bài giảng toán cao cấp bài tập có lời giải

bài giảng được sắp xếp theo cấu trúc lý thuyết nền tảng, phương pháp giải toán, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết, một số bài toán có lời giải bao gồm: Ma trận Định thức hệ phương trình tuyến tính; nguyên hàm tích phân; hàm số nhiều biến; phương trình vi phân; có lời giải nhiều ví dụ cụ thể

MỤC LỤC

Chương I: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 1

Chương II HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 51

Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN 66

Chương 4: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 77

Chương 5: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 96

Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 117

Chương I: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 1.1 Ma trận 1.1.1 Một số định nghĩa 1.1.1.1 Định nghĩa ma trận Một ma trận A cỡ m n´ trên trường K (K là thực hay phức) là một bảng chữ nhật gồm m hàng n cột có dạng như sau: 11 12 1n 21 22 2n ij m n m1 m2 mn a a a a a a A (a )

a a a ´ é ù ê ú ê ú ê ú =ê ú= ê ú ê ú ë û aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j Kí hiệu: A = [aij]m x n hoặc A = (aij)m x n Tập hợp các ma trận cỡ m x n được kí hiệu là Mm n´ (K) Ví dụ: A = ; B =

1.1.1.2 Ma trận không

Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0

1.1.1.3 Ma trận hàng/cột

Ma trận

1 2

n 1

n

x x

x

´

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷Î

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷ ç

è ø

gọi là ma trận cột

Ma trận(x x x1 2 n)Î M1 n´ (K) gọi là ma trận hàng

1.1.1.4 Ma trận vuông

ij nn

a 0 0

0 a 0

(a 0 i j;i, j 1,2, ,n)

, (aii =1,i 1,2, ,n;a= ij= " ¹ ) được gọi là0 i j

ma trận đơn vị cấp n (kí hiệu là I hay In)

A=[aij]m x n => A =[aji]n x m Ta gọi ma trận AT

• Nếu AT = A thì A gọi là ma trận đối xứng

• Nếu AT = -A thì A gọi là ma trận phản đối xứng

1.1.2 Các phép toán trên ma trận

1.1.2.1 Nhân ma trận với một số

a Định nghĩa: Cho A=[aij]m x n, kÎ ¡ thì tích k.A là một ma trận cấp m x n

được xác định bởi k.A= [k.a] m x n

Ví dụ: Cho Ma trận

2 4 1 1

5 0 3 7A

- Giao hoán: A + B = B + A

- Kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C)

- Tổng của ma trận với ma trận không: 0 + A = A + 0 = A

- Tổng của hai ma trận đối nhau :

Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A = 0

- Nhân số thực với tổng hai ma trận : k(A+B) = kA+kB, k R∈

- Nhân ma trận với tổng hai số thực: (k+h)A = kA + hA, k h R, ∈

Ví dụ: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng

a Định nghĩa: Xét hai ma trận A=[a]m x p; B=[b]p x n, Người ta gọi tích

A.B là ma trận C=[c]m x n có m hàng và n cột, phần tử c được xác định như sau:

(tích này được tính theo quy tắc "dòng nhân cột")

A.(B+C) = A.B + A.C

(B+C).A = B.A + C.A

Phép nhân nói chung không có tính giao hoán

A=[a] => I.A = A.I = A

1.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với ma trận được gọi là các phépbiến đổi sơ cấp:

1 hi « h (cj i « c )j , tức là đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau;

2 hi ® l h (cj i® l c ),j l ¹ 0, tức là nhân vào hàng i (cột i) với số λ≠0;

3 hi®hi +l h (cj i ® +lci c ),j l ¹ 0, tức là cộng vào một hàng (cột) tíchcủa một hàng khác với một số λ tùy chọn

4 0 1 2 1 2

20

34

Bài 4: Cho hai ma trận

Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A

Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là

6 1

-Quy tắc Sarrus: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3

phần tử mà mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất

* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéochính hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnhsong song với đường chéo chính

* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéophụ hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnhsong song với đường chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người tathường dùng “quy tắc Sarrus” sau:

ê =

1.2.2 Tính chất của định thức

A =[aij]n x n với ∆n = det( A )

Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:

(a a a ai1 i2 ij in) (= b b b bi1 i2 ij in) (+ c c c c ;ai1 i2 ij in) ij=bij+c ( j 1,n)ij " =Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếu

Chú ý: Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì

cũng đúng cho cột và ngược lại Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉphát biểu cho các dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ

Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số k thì được định thứcmới bằng k lần định thức cũ

Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử

chung thì đưa nhân tử chung ra ngoài dấu định thức

Hệ quả 2: Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không.

Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được mộtđịnh thức có hai dòng giống nhau nên nó bằng không

Ví dụ 3: Chứng minh định thức sau chia hết cho 17:

Hệ quả 4: Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì

* Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác: hdi+d (hcj i+c )j ,

phép biến đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức

D = + + +

+ + +Đặt nhân tử chung của cột 1 ra ngoài:

a a a

ij = − + được gọi là

phần bù đại số của phần tử a ij của định thức d Cho định thức cấp n là ∆ n Khi

đó ∆ n có thể tính theo hai cách sau:

i) Công thức khai triển theo dòng thứ i :

Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức

cấp n về tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đếnđịnh thức cấp 3, cấp 2 Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dònghoặc cột có chứa nhiều phần tử 0 nhất để khai triển Nếu không có dòng hoặccột như vậy ta biến đổi định thức đưa về định thức mới bằng định thức ban đầunhưng có dòng hoặc cột như vậy

b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:

Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức vềđịnh thức của ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:

11 12 1n

11 22 nn nn

a a a

• Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra ∆6 = 0

• Nếu x ≠0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân

tử chung (n -1) ra ngoài ta được:

= b) Cộng các cột vào cột 1, rồi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu định thức ta được

+++

++Nhân dòng 1 với (-1) và cộng vào các dòng 2, dòng 3, …, dòng n ta được

a Ma trận suy biến: Ta gọi ma trận vuông A cấp n là một ma trận không

suy biến nếu det(A) ≠ 0

b Định nghĩa

Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n thoả mãn:A.B = I thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A

Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả nghịch

Ký hiệu: B = A-1, nghĩa là ta có A A-1 = A-1.A= I

1.3.2 Tính chất

a Định lý: Nếu A khả nghịch thì A-1 là duy nhất

b Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo

Định lý: Nếu det(A)≠0 thì ma trận A có nghịch đảo A-1 được tính bởi côngthức sau:

A 0 : A

A ,

A 0 : A

-

-é = $ê

a Tìm tham số λ sao cho A có ma trận nghịch đảo ;

b Với l = , hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A.4

Bài 4: Cho A là ma trận vuông cấp n có A = Hãy tính 2 C T

Bài 5: Chứng minh rằng nếu A = 2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo A-1

không thể gồm toàn các số nguyên

1.4 Hạng của ma trận

1.4.1 Định nghĩa hạng của ma trận

1.4.1.1 Định nghĩa định thức con của ma trận A

Trong ma trận A = (a )mxn, chúng ta xác định một ma trận vuông cấp sbằng cách lấy đi các phần tử nằm ở giao của s hàng và s cột bất kì(s min(m,n))£ Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp s của

1.4.1.2 Định nghĩa hạng của ma trận A

a Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con kháckhông của A

Nếu r là hạng của ma trận nếu:

+ Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0

+ Mọi định thức con cấp lớn hơn r trong ma trận A đều bằng 0

+ Ký hiệu: rankA = r hoặc r(A)

b Ma trận bậc thang

+ Một dòng của ma trận được gọi là dòng 0 nếu nó chỉ gồm những phần tử 0.+ Ngược lại, nếu một dòng của ma trận có ít nhất một phần tử khác 0 thì đượcgọi là dòng khác 0

+ Phần tử khác 0 đầu tiên của một dòng được gọi là phần tử chính của dòng đó

Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang khi thoả mãn các điều kiện sau:

+ A không có dòng 0 hoặc dòng 0 luôn ở dưới các dòng khác 0

+ Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 tuỳ ý của A,phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòngtrên

Định lí: Cho A, B là hai ma trận cùng cấp Nếu B là ma trận nhận được từ A

sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp thì rankA = rankB

Hệ quả: Hạng của ma trận A bằng số dòng khác không của ma trận dạng bậc

thang thu được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp

1.4.2 Phương pháp tìm hạng của ma trận

1.4.2.1 Phương pháp định thức bao quanh

Xuất phát từ một định thức con D≠ 0 cấp s của ma trận (thường bắt đầu vớis=2), ta xét các định thức con cấp s+1 bao quanh D Nếu không tồn tại các địnhthức này, hoặc tất cả các định thức này đều bằng 0, thì hạng của ma trận bằng s.Ngược lại nếu tồn tại một định thức con D cấp s+1 bao quanh D≠ 0 thì ta lặp lạicách làm trên với D

1.4.2.2 Phương pháp biến đổi ma trận

Dùng các phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận ban đầu về dạng ma trận bậcthang

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận sau bằng hai phương pháp :

(1) Nhân lần lượt hàng 1 với (-5), (-9) rồi cộng vào hàng 2 và 3;

(2) Nhân hàng hai với (-2) rồi cộng vào dòng 3

Ma trận sau khi biến đổi có r(A) = 2

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm hạng của các ma trận sau

trong đó aij (i 1,m; j 1,n)= = , bi (i 1,m)= là các số thực cho trước; x1, x2, …, xn

là n ẩn số cần tìm; các bi (i 1,m)= được gọi là các hệ số tự do

• Nếu hệ (I) có số phương trình bằng số ẩn (m = n) thì hệ (I) được gọi là hệvuông

• Nếu b1 = b2 = … = bm = 0 thì hệ (I) được gọi là hệ phương trình tuyến tínhthuần nhất

• Nghiệm của hệ (I) là một bộ n số (c1, c2, …, cn) sao cho khi thay thế

x1 = c1, x2 = c2, …, xn = cn vào (I) thì ta được m đồng nhất thức Có thể viết

nghiệm dưới các dạng sau: (c1, c2, …, cn) hoặc

1 2

n

cc

• Giải hệ (I) là ta đi tìm tất cả các nghiệm của hệ (I)

được gọi là ma trận bổ sung của hệ (I)

Định nghĩa 2 Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng

tập nghiệm Các phép biến đổi của hệ phương trình mà không làm thay đổi tậpnghiệm của hệ đó được gọi là phép biến đổi tương đương của hệ phương trình.Trong quá trình giải hệ phương trình, chúng ta thường dùng các phép biến đổisau :

- Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau

- Nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0

- Nhân hai vế của một phương trình với một số tuỳ ý rồi cộng vào phương trìnhkhác vế theo vế

Chú ý 1 Các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình trên chính là các

phép biến đổi sơ cấp về dòng đối với ma trận bổ sung của hệ đó

1.5.2 Dạng ma trận, dạng véc tơ của hệ phương trình tuyến tính

Đặt

bb

Khi đó hệ phương trình tuyến tính (I) được biểu diễn dưới dạng ma trận

A.X = B (II)

Đặt

1j

2 j j

mj

aa

Ví dụ 1 Cho hệ phương trình tuyến tính 3 phương trình 4 ẩn

xxXxx

= êúêúëû ; 4

Khi đó hệ có dạng ma trận và dạng véc tơ tương ứng là

được gọi là hệ có dạng tam giác

Ma trận hệ số A của hệ chính là ma trận dạng tam giác trên Dễ thấy rằng hệ này

có nghiệm duy nhất Hệ này giải bằng cách giải từ phương trình thứ n để tìm ẩn

xn, rồi giải phương trình thứ n -1 để tìm ẩn xn-1, …, quá trình đó cứ tiếp tục chođến khi tìm được ẩn x1 Cách giải này gọi là giải ngược từ dưới lên trên để tìmnghiệm của hệ phương trình

Giải: Từ phương trình thứ 3 ta có x3 = -1 ; thay vào phương trình thứ 2 ta có x2

= 2 + 2x3 = 0 ; thay x2, x3 vào phương trình thứ nhất ta được : x1 = 1 + 2x2 – x3

