giáo trình mô hình toán kinh tế

SƠ LƢỢC VỀ MƠ HÌNH TỐN Chương §1 Các khái niệm mơ hình tốn Mơ hình tốn kinh tế Mơ hình đối tượng hoạt động tronglĩnh vực kinh tế gọi mơ hình kinh tế Các vấn đề liên quan tới kinh tế vấn đề phức tạp, phác thảo mơ hình kinh tế cần phải thu thập sử dụng thông tin cơng trình nghiên cứu có liên quan, liệu cơng bố chí phải sử dụng kiến thức ngành khoa học khác Mô hình tốn kinh tế mơ hình kinh tế trình bày ngơn ngữ tốn học Việc sử dụng ngơn ngữ tốn học tạo khả áp dụng phương pháp suy luận, phân tích tốn học kế thừa thành tựu lĩnh vực lĩnh vực khoa học khac có liên quan Đối với vấn đề phức tạp có nhiều mối quan hệ đan xen chí tiềm ẩn mà cần nghiên cứu, phân tích mặt định tính mà mặt định lượng phương pháp suy nghĩ thơng thường, phân tích giản đơn khơng đủ hiệu lực để giải Chúng ta cần đến phương pháp suy luận tốn học, điểm mạnh mơ hình tốn kinh tế Ví dụ: Giả sử muốn phân tích, nghiên cứu q trình hình thành giá loại hàng hóa A thị trường với giả định yếu tố khác điều kiện sản xuất hàng hóa A, thu nhập sở thích người tiêu dùng, cho trước không thay đổi Đối tượng liên quan tới vấn đề nghiên cứu thị trường hàng hóa A vận hành Chúng ta cần mơ hình hóa đối tượng +) Mơ hình lời: Xét thị trường hàng hóa A, nơi người bán người mua gặp xuất mức giá ban đầu Với mức giá lượng hàng hóa mà người bán muốn bán mức cung lượng hàng hóa mà người mua muốn mua mức cầu Nếu cung lớn cầu, người bán muốn bán nhiều hàng nên phải giảm giá hình thành mức giá thấp Nếu cầu lớn cung người mua sẵn sàng trả giá cao để mua hàng mức giá cao hình thành Với mức giá xuất mức cung, mức cầu Quá trình tiếp diễn cung cầu mức giá gọi giá cân +) Mơ hình hình vẽ: Vẽ đường cung S đường cầu D hệ trục tọa độ trục tung thể mức giá, trục hoành thể mức cung, mức cầu hàng hóa với mức giá Q trình hình thành giá thể hiệ qua sơ đồ minh họa đây: Giải thích sơ đồ: D S P1 P3 P0 P4 P2 Q0 Q Nếu thời điểm bắt đầu xem xét thị trường, giá hàng P1 giả sử: S1 = S(P1) > D1= D(P1), tác dụng qui luật cung cầu, giá P phải hạ xuống mức P2 Ở mức giá P2 S2 = S(P2) < D2 = D(P2) nên giá tăng lên mức P3 Ở mức giá P3 S3 = S(P3) > D3 = D(P3) nên giá xuống mức P4 Quá trình tiếp diễn P = P0, mức giá có cân cung cầu +) Mơ hình tốn kinh tế: Hàm cầu: D = D(p) Hàm cung: S = S(p) Người mua giảm nhu cầu giá cao giá cân nên: D’(p) = dD < dp Người bán tăng nguồn cung giá cao giá cân nên: S’(p) = dS > dp Mơ hình cân thị trường: S  S(p)  D  D(p) S  D  S'(p)  D '(p)  Được gọi mơ hình cân thị trường MHIA Khi muốn đề cập tới thu nhập M, thuế T ta có mơ hình cân