Mô hình toán kinh tế

Các biến số của mô hình: Khi nghiên cứu một mô hình kinh tế, để đưa ra môhình toán kinh tế, chúng ta cần phải xem xét hiện tượng, vấn đề cần nghiên cứu, lựa chọn một số yếu tố đặc trung

Phần 2: Mô Hình Toán Kinh Tế

Ki ểm tra ĐSTT (45’) Bài 1: Giải hệ phương trình

Bài 2: Xác định hạng và chỉ ra một cơ sở của hệ vectơ sau: {X 1 =(1,2,4,0); X 2 =(2,0,-1,4); X 3 =(1,-2,-5,4); X 4 =(3,2,1,2);

X 5 =(-1,-2,-2,2)}

Bài 3: Giải phương trình ma trận

Bài 4: Tính định thức cấp n biết a ij = min{i,j}

2 4

9 14

8 3

3 6

3 5

4 2

3 6

2 3

2 2

5 4

3 2

1

5 4

3 2

1

5 4

3 2

1

5 4

3 2

1

x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x x

2 3

1

2 0 3

2 3 41

X.

Chương 1: Giới thiệu các mô hình toán kinh tế

I Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế:

1 Mô hình hinh tế:

Mô hình của một đối tượng là sự phản ánh hiện

thực khách quan của đối tượng ; sự hình dung,

tưởng tượng đối tượng đó bằng ý nghĩ của người

nghiên cứu và việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý

nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ,…

hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành.

Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt

động kinh tế gọi là mô hình kinh tế

2 Mô hình toán kinh tế:

Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trìnhbày bằng ngôn ngữ toán học

VD:

Giả sử chúng ta muốn nghiên cứu, phân tích

quá trình hình thành giá cả của một loại hàng hoá

A trên thị trường và giả định các yếu tố khác nhưđiều kiện sản xuất hàng hoá A, thu nhập, sở thíchcủa người tiêu dùng đã cho trước và không thayđổi

một mức giá cao hơn được hình thành Với mức giá mới, xuất hiện mức cung, cầu mới Quá trình tiếp diễn khi cung bằng cầu ở một mức giá gọi là giá cân bằng.

Mô hình toán kinh tế:

Gọi S, D là đường cung, đường cầu tương ứng.

Ứng với từng mức giá p ta có:

S = S(p) là hàm tăng theo p, tức là S’(p) = dS/dp > 0

D = D(p) là hàm giảm theo p tức là D’(p) = dD/dp < 0 Tình huống cân bằng thị trường sẽ có nếu: S = D

Mô hình cân bằng thị trường kí hiệu MHIA là:

S = S(p) S’(p) = dS/dp > 0

D = D(p) D’(p) = dD/dp < 0

S = D

Khi muốn đề cập tới tác động của thu nhập (M),thuế (T) tới quá trình hình thành giá ta có mô

hình MHIB có dạng:

S = S(p, T) S/p > 0

D = D(p, M, T) D/p < 0

S = D

II Cấu trúc mô hình toán kinh tế:

1 Các biến số của mô hình:

Khi nghiên cứu một mô hình kinh tế, để đưa ra môhình toán kinh tế, chúng ta cần phải xem xét hiện

tượng, vấn đề cần nghiên cứu, lựa chọn một số yếu

tố đặc trung cơ bản của nó và lượng hoá chúng

Các yếu tố đó chính là các biến số trong mô hìnhchúng ta đang xây dựng và được phân loại như sau:

giải thích):

là các biến độc lập với các biến khác trong mô hình

giá trị của chúng được xem là tồn tại bên ngoài mô

hình

VD: Trong mô hình MHIB, các biến M, T có giá trị

không phụ thuộc vào các biến khác do đó được gọi là

các biến ngoại sinh.

b.Biến nội sinh (biến phụ thuộc, biến được giải thích)

là các biến phản ánh, thể hiện trực tiếp sự kiện, hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc vào giá trị

của các biến khác trong mô hình

VD:Trong mô hình MHIA các biến S, D, p là các biến

nội sinh

c Các tham số kinh tế: là các biến số thể hiện

các đặc trưng tương đối ổn định của hiện tượnghoặc vấn đề kinh tế đang nghiên cứu

Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng,mức độ ảnh hưởng của các biến tới biến nội sinh

VD: Trong mô hình MHIB ta có S =pT, khi đó

các biến số , ,  là các tham số của mô hình

2 Mối liên hệ giữa các biến số - Các phương trình của mô hình.

hiện quan hệ định nghĩa giữa các biến số hoặc giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình.

