Bài giảng kinh tế lượng cơ bản

2.Phương pháp luận + Đặt giả thiết về vấn đề nghiên cứu + Xây dựng mô hình dựa trên các luận thuyết kinh tế hay các mô hình lý thuyết kinh tế đã đưa ra + Thu thập số liệu và ước lượng cá

Phần I Kinh tế lượng cơ bản

Mở đầu

1.Khái niệm về Kinh tế lượng

Kinh tế lượng là môn khoa học bao gồm toán kinh tế, thống kê, lý thuyết kinh tế, với mục đích là tìm ra kết quả định lượng, thực nghiệm cho các lý thuyết kinh tế và kiểm chứng lại các kết quả mà lý thuyết kinh tế đã đưa ra

Về ý nghĩa: Econometrics = Econo + metrics = Kinh tế + Đo lường

Mục tiêu nghiên cứu : Là các mối quan hệ giữa các biến số kinh tế, các quá trình kinh tế

xã hội, các mối quan hệ xảy ra giữa các đối tượng, các chủ thể, các yếu tố kinh tế xã hội

Công cụ sử dụng chủ yếu : Là các mô hình gọi là các mô hình kinh tế lượng.

Kết quả : Là kết quả định lượng, sử dụng kết quả là những con số để trả lời các câu hỏi,

đưa ra khuyến nghị, dự báo, đánh giá chính sách, phân tích tác động,… trong kinh tế.Kiến thức nền tảng cần phải trang bị trước khi học kinh tế lượng, đó là: Kinh tế học (Kinh tế vi mô + vĩ mô), Mô hình toán kinh tế, Xác suất thống kê toán, tin học

2.Phương pháp luận

+) Đặt giả thiết về vấn đề nghiên cứu

+) Xây dựng mô hình (dựa trên các luận thuyết kinh tế hay các mô hình lý thuyết kinh

tế đã đưa ra)

+) Thu thập số liệu và ước lượng các hệ số của mô hình

+) Kiểm định, đánh giá và phân tích mô hình

+) Sử dụng kết quả để phân tích và dự báo về kinh tế hay khuyến nghị chính sách

3.Số liệu để phân tích

Số liệu được dùng để phân tích trong môn Kinh tế lượng là số liệu thống kê về kinh tế

và bao gồm các loại số liệu sau

-) Số liệu theo thời gian (chuỗi thời gian)

-) Số liệu không gian (hay số liệu chéo)

-) Số liệu hỗn hợp (theo cả thời gian và không gian)

Yêu cầu về số liệu: Đó là số liệu được điều tra ngẫu nhiên,phi thực nghiệm, phù hợp với mục đích và đối tượng nghiên cứu

Nguồn số liệu: Số liệu được thu thập qua các cuộc điều tra (khảo sát) hay được cung cấp bởi các cơ quan chuyên môn (như tổng cục thống kê…)

Chương 1

Mô hình kinh tế lượng

1 Phân tích hồi quy

Phân tích hồi quy là phân tích mối liên hệ phụ thuộc giữa một biến (gọi là biến phụ thuộc,biến được giải thích, biến nội sinh,…) phụ thuộc vào một (hay một số) biến gọi làbiến độc lập, biến giải thích hay biến ngoại sinh, biến hồi quy,…

+) Biến phụ thuộc ký hiệu là Y

+) Biến độc lập ký hiệu là X, hay X1, X2,…,Xk (k nguyên dương)

- Các biến độc lập là các biến không ngẫu nhiên, giá trị của chúng được cho trước.Trong điều kiện đó biến phụ thuộc là một biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối xácsuất xác định.

+ Hàm E Y X ( / )  f X ( ) gọi là hàm hồi quy đơn - Simple regression (hàm hồi quy

có một biến độc lập)

+ Hàm E Y X X ( / 1, 2, , Xk)  f X X ( ,1 2, , Xk) gọi là hàm hồi quy

bội-Multiple regression (hàm hồi quy có hơn một biến độc lập)

- Mục đích của phân tích hồi quy:

+ Ước lượng giá trị trung bình của biến phụ thuộc khi biết giá trị của biến độc lập, tức

là phải ước lượng các tham số của mô hình

+ Kiểm định các giả thuyết về bản chất của mối quan hệ giữa biến phụ thuộc và biếnđộc lập mà lý thuyết kinh tế đưa ra Trong trường hợp này phải trả lời hai câu hỏi:

) Có tồn tại quan hệ giữa biến phụ thuộc và biến độc lập hay không?

) Nếu tồn tại quan hệ thì mức độ chặt chẽ như thế nào?

