thuộc n-k tham số Giả sử n-k tham số đó là xk+1, … xn.
cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k 0 0 1
Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Trang 14ξ 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau:
x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4