MHIB: S  S(p, T)  D  D(p, T, M) S  D  S / p  D / p  Cấu trúc mơ hình tốn kinh tế: Các vấn đề kinh tế mơ hình xem xét lựa chọn số yếu tố đặc trưng tiến hành lượng hóa Biến nội sinh thể trực tiếp kiện, tượng kinh tế giá trị chúng phụ thuộc vào biến khác mơ hình Ví dụ: Trong mơ hình MHIA: S, D, p, S’, D’ biến nội sinh Biến ngoại sinh biến độc lập với biến khác mơ hình giá trị chúng xem tồn ngồi mơ hình Ví dụ: Trong mơ hình MHIB: M, T biến ngoại sinh Tham số: biến phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng biến tới biến nội sinh Một số phương trình mơ hình tốn kinh tế: Phương trình định nghĩa: LN = TR – TC NX = X – M Phương trình hành vi: S = S(p); D = D(p) Phương trình điều kiện: Thị trường cân S = D §2 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MƠ HÌNH Khi xem xét mơ hình tốn kinh tế rõ ràng biến ngoại sinh, tham số ảnh hưởng tới biến nội sinh Việc xem xét ảnh hưởng biến ngoại sinh tới mơ hình gọi phép so sánh tĩnh Đo lƣờng thay đổi biến nội sinh theo biến ngoại sinh: Giả sử có hàm Y = F(X1, X2, … , Xn) Y biến nội sinh X1, X2, … , Xn biến ngoại sinh a) Đo lường thay dổi tuyệt đối Biến Xi thay đổi lượng Xi Khi đó: Yi = F(X1, … , Xi + Xi, … , Xn) - F(X1, … , Xi, … , Xn) Yi Y  lim  Xi xi 0 Xi Xét: Với Xi bé ta có: Yi Y   F'Xi Xi Xi  Yi  F'Xi Xi Nếu Xi = Yi  F’Xi Ví dụ: Cho hàm chi phí cơng ty: C(Q) = 100Q3 – 58Q2 + 200Q +1800 (Q sản lượng) Chi phí biên chi phí tăng lên tăng giảm sản lượng đơn vị, xác định: MC(Q) = 300Q2 – 116Q + 200 MC(50) = 300.502 – 116.50 + 200 = 744 400 (đvt) Vậy tăng sản lượng lên 51 sản phẩm chi phí tăng lên 744.400 (đvt), giảm xuống 49 sản phẩm chi phí giảm xuống 744.400 (đvt) Kết luận mang tính xấp xỉ, tính xác ta có: C(50) = 12.366.800 C(51) = 13.126.242 C(49) = 11.637.242 C(51) – C(50) = 759.442 C(49) – C(50) = 729.588 Trong trường hợp biến ngoại sinh thay đổi lượng nhỏ X1, X2, …., Xn thì: Y  F F F X1  X   X n X1 X X n Trong trường hợp mối quan hệ biến nội sinh biến không cho dạng tường minh mà cho dạng hàm ẩn: F(Y, X1, X2, …… , Xn ) = Khi để đo lường thay đổi tương đối biến nội sinh theo biến ngoại sinh ta dùng cơng thức tính đạo hàm hàm ẩn: F / Xi Y  Xi F / Y Ví dụ: Giá loại hàng P chênh lệch cung - cầu S liên hệ với phương trình: SP – 0,1.P2lnS = c (c số) Hãy tính tốc độ thay đổi giá chênh lệch cung cầu thay đổi? Giải: Đặt: F(P, S) = SP – 0,1.P2lnS – c = Tốc độ thay đổi giá chênh lệch cung cầu thay đổi: P  0,1.P P F / S S   P.S  0,1P   S F / P S  0, 2P.ln S S2  0, 2.P.S.ln S b) Đo lường thay đổi tương đối – Hệ số co giãn: Hệ số co giãn biến Y theo