VD: LN = TR – TC

Trong mô hình MHIA, các phương trình

S’(p) = dS/dp, D’(p) = dD/ds

là các phương trình định nghĩa.

+ Phương trình hành vi: là phương trình mô tảquan hệ giữa các biến do tác động của các quyluật hoặc do giả định.

Từ phương trình hành vi ta có thể biết được sựbiến động của các biến nội sinh khi các biến khácthay đổi

VD: Trong mô hình MHIA các phương trình

S = S(p), D = D(p) là các phương trình hành vi vìchúng thể hiện phản ánh của người sản xuất vàngười tiêu dùng trước sự thay đổi của giá cả

+ Phương trình điều kiện: Phương trình mô tả

quan hệ giữa các biến số trong các tình huống cóđiều kiện mà mô hình đề cập

VD: Tong mô hình MHIA, phuơng trình S = D là

phương trình điều kiện vì nó thể hiện điều kiện cânbằng của thị trường

Chương 2: Mô Hình Tối Ưu Tuyến Tính –

Quy Hoạch Tuyến Tính

I Một số tình huống trong hoạt động kinh tế và

mô hình bài toán QHTT tương ứng

Tình huống: Một công ty đầu tư định dùng khoản

quỹ đầu tư 500.000 triệu đồng để mua một số cổ

phiếu trên thị trường chứng khoán Công ty đưa racác giới hạn trên của số tiền mua từng loại chứng

khoán Bảng dưới đây cho các số liệu về các giới

hạn này cũng như lãi suất của các chứng khoán

Loại chứng

khoán Lãi suất (trung bình) Giới hạn mua

ABCD

Ngoài ra cũng để ngăn ngừa rủi ro trong đầu tư,

công ty còn quy định khoản đầu tư vào loại cổ phiếu

tư thực hiện

Hãy xác định số tiền công ty mua từng loại cổ phiếusao cho không vượt quá khoản dự kiến ban đầu, đảmbảo đòi hỏi về đa dạng hoá đồng thời đạt mức lãi

(trung bình) cao nhất

Mô hình hoá:

Gọi xA, xB, xC, xD là các khoản tiền quỹ đầu tư dùng

để mua các loại chứng khoán A, B, C, D

VD 2: Bài toán vận tải

Tình huống: Công ty kinh doanh xăng dầu khu vực

Z hàng tuần cung ứng xăng dầu cho 3 trạm bán lẻ

A, B, C Công ty có thể đưa xăng từ tổng kho I và II

Dự trù cung ứng xăng cho các trạm của kho I là 20tấn, kho II là 40 tấn Chi phí cho việc cung ứng xăng

từ kho đến các trạm được cho trong bảng dưới đây:

Đơn vị: Nghìn đồng/tấn

Trạm

Nhu cầu tiêu thụ xăng hàng tuần của 3 trạm lần

lượt là 20, 15, 15 (tấn) Công ty cần lập kế hoạchcung ứng xăng từ dự trù của các kho đến các trạm

để đảm bảo đủ nhu cầu của các trạm với tổng chi phí là nhỏ nhất

Do tổng xăng dầu chuyển từ mỗi kho đến các trạm

không thể vượt quá dự trù cung ứng của các kho

nên:

II Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát và các dạng đặc

x c )

x (

1 j

1 i

j j

i x b (i I ) a

2 i

j j

i x b (i I ) a







 n

1 j

3 i

j j

i x b (i I ) a

+ Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu, mỗi phương trình

hoặc bất phương trình trong hệ điều kiện (2) gọi làmột ràng buộc

Trong hệ ràng buộc (2) có thể có những ràng buộcdạng đặc biệt: xj  0 hay xj ≤ 0, gọi là các ràng buộcdấu đối với biến xj

+ Ứng với ràng buộc thứ i (iI) ta kí hiệu A*i là vectơdòng có các thành phần là các hệ số aij của biến xj+ Một nhóm ràng buộc có hệ vectơ A*i tương ứng

độc lập tuyến tính được gọi là các ràng buộc độc

lập tuyến tính

Trong hệ (2), xét các ràng buộc không phải ràngbuộc dấu, hệ vectơ A*i tương ứng với các ràngbuộc này sẽ tạo thành một ma trận, kí hiệu A Matrận A có n cột, vectơ cột thứ j – kí hiệu là Aj.

VD: Xác định x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) sao cho: f(x) = 3x 1 +x 2 -5x 3 + 2x 4 + x 5  min

Phương án:

Một vectơ x thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toángọi là một phương án

Phương án tối ưu:

Một phương án mà tại đó trị số hàm mục tiêu đạtcực tiểu (hoặc cực đại) gọi là phương án tối ưu

Một bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi

là bài toán giải được, một bài toán không có phương

án tối ưu gọi là bài toán không giải được.

+ Nếu đối với phương án x mà ràng buộc i thoả mãnvới dấu đẳng thức, nghĩa là

thì ta nói phương án x thoả mãn chặt ràng buộc i hayràng buộc i là chặt đối với phương án x

+ Nếu đối với p.án x mà ràng buộc i thỏa mãn với

dấu bất đẳng thức thực sự nghĩa là

thì ta nói phương án x thoả mãn lỏng ràng buộc i

hay ràng buộc i là lỏng đối với phương án x

a

) b ( b x

Phương án cực biên thoả mãn chặt đúng n ràngbuộc gọi là phương án cực biên không suy biến,

thoả mãn chặt hơn n ràng buộc gọi là phương án

cực biên suy biến

Dùng đồ thị để biểu diễn tập phương án:

x c )

x (

0

x

) m 1, (i

b

x a j

n

1 j

i j

j i

)n1,0(j

x

bA

xj

n

1 j

j j

xc)

x(

Mệnh đề: Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài toán dạng chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau và từ phương án tối ưu của bài toán này

suy ra phương án tối ưu của bài toán kia.

Thật vậy:

+ Nếu xj ≤ 0 thì đặt tj = -xj suy ra tj  0

Còn nếu biến số xj không có ràng buộc dấu thì ta đặt

xj = với

+ Nếu một ràng buộc có dạng:

,, j

,

x 

0 x

,

x,j j,, 

 



n 1

b x

a



n 1

p i j

ijx x b

p i

x



n 1

j ij j i

b x

a



n 1

p i j

ijx x b

p i

b Bài toán dạng chuẩn:

Một lớp quan trọng của bài toán dạng chính tắc làbài toán dưới đây gọi là bài toán dạng chuẩn:

x c )

x (

,0b

),n,1j

(0

x j   i  

III Các tính chất chung:

Tính chất 1: Sự tồn tại phương án cực biên:

Nếu bài toán có phương án và hạng của ma trận hệ

ràng buộc bằng n thì bài toán có phương án cực biên

Tính chất 2: Sự tồn tại phương án tối ưu:

Nếu bài toán có phương án và trị số hàm mục tiêu bị

chặn dưới (trên) tập phương án thì bài toán có phương

án tối ưu

Nếu btoán có PACB thì với đkiện trên btoán có PACB tối ưu.

Tính chất 3: Tính hữu hạn của số phương án cực biên

Số phương án cực biên của mọi bài toán quy hoạch

tuyến tính đều hữu hạn

IV Phương pháp đơn hình giải bài toán quy

hoạch tuyến tính:

1 Nội dung của phương pháp:

Xuất phát từ một phương án cực biên tìm cách

đánh giá phương án cực biên ấy, nếu nó chưa tối

ưu thì tìm cách chuyển sang một phương án cực biên mới tốt hơn , quá trình được lặp lại, vì số

phương án cực biên là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước hoặc sẽ kết luận bài toán không

giải được hoặc sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu.

Ta sẽ xét bài toán dạng chính tắc trong quá

trình giới thiệu phương pháp đơn hình.

2 Đặc điểm của phương án cực biên của bài

toán dạng chính tắc:

Định lý 1:

Phương án x của bài toán dạng chính tắc là

cực biên khi và chỉ khi hệ thống các vectơ A j

tương ứng với các thành phần dương của

Khi đó một PACB sẽ có không quá m thành phần dương PACB không suy biến có đúng m thành phần dương, PACB suy biến có ít hơn m thành phần dương.

3 Cơ sở của PACB của bài toán dạng chính tắc:

Ta gọi một hệ m vectơ A j  độc lập tuyến tính bao hàm hệ thống các vectơ tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên x là cơ sở

của phương án cực biên ấy.

Ký hiệu một cách quy ước là J, trong đó

J = {j: A j nằm trong cơ sở}

J, cần phải hiểu J có 3 nội dung:

- Số phần tử của J: │J│ = m

- {A j , jJ} độc lập tuyến tính

- {A j , j J}  {A j , x j >0}

Đối với PACB x =(x 1 , x 2 , …, x n ) cơ sở J ta gọi

A x A

x A

x A

x

Các vectơ Ak (kJ) cũng biểu diễn được qua cơ sở

J Gọi các hệ số phân tích của Ak là xjk tức là:

Ak =

Vectơ hệ số phân tích tương ứng là Xk

Ta xác định đại lượng k (kJ) bằng công thức sau

và gọi nó là ước lượng của biến xk theo cơ sở J Nóiriêng thì

0

4 Dấu hiệu tối ưu và định lý cơ bản của phương pháp đơn hình:

Dưới đây ta xét bài toán dạng chính tắc với hàmf(x)  min

(0

x0k    0



 0Jj

0 j

jx

0 J j

0 j





k k k

j 0

xA

x

) A x

( x A

x

0 J

k k j J0 jk j

j 0

0 j

x c

k 0

J

0 j

Theo giả thiết

, còn , suy ra

Định lý 3:

Nếu đối với phương án cực biên x0 cơ sở J0 củabài toán dạng chính tắc mà tồn tại một k > 0 thì cóthể cải tiến phương án để hoặc có thể tìm được

một dãy phương án trên đó trị số hàm mục tiêu

giảm vô hạn hoặc có thể chuyển sang một phương

án cực biên mới tốt hơn trong trường hợp bài toánkhông suy biến (nghĩa là bài toán mà mọi phương

án cực biên đều không suy biến )

Quan hệ giữa PACB và PA của bài toán:

Đối với PACB x 0 , cơ sở J 0 Với mỗi chỉ số kJ 0 xác định một vectơ z k – và gọi là phương z k có các toạ độ như sau:

Ta sẽ phân tích ảnh hưởng của phương z k

đối với hàm mục tiêu f(x).

1

k) j

, J (j

0

) J (j

x

0 jk

j k

Xét sự di chuyển theo phương z k , tức là xét các điểm có dạng x() = x 0 + z k với   0

θ

k) j

, J (j

0

) J (j

θ.x

x )

θ (

0 jk

j 0 j

TH 2:  x jk > 0, từ x 0j - .x jk  0 ứng với x jk > 0, suy ra  ≤ x 0j /x jk

Nếu  k > 0 thì f(x()) < f(x 0 ), khi đó z k gọi là

phương giảm, nếu  k < 0 thì z k gọi là phương tăng,  k = 0, z k là phương không đổi.

0 jk x





5 Thuật toán của phương pháp đơn hình:

Giả thiết bài toán dạng chính tắc, đã biết

một phương án cực biên x 0 , cơ sở J 0 , không làm mất tính tổng quát có thể giả thiết J 0 gồm

m vectơ đầu tiên: J 0 = 1, 2, …, m tức là cơ

sở gồm các vectơ {A 1 , A 2 , …, A m }

Thuật toán gồm các bước sau:

Bước 1: Lập bảng đơn hình ứng với PACB x 0

x 0 2

…

x 0 r

…

x 0 m

Bước 2: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu:

Nếu  k ≤ 0, kJ 0 thì x 0 là phương án tối ưu, nếu tồn tại một  k > 0 thì x 0 không phải là

phương án tối ưu, chuyển sang bước 3.

Bước 3: Kiểm tra tính không giải được của

bài toán:

Nếu tồn tại một  k > 0 mà x jk ≤ 0,  jJ 0 thì bài toán không giải được

Nếu với mỗi  k > 0 đều có ít nhất x jk > 0

chuyển sang bước 4.

Bước 4: Chọn vectơ đưa vào cơ sở và xác định

vectơ loại khỏi cơ sở.

Giả sử max k = s ( k >0) Vectơ A s được đưa vào

Thành lập một mẫu bảng đơn hình mới, ở vị trí

x r ghi x s và ghi c s thay cho c r Chuyển sang bước 5

js

j x

x



Bước 5: Biến đổi bảng: Tính các dòng của

bảng mới (bắt đầu từ cột thứ 3 trở đi) theo quy tắc sau

- Để tính dòng vectơ đưa vào (x s ) trong bảng mới ta lấy dòng vectơ loại ra (x r ) trong bảng

cũ chia cho phần tử trục Dòng này được gọi

là dòng chuẩn.

- Để tính dòng (x j ) trong bảng mới, ta lấy dòng (x j ) trong bảng cũ trừ đi dòng chuẩn sau khi nhân nó với x js

- Để tính dòng cuối trong bảng mới ta lấy dòng cuối của bảng cũ trừ đi dòng chuẩn sau khi nhân nó với  s

• Các chú ý khi áp dụng thuật toán

1) Đối với bài toán có hàm f(x)  max thì có thể chuyển về giải bài toán với hàm g(x) = - f(x)  min, chú ý là f max = - g min hoặc cũng có thể giải trực tiếp với dấu hiệu tối ưu là  k  0

2) Trường hợp bài toán suy biến thì  0 có thể bằng 0, khi  0 = 0 vẫn thực hiện thuật toán một cách bình thường, nghĩa là vectơ ứng với  0

vẫn bị loại khỏi cơ sở.

Nếu khi chọn vectơ đưa vào cơ sở hoặc đưa

ra khỏi cơ sở có nhiều vectơ thuộc diện lựa chọn thì ta tuỳ chọn một trong số đó.

3) Khi áp dụng thuật toán sẽ có 2 trường hợp xảy ra:

ngay một PACB x 0 , cơ sở J 0 là cơ sở đơn vị và

ta có thể áp dụng thuật toán đơn hình cho bài toán với PA này

đơn vị, ta phải biến đổi ma trận hệ số mở rộng [Ab] bằng các phép biến đổi sơ cấp trên

dòng của ma trận, đưa các vectơ cơ sở thành các vectơ đơn vị khác nhau Sau đó đưa toàn

bộ các phần tử trong ma trận mở rộng cuối

cùng vào trong bảng đơn hình và thực hiện

tiếp thuật toán.

VD 1: Giải bằng phương pháp đơn hình bài toán f(x) = 2x 1 + 3x 2 - x 3 - 1/2x 4  min

Bài toán có dạng chuẩn, các biến cô lập là x 1 ,

x 5 , x 6 nên phương án cực biên tương ứng x 0 =

(18, 0,0, 0, 8, 20), cơ cở là: {A 1 , A 5 , A 6 } ={E 1 , E 2 , E 3 },

VD 2: Cho bài toán

a Chứng tỏ x 0 là phương án cực biên, lợi dụng

x 0 giải bài toán bằng phương pháp đơn hình

b Tìm một phương án có trị số f(x)=-50.

Giải:

Vect ơ x 0 thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán, thoả mãn chặt ràng buộc (1) và 3 ràng buộc

dấu, các ràng buộc này đltt nên x 0 là PACB của bài toán.

Đưa bài toán về dạng chính tắc:

cơ sở {A 1 , A 5 , A 6 }

Đây không phải là cơ sở đơn vị Để lập bảng đơn hình ta phải biến đổi ma trận mở rộng A