bài giảng lý thuyết mô hình toán kinh tế

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ 1.1 Ý nghĩa phương pháp mơ hình 1.1.1 Phương pháp nghiên cứu 1.1.1.1 Phương pháp theo dõi, quan sát Con người từ xa xưa muốn tìm hiểu, khám phá tượng tự nhiên, họ biết quan sát, theo dõi ghi nhận tượng Kết theo dõi đúc kết kinh nghiệm lưu truyền cho hệ sau, phương pháp quan sát trực tiếp nghiên cứu Ví dụ: ni lợn ăn cơm nằm, ni tằm ăn cơm đứng; lúa chiêm lấp ló đầu đình, nghe tiếng sấm rền phất cờ lên; 1.1.1.2 Phương pháp tiến hành thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm sốt Đối với nhà khoa học, nghiên cứu tượng phức tạp muốn tìm hiểu tượng mà cịn muốn lợi dụng chúng phục vụ cho hoạt động phương pháp quan sát chưa đủ Trong trường hợp nghiên cứu đối tượng, nhà khoa học trực tiếp tác động vào đối tượng, sử dụng mơ hình tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) đối tượng, tiến hành thí nghiệm, trực tiếp tác động vào đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết để xác lậơ quy luật chi phối vận động đối tượng Đó Phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm sốt phương pháp nghiên cứu phổ biến khoa học tự nhiên kỹ thuật Tuy nhiên, nghiên cứu vấn đề, tượng kinh tế - xã hội, phương pháp thường khơng có hiệu vì: - Những vấn đề kinh tế vấn đề phức tạp - đặc biệt vấn đề đương đại, có nhiều mối liên hệ đan xen, chí tiềm ẩn mà khơng thể quan sát giải thích - Quy mơ, phạm vi liên quan vấn đề kinh tế đa dạng dùng phương pháp thử nghiệm đòi hỏi chi phí lớn thời gian, tiền bạc nhiều sai sót q trình thử nghiệm gây hậu to lớn, lường trước - Ngay có đủ điều kiện tiến hành thử nghiệm trình kinh tế kết thu tin cậy tượng kinh tế - xã hội gắn với hoạt động người 1.1.1.3 Phương pháp suy luận logic Để nghiên cứu vấn đề kinh tế người ta phải sử dụng phương pháp suy luận gián tiếp, đối tượng thực có liên quan tới tượng, vấn đề ta quan tâm nghiên cứu thay “hình ảnh” chúng: mơ hình đối tượng ta sử dụng mơ hình làm cơng cụ để phân tích suy luận phương pháp có tên gọi Phương pháp mơ hình (xây dựng, xác định mơ hình đối tượng Dùng mơ hình làm cơng cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu trình gọi phân tích mơ hình) 1.1.2 Ý nghĩa phương pháp mơ hình nghiên cứu kinh tế - Giảm thiểu hậu vấn đề Kinh tế - xã hội khơng tiến hành thực nghiệm, thí nghiệm khơng kiểm soát - Đưa kết tương đối xác để tác nhân kinh tế định thực 1.2 Khái niệm mơ hình kinh tế mơ hình tốn kinh tế 1.2.1 Mơ hình hóa đối tượng: Mơ hình đối tượng phản ánh thực khách quan đối tượng theo cách hình dung, tưởng tượng, suy nghĩ góc độ, mức độ người nghiên cứu Nó trình bày, thể hiện, diễn đạt lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ, biểu thức tốn học 1.2.2 Mơ hình kinh tế: Mơ hình đối tượng phản ánh thực khác quan đối tượng; hình dung, tưởng tưởng ý nghĩ người nghiên cứu việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý nghĩ lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ ngơn ngữ chun ngành Mơ hình đối tượng lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi mơ hình kinh tế 1.2.3 Mơ hình tốn kinh tế: Mơ hình tốn kinh tế mơ hình kinh tế trình bày ngơn ngữ tốn học Việc sử dụng ngơn ngữ tốn học tạo khả áp dụng phương pháp suy luận, phân tích tốn học kế thừa thành tưu lĩnh vực lĩnh vực khác có liên quan Đối với vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen chí tiềm ẩn mà ta cần nghiên cứu, phân tích khơng mặt định tính mà định lượng phương pháp suy luận giản đơn khơng thể giải Khi đó, cần sử dụng phương pháp suy luận tốn học Đây điểm mạnh mơ hình tốn kinh tế Ví dụ: Nghiên cứu, phân tích q trình hình thành giá loại hàng hoá A thị trường với giả định yếu tố khác điều kiện sản xuất hàng hoá A, thu thập, sở hữu, thích sở người tiêu dùng cho trước khơng thay đổi Vì đối tường liên quan tới vấn đề nghiên cứu thị trường hàng hoá A vận hành Chúng ta cần mơ hình đối hố tượng Mơ hình lời: Xét thị trường hàng hố A, nơi người bán người mua gặp nhau, xuất mức giá ban đầu Với mức giá đó, lượng hàng hố người bán muốn bán gọi mức cung, lượng hàng hoá người mua muốn mua gọi mức cầu + Nếu cung > cầu, người bán muốn bán nhiều hàng hoá nên phải giảm giá, hình thành mức giá thấp Do v ậy, xuất mức cung, cầu + Nếu cung < cầu, người mua muốn mua hàng hoá, họ sẵn sàng trả giá cao để mua được, nên mức giá cao hình thành Do vậy, xuất mức cầu, cung Quá trình tiếp diễn ch đến cung cầu mức giá (mức giá cân bằng) Mơ hình hình vẽ: Q(S1) Q(S1) D S1 S D2 Q S2 D1 Q(D1) P2 P P3 P1 Giải thích sơ đồ: + Giả sử thời điểm bắt đầu xem xét thị trường, giá hàng A P1, giả sử S1 = S(P1) > D1 = D(P1) Do vậy, lượng hàng hoá A cung lớn cầu, tác động quy luật cung - cầu, giá P1 phải hạ xuống P2 + Tại mức giá P 2, S2 = S(P2) < D2 D(P2), nên tác động quy luật cung - cầu, giá P2 phải tăng lên P3 Quá trình tiếp tục diễn đạt mức giá cân P Khi có cầu = cung Mơ hình toán kinh tế: Gọi S, D đường cung, cầu tương ứng Như ứng với mức giá p ta có S = S(p) + Do người bán sẵn sàng bán với mức giá cao hơn, nên S hàm tăng theo p ( S '( P )  dS  0; D  D( P ) dp + Do người bán mua giá cao hơn, nên D hàm giảm theo p ( D' ( P )  dD  0) dp + Trường hợp cân thị trường (MHIA) S=D, ta có mơ hình cân sau: dS S '( P )   0; D  D( P ) dp dD 0 D = D(p); D'( P )  dp S = S(p); S=D Với mơ hình diễn đạt lời hình vẽ ta khơng thể chắn liệu trình hình thành giá thị trường có kết thúc hay khơng, tức liệu có cân thị trường hay khơng Nhưng mơ hình tốn kinh tế cân thị trường, ta trả lời thơng qua việc giải phương trình S = D phân tích đặc điểm nghiệm Khi muốn đề cập đến tác động thu nhập (M), thuế (T) tới trình hình thành giá, ta mở rộng mơ hình cách tham gia vào mối liên hệ với yếu tố sẵn có mơ hình phù hợp với quy luật lý thuyết kinh tế Ví dụ có mơ hình sau (MHIB): S = S(p,T); S / p  D / p  D = D(p,M,T); S = D 1.2.4 Cấu trúc mơ hình tốn kinh tế Cấu trúc mơ hình tốn kinh tế gồm phận chính: Các biến Các ràng buộc (tham số) 1.2.4.1 Các biến số mơ hình: Khái niệm: Là đại lượng biến thiên đặc trưng cho yếu tố tượng kinh tế hệ thống kinh tế cần nghiên cứu Các biến kinh tế thay đổi giá trị phạm vi định Phân loại: a Các biến: Biến ngoại sinh (biến giải thích, biến độc lập): Đó biến có mức độ độc lập định mơ hình, đặc trưng cho yếu tố kinh tế tồn bên hệ thống tượng kinh tế nghiên cứu (các biến tồn ngồi mơ hình, bao gồm biến biểu thị yếu tố ngẫu nhiên) Ví dụ: Trong mơ hình MHIB, biến ngoại sinh M, T có giá trị khơng phụ thuộc vào D,S,p nên xem biến ngoại sinh sách Chính phủ, ngân sách cấp, tiền tệ quốc tế biến ngoại sinh doanh nghiệp, ngành kinh tế nước Biến nội sinh (biến giải thích, biến phụ thuộc): Đó biến tồn thân mô hinh, chúng phu thuộc khăng khít lẫn chịu tác động biến ngoại sinh Đó biến đặc trưng cho yếu tố kinh tế nằm tượng, hệ thống kinh tế nghiên cứu Việc thêm bớt biến nội sinh định mức độ phù hợp mơ hình so với thực tiễn Ví dụ: mơ hình MHIA, thấy biến S,D,p,S’,D’ phản ánh trực tiếp gián tiếp trạng thái thị trường chúng phụ thuộc lẫn nhau, chúng coi biến nội sinh Tuy nhiên, người ta coi S,D, p biến nội sinh S’,D’ thính từ S,D,p trạng thái cân xảy Hay tổng sản phẩm doanh nghiệp thời điểm t; tích luỹ thời điểm t doanh nghiệp biến nội sinh mơ hình doanh nghiệp Xét theo đặc điểm cấu trúc tốn học, mơ hình có tất biến nội sinh gọi mơ hình đóng (mơ hình MHIA); mơ hình có biến nội sinh ngoại sinh gọi mơ hình mở (MHIB) tham số, thông số: Khái niệm: biến số mà phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể đặc trưng tương đối ổn định, biến động giả thiết đối tượng Các tham số mơ hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng biến tới biến nội sinh Ví dụ: Mơ hình MHIB: S = αpβTγ Trong mơ hình này, α,β,γ tham số mơ hình giá trị chúng định mức độ tác động biến ngoại sinh T tới biến nội sinh S,D,p (S’,D’) NOTE: Cùng biến số, mơ hình khác đóng vai trị khác nhau; chí mơ hình có vai trị khác mục đích sử dụng mơ hình khác b Các ràng buộc mơ hình Khái niệm: Các ràng buộc mơ hình hệ thức toán học phản ánh mối quan hệ kinh tế, quan hệ hành vi, quan hệ pháp lý, quan hệ học, quan hệ kỹ thuật, quan hệ đồng nhất, yếu tố kinh tế hệ thống kinh tế tượng kinh tế mà ta nghiên cứu Sau đưa hệ thức tốn học xác lập dạng tắc chuẩn tắc, ta nhận phương trình trạng thái tượng kinh tế hệ thống kinh tế xem