Vậy hệ có nghiệm duy nhất :

được gọi là hệ dạng bậc thang

Ma trận bổ sung của hệ khi đó sẽ có bậc thang

Với hệ có dạng bậc thang, từ phương trình thứ r, ta tính xr thông qua các ẩn xr+1,

xr+2, , xn Rồi thay vào phương trình thứ r -1 để tính xr – 1 theo các ẩn xr+1,

xr+2, , xn quá trình trên cứ tiếp tục cho đến x2, x1

1.5.2 Phương pháp giải hệ phương trình

1.5.2.1 Điều kiện tồn tại nghiệm

Định lý 1 (Định lý Kronecker-Capeli) Hệ phương trình tuyến tính (I) có

nghiệm khi và chỉ khi r(A) = r( A%)

Từ đây ta có hệ có nghiệm Û r(A)=r(A)%Û m 1 0- = Û m 1=

1.5.2.2 Điều kiện duy nhất nghiệm

Định lý 2 Hệ phương trình tuyến tính (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Giải: Hệ có số phương trình bằng số ẩn và bằng 3 nên có nghiệm duy nhất

Û íï

¹ ïî

-1.5.2.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

a) Phương pháp giải hệ Cramer

Định nghĩa 5 Hệ Cramer là hệ n phương trình tuyến tính n ẩn (hệ vuông) có ma

trận hệ số A không suy biến (det(A) ≠ 0)

Định lý 3 Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất.

Công thức nghiệm: xj = j

A

D (j = 1 , n)

trong đó, ∆ jlà ma trận nhận từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do,các cột khác không thay đổi (j = 1, n )

= 4)

Ví dụ 4 Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm duy nhất

b) Phương pháp giải hệ tổng quát

Giả sử ta giải hệ tổng quát m phương trình tuyến tính, n ẩn dạng:

a x + a x + + a x = b

ìïïïïïíïïïïïî

Cách giải:

• Tính r(A), r(A%)

• So sánh r(A) với r(A%):

+ Nếu r(A) ≠ r(A%) thì hệ (I) vô nghiệm

+ Nếu r(A) = r(A%) = số ẩn (= n) thì hệ (I) có nghiệm duy nhất cho bởicông thức Cramer: xj = j

A

D (j = 1 , n)

+ Nếu r(A) = r(A%) = r < n thì hệ (4.1) có vô số nghiệm (hay còn gọi là hệ

vô định):

Chỉ ra một định thức con cơ sở của ma trận A, giả sử ta đã chỉ ra một địnhthức con cơ sở là Dr Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ gồm rphương trình của hệ đã cho mà có hệ số của các ẩn tạo nên Dr r phương trìnhnày được gọi là các phương trình cơ bản của hệ (I) r ẩn của hệ (I) có hệ số tạothành r cột của Dr được gọi là các ẩn cơ bản, (n – r) ẩn còn lại được gọi là các ẩn

tự do Ta giải hệ gồm r phương trình cơ bản và r ẩn cơ bản bằng cách chuyển (n– r) ẩn tự do sang vế phải và coi như là các tham số, ta được hệ Cramer Giải hệCramer đó, ta được công thức biểu diễn r ẩn cơ bản qua (n – r) ẩn tự do.

c) Phương pháp Gauss

Nội dung của phép khử Gauss như sau:

• Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa ma trận bổ sung A%

về dạng ma trận bậc thang

• Khi đó hệ phương trình đã cho tương với hệ phương trình mới có ma trận

hệ số bổ sung là ma trận bậc thang vừa thu được Sau đó ta giải hệ mới này từphương trình cuối cùng, thay các giá trị của ẩn vừa tìm được vào phương trìnhtrên đó và cứ tiếp tục giải cho đến phương trình đầu tiên ta sẽ thu được nghiệmcủa hệ phương trình đã cho

0 : 0 0 0 0

5 : 6 5 7 0

2 : 1 1 3 1

5 : 6 5 7 0

5 : 6 5 7 0

5 : 6 5 7 0

2 : 1 1 3 1

3 2 4 2

æ+ a - b + a - b ö÷ç

Vậy hệ có nghiệm X = (1- a - b a b a bÎ; ; ; ,) R

1.5.2.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa 6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình tuyến

