Đang tải... (xem toàn văn)
bài giảng được sắp xếp theo cấu trúc lý thuyết nền tảng, phương pháp giải toán, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết, một số bài toán có lời giải bao gồm: Ma trận Định thức hệ phương trình tuyến tính; nguyên hàm tích phân; hàm số nhiều biến; phương trình vi phân; có lời giải nhiều ví dụ cụ thể
MC LC Chng I: MA TRN NH THC Chng II HM S V GII HN 51 Chng PHẫP TNH VI PHN HM S MT BIN 66 Chng 4: PHẫP TNH TCH PHN CA HM S MT BIN S .77 Chng 5: PHẫP TNH VI PHN HM S NHIU BIN S 96 Chng 6: PHNG TRèNH VI PHN 117 Chng I: MA TRN NH THC 1.1 Ma trn 1.1.1 Mt s nh ngha 1.1.1.1 nh ngha ma trn Mt ma trn A c m n trờn trng K (K l thc hay phc) l mt bng ch nht gm m hng n ct cú dng nh sau: ộa11 a12 ờa 21 a 22 A=ờ ờa m1 a m2 a1n ự ỳ a 2n ỳ ỳ= (a ij ) m n ỳ ỳ a mn ỳ ỷ aij l phn t ca ma trn A hng i ct j Kớ hiu: A = [aij]m x n hoc A = (aij)m x n Tp hp cỏc ma trn c m x n c kớ hiu l M m n (K) Vớ d: A = ; B = 1.1.1.2 Ma trn khụng Ma trn khụng l ma trn m mi phn t ca nú u bng 1.1.1.3 Ma trn hng/ct ổ x1 ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ x2 ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữẻ M n (K) gi l ma trn ct Ma trn ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốx n ứ Ma trn ( x1 x x n ) ẻ M1 n (K) gi l ma trn hng 1.1.1.4 Ma trn vuụng Nu m = n thỡ A l ma trn vuụng cp n ổ a11 a12 a1n ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ a 21 a 22 a 2n ữ ỗ ữ ữ A =ỗ = (a ij ) nxn ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ a a a ố n1 n1 nn ữ ứ Vớ d: A=;B= Cỏc phn t a11,a22,,ann c gi l cỏc phn t chộo ng thng xuyờn qua cỏc phn t chộo gi l ng chộo chớnh 1.1.1.5 Ma trn tam giỏc ổ ổ a11 a12 a1n a11 ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 0a a a a ỗ ỗ 22 2n ữ 21 22 ữ ỗ ỗ ữ ữ hay Cỏc ma trn vuụng cp n dng : ỗ c gi l ma ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ ỗa n1 a n2 a nn ứ ố0 a nn ứ trn tam giỏc trờn hay ma trn tam giỏc di 1.1.1.6 Ma trn chộo ổ a11 0 ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ a 22 0ữ ỗ ữ ữ (a ij = " i j;i, j =1,2, ,n) c gi l ma trn chộo D=ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố0 a nn ứ 1.1.1.7 Ma trn n v ổ 0ữ ỗ ữ ỗ ỗ 0ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ Ma trn I = ỗ , ( a ii =1,i =1,2, ,n;a ij = " i j ) c gi l ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ 0 ố ứ ma trn n v cp n (kớ hiu l I hay In) 1.1.1.8 Ma trn i Ma trn A = ( aij ) gi l ma trn i ca ma trn A 1.1.1.9 Ma trn