+ Dự báo giá trị trung bình của biến phụ thuộc khi biết giá trị của biến độc lập

2 Mô hình hồi quy đơn (hay mô hình hồi quy 2 biến)

2.1 Mô hình hồi quy tổng thể

- Toàn bộ tập hợp các phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên cứu định tính hoặcđịnh lượng nào đó được gọi là tổng thể nghiên cứu hay tổng thể

- Giả sử có một tổng thể nghiên cứu gồm N phần tử với hai dấu hiệu nghiên cứu: X, Ytạo thành một biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y)

- Để nghiên cứu BNN (X, Y) ta lập các bảng phân phối xác suất:

+ Bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y:

( /Y X i)

P P[(Y= y1)/Xi] P[(Y= y2)/Xi] P[(Y = yh)/Xi]

Kỳ vọng toán của Y với điều kiện của X = Xi

E Y X  f X hoặc E Y X ( / )  f X ( ) là một hàm số và gọi là hàm hồi quy

tổng thể của Y đối với X (Population Regression Function – PRF) Nó cho biết giá trị

trung bình của Y thay đổi như thế nào theo X

Giả sử PRF có dạng tuyến tính

E Y X ( / i)  1 2X ii;(   1 k ) hoặc E Y X ( / )  1 2X

Trong đó  1, 2 gọi là các hệ số hồi quy (Regression Coefficient):

+) Hệ số 1  E Y X ( / i  0) gọi là hệ số chặn (Intercept - INPT) hệ số này cho biếtgiá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi biến X = 0

+) Hệ số 2 E Y X ( / )

X

  

 gọi là hệ số góc (Slope) hệ số này cho biết khi X tăng lên

1 đơn vị thì giá trị trung bình của Y thay đổi như thế nào

- Ứng với mỗi giá trị cá biệt Yi của Y ta có:

Y i 12X iu i (i 1 N)

gọi là mô hình hồi quy tổng thể (Population Regression Model – PRM).

Với u i  Y i E Y X( / i) gọi là sai số ngẫu nhiên (Random error), phản ánh chênh lệch

giữa giá trị cá biệt của Y với giá trị trung bình của Y

- Sai số ngẫu nhiên u i đại diện cho tất cả những yếu tố không phải biến độc lập có trong

mô hình nhưng cũng tác động đến biến phụ thuộc, đó là:

+ Những yếu tố không biết

+ Những yếu tố không có số liệu

+ Những yếu tố mà tác động của nó quá nhỏ không mang tính hệ thống

- Sự tồn tại của sai số ngẫu nhiên là tất yếu khách quan và nó có vai trò đặc biệt quantrọng trong phân tích hồi quy, nó phải thoả mãn những điều kiện nhất định thì việcphân tích trên mô hình mới có ý nghĩa

2.2 Mô hình hồi quy mẫu

- Trong thực tế chúng ta không có được tổng thể hoặc có nhưng không thể (hoặc khôngcần thiết) nghiên cứu toàn bộ tổng thể vì vậy không thể tìm được PRF mặc dù dạng củaPRF có thể biết

- Mẫu ngẫu nhiên là một bộ phận mang thông tin của tổng thể được lấy ra từ tổng thểtheo những nguyên tắc nhất định

- Giả sử từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n:

W = {(Xi, Yi); i   1 n}

- Trong mẫu W = {(Xi, Yi): i   1 n)} tồn tại một hàm số có dạng giống như PRF mô

tả xu thế biến động của trung bình biến phụ thuộc theo biến độc lập, thực chất nó làmột ước lượng điểm của PRF, ký hiệu:

- Trong đó:   ˆ ˆ1, 2 gọi là các hệ số hồi quy ước lượng được (Estimated regression

coeffcient), thực chất chúng lần lượt là các ước lượng điểm của  1, 2 và ˆ

i

Y là các giátrị ước lượng được (Fitted value), thực chất nó là các ước lượng điểm của E(Y/Xi)

- Ứng với mỗi giá trị cá biệt của Y ta có:

ˆ1 ˆ2 ;( 1 )

Y     X  e i   n

gọi là mô hình hồi quy mẫu (Sample Regression Model – SRM)

với ei   Y Y ii ˆ ;( 1 )i   n gọi là phần dư (Residual), thực chất chúng là các ước

lượng điểm của các sai số ngẫu nhiên u i Các phần dư e i phản ánh chênh lệch giữa giátrị cá biệt Yi trong mẫu W với giá trị ước lượng được ˆ

i

Y Bản chất của các phần dư e i

giống như các sai số ngẫu nhiên u i

Tương ứng với mỗi mẫu rút ra từ tổng thể ta sẽ tìm được một hàm hồi quy mẫu SRF,tức là có rất nhiều SRF khác nhau mà chúng đều là các ước lượng điểm của PRF, ta cầntìm SRF nào đại diện tốt nhất cho PRF

3 Mô hình hồi quy bội (hay mô hình hồi quy k biến)

3.1 Mô hình hồi quy tổng thể

Mô hình hồi quy tổng thể (PRM) và hàm hồi quy tổng thể (PRF) có dạng:

- Giá trị của k cho biết số tham số cần ước lượng của mô hình.