biến Xi X = X, kí hiệu: YXi (X0 ) - định nghĩa: YXi (X )  F(X0 ) Xi0 Xi F(X ) Hệ số co giãn cho biết Xi thay đổi 1% Y thay đổi % Hàm Cobb – Douglass: Y  0 X11 X2 .Xn n YXi  i Ta chứng minh YX1  1 , đẳng thức khác tương tự Xét điểm X = (X1, … , Xn) thì: 0 (X1  X1 )1 X 2 .X n n  0 X11 X 2 .X n n X1 1 X1 0 X1 X2 .X n n YX1 (X)  = (X1  X1 )1  X11 X1 X11 X1 = (X1  X1 )1  X11 1 1 X1 X1 (X1  X1 )1  X11  (X11 ) '  1.X11 1 nên: Xét X1 bé : X1 1X11 1  (X)   1 X11 1 Y X1 Y = F(X1, X2, … , Xn) có hệ số co giãn theo biến là:  YX1 ,  YX ,… ,  YX n biến ngoại sinh co giãn theo tỉ lệ ta dùng hệ số co giãn chung: Y = n  i 1 Y Xi Khi Xi tăng với tỉ lệ 1% Y tăng lượng Y % Ví dụ: Cho hàm cầu lượng lúa hàng năm có dạng: QD = 480 – 0,1.P (Đơn vị tính: P – đ/kg; Q – Tấn) Sản lượng lúa thu hoạch năm là: 280 Tính hệ số co giãn cầu mức cung cầu cân bằng? Nêu ý nghĩa hệ số co giãn Giải: Mức giá cung cầu cân là: 280 = 480 – 0,1.P0  P0 = 2.000 Hệ số co giãn cầu theo giá mức giá P0: QP D  dQD P 2000   0,1   0, 714 dP QD 280 Vậy mức giá P0 giá tăng lên 1% nhu cầu giảm xuống 0,714% Tính hệ số tăng trƣởng: Giả sử Y = F(X1, X2, … , Xn, t) với t biến thời gian Hệ số tăng trưởng biến Y tỉ lệ biến động biến theo đơn vị thời gian, kí hiệu: ry – xác định sau: Y / t 100% Y Công thức tính lãi kép liên tục: Vt = V0 ert ry  Ví dụ 1: Hệ số tăng trưởng Vt là: rVt  r.V0 ert dVt / dt 100%  r.100% 100% = V0 ert Vt Tổng quát biến nội sinh phụ thuộc thời gian cách gián tiếp: Y = F(X1(t), X2(t), … , Xn(t)) Khi hệ số tăng trưởng Y là: rY   Y dX1 Y dX n  Y / t   100%    100% X n dt  Y Y  X1 dt  Y X1 dX1 Y X n dX n    X n Y X n  X1 Y X1   100%   YX1 rX1   YXn rXn n    YXi rXi i 1 Ví dụ 2: Quan hệ tiền cơng lao động có đào tạo (V) tỉ lệ thất nghiệp người lao động quốc gia (U), chi phí đào tạo G mơ tả mơ hình: aV2 – bG2 – c.ln U = Trong đó: a, b, c số khác không V = V(t); G = G(t); U = U(t) hàm số phụ thuộc vào biến thời gian Tình hệ số tăng trưởng chi phí đào tạo hàm yếu tố khác Giải: Ta có: G a.V  V b.G G c  U 2b.G.U c.U't dG G dV G dU a.V Vt'     dt V dt U dt b.G 2b.G.U Hệ số tăng trưởng chi phí đào tạo là:  a.V Vt, dG t / dt c.U,t  rG t  100%     100% Gt 2b.G U   b.G Hệ số thay thế: Giả sử Y = F(X1, X2, … , Xn) Y = F(X0) = Y0 Vấn đề đặt hai biến ngoại sinh thay đổi theo tỉ lệ để Y không đổi Tùy vào ý nghĩa thực tiễn ta có tỉ lệ thay như: tỉ lệ thay vốn lao động; tỉ lệ bổ sung mặt hàng; tỉ lệ chuyển đổi tiêu dùng tiêu dùng tương lai;… Theo cơng thức vi phân tồn phần ta có dY  F F F dX1  dX   dX n X1 X X n Giả sử hai biến Xi, Xj thay đổi nên để Y khơng