+ Hệ (IV) luôn có nghiệm là x1 = x2 = … = xn = 0 Nghiệm này được gọi

là nghiệm tầm thường của hệ (IV)

+ Hệ (IV) có nghiệm duy nhất (đó là nghiệm tầm thường) ⇔ r(A) = n.+ Hệ (IV) có nghiệm không tầm thường ⇔ r(A) < n

+ Hệ thuần nhất vuông (hệ có số phương trình bằng số ẩn) có nghiệmkhông tầm thường khi và chỉ khi det(A) = 0

Ví dụ 1 Giải và biện luận hệ phương trình sau

3x + y + 10z = 02x + ay + 5z = 0

x + 4y + 7z = 0

ìïïïïíïïïïî

x + 4y + 7z = 0

ìïï ïïí ïï ïïî

Vì 3 1

2 -1 = - 5 ≠ 0 nên hệ đã cho tương đương với hệ

Vậy, với a = -1, hệ đã cho có vô số nghiệm là

x = -3t

y = -t

z = t

ìïïïïíïïïïî

3 xα; α 3

1 m 1

0 1 m 2

2 m 0

A thì hệ có nghiệm tầm thường duy nhất

2 m 0

A Khi đó hệ có nghiệm không tầm thường và sử dụngphương pháp Gauss ta tìm được nghiệm của hệ đó

Ví dụ 3 Tìm công thức nghiệm của hệ sau

−

−

= +

− +

= + + +

−

0 x x x 2 x

0 x x x x

0 x x x x 2

0 x x x 2 x

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

Giải:

Ta có ma trận hệ số các ẩn

0 0 0 0

4 5 7 0

1 3 2 1

0 0 0 0

4 5 7 0

4 5 7 0

1 3 2 1

1 3 2 1

1 4 1 3

2 1 3 2

1 3 2 1

4 1 3 1

d d d

= + + +

−

4 3 2

4 3 4

3 2 1

4 3 2

4 3 2 1

x 7

4 x 7

5 x

x 7

3 x 7

11 x x x 2 x 0 x 4 x 5 x 7

0 x x x 2

;

;

; 7

4 7

3

; 7

3 7 11

1.5.2.5 Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế

a Mô hình cân đối liên ngành (mô hình Input – Outphut của Leontief)

Mô hình Input – Output của Leontief (còn gọi là mô hình I/O) đề cập đếnviệc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản suất trong tổngthể nền kinh tế Ở đây khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa ngành thuầntuý sản xuất Các giả thiết đặt ra để xây dựng mô hình như sau:

• Mỗi ngành sản xuất một loại hàng hoá thuần nhất hoặc sản xuất một sốhàng hoá phối hợp theo tỷ lệ nhất định (coi mỗi tổ hợp hàng hoá theo tỷ lệ cốđịnh)

• Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi ngành được sử dụng theo

tỷ lệ cố định

Trong nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại hàng hoá nào đó (output)đòi hỏi sử dụng các loại hàng hoá khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào (input)của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗingành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng nó bao gồm:

- Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩn đó cho quátrình sản xuất

- Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng cho quátrình sản xuất hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các tổ chứcxuất khẩu,

Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1, 2, 3, … , n Để thuận tiệncho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta phải biểu diễn lượng cầu của tất

cả các loại hành hoá ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền Tổng cầu về sản phẩmhành hoá của ngành i (i = 1, 2, … , n) được ký hiệu và xác định bởi:

xi = xi1 + xi2 + … + xik + bi (i =1, 2, … , n) (*)

Ở đây:

xik là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho quá trình sảnxuất của mình (giá trị cầu trung gian).

bi là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu(giá trị cầu cuối cùng)

Tuy nhiên trong thực tế ta thường không có thông tin về giá trị cầu trung gian

xik, nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào củasản xuất Ký hiệu aik là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm củangành i, nó được tính bởi công thức:

k

ik ik

x

x

a = (i, k = 1, 2, , n)