xét Đối với hệ thống kinh tế, hệ thức tốn học mơ hình thường bao gồm: - Các hệ thức hành vi, biểu tính quy luật hành vi tác nhân kinh tế (các hàm cung, hàm cầu, hàm lợi ích ) - Các hệ thức kinh tế - kỹ thuật, diễn tả trình vật lý, học hoạt động kinh tế yếu tố sản xuất tổng hợp lại chế biến theo công nghệ để tạo sản phẩm (kết quả) - Các hệ thức định chế, biểu quy định, pháp lý nhà nước (thuế, tiền lương, bảo hiểm ) - Các hệ thức đồng (dùng để định nghĩa) - Các phương trình cân bằng, diễn tả nguyên lý bảo toàn 1.2.4.2 Mối liên hệ biến số hình thức biểu diễn Quan hệ biến số mối quan hệ trực tiếp gián tiếp thông qua biến số khác, theo nhiều khâu trung gian Các quan hệ biểu diễn dạng sơ đồ sau: Thuế → Tiêu dùng ↓ Vốn ↑ Đầu tư Thu nhập Sản lượng Lao động Giá yếu tố sản xuất Chi phí sản xuất Mức cung Lợi nhuận Trình độ cơng nghệ Các quan hệ biến thường diễn biến theo thời gian, khơng thiết có quan hệ chiều (nhân - quả) mà có quan hệ tương tác chiều (liên hệ ngược) như: Đầu tư Thu nhập tiết kiệm Để xác định quan hệ biến số cần: - Dựa vào Lý thuyết kinh tế, quy luật kinh tế thừa nhận cách rộng rãi - Sử dụng Các kết phân tích kinh tế lượng xác lập mối quan hệ với mức độ tin cậy phù hợp với mục đích nghiên cứu Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn mối quan hệ biến có phương trình, phân loại phương trình mơ sau: - Phương tình định nghĩa (đồng thức): phương trình thể quan hệ định nghĩa biến số hai biểu thức hai vế phương trình Ví dụ 1: Lợi nhuận (∏)được định nghĩa phần hiệu số tổng doanh thu (TR) tổng chi phí (TC): ∏ = TR - TC Ví dụ 2: Xuất ròng quốc gia (NX) khoản chênh lệch xuất (EX) nhập (IM) quốc gia Vì xuất, nhập phụ thuộc vào thu nhập (Y), mức giá (P), tỷ giá hối đoái (ER) theo định nghĩa xuất rịng, ta viết: NX = EX(Y,P, ER) - IM(Y,P, ER) Ví dụ 3: Trong mơ hình MHIA có phương trình: S’(p) = dS/dp; D’(p) = dD/dp - Phương trình hành vi: phương trình mơ tả quan hệ caácbiến tác động quy luật giả định Từ phương trình hành vi ta biết biến động biến nội sinh “hành vi” biến - biến só khác thay đổi Sự biến động ám phản ứng hành vi người (ví dụ: hành vi tiêu dùng, thu nhập tăng lên người tiêu dùng chi tiêu nhiều hơn), biểu quy luật mối quan hệ phụ thuộc lẫn biến số Trong mơ hình MHIA, phương trình S=S(p), D=D(p) phương trình hành vi chúng thể phản ứng người sản xuất người tiêu dùng trước thay đổi giá - Phương trình điều kiện Phương trình mơ tả quan hệ biến số tình có điều kiện, ràng buộc cụ thể mà mơ hình đề cập Trong mơ hình MHIA, phương trình S=D phương trình điều kiện thể điều kiện cân thị trường 1.3 Phương pháp phân tích mơ hình 1.3.1 Giải mơ hình Khái niệm: Giải mơ hình việc sử dụng phương pháp toán học quen biết để giải hệ thức mơ hình Việc giải mơ hình nhằm xác định quan hệ trực tiếp biến nội sinh biến ngoại sinh tham số (biểu diễn đớp dạng hệ thức khác biến nội sinh theo biến ngoại sinh, tham só theo biến nội sinh khác, cách biểu diễn gọi nghiệm mơ hình) Nghiệm biểu diễn xác, xấp xỉ dạng lời giải số tất biến ngoại sinh tham số có giá trị số Nghiệm mô tả dạng biểu thức, hàm số biến ngoại sinh, tham số có giá trị quy ước trừu tượng Nghiệm mơ hình phụ thuộc vào biến ngoại sinh tham số 1.3.2 Các hình thức biểu diễn nghiệm mơ hình 1.3.2.1 Hàm kinh tế dạng (hàm hiện) Sau giải mô hình, ta xác lập quan hệ biến nội sinh y với véc tơ ngoại sinh X = (x1,x2, ,xn) véc tơ tham số α = (α1,α2, ,αk) viết gọn yj = Fj(x1,x2, ,xn,α1,α2, ,αk) = Fj(X,α) với j=1÷m a Trường hợp hàm tuyến tính: n F(X) = αo + α1x1 + α2x2 + + αnxn = α0 +  αixi = (α,X) i 1 dạng hàm phản ánh quan hệ tỷ lệ không đổi biến Đây dạng hàm đơn giản cấu trúc toán học b Dạng hàm mũ (Exponential) Cobb - Douglas: n    y  F ( X )  0 x1 x2 xn n  0  xii i 1 Dạng hàm đơn giản cấu trúc “tuyến tính hố” cách chuyển dạng loga phù hợp với nhiều mối quan hệ thực tiễn thông qua giả thiết định tham số hàm (tuyến tính hố hàm Cobb - Douglas (log - linear): n ln y  ln0 1 ln x1  n ln xn  *  i ln xi n   y      i xi   i 1  i1 c Hàm CES (Constant Elasticity Subtituation): r  Để giúp đơn giản hố q trình biến đổi, tính định, ta khơng xét mối quan hệ trực tiếp thân biến mà xét quan hệ dạng biến đổi chúng miễn quan hệ bảo toàn d Hám nhất, hàm đồng điệu (Homogenous Function): Hàm y = F(X) bặc r (r>0), ta có F(tX, α)=trF(X, α) với t>0 Nếu r=0, r=1 ta có hàm bậc khơng, hàm nhuần bậc nhất; dạng hàm thường sử dụng kinh tế n   y  F(X )  0 x1 x2 xn n 0 xii Ví dụ: Hàm Cobb - Douglas i1 n Là hàm bậc  i i 1 Hàm CES  n  y      i xi   i 1  Chứng minh hàm bậc r (r>0): Hàm y=F(X) ↔ F(tX) = trF(X)  t >0 Một số tính chất hàm nhất: - Các đạo hàm riêng ∂F/∂xi, bậc r-1 n - ry = F x x i i1 i (định lý Euler) r  hàm bậc r r - Nếu xi # 0, y  xi F ( x1 x x x , , i 1 ,1, i 1 , , n ) hàm biến bậc xi xi xi xi y = xF(1) 1.3.2.2 Hàm kinh tế dạng ẩn (hàm ẩn): Là dạng hàm mà biến nội sinh trực tiếp qua biến ngoại sinh mà thể dạng: Fj(y1,y2, ,ym;x1,x2, ,xn;α1,α2, ,αk) = (j = 1÷m) Hay Fj(Y,X, α)=0 Dạng đơn giản: F(y,x1,x2, ,xn) = Hay F(y,X) = Về hình thức viết y hàm xi 1.3.2.3 Tập mức, đường mức hàm Xét hàm y = F(X; α) xác định miền D  Rn Ta định nghĩa: Tập mức hàm ứng với giá trị y - ký hiệu S(y): S(y) = {X  D: F(X)≥y} Tập mức hàm ứng với giá trị y - ký hiệu I(y): I(y) = {X  D:F(X)≤y} Đường mức hàm ứng với giá trị y - ký hiệu L(y): L(y) = {X  D:F(X)=y} Minh hoạ mơ hình F(xj, yi) = y = constant 1.3.3 Phân tích so sánh tĩnh 1.3.3.1 Phân tích tác động tuyệt đối Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế 5km K1: 20T 2km x11 4km K2: 40T 3km x12 3km x21 x13 1km x22 x23 Hãy lập kế hoạch vận chuyển cho: - Các kho giải phóng hết hàng; - Các công trường nhận đủ vật liệu cần thiết - Tổng số T (tấn) x km phải thực nhỏ Bài tốn mơ tả mơ sau: Cọi xi số vật liệu chuyển từ kho Kj đến công trường Cj Điều kiện xịj ≥ (j=1-3) Khi - Tổng số Tx km phải thực vận chuyển là: F(x) = 5x11 + 2x12 + 3x13 + 4x21 + 3x22 + x23 - Tổng số vật liệu chuyển từ kho K1 đến công trường là: x11 + x12 + x13 Để giải phóng hết nguyên vật liệu kho x11 + x12 + x13 = 20 - Tổng số vật liệu chuyển từ kho K1 đến công trường là: x21 + x22 + x23 Để giải phóng hết nguyên vật liệu kho x21 + x22 + x23 = 40 -Tổng số vật liệu vận chuyển công trường C1 x11 + x 21 Để công trường C1 nhận đủ vật liệu ta phải có x11 + x 21 = 15 -Tổng số vật liệu vận chuyển công trường C2 x12 + x 22 Để công trường C2 nhận đủ vật liệu ta phải có x12 + x 22 = 25 -Tổng số vật liệu vận chuyển công trường C3 x13 + x 23 Để công trường C3 nhận đủ vật liệu ta phải có x13 + x 23 = 20 Như vậy, ta có mơ hình sau: F(x) = 5x11 + 2x12 + 3x13 + 4x21 + 3x22 + x23 → Thỏa mãn x11 + x12 + x13 = 20 x21 + x22 + x23 = 40 Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế x11 + x 21 = 15 x12 + x 22 = 25 x13 + x 23 = 20 xij ≥ (i=1-3, j=1-3) Ta nói tốn QHTT ẩn tìm hàm mục tiêu F(x) = 5x11 + 2x12 + 3x13 + 4x21 + 3x22 + x23 3.2 mô hình tốn quy hoạch tuyến tính 3.2.1 tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát n f ( x)   cij x j  min(max) (1) j 1 n a ij x j  bi ij x j  bi ij x j  bi j 1 n a (2) j 1 n a j 1 xj ≥ 0(≤0, ý) (3) Với f(x) hàm mục tiêu; (2) điều kiện ràng buộc; A=(aij)mxn: ma trận hệ số ràng buộc (3) điều kiện ẩn Khi đó: - Mỗi vectơ x = (x1,x2,…,xn) thỏa mãn (2) (3) gọi phương án tốn tuyến tính - Mỗi phương án x = (x1,x2,…,xn) thỏa mãn (1) tập phương án gọi phương án tối ưu toán; - Phương án x = (x1,x2,…,xn) thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính gọi phương án cực biên toán; - PACB thỏa mãn chặt n ràng buộc gọi PACB không suy biến; - PACB thỏa mãn chặt n ràng buộc gọi PACB suy biến; 3.2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc n (1) f ( x)   cij x j  min(max) j 1 Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế n a (2) ij x j  bi j 1 xj ≥ (j=1-n) (3) Phương pháp chuyển toán QHTT từ dạng tổng quát dạng tắc: - Nếu có ràng buộc dấu dạng xj ≤ ta đổi biến cách đặt xj = -xj’ - Nếu biến số xj tùy ý, ta đặt xj = x’j – xj’’ với xj’, xj’’ ≥ n - Nếu ràng buộc i có dạng n a ij x j  bi ta thêm ẩn phụ xn+1 ≥ cộng vào vế trái j 1 a x  x  b - Nếu ràng buộc i có dạng  a x  b ta thêm ẩn phụ xn+1 ≥ trừ vào vế trái điều kiện ràng buộc  a x  x  b điều kiện ràng buộc j 1 n nk ij j n j 1 ij ij i j n 1 j i i j 1 Chú ý: Hệ số tự cuả ẩn phụ =0 hàm mục tiêu 3.3.