bng Cho hai ma trn A=[aij]m x n; B=[bij]m x n Ta núi A = B a ij = bij " i =1,2, ,m; j =1,2, ,n 1.1.1.10 Ma trn chuyn v A=[aij]m x n => A =[aji]n x m Ta gi ma trn AT l ma trn chuyn v ca ma trn A Vớ d 1: A = A= Vớ d : Tỡm ma trn chuyn v ca ma trn sau ổ ỗ ỗ ỗ ỗ5 B=ỗ ỗ ỗ 1- ỗ ỗ ỗ ố8 ổ2 1- ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ T ữ ỗ B = ữ ỗ ỗ ữ 10ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ 0- ứ ố- 8ử ữ ữ ữ - 3ữ ữ ữ ữ 0ữ ữ ữ ữ ữ 10 - 2ứ Chỳ ý: Ma trn chuyn v AT l ma trn nhn c t ma trn A bng cỏch: Trong ma trn A chuyn hng thnh ct hoc chuyn ct thnh hng Nu AT = A thỡ A gi l ma trn i xng Nu AT = -A thỡ A gi l ma trn phn i xng 1.1.2 Cỏc phộp toỏn trờn ma trn 1.1.2.1 Nhõn ma trn vi mt s a nh ngha: Cho A=[aij]m x n, k ẻ Ă thỡ tớch k.A l mt ma trn cp m x n c xỏc nh bi k.A= [k.a] m x n ổ 1- ữ ỗ ữ ỗ ỗ 03 ữ ữ ỗ ữ ữ Vớ d: Cho Ma trn A = ỗ v S k = Tớnh k.A ỗ ữ ỗ ữ 10 ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố8 - ứ b Tớnh cht: Cho k , h ẻ Ă : k.(A + B) = k.A + k.B (k + h).A = k.A + h.A 1.A = A -1.A = -A 0.A = , Ă k.0 = 0, " k ẻ K,0 l ma trn khụng k.(h.A) = (k.h).A 1.1.2.2 Cng ma trn a nh ngha: A=[a]m x n; B=[b]m x n => A + B =[a+ b]m x n ộ2 - ự ỳ+ Vớ d: Tớnh: ờ ỳ ỷ ộ1 - - 2ự ỳ ỳ ỷ b Tớnh cht: Nu cỏc ma trn A, B, C, cựng cp m x n, ta d dng chng minh c cỏc tớnh cht sau: - Giao hoỏn: A + B = B + A - Kt hp: (A + B) + C = A + (B + C) - Tng ca ma trn vi ma trn khụng: + A = A + = A - Tng ca hai ma trn i : Nu gi -A = [-aij]m x n thỡ ta cú -A + A = - Nhõn s thc vi tng hai ma trn : k(A+B) = kA+kB, k R - Nhõn ma trn vi tng hai s thc: (k+h)A = kA + hA, k , h R Vớ d: Tỡm lng hng bỏn hai thỏng Thỏng A B CH1 10 CH2 C D Thỏng A CH1 12 20 10 CH2 10 ộ 12 20 10ự ỳ ỳ 10 15 15 ỷ 15 25 40 15 35 20 ộ 10 40 15 ự ỳ+ C1 + C2 = ờ ỳ 35 20 ỷ B C D 1.1.2.3 Nhõn ma trn vi ma trn a nh ngha: Xột hai ma trn A=[a] m x p; B=[b]p x n, Ngi ta gi tớch A.B l ma trn C=[c]m x n cú m hng v n ct, phn t c c xỏc nh nh sau: (tớch ny c tớnh theo quy tc "dũng nhõn ct") p cij = a i1b1j + a i2b j + a ip b pj = a ik b kj k =1 ộ1 - 1ự ỳ ộ2 - 1ựờ ỳ ỳ 1 Vớ d: Tớnh: ờ ỳ ỳ ỷờ3 ỳ ỷ b Mt s tớnh cht: Vi cỏc gi thuyt cỏc phộp tớnh vit di dng thc hin c, ta cú th chng minh d dng cỏc tớnh cht sau: (A.B).C = A.(B.C) A.(B+C) = A.B + A.C (B+C).A = B.A + C.A k.(B.C) = (k.B).C = B.(k.C) Phộp nhõn núi chung khụng cú tớnh giao hoỏn A=[a] => I.A = A.I = A 1.1.3 Cỏc phộp bin i s cp trờn ma trn nh ngha: Cỏc phộp bin i sau õy i vi ma trn c gi l cỏc phộp bin i s cp: h i ô h j (ci ô c j ) , tc l i ch hai hng (hai ct) cho nhau; h i đ l h j (ci đ l c j ), l , tc l nhõn vo hng i (ct i) vi s ; h i đ h i +l h j (ci đ ci +l c j ), l , tc l cng vo mt hng (ct) tớch ca mt hng khỏc vi mt s tựy chn BI TP ổ 3ử ữ ỗ ổ ổ ữ 1 ỗ ữ Tớnh: ữ ữ ỗ ỗ 6ữ ữ, B = ỗ ữ, C = ỗ Bi 1: Cho A = ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ố0 - 4ứ ố- 2ứ ỗ ữ ữ ỗ ố5 - 4ứ a 3A + 2B; b A.B v B.A Bi 2: Tớnh: ổ ửổ 1ửổ 3ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ; a ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ố3 4ứố0 3ứố1 ứ ổ2 ữ ỗ ổ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ3ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ b ỗ4 ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữỗ ữ ỗ ữ ố3 - 2ứ ữ ỗ ố 4ữ ứ ổử 3ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ c ( - 1) ỗ ; ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ 2ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố0ứ ổử 3ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ( - 5) d ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ 3ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố4ứ Bi 3: Tớnh giỏ tr ca a thc f(A) vi A l ma trn: ổ 1ử ữ ữ; a f (x) = 3x - 4, A = ỗ ỗ ỗ ữ ố0 3ứ ổ 2ử ữ ỗ f (x) = x 2x + 3, A = ữ; b ỗ ỗ ữ ố3 - 1ứ ổ - 3ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ c f (x) = 3x - 2x + 5, A = ỗ2 - 1ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ3 - 2ứ ố ổ ổ3 1 - 0ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ A = ữ B = ữ Bi 4: Cho hai ma trn , ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố5 ứ ố- - 3ứ a Lp cỏc ma trn A + B, A - B, A + 5B, A - B b Tỡm ma trn X cho 3( X + A + B ) = X + A - 2.B c Tỡm cỏc ma trn A.B; B.A Bi 5: Thc hin phộp cng cỏc ma trn v nhõn ma trn vi mt s ổ ổ ổ - 1ử 3ử 3ử ữ ữ ữ ữ- 2ỗ ữ+ ỗ ữ a ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ố - 1ứ ố4 6ứ ố8 15ứ ổ ổ ổ7 - 3ử - - 7ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ + ữ + ữ b ỗ4 6ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ố ữ ố ữ ỗ7 9ứ ỗ- - 1ứ ỗ1 - ứ ố ổ - 1ử ữ ữ Bi 6: A.AT , vi A = ỗ ỗ ỗ ữ ố2 1 ứ Bi 7: Tớnh AB BA bit: ổ a A = ỗ ỗ ỗ ố1 ổ 2ử 0ử ữ ữ ữ, B = ỗ ữ; ỗ ỗ ữ ữ 6ứ ố2 - 2ứ ổ2 ổ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ A = 1 ữ , B = ữ b ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ3 - 4ứ ố - 1ứ ố Bi 8: Tỡm ma trn chuyn v ổ3 12 - 9ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ a ỗ- - 3ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố9 - 1 ứ ổ2 - 3ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ b ỗ- - 3ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố0 - 1 ứ ổ - 6ữ ỗ ữ ỗ ữ - 1ữ c ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ 8ữ ố3 ứ ổ - 0ữ ỗ ữ ỗ - 3ữ ữ d ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố5 ữ ứ 1.2 nh thc 1.2.1 Khỏi nim nh thc ộa11 a12 a1n ự ỳ ờa 21 a 22 a 2n ỳ ỳ Xột phn t aij ca A, b Cho ma trn vuụng cp n: A = ờ ỳ ỳ ờa ỳ a a nn ỷ n1 n2 i dũng i v ct j ca A ta c ma trn vuụng cp n -1, ký hiu Mij: gi l ma trn con ng vi phn t aij (i,j = 1, 2, 3, , n) ộa11 a12 ờa 21 a 22 A = Vớ d 1: ờa 31 a 32 a13 ự ỳ a 23 ỳ Tỡm cỏc ma trn ng vi cỏc phn t ca A ỳ a 33 ỳ ỷ Gii: Cỏc ma trn ng vi cỏc phn t ca A l ộa M11 = 22 ờa 32 ộa ộa a 23 ự a ự a ự ỳ;M12 = 21 23 ỳ; M13 = 21 22 ỳ ờa 31 a 33 ỳ ờa 31 a 32 ỳ a 33 ỳ ỷ ỷ ỷ ộa M 21 = 12 ờa 32 ộa ộa a13 ự a ự a ự ỳ;M 22 = 11 13 ỳ; M 23 = 11 12 ỳ ờa 31 a 33 ỳ ờa 31 a 32 ỳ a 33 ỳ ỷ ỷ ỷ ộa M 31 = 12 ờa 22 ộa ộa a13 ự a ự a ự ỳ;M32 = 11 13 ỳ; M 33 = 11 12 ỳ ờa 21 a 23 ỳ a 23 ỳ ởa 21 a 22 ỳ ỷ ỷ ỷ ộa11 a12 ờa 21 a 22 nh ngha 1: Cho mt ma trn A vuụng cp n: A = ờ ờa n1 a n2 a1n ự ỳ a 2n ỳ ỳ ỳ ỳ a nn ỳ ỷ nh thc ca A, ký hiu det(A) hoc A c nh ngha nh sau: * nh thc cp 1: A = [a11] thỡ det(A) = a11 ộa11 a12 ự a a ỳthỡ det(A) = 11 12 = a11a 22 - a12a 21 * nh thc cp 2: A = ờ a 21 a 22 ởa 21 a 22 ỳ ỷ Vớ d 2: Tớnh nh thc D = Gii: Ta cú D = 14 =1.14 - 6.2 = 14 x2 Vớ d 3: Gii phng trỡnh: 25 =0 Gii: x2 Ta cú 25 = 4x - 25.9 Do ú phng trỡnh ó cho cú dng: 4x - 25.9 = x = 25.9 15 x= * nh thc cp 3: a11 a12 det A = a 21 a 22 a 31 a 32 a13 a 23 = a 33 = a11.a 22 a 33 + a12 a 23.a 31 + a13.a 21.a 32 - a13.a 22 a 31 - a12 a 21.a 33 - a11.a 23.a 32 Quy tc Sarrus: nh thc cp cú s hng, m mi s hng l tớch ca phn t m mi dũng, mi ct ch cú mt i biu nht * Cỏc s hng mang du cng: cỏc s hng m cỏc phn t nm trờn ng chộo chớnh hoc cỏc phn t nm trờn cỏc nh ca tam giỏc cú nh cú mt cnh song song vi ng chộo chớnh * Cỏc s hng mang du tr: cỏc s hng m cỏc phn t nm trờn ng chộo ph hoc cỏc phn t nm trờn cỏc nh ca tam giỏc cú nh cú mt cnh song song vi ng chộo ph. nh quy tc tớnh nh thc cp 3, ngi ta thng dựng quy tc Sarrus sau: Du + Du - T quy tc Sarrus trờn, chỳng ta cũn mt quy tc khỏc tớnh nhanh nh thc cp 3: ghộp thờm ct th nht v ct th hai vo bờn phi nh thc hoc ghộp thờm dũng th nht v dũng th hai xung bờn di nh thc ri nhõn cỏc phn t trờn cỏc ng chộo nh quy tc th hin trờn hỡnh: Du - Du + a1 a2 a3 a1 a2 b1 b Du b3 - b1 b2+ Du c1 c2 c3 c1 c2 - Vớ d 4: Tớnh nh thc D = 2 - Gii: Ta cú = 1.0.1 + (-2).1.2 + 3.2.(-2) 3.0.2 (-2).2.1 1.1.(-2) = -10 x2 Vớ d 5: Gii phng trỡnh x 1 =0 Gii: x2 Ta cú x 1 = x - 3x + Do ú PT x - 3x + = ộx =1 ởx = nh thc cp n (n ): n det(A) = j=1 a ij (- 1)i+ j det(M ij ) (vi i bt k) (Khai trin nh thc theo dũng i) n hoc det(A) = i=1 a ij (- 1)i+ j det(M ij ) (vi j bt k) (Khai trin nh thc theo ct j) 2011 2010 x Vớ d 6: Gii phng trỡnh : 2009 2008 2011 2010 x Gii: t D = 2009 2008 x2 D = 2011.(- 1)1+1 0 x =0 1 0 x Khai trin nh thc theo dũng 1: 1 x x2 1 = 2011 x 1 Dựng nh ngha nh thc cp ba, thu c ộx =1 D = 2011(x - 3x + 2) Khi ú PT x - 3x + = ởx = 1.2.2 Tớnh cht ca nh thc A =[aij]n x n vi n = det(A) Dũng i ca nh thc c gi l tng ca dũng nu: ( a i1 a i2 a ij a in ) = ( bi1 bi2 bij bin ) +( ci1 ci2 cij cin ) ;a ij = bij + cij (" j =1,n) Dũng i l t hp hp tuyn tớnh ca cỏc dũng khỏc nu n a ij = a k a kj ( " j =1,n) k =1 kạ i n Ký hiu di = a k d k k =1 kạ i ; dk = (ak1 ak2 akn) Tớnh cht 1: (Tớnh cht chuyn v) nh thc ca ma trn vuụng bng nh thc ca ma trn chuyn v ca nú: det(AT) = det(A) ộa bự ỳ CMR det(AT) =det(A) Vớ d 1: Cho A = ờ ởc d ỳ ỷ Gii: Ta cú det(A) = a b a c = ad - bc Suy pcm = ad- bc v det(AT) = c d b d Chỳ ý: T tớnh cht chuyn v, mi tớnh cht ca nh thc ỳng cho dũng thỡ cng ỳng cho ct v ngc li Do ú, cỏc tớnh cht ca nh thc, ch phỏt biu cho cỏc dũng, cỏc tớnh cht ú gi nguyờn giỏ tr thay ch "dũng" bng ch "ct" Tớnh cht 2: (Tớnh phn xng) i ch hai dũng cho v gi nguyờn v trớ cỏc dũng cũn li thỡ nh thc i du Vớ d 2: So sỏnh hai nh thc: D = a b c d ' v D = c d a b Gii: Ta cú D = ad bc v D= bc- ad = -D H qu 1: Mt nh thc cú hai dũng ging thỡ bng khụng Chng minh Gi nh thc cú hai hng nh l n i ch hai hng ú ta c, theo tớnh cht ta cú n = - n n = n = Tớnh cht 3: (Tớnh thun nht) 10 Bc Gii h phng trỡnh 'Q = 4Q1 + 1300 3Q = Q = 250 ' Q = 6Q + 1350 3Q1 = Q = 100 Bc Kim tra iu kin a 11 = 'Q' Q = 4; a 22 = 'Q' Q = 6; a 12 = a 21 = 'Q' Q = 1 Xột ma trn D = hm s 2 = 15 > v a11 = - < nờn M l im cc i ca Bc Kt lun Doanh nghip cn bỏn hng vi mc sn lng cho mi sn phm v giỏ c tng ng l: Q1 = 250; p1 = 1050 Q2 = 100; p2 = 1150 Thỡ thu c li nhun ti a l (250,100) = 230000 5.3.2 Cc tr cú iu kin 5.3.2.1 nh ngha: Ta núi hm s z = f(x,y) (1) t cc i( hay cc tiu) ti M0(x0,y0) vi iu kin (x,y) = b (2) nu (M0) = b v vi mi M mt lõn cn no ú ca M0 tha (*) ,ta cú: f(M) < f(M0) ( hay f(M) > f(M0) ) Hm s f(x,y) t cc tr vi iu kin (*) ti M nu nú t cc i( hoc cc tiu ) cú iu kin ti M0 5.3.2.2 iu kin cn: T (1) v (2) lp hm lagrange L = L(x,y, ) = f(x,y) + [b - (x,y)] (3) Tt c (x,y) tho (2), tc l ch xột vi cỏc cp bin chn bin thiờn ó b thu hp bi iu kin (2) thỡ z ng nht vi L Cú th chng minh c rng nu (1) vi iu kin (2) t cc tr ti (x 0,y0) thỡ tn ti cho vi b ba s thc = 0, x = x0, y = y0 tho h phng trỡnh: i) L ' = b ( x, y ) = L 'x = f x '( x, y ) x '( x, y ) = L ' = f '( x, y ) '( x, y ) = y y y (4) Nh vy iu kin cn hm (1) t cc tr vi iu kin (2) quy v iu kin cn hm s lagrange t cc tr vụ iu kin 5.3.2.3 iu kin : Gi s (x0, y0, 0) l mt im dng ca hm Lagrange tc l mt nghim ca h (4) Xột nh thc 112 H = L11 L12 L 21 L 22 j) Trong ú: = x, = y, L11 = Lxx, L12 = L21 = Lxy, L22 = Lyy c tớnh x = x 0, y = y0, = nh lý: Nu H >0 ( hay Vy hm s ó cho t cc i ti M0(8,14) zmax = z(8,14) = 128 Vớ d 2: Tỡm cc tr ca hm s z = x2 + y2 vi iu kin x + y = t = x + y Lp hm lagrgange L = x2 + y2 + (4 x y ) L ' = x y = Ta cú: L 'x = x = Gii h ta c mt im dng nht M(2,2) L ' = y = y ng vi = Ti M(2,2) ta cú: = 1; = 1; L11 = Lxx(2,2) = L22 = 2; L12 = L21 = Lxy(2,2)= 0 Khi ú H = 1 = -4 < Vy hm s ó cho t cc tiu ti M(2,2) zmin = z(2,2) = 5.3.2.4 ng dng cc tr cú iu kin Vớ d 1: Cho hm li ớch tiờu dựng ca hng húa: U = x 0, y 0, (x l s n v hng húa 1, y l s n v hng húa 2; x>0, y>0) 113 Gi s giỏ cỏc mt hng tng ng l 2USD, 3USD v thu nhp dnh cho ngi tiờu dựng l 130USD Hóy xỏc nh lng cu i vi mi mt hng ngi tiờu dựng thu c li ớch ti a Gii: Bc Tỡm cc i hm s U vi iu kin 2x + 3y = 130 Bc Lp hm Lagrange: L = x 0, y 0, + (130 2x 3y) Bc Gii h phng trỡnh: , , x y = L x = x = 40 ' , , 10 = y = 60 L y = x y ' 0,6 L = x + 3y = 130 = ' Bc Kim tra iu kin g = g 'x = 2; g = g 'y = L''xx = 0,24 x 1, y , L11 = 0,24.40 1, 6.60 0, < L''yy = 0,24 x , y 1, L 22 = 0,24.40 0, 4.60 1, < L''yy = 0,24 x , y , L12 = L 21 = 0,24.40 0, 6.60 0, > 3 2 Xột ma trn H = L 11 L 12 , ta cú H2 = H = L 11 L 12 L 21 L 22 L 21 L 22 v det(H2 ) = det(H) = L 11 L 12 > Vỡ vy M(40; 60) l im cc i ca L 21 L 22 hm s Bc Kt lun Ngi tiờu dựng cn mua cỏc mt hng vi s lng tng ng l 40 v 60 thu c li ớch ti a l U(40 60) = 40 0, 4.60 0,6 Vớ d 2: Mt doanh nghip cú hm sn xut: Q = K 0, L0,3 (Q sn lng, K vn, L lao ng) a) Hóy ỏnh giỏ hiu qu ca vic tng quy mụ sn xut b) Gi s giỏ thuờ t bn l 4USD, giỏ thuờ lao ng l 3USD v doanh nghip tin hnh sn xut vi ngõn sỏch c nh l 1050USD Hóy cho bit danh nghip ú s dng bao nhiờu n v t bn v bao nhiờu n v lao ng thỡ thu c sn lng ti a 114 Gii: a) Hm Q = K 0, L0,3 l hm thun nht bc k = 0,3 + 0,4 = 0,7