đổi Y0 thì: F F dXi  dX j  Xi X j  F / X j dXi  dX j F / Xi Tỉ lệ thay Xi, Xj để Y không thay đổi Y0: Tỉ lệ F / X j dXi  dX j F / Xi dX i cho biết giảm Xj đơn vị phải tăng Xi đơn vị để giữ dX j nguyên giá trị Y Khi ta nói: dX i  ta nói Xi thay cho Xj X0 dX j dX i  ta nói Xi, Xj bổ sung cho diểm X0 dX j dX i  ta nói Xi, Xj khơng thể thay X0 dX j Ví dụ 1: Một người chợ mua M kg thịt bò, P kg khoai tây Cho biết hàm tổng hữu dụng thịt bò khoai tây người là: TU = (M – 2).P a) Tìm hệ số thay thịt bò khoai tây để hữu dụng khơng thay đổi b) Giả sử người mua 3kg thịt bị 4kg khoai tây, tính hệ số thay thịt bò khoai tây trường hợp Nêu kết luận hệ số thay này? Giải: a) Hệ số thay thịt bị khoai tây để hữu dụng khơng thay đổi: M TU / P M2   P TU / M P b) Hệ số thay điểm (M, P) = (3, 4) là: k M  P Để tổng hữu dụng TU = (3 – 2).4 = (Đvhd) khơng thay đổi tăng (giảm) lượng nhỏ khoai tây đơn vị cần giảm (tăng) 1/4 đơn vị thịt bò Tại điểm (M, P) = (3, 4) thịt bị khoai tây la hai mặt hàng thay Ví dụ 2: Một nhà máy cần yếu tố K, L để sản xuất sản phẩm X, biết hàm sản lượng là: Q = 2K (L – 2) a) Xác định tỉ lệ thay K L b) Tại K = 12 L = 26, xác định tỉ lệ thay giải thích ý nghĩa tỉ lệ này? Tại K, L hai yếu tố thay thế, bổ sung hay thay thế? Giải: a) Tỉ lệ thay K, L: t dK 2K K   dL 2(L  2) L2 b) Tại K = 12 L = 20 ta có: t = - 12/24 = - 0,5 < Ý nghĩa: Để sản lượng Q = 2.12(26 – 2) = 576 (sp) không thay đổi ta giảm lao động đơn vị cần tăng vốn lên 0,5 đơn vị t = - 0,5 < nên K = 12, L = 20 K, L hai yếu tố thay VẬN DỤNG PHÂN TÍCH MƠ HÌNH §3 VÀO MỘT SỐ MƠ HÌNH KINH TẾ PHỔ BIẾN Mơ hình hàm sản xuất a) Hàm sản xuất: Một doanh nghiệp sử dụng n yếu tố để tạo sản phẩm yếu tố sử dụng mức X1, … , Xn doanh nghiệp thu Q đơn vị sản phẩm ta có hàm biễu diễn mối quan hệ này: Q = F(X1, X2, … , Xn) Ví dụ 1: Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với vốn lao động: Q = a.K.L với a, ,  > tham số Ước lượng hàm sản xuất: 10 Việt Nam 1986 – 1995: Q = 75114.K0,175.L0,904e0,0124t 20 Nước Áo 1951 – 1955: Q = 2,439 X0,0635.K0,6172.L0,3193 Hàm sản xuất dạng tuyến tính: Q = a1X1 + a2X2 + …… + an Xn Ví dụ 2: Thu nhập quốc dân quốc gia (Y) phụ thuộc vào vốn (K), lao động sử dụng (L) ngân sách đào tạo năm trước (G) sau: Y = 0,24.K0,3.L0,8.G0,05 Trong yếu tố thay đổi theo thời gian sau: năm vốn tăng 15%; công ăn việc làm tăng 9%; chi phí đào tạo tăng 20% a) Tính hệ số tăng trưởng thu nhập quốc dân b) Trong điều kiện Y, K khơng đổi cịn cơng ăn vệc làm phụ thuộc vào ngân sách đào tạo trước năm, viết biểu thức thay đổi công ăn việc làm theo ngân sách đào tạo theo năm trước Giải: a) Gọi vốn, lao động sử dụng, chi phí đào tạo vào năm gốc K 0, L0, G0 Khi sau t năm ta có: Vốn: K(t) = K0 (1 + 0,15)t Lao động sử dụng: L(t) = L0.(1 + 0,09)t Chi phí đào tạo: G(t) = G0 (1 + 0,2)t Hệ số tăng trưởng vốn, lao động, chi phí đào tạo là: rK(t ) K (1  0,15) t ln(1,15) K(t) / t  100%  100%  ln(1,15) K(t) K (1  0,15) t Tương tự ta có: rL(t) = ln(1,09) rG(t) = ln(1,2) Hệ số co giãn thu nhập quốc dân theo K, L, G là: YK  0, 24 x 0,3 x K 0,7 L0,8 G 0,05 Tương tự ta có: YL  0,8 Hệ số tăng trưởng thu nhập quốc dân là: K  0,3 0, 24 K L0,8 G 0,05 0,3 GY  0,05 rY(t)  KY rK(t)  LY rL(t)  GY rG(t)  0,3.ln(1,15)  0,8.ln(1,09)  0,05 ln(1, 2)  0,12 b) Đặt: F(L,G) = 0,24.K0,3.L0,8.G0,05 – Y = Hệ số thay đổi tuyệt đối công ăn việc làm theo ngân sách đào tạo năm trước là: L F / G 0, 24.K 0,3 L0,8 0.05.G 0,95 L    0,3 0,2 0,05 G F / L 0, 24.K 0,8.L G 16.G b) Tác động yếu tố sản xuất tới sản lượng: Cho hàm sản xuất: Q = F(X1, X2, … , Xn) MPi  Năng suất biên yếu tố i: F Xi Khi cố định yếu tố khác MPi cho ta biết tăng (giảm) mức sử dụng yếu tố i sản lượng tăng (giảm) đơn vị F(X) Xi Năng suất trung bình yếu tố i: APi  Hệ số thay hai yếu tố: MPj dXi  dX j MPi Giả sử doanh nghiệp thay đổi yếu tố Xi yếu tố khác khơng thay đổi Thì việc sử dụng yếu tố Xi mức có lợi là: F(Xi )  Max Xi ,  F(Xi )    0  Xi X Điều kiện cần để tối ưu là: i  F(Xi ) F  Xi Xi Năng suất trung bình = Năng suất biên Về dài hạn doanh nghiệp thay đổi yếu tố, giả sử yếu tố thay đổi theo tỉ lệ Khi ta nói tới vấn đề tăng qui mô Hàm sản xuất Q = F(X1, X2, … , Xn) với X= (X1, X2, … , Xn) ta nói qui mơ sản xuất tăng với hệ số  F(X) > .F(X) gọi tăng qui mơ có hiệu F(X) = .F(X) tăng qui mô không thay đổi hiệu F(X) < .F(X) tăng qui mô không hiệu Ví dụ 1: Xét hàm sản xuất Cobb – Douglass: Q = a.K.L Tăng qui mô lên  lần kết sản xuất tăng  +  lần MPK  L  MPL  K Hệ số thay vốn lao động: Mô hình tối ƣu mặt kinh tế 10 ... D / p  Cấu trúc mơ hình tốn kinh tế: Các vấn đề kinh tế mơ hình xem xét lựa chọn số yếu tố đặc trưng tiến hành lượng hóa Biến nội sinh thể trực tiếp kiện, tượng kinh tế giá trị chúng phụ thuộc... trình mơ hình tốn kinh tế: Phương trình định nghĩa: LN = TR – TC NX = X – M Phương trình hành vi: S = S(p); D = D(p) Phương trình điều kiện: Thị trường cân S = D §2 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MƠ HÌNH... số thay vốn lao động: Mơ hình tối ƣu mặt kinh tế 10 Hàm sản xuất doanh nghiệp Q = F(X1, X2, … , Xn) giá yếu tố sản xuất p1, p2, … , pn a) Mô hình chi phí tối thiểu: n Mơ hình MHIC: Min Z   pi