- Khi gặp hệ số tự do bi < ta đổi dấu hai vế của ràng buộc thứ i;
3.4.3 Áp dụng thuật toán đơn hình tìm phương án cực biên 3.4.4 Phân tích quan hệ trong cặp bài toán đối ngẫu và ứng dụng
3.4.4 Phân tích quan hệ trong cặp bài tốn đối ngẫu và ứng dụng
Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế
- Nếu f(x) → min thì g(y) → max và hệ ràng buộc của bài tốn đối ngẫu có dạng ≤ - Nếu f(x) → max thì g(y) → min và hệ ràng buộc của bài tốn đối ngẫu có dạng ≥
- Số ràng buộc (khơng kể ràng buộc dấu) trong bài toán này bằng số biến trong bài tốn kia, từ đó thấy tương ứng với một ràng buộc của bài toán này là một biến số của bài toán kia.
- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong bài toán kia. - Ma trận điều kiện trong hai bài toán là chuyển vị của nhau.
- Các biến số trong bài tốn đối ngẫu khơng có ràng buộc về dấu
3.4.4.2 Phân tích quan hệ trong bài toán đối ngẫu – các ứng dụng
* Các tính chất và định lý đối ngẫu
Tính chất 1: Với mọi cặp phương án x và y của hai bài tốn đối ngẫu ta ln có f(x) ≤ ≥ g(y)
Tính chất 2: Nếu đối với 2 phương án x* và y* của một cặp bài toán đối ngẫu mà f(x*) = g(x*) thì x* và y* tương ứng là 2 phương án tối ưu
Định lý đối ngẫu 1: Nếu một trong 2 bài toán đối ngẫu giải được thì bài tốn kia cũng giải được và khi đó với mọi cặp phương án tối ưu x* và y* ta ln ln có f(x*) = g(x*)
Hệ quả 1: Điều kiện cần và đủ để hai bài toán đối ngẫu giải được là mỗi bài tốn có ít nhất 1 phương án
Hệ quả 2: Điều kiện cần và đủ để một bài tốn có phương án cịn một bài tốn khơng có
phương án là trị số của hàm mục tiêu của bài tốn có phương án khơng bị chặn trên tập phương án của nó.
Kết luận: Một bài toán đối ngẫu chỉ xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau:
- Cả 2 bài tốn đều khơng có phương án, cả 2 đều khơng giải được.
- Cả 2 đều có phương án thì cả 2 đều giải được, khi đó mỗi cặp phương án x*, y* ln có f(x*) = g(y*)
- Một bài tốn có phương án cịn một bài tốn khơng có phương án, khi đó trị số hàm mục tiêu của bài tốn có phương án sẽ khơng bị chặn trên tập phương án của nó.
Định lý đối ngẫu 2: Điều kiện cần và đủ để 2 phương án x và y của một cặp bài toán đối ngẫu tối ưu là trong các cặp ràng buộc đối ngẫu nếu một ràng buộc thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực sự (ràng buộc lỏng) thì ràng buộc kia phải thỏa mãn với dấu bằng (ràng buộc chặt).
Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế
Hệ quả 1: Nếu một ràng buộc là lỏng đối với một phương án tối ưu của bài tốn này thì ràng buộc đối ngẫu của nó phải là chặt đối với mọi phương án tối ưu của bài toán kia
Hệ quả 2:
Xét cặp bài toán đối ngẫu f(x) và g(y) trong đó bài tốn f(x) có ràng buộc x≥0. Nếu cặp bài toán giải được và y* là duy nhất thì khi vectơ b thay đổi một đại lượng ∆b sao cho x* vẫn là phương án của bài tốn, ta ln có ∆f* = (y*,∆b) với ∆f* là sự thay đổi tương ứng của trị tối ưu của bài toán gốc