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc n f ( x)   cij x j  min(max) (1) j 1 n a (2) ij x j  bi j 1 xj ≥ (j=1-n) (3) Với bi ≥ 0, có m vectơ cột đơn vị Phương pháp chuyển toán QHTT từ dạng tắc dạng chuẩn tắc - Khi gặp hệ số tự bi < ta đổi dấu hai vế ràng buộc thứ i; - Khi ma trận hệ số ràng buộc A không chứa vectơ cột đơn vị thứ k ek, ta đưa vào ẩn giả xn+k ≥ cộng thêm ẩn giả xn+k vào vế trái phương trình ràng buộc thứ k để phương n trình ràng buộc mới: a ij x j  x n  k  bi j 1 - Hàm mục tiêu mở rộng f (x) xâydựng từ hàm mục tiêu f(x) ban đầu sau: n f ( x)   cij x j  M  ângia  j 1 n f ( x)   cij x j  M  ângia  max j 1 Trong M đại lượng dương cực lớn 3.3 Các tính chất chung tốn quy hoạch tuyến tính Tính chất 1: Sự tồn phương án cực biên tốn Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế Nếu tốn có phương án hạng ma trận hệ ràng buộc n (n số biến số) tốn có phương án cực biên Tính chất 2: Sự tồn phương án tối ưu toán Nếu tốn có phương án trị số hàm mục tiêu bị chặn (trên) f(x) → Min (Max) – tập phương án tốn có phương án tối ưu Tính chất 3: Tính hữu hạn số phương án cực biên toán Số phương án cực biên toán quy hoạch tuyến tính hữu hạn 3.4 Phương pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính 3.4.1 Cơ sở lý thuyết phương pháp đơn hình Xuất phát từ phương án cực biên, ta tìm cách đánh giá phương án cực biên ấy, chưa tối ưu tìm cách di chuyển sang phương án cực biên tốt hơn, trình tiếp tục lặp lại Vì số phương án cực biên (nếu có) toán hữu hạn nên sau số hữu hạn bước lặp, ta kết luận tốn khơng giải hàm mục tiêu khơng bị chặn tìm phương án cực biên tối ưu Như vậy, phương pháp áp dụng cho tốn có phương án cực biên  Mối quan hệ phương án cực biên phương án tốn: Với tốn tắc n f ( x)   cij x j  min(max) (1) j 1 n a (2) ij x j  bi j 1 xj ≥ (j=1-n) (3) Và cho x0 phương án cực biên với sở J0 Các định lý bản: Định lý 2: Dấu hiệu tối ưu phương án cực biên Nếu phương án cực biên sở tốn tắc mà ∆k≤0(với k#j0) với tốn ngược lại với tốn max x0 phương án tối ưu Định lý 3: Dấu hiệu tốn khơng giải Nếu phương án cực biên x0 với sở J tốn dạng t ắc mà: Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế Tồn ∆k>0 mà xjk≤0 với tốn (ngược lại với tốn max) tốn khơng giải Định lý 4: Dấu hiệu điều chỉnh phương án cực biên Nếu phương án cực biên x0 với sở J0 tốn dạng tắc mà với ∆k>0 tồn xjk >0 với toán với ∆k0 với toán max ta điều chỉnh PACB x0 để chuyển sang phương án cực biên tốt 3.4.2 Thuật tốn phương pháp đơn hình Ta giả thiết tốn cần giải dạng tắc, đồng thời biết phương án cực biên x0, sở J0 Thuật tốn đơn hình giải tốn f(x) → Bước 1: Lập bảng đơn hình Hệ số Ẩn Phương án c1 … cv … cn Ci Xj Bi xi … xv … xn … … … … … … … cir xir br ar1 … arv … arn … … … … … … … … cim xim bm am1 … amv … amn F(x) F0 ∆1 … ∆ v* … ∆n λi ci1 Trong F0 = ci1b1 + ci2b2 + … + cimbm ∆j = ci1a1j + ci2a2j + … + cimamj – ci λr * (Cột hệ số x cột phương án) (cột hệ số x cột xj – ci) Bước 2: Nhận định tối ưu Nếu ∆j0 cho aiv ≤ với i = 1, ,n tốn xét vơ nghiệm (khơng có phương án tối ưu nào) Nếu tồn ∆v >0 cho aiv > chuyển sang bước Bước 3: Tìm ẩn đưa vào hệ ẩn Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế Trong ∆j >0 ta chọn ∆v >0 lớn (đánh dấu * cho ∆v >0 lớn nhất) Khi xv ẩn mà ta đưa vào hệ ẩn Bước 4: Tìm ẩn đưa khỏi hệ ẩn b akv Lập tỷ số   k với k mà akv >0 ghi vào cột λi bảng k  bk  : a kv  0 ta đánh dấu * cho λr nhỏ Khi ẩn xr ẩn bị đưa  a kv  Xác định  r   khỏi hệ ẩn Bước 5: Tìm phần tử chốt Phần tử chốt hệ số arv cột v (chứa ∆v*) hàng r (chứa λr*) Đóng khung phần tử chốt Bước 6: Biến đổi bảng Trong cột ẩn ta thay xr bảng xv Trong cột hệ số ta thay cr cv Dùng phép biến đổi h’r = hr/arv, nghĩa hàng r = hàng r cũ chia cho phần tử chốt Với hàng khác, ta dùng phép biến đổi h’i = hi -aivh’r (Hàng i = hàng i cũ – aivx hàng r mới) Bước 7: Quay bước Với tốn max chuyển hàm mục tiêu giải toán Chú ý: Nếu có nhiều ∆v >0 lớn bước ta dùng số để đánh dấu * xác định ẩn đưa vào tương ứng Trong bước 4, có nhiều λr thỏa mãn ta chọn số để đánh dấu * xác định ẩn đưa tương ứng Trong bước 6, phép biến đổi từ bước đến bước thực ‘ phương pháp đường chéo hình chữ nhật 3.4.3 Áp dụng thuật tốn đơn