Chú ý rằng: 0 ≤ aik < 1 và ở đây giả thiết aik là cố định đối với mỗi ngành sản

xuất i (k =1, 2, , n) Người ta còn gọi aik là hệ số chi phí đầu vào và ma trận A

= [aik]n x n được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào (hay ma trận hệ số kỹ thuật).Giả sử aik = 0,4 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phảm của mình,ngành k đã phải chi 0,4 đồng để mua sản phẩm của ngành i phục vụ cho quátrình sản xuất Các phần tử của dòng i của A là hệ số giá trị hàng hóa của ngành ibán cho mỗi ngành của nền kinh tế để làm hàng hóa trung gian (kể cả chínhngành i), còn cột k là cột hệ số giá trị hàng hóa mà ngành k mua của mỗi ngành

để sử dụng cho việc sản xuất hàng hóa của mình (kể cả chính ngành k) Tổng tất

cả các phần tử của cột k là tỷ phần chi phí mà ngành k phải trả cho việc mua cáchàng hóa trung gian tính trên 1 đơn vị giá trị hàng hóa của mình, do đó

) n , , 2 , 1 k ( 1 a

a a

n

2 1

b

b

b b

; x

x

x X

Ta gọi X là ma trận tổng cầu và b là ma trận cuối cùng Khi đó, từ đẳng thức(*) thay xik = aikxk chúng ta có

+ +

=

n , ,

x a x a

n

2 1

nn 2

1

n 22

21

n 12

b b

x

x

x a

a a

a a

a

a a

Ở đây, E là ma trận đơn vị cấp n Nếu E – A khả nghịch thì

X = (E – A)-1b (***)

Công thức (***) được gọi là công thức tính ma trận tổng cầu Ma trận E – Ađược gọi là ma trận Leontief Ma trận nghịch đảo của E – A có thể tính theocông thức :

3 , 0 2 , 0

A Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sảnphẩm của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 40, 20 tỷ đồng Hãy xác định giá trịtổng cầu đối với mỗi ngành

X là ma trận tổng cầu ; với x1 là giá trị tổng cầu của ngành 1, x2

là giá trị tổng cầu của ngành 2

Theo giả thiết ma trận cầu cuối b có dạng : =20 

40 b

Theo công thức tính ma trận tổng cầu (***) ta có X = (E – A)-1.b

3 , 0 8 , 0 1

, 0 4 , 0

3 , 0 2 , 0 1 0

0 1 A

3 , 0 9 , 0 6 , 0

1 A

70 20

40 8 , 0 4 , 0

3 , 0 9 , 0 6 , 0

1 X

Vậy giá trị tổng cầu của ngành 1 là x1 = 70 tỷ đồng

Giá trị tổng cẩu của ngành 2 là x2 = 160/3 tỷ đồng

Ví dụ 2 Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2,

2 , 0 3 , 0 2 , 0

2 , 0 1 , 0 4 , 0 A

với giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành thứ tự là 40, 40 và

110 (đơn vị tính: nghìn tỷ đồng)

a) Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất

b) Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành khác khôngthay đổi, xác định giá trị tổng cầu của các ngành sản xuất tương ứng

Giải:

2 , 0 7 , 0 2 , 0

2 , 0 1 , 0 6 , 0 3 , 0 4 , 0 1 , 0

2 , 0 3 , 0 2 , 0

2 , 0 1 , 0 4 , 0 1 0 0

0 1 0

0 0 1 A E

16 , 0 40 , 0 16 , 0

16 , 0 15 , 0 41 , 0 2 , 0

1 )

40

40 40 , 0 25 , 0 15 , 0

16 , 0 40 , 0 16 , 0

16 , 0 15 , 0 41 , 0 2 , 0

40 '

B nên ma trận cầu mới

40

40 40 , 0 25 , 0 15 , 0

16 , 0 40 , 0 16 , 0

16 , 0 15 , 0 41 , 0 2 , 0 1

Vậy, giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x1 =208 tỷ đồng, x2 = 208nghìn tỷ đồng và x3 = 308 nghìn tỷ đồng

Ví dụ 3 Một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất và có mối quan hệ trao đổi hàng

hóa như sau: