Mô hình toán kinh tế

Phần 2: Mơ Hình Tốn Kinh Tế Kiểm tra ĐSTT (45’) Bài 1: Giải hệ phương trình 2 x1 − x2 + x3 + x4 6 x1 − 3x2 + x3 + x4 6 x − x + x + x Bài 2: Xác định hạng  sở hệ vectơ sau: − x + x3 4 xX3=(1,-2,-5,4); X4=(3,2,1,2); + x4 {X1=(1,2,4,0); X2=(2,0,-1,4); + 3x5 + x5 + 14 x5 + x5 =2 =3 =9 =2 X5=(-1,-2,-2,2)} Bài 3: Giải phương trình ma trận Bài 4: Tính định thức cấp n biết aij = min{i,j}   2  X.  = 1 − 2 − − 3 6      Chương 1: Giới thiệu mơ hình tốn kinh tế I Khái niệm mơ hình kinh tế mơ hình tốn kinh tế: Mơ hình hinh tế: Mơ hình đối tượng phản ánh thực khách quan đối tượng ; hình dung, tưởng tượng đối tượng ý nghĩ người nghiên cứu việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý nghĩ lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ,… ngơn ngữ chun ngành Mơ hình đối tượng lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi mô hình kinh tế Mơ hình tốn kinh tế: Mơ hình tốn kinh tế mơ hình kinh tế trình bày ngơn ngữ tốn học VD: Giả sử muốn nghiên cứu, phân tích q trình hình thành giá loại hàng hoá A thị trường giả định yếu tố khác điều kiện sản xuất hàng hoá A, thu nhập, sở thích người tiêu dùng cho trước khơng thay đổi Mơ hình lời: Xét thị trường hàng hố A, nơi người bán, người mua gặp xuất mức giá ban đầu Với mức giá đó, lượng hàng hố người bán muốn bán gọi mức cung, lượng hàng hoá người mua muốn mua gọi mức cầu Nếu cung lớn cầu giá phải giảm, cầu lớn cung mức giá cao hình thành Với mức giá mới, xuất mức cung, cầu Quá trình tiếp diễn cung cầu mức giá gọi giá cân Mơ hình tốn kinh tế: Gọi S, D đường cung, đường cầu tương ứng Ứng với mức giá p ta có: S = S(p) hàm tăng theo p, tức S’(p) = dS/dp > D = D(p) hàm giảm theo p tức D’(p) = dD/dp < Tình cân thị trường có nếu: S = D Mơ hình cân thị trường kí hiệu MHIA là: S = S(p) S’(p) = dS/dp > D = D(p) D’(p) = dD/dp < S=D Khi muốn đề cập tới tác động thu nhập (M), thuế (T) tới q trình hình thành giá ta có mơ hình MHIB có dạng: S = S(p, T) ∂ S/∂ p > D = D(p, M, T) ∂ D/∂ p < S=D II Cấu trúc mơ hình tốn kinh tế: Các biến số mơ hình: Khi nghiên cứu mơ hình kinh tế, để đưa mơ hình tốn kinh tế, cần phải xem xét tượng, vấn đề cần nghiên cứu, lựa chọn số yếu tố đặc trung lượng hố chúng Các yếu tố biến số mơ hình xây dựng phân loại sau: a Biến ngoại sinh ( cịn gọi biến độc lập, biến giải thích): biến độc lập với biến khác mơ hình giá trị chúng xem tồn bên ngồi mơ hình VD: Trong mơ hình MHIB, biến M, T có giá trị khơng phụ thuộc vào biến khác gọi biến ngoại sinh b.Biến nội sinh (biến phụ thuộc, biến giải thích) biến phản ánh, thể trực tiếp kiện, tượng kinh tế giá trị chúng phụ thuộc vào giá trị biến khác mơ hình VD:Trong mơ hình MHIA biến S, D, p biến nội sinh c Các tham số kinh tế: biến số thể đặc trưng tương đối ổn định tượng vấn đề kinh tế nghiên cứu Các tham số mơ hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng biến tới biến nội sinh β γ VD: Trong mơ hình MHIB ta có S =α p T , biến số α , β , γ tham số mơ hình VD 2: Cho tốn f(x) = -2x1 -6x2 + 8x3 – 5x4 ⇒ x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = (1) -2x1 + x2 + x3 – 5x4 ≤ (2) 4x1 + 7x2 -8x3 +2x4 ≥ 20 (3) xj ≥ (j =1,2,3,4 ) vectơ x = (8, 0, 0, 0) a Chứng tỏ x phương án cực biên, lợi dụng x giải toán phương pháp đơn hình b Tìm phương án có trị số f(x)=-50 Giải: Vectơ x thoả mãn ràng buộc toán, thoả mãn chặt ràng buộc (1) ràng buộc dấu, ràng buộc đltt nên x PACB toán Đưa toán dạng tắc: f(x) = -2x1 - 6x2 + 8x3 – 5x4 ⇒ x1 + 2x2 – 3x3 + x4 -2x1 + =8 x2 + x3 – 5x4 + x5 4x1 + 7x2 - 8x3 + 2x4 =2 - x6 = 20 xj ≥ (j = 1, 2, …, 6) PACB tương ứng  x = (8, 0, 0, 0, 18, 12) sở {A1, A5, A6} Đây sở đơn vị Để lập bảng đơn hình ta phải biến đổi ma trận mở rộng A V Tìm phương án cực biên: Xét tốn dạng tắc: n f(x) = ∑ c jx j ⇒ j =1 n ∑ a i jx j = bi (i = 1, m) j =1 x j≥ 0(j = 1, n ) Không làm tính tổng qt giả thiết bi ≥ (∀ i = 1, 2, …, m) Từ toán cho xây dựng toán phụ, ký hiệu P cách cộng vào vế trái phương g trình ràng buộc i biến giả x i (i = 1, 2, …, m) với hàm mục tiêu tổng biến giả thêm vào hàm mục tiêu phải đạt cực tiểu g g g g m Ký hiệu x = (x 1, x 2, …, x m) ∈ R vectơ biến giả hàm mục tiêu toán phụ g P(x, x ) Khi tốn phụ có dạng: m P(x, x ) = ∑ g n ∑ a i jx j + j =1 Nhận xét: g xi i =1 g xi = ⇒ bi (i = 1, m) x j ≥ 0(j = 1, n ), x ig ≥ 0(i = 1, m) +) x PA toán xuất phát g (x, x = 0) PA toán phụ P Do x PACB tốn xuất phát g (x, x = 0) PACB toán P g +) Bài tốn P có dạng chuẩn P(x, x ) ≥ 0, ∀ g PA (x, x ) nên toán P giải g Từ nhận xét ta thấy (x, x = 0) PATƯ tốn P Việc tìm PACB tốn xuất phát dẫn tới việc giải toán P Dùng thuật toán đơn hình giải tốn P tìm phương án tối ưu Có trường hợp xảy ra: g ( x, x ) g P( x , x ) = Pmin TH1: Pmin > Khi tốn xuất phát khơng có phương án TH 2: Pmin = Khi dạng = (i = 1, 2, , m), x g i g PACB toán ( x, x thể xảy ra: = 0) Hai khả có xuất phát = 0, PATƯ có x x g a Trong sở phương án cực biên tối ưu khơng có vectơ tương ứng với biến giả Khi sở PACB g (của 0) P sở PACB x x, x = toán g ( x, x = 0) toán xuất phát Để có bảng đơn hình tương ứng cần tính lại hàng ước lượng ∆ k theo hàm f tiếp tục thuật toán b Trong sở phương án cực biên tối ưu g có vectơ biến giả, thành ( x , x = 0) phần tương ứng suy biến , phươngg cực biên án x i =0 Để tiếp tục tính tốn trước hết ta loại cột g ứng với ∆ j(P) < ( cột x i phi sở), sau tính lại ước lượng ∆ k theo theo hàm f tiếp tục thuật toán Khi giải toán P cần ý số đặc điểm sau: • • • Khi xây dựng toán phụ cộng thêm biến giả vào phương trình cần thiết (nhằm tạo ma trận điều kiện tốn phụ có đủ m vectơ đơn vị ) Một biến giả bị loại khỏi sở cột tương ứng khơng cần tính bước Chỉ áp dụng công thức đổi sở cho hàng ước lượng hai bảng có tên hàm mục tiêu Trong trình giải toán P, bước điều chỉnh mà tất biến giả bị loại khỏi sở kết thúc việc giải tốn P, tính lại dịng ước lương ∆ k theo hàm f tiếp tục thuật toán VD 1: Giải tốn sau phương pháp đơn hình: f(x) = 3x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 ⇒ 2x1 + 2x2 + x4 x1 + 5x2 + 3x3 – 2x4 = 28 ≤ 31 2x1 – 2x2 + 2x3 + x4 = 16 xj ≥ (j = 1, 2, 3, 4) Giải: Sau đưa dạng tắc, ta thấy khơng phải dạng chuẩn nên thành lập toán phụ: g g g P(x, x ) = x + x ⇒ g 2x1 + 2x2 + x4 + x = 28 x1 + 5x2 + 3x3 – 2x4 + x5 = 31 g 2x1 – 2x2 + 2x3 + x4 + x = 16 g xj ≥ (j = 1, 2, …, 5), x ≥ CM: Lấy phương án x bất kỳ, giả sử p thành phần đầu x dương, tức xj≥ (j =1, 2, …, p), suy xp+1 = 0, xp+2 = 0,…, xn = Lập ma trận tương ứng với ràng buộc chặt phương án x, ký hiệu C:  a 11 a 12 a 1p a 1p+1 a 1p+ a a 22 a p a p+1 a p+  21 C =  p  a m1 a m a mp a mp+1 a mp+  0  0 0  = n-p+ hạng P Phương án x cực biên Hạng C  n, hạng C = tức hạng P= p, nói  cách khác 0  0 a 1n a n a mn độc lập tuyến tính {A j , x j > 0} {A j , j = 1, , p} độc lập tuyến tính hay             ... văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ,… ngơn ngữ chun ngành Mơ hình đối tượng lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi mơ hình kinh tế Mơ hình tốn kinh tế: Mơ hình tốn kinh tế mơ hình kinh tế trình bày ngơn ngữ...  Chương 1: Giới thiệu mơ hình tốn kinh tế I Khái niệm mơ hình kinh tế mơ hình tốn kinh tế: Mơ hình hinh tế: Mơ hình đối tượng phản ánh thực khách quan đối tượng ; hình dung, tưởng tượng đối... p > D = D(p, M, T) ∂ D/∂ p < S=D II Cấu trúc mơ hình tốn kinh tế: Các biến số mơ hình: Khi nghiên cứu mơ hình kinh tế, để đưa mơ hình tốn kinh tế, cần phải xem xét tượng, vấn đề cần nghiên cứu,