hình tìm phương án cực biên 3.4.4 Phân tích quan hệ cặp toán đối ngẫu ứng dụng 3.4.4.1 Cách thành lập tốn đối ngẫu Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế - Nếu f(x) → g(y) → max hệ ràng buộc toán đối ngẫu có dạng ≤ - Nếu f(x) → max g(y) → hệ ràng buộc toán đối ngẫu có dạng ≥ - Số ràng buộc (khơng kể ràng buộc dấu) toán số biến tốn kia, từ thấy tương ứng với ràng buộc toán biến số toán - Hệ số hàm mục tiêu toán vế phải hệ ràng buộc toán - Ma trận điều kiện hai toán chuyển vị - Các biến số toán đối ngẫu khơng có ràng buộc dấu 3.4.4.2 Phân tích quan hệ toán đối ngẫu – ứng dụng * Các tính chất định lý đối ngẫu Tính chất 1: Với cặp phương án x y hai tốn đối ngẫu ta ln có f(x) ≤ ≥ g(y) Tính chất 2: Nếu phương án x* y* cặp tốn đối ngẫu mà f(x*) = g(x*) x* y* tương ứng phương án tối ưu Định lý đối ngẫu 1: Nếu toán đối ngẫu giải tốn giải với cặp phương án tối ưu x* y* ta ln ln có f(x*) = g(x*) Hệ 1: Điều kiện cần đủ để hai toán đối ngẫu giải tốn có phương án Hệ 2: Điều kiện cần đủ để tốn có phương án cịn tốn khơng có phương án trị số hàm mục tiêu toán có phương án khơng bị chặn tập phương án Kết luận: Một tốn đối ngẫu xảy trường hợp sau: - Cả tốn khơng có phương án, khơng giải - Cả có phương án giải được, cặp phương án x*, y* ln có f(x*) = g(y*) - Một tốn có phương án cịn tốn khơng có phương án, trị số hàm mục tiêu tốn có phương án khơng bị chặn tập phương án Định lý đối ngẫu 2: Điều kiện cần đủ để phương án x y cặp toán đối ngẫu tối ưu cặp ràng buộc đối ngẫu ràng buộc thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực (ràng buộc lỏng) ràng buộc phải thỏa mãn với dấu (ràng buộc chặt) Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế Hệ 1: Nếu ràng buộc lỏng phương án tối ưu tốn ràng buộc đối ngẫu phải chặt phương án tối ưu toán Hệ 2: Xét cặp toán đối ngẫu f(x) g(y) tốn f(x) có ràng buộc x≥0 Nếu cặp toán giải y* vectơ b thay đổi đại lượng ∆b cho x* phương án tốn, ta ln có ∆f* = (y*,∆b) với ∆f* thay đổi tương ứng trị tối ưu toán gốc 3.5 Bài toán vận tải 3.5.1 Nội dung đặc điểm Nội dung: Đặt vấn đề: Giả sử thời điểm khu vực kinh tế định có m địa điểm có loại hàng hóa cung ứng cho n địa điểm có nhu cầu loại hàng hóa Ký hiệu m nơi cung cấp Ai (i=1-m) gọi chúng trạm phát, n nơi cầu Bj (j=1-n) gọi trạm thu Lượng hàng hóa cung ứng trạm phát Ai đơn vị lượng hàng hóa yêu cầu trạm thu Bj b j đơn vị Các số ai, bj gọi yêu cầu trạm i, j tương ứng Giả thiết chi phisvaanj chuyển hàng từ Ai đến Bj cij (cij ≥ 0) Vấn đề đặt xác định phương án thực việc cung ứng hàng hóa – phương án vận chuyển hàng hóa cho đáp ứng yêu cầu trạm thu hàng hóa yêu cầu trạm phát với tổng chi phí vận chuyển nhỏ Mơ hình hóa:Gọi xij lượng hàng hóa vận chuyển từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj, xij≥0 Yêu n cầu trạm thu thỏa mãn: x  bj ij i 1 n Yêu cầu trạm phát thỏa mãn: m Tổng chi phí vận chuyển là:  c i 1 n  xij  a i ; ij j 1 ij  xij  f ( x)   i 1 n x ij j 1 m Ta có mơ hình tốn vận tải: x j 1 n n c ij x ij  j 1  b j ; xij≥0 (i=1,m; j=1,n) i 1 Đặc điểm: - Bài toán cân thu phát ln có phương án cực biên tối ưu Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế Mơ tả toán dạng bảng Thu b1 b2 … bn a1 c11 c12 … c1n a2 c21 c22 … c2n … … … … … am cm1 cm2 … cmn Phát Phương án x phương án cực biên tập hợp ô (i,j) tương ứng với xij khơng tạo thành vịng 3.5.2 Xây dựng phương án cực biên Nguyên tắc phân phối tối đa: Trong trình xây dựng phương án cực biên, xác định trị số xij = a, ta ói phân phối cho ô (i,j) lượng hàng a ghi a vào ô Lấy ô (i,j) bảng phân phối cho lượng hàng tối đa có thể, nghĩa đặt xij = (ai,b j) Có trường hợp xảy Trường hợp 1: xij = ai, yêu cầu Ai thỏa mãn, loại hàng i khỏi bảng, sửa lại yêu cầu trạm thu b’j = bj-ai; Trường hợp 2: Nếu xij = bj, yêu cầu Bj thỏa mãn, loại cột j khỏi bảng, sửa lại yêu cầu trạm phát a’i = -bj+ai; Trường hợp 3: Nếu xij = = bj, yêu cầu Ai, Bj thỏa mãn, loại hàng i, cột j khỏi bảng Như vậy, lần phân phối cho quy mơ tốn giảm dần Tiếp tục trình yêu cầu trạm thu – phát thỏa mãn Các phương pháp xây dựng phương án cực biên: Phương pháp góc Tây – Bắc: Luôn ưu tiên phân phối cho ô nằm góc Tây – bắc bảng Phương pháp khơng quan tâm tới chi phí mà thực máy móc theo bố trí trạm bảng Phương pháp chi phí nhỏ nhất: Ln ưu tiên phân phối cho có cij nhỏ bảng xét 3.5.3 Phương pháp vị giải toán Bước 1: Xây dựng phương án cực biên: sử dụng phương pháp xây dựng phương án cực biên biết (phương pháp chi phí nhỏ nhất, xây dựng phương án cực biên x0 với đủ m+n-1 ô sở, ký hiệu tập ô S0) Bước 2: Xây dựng hệ thống vị (u i,vj) Lý thuyết mô hình tốn kinh tế Lấy hàng i bất kỳ, cho vị ui tùy ý (thường 0) Các vị hàng cột xác định theo công thức: vj = ui + cij, u i biết (i,j)€S0 ui = vj - cij, vj biết (i,j)€S0 Vì S0 gồm m+n-1 khơng tạo vịng nên nhờ cơng thức tính m+n-1 vị khác nhau, với vị u i cho trước ta toàn vị hàng cột Bước 3: Kiểm tra tiêu chuẩn tối đa Nếu vj – ui ≤ cij với i,j khơng thuộc S0 x0 phương án tối ưu; Nếu vj – u i ≥ cij với i,j thuộc S0 x0 khơng phương án tối ưu; gọi ơ vi phạm Tính ∆ij = vj-ui-cij cho ô vi phạm, ∆ij ≥ 0, sang bước Bước 4: Điều chỉnh phương án Giả sử max ∆ij = ∆rk Ô (r,k) lấy làm ô điều chỉnh, ô (r,k) không thuộc S0 Vì S0 số tối đa khơng tạo thành vịng nên ô (r,k) tạo thành vòng với số thuộc S0 Tìm vịng ký hiệu V, vòng đánh dấu lẻ chẵn xen kẽ bắt đầu tư ô (r,k) ô lẻ Ký hiệu Vl, Vc- tập hợp ô lẻ, chẵn V Tìm xij0 với (i,j) € VC Giả sử xij0 = xst0 = q (I,j) € VC Rõ ràng q ≥ q gọilà lượng điều chỉnh Thực phép biến đổi biến số vòng V theo công thức  xi0 , (i, j )  V  x i   x i  q , (i , j )  V L  x  q , (i, j )  V C  i Như vậy, sau điều chỉnh, ô điều chỉnh (r,k) trở thành ô sở cịn (s,t) ứng với q trở thành ô phi sở phương án cực biên x1 Phương án tốt x0 trị số hàm mục tiêu giảm lượng qΔrk Đối với x1 quay trở lại bước 2, trình lặp lại sau số hữu hạn bước tìm phương án cực biên tối ưu (xem ví dụ trang 219) Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế CHƯƠNG 4: BẢNG VÀO RA 4.1 Sơ lược lịch sử phát triển việc ứng dụng bảng vào Việt Nam Bảng I/O lần Wassily Leontief đưa vào năm 1927 Thực chất bảng phương pháp sổ kép ghi lại việc phân phối sản phẩm ngành kinh tế quốc dân q trình hình thành sản phẩm ngành Mơ hình I/O phân tích đồng thời quan hệ kinh tế ngành phương diện phân phối hình thành sản phẩm, phân tích quan hệ cân đối vật giá trị, phân tích tác động dây chuyền kinh tế Gồm mô hình Francois Quesnay (1758,1766); Mơ hình tái sản xuất Karl Marx; 4.2 Một số vấn đề phương pháp luận xây dựng bảng vào Ngành túy: Các đơn vị xếp vào ngành sản xuất đơn vị sản xuất sản phẩm giống cơng dụng kinh tế thay hoàn toàn cho nhau, sử dụng loại nguyên vật liệu tương tự nhau, q trình cơng nghệ giống Như ngành túy khơng có sẵn thực tế; số ngành túy lớn; sử dụng bảng phân loại ngành SNA gồm 10 nhóm ngành Sản phẩm nơng, lâm ngư nghiệp Khống sản, điện, khí đốt nước Thực phẩm, đồ uống, đồ hút, vải, đồ mặc sản phẩm da thay Hàng hóa vận chuyển trừ sản phẩm kim loại, máy móc thiết bị Sản phẩm kim loại, máy móc thiết bị Cơng trình xây dựng đất đai Các dịch vụ: thương mại, khách sạn nhà hàng Các dịch vụ: Vận tải, lưu kho, thông tin liên lạc Các dịch vụ: Kinh doanh, nông nghiệp, mỏ chế biến 10 Các dịch vụ: cá nhân, cộng đồng xã hội Trong số 10 nhóm sản phẩm chủ yếu chia thành 56 sản phẩm cấp Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế Ở Việt Nam, theo Nghị định việc phân ngành kinh tế thủ tướng Chính phủ ban hành ngày 1/1/1994 có 20 nhóm ngành cấp Giá trị sản xuất GO: tiêu tổng hợp tính giá trị sản lượng tất ngành Giá trị sản xuất = doanh thu bán hàng + giá trị hàng hóa sử dụng khác + Giá trị thay đổi tồn kho Nhu cầu (chi phí) trung gian: Hàng hóa, dịch vụ sử dụng cho nhu cầu sản xuất gọi hàng hóa trung gian Nhu cầu cuối cùng: hàng hóa dịch vụ sau dùng phần cho nhu cầu trung gian, phần lại gọi nhu cầu cuối Gồm phận tiêu dùng cuối tích lũy tài sản Giá trị gia tăng: Là phần lại giá trị sản xuất sau trừ chi phí trung gian Các giả thiết bản: - Đồng mặt công nghệ; - Đồng mặt sản phẩm; - Cơng nghệ tuyến tính, cố định; - Có tính hiệu dây chuyền Phân loại bảng vào – ra: - Căn vào hình thái biểu tiêu người ta chia bảng cân đối dạng vật giá trị; - Căn yếu tố thời gian có hay khơng có mơ hình người ta có bảng cân đối tĩnh động; - Căn phạm vi địa lý, xây dựng bảng I/O người ta có bảng cân đối theo vùng lãnh thổ, ngành, xí nghiệp ; - 4.3 Bảng vào môt số nước Bảng vào Sudan Bảng vào Việt Nam 4.4 Bảng vào dạng vật Mô hình: Gồm khối, Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế Khối thứ có dạng hình vng, mơ tả khối lượng sản phẩm trao đổi ngành nội kinh tế Vì khối gọi “các sản phẩm trao đổi trung gian” Khối thứ hai ghi lượng lao động sử dụng ngành Khối thứ ba ghi chi tiết cách chia cacsản phẩm cuối cho mục đích đầu tư, tiêu dùng, xuất Số thứ tự Sản lượng Đơn vị Sản phẩm trung gian Sản phẩm cuối Q1 Tấn q11 q12 q1n q1 Q2 Kg q 21 q22 q 2n q2 n Qn m3 qn q 01 q02 q 0n Q0 qn1 q n2 qnn qo Trong đó: Qi sản lượng sản phẩm ngành thứ i; qi: sản phẩm cuối ngành thứ i; qij: số sản phẩm ngành j mua từ ngành thứ i; Q0: tổng số lao động q0j: Lượng lao động sử dụng ngành j; q0: Số lao động sử dụng lĩnh vực khác n Công thức: Q   qij  qi (1) i=1,n j 1 (1) Phương trình phân phối sản phẩm dạng vật kinh tế quốc dân Nó cho biết tình hình phân bố sản phẩm ngành kể sản phẩm cuối n Q0   q j  q (2) j 1 (2) Phương trình sử dụng lao động, cho biết tình hình phân bố sử dụng lao động ngành Hệ số chi phí dạng vật: n Qi   j 1 q ij Qj Đặt  i  Q j  qi qi i, j Qj Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế  11  12  Q1   q1    22 Đặt Q   ; q   ;    21      Qn  q n        n1  n  1n   n      nn  n Khi Qi    i Q j  qi ↔(E-α)Q = q j 1 Ma trận α = (αij)nxn ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận hệ số chi phí trực tiếp hay ma trận Leontief dạng vật Đặt  j  q0 j Qj j β = (β01, β02, , β0n) véctơ hệ số sử dụng lao động n n Q0   q j  q  Q0    i Q j  q j 1 j 1 4.5 Bảng vào dạng giá trị Mơ hình: n * Phương trình phân phối giá trị sản phẩm X i   xi  f i1  f i  f i  f i i 1 n Hay X i   xi  xi (1) j 1 n n * Phương trình hình thành (cơ cấu) giá trị sản phẩm X j   xi   y hj (2) j 1 n h 1 Từ (1) (2) có X j   y hj i 1 h 1 Hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị:  xi i, j gọi hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị Xj aij cho biết để có đơn vị giá trị sản phẩm ngành j ngành i phải cung cấp trực tiếp cho ngành lượng sản phẩm aij Ma trận A = (aij)mxn gọi ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị Hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp: Đặt bhj  y hj Xj j  1, n; h  1,5 Khi Ma trận B = (b hj)5xn ma trận hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp Bhj cho biết để có đơn vị giá trị sản phẩm ngành j ngành phải sử dụng trực tiếp bhj đơn vị giá trị đầu vào yếu tố sơ cấp thứ h n Yh   bhj X j j 1 Ma trận hệ số nhu cầu cuối cùng: Đặt VT = (V1,V2,V3) d ik  f ik Vk Ma trận D = (dik)nx3 ma trận cấu nhu cầu cuối cùng; Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế Dik cho biết để có đơn vị nhu cầu cuối thứ k ngành i đóng góp 4.6 Hệ số chi phí tồn Ta có (E – α)Q=q (E – α)X=x Suy Q = (E – α)-1q X = (E – α)-1x Ma trận θ = (E – α)-1 = (θij)nxn gọi ma trận hệ số chi phí tồn dạng vật Hệ số θij cho biết để sản xuất đơn vị sản phẩm cuối ngành thứ j ngành thứ i phải sản xuất lượng sản phẩm θij Ma trận C = (E - α)-1 = (cij)nxn gọi ma trận hệ số chi phí tồn dạng giá trị Hệ số cij cho biết để sản xuất đơn vị nhu cầu cuối ngành thứ j ngành thứ i phải sản xuất lượng sản phẩm cij Ma trận α A xây dựng từ bảng dạng vật bảng giá trị ln có: ≤ α ij a ij ≤ ≤ bhj < θij cij ≥ θij >1 cij >1 n a i 1 i   bhj  h 1 4.7 Một số ứng dụng bảng vào phân tích dự báo kinh tế - Xác định mức sản xuất ngành; - Xác định giá trị sản phẩm số giá; ... đồ, hình vẽ ngơn ngữ chun ngành Mơ hình đối tượng lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi mô hình kinh tế 1.2.3 Mơ hình tốn kinh tế: Mơ hình tốn kinh tế mơ hình kinh tế trình bày ngơn ngữ tốn học Việc... dựng sử dụng mơ hình tốn kinh tế Xây dựng mơ hình tốn kinh tế Việc xây dựng mơ hình tốn kinh tế thường tiến hành theo bước sau: Bước 1: Xây dựng mơ hình định tính cho đối tượng kinh tế cần nghiên... đề Kinh tế - xã hội khơng tiến hành thực nghiệm, thí nghiệm khơng kiểm sốt - Đưa kết tương đối xác để tác nhân kinh tế định thực 1.2 Khái niệm mơ hình kinh tế mơ hình tốn kinh tế 1.2.1 Mơ hình