- Hệ số chặn 1  E Y X ( / 2i  X3i   Xki  0) là giá trị trung bình của Y khi

 cho biết khi Xm tăng một đơn

vị thì trung bình của Y thay đổi như thế nào trong điều kiện các biến Xj;(  j m)không thay đổi

Đặt: X i = (1 X 2i X 3i … X ki ) β =

1 2

k k

N

u u

3.2 Mô hình hồi quy mẫu

Với một mẫu kích thước n: W   ( , Y Xi 2i, , Xki) : i   1 n  thì hàm hồi quy mẫu(SRF) và mô hình hồi quy mẫu (SRM) có dạng:

n

Y Y

k k

ˆˆ

n

e e

Chương 2

Ước lượng mô hình

1 Phương pháp bình phương nhỏ nhất

1.1 Ước lượng mô hình hồi quy đơn(hay mô hình hồi quy 2 biến)

Xét mô hình hồi quy đơn dạng tuyến tính

1 2

1 2 1

1

1 2

1 2 1

2 1

ˆ

n

i i i n i i

x y x

1.2 Ước lượng mô hình hồi quy bội

a) Ước lượng mô hình hồi quy 3 biến

Xét mô hình hồi quy 3 biến dạng tuyến tính

1 2 3

1 2

1 2 3

1 3

i n

b) Ước lượng mô hình hồi quy k biến

Xét mô hình hồi quy bội (hay mô hình hồi quy k biến) dạng tuyến tính

n k

i n k

i

k k

Để giải được hệ trên điều kiện cần là ma trận X ’ X không suy biến, hay các biến độc lập

không có quan hệ cộng tuyến với nhau

2 Các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất

Để giải được nghiệm ˆ ( 1 )

Giả thiết 2: Các biến độc lập không ngẫu nhiên

Giả thiết 3: Trung bình sai số ngẫu nhiên bằng không, E u ( ) 0i   i

Giả thiết 4: Phương sai sai số ngẫu nhiên là không đổi,

Giả thiết 7: Số quan sát nhiều hơn số tham số cần ước lượng

Giả thiết 8: Các biến độc lập không có quan hệ cộng tuyến với nhau

Giả thiết 9: Dạng hàm của mô hình được chỉ định đúng

Dưới dạng ma trận, các giả thiết được mô tả như sau

Giả thiết 1: PRF có dạng E(Y) = Xβ hay Y = Xβ + u

Giả thiết 2: Ma trận X không ngẫu nhiên

Giả thiết 3: E(u) = [0]

Giả thiết 4 + 5: Cov(u) = 2

 I (với I là ma trận đơn vị)

Giả thiết 6: Cov(u, X) = [0]

Giả thiết 7: n > k

Giả thiết 8: r(X) = k (hạng của ma trận X bằng k)

Định lý Gauss – Markov: Nếu các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất

được thỏa mãn thì  ˆ = (X ’ X) -1 X ’ Y là ước lượng tuyến tính, không chệch, tốt nhất của β.

3 Tham số của ước lượng và các tính chất

Bằng phương pháp ước lượng bình phương nhỏ nhất, tìm được các

Độ lệch chuẩn của các hệ số ước lượng là ( ) ˆ Var( ) ˆj

j

    , ta chú ý rằng 2trong công thức trên là phương sai của sai số ngẫu nhiên, tức là 2= Var(ui),nhưng do tổng thể chưa biết nên 2

2 1

n i i

X E

n 

Tính chất 2: Y Y ˆ 

e Y







Tính chất 5: Đồ thị hàm hồi quy mẫu đi qua điểm trung bình mẫu

Chú ý: Nếu với mẫu ngẫu nhiên W   ( , Y Xi 2i, X3i, , Xki); i   1 n  thì cácước lượng nhận được bằng phương pháp LS là các đại lượng ngẫu nhiên, tuy nhiên vớimột phép thử trên mẫu ngẫu nhiên ta được một mẫu với những giá trị cụ thể, hay mẫu

Ước lượng và kiểm định giả thuyết

Như trên đã trình bày các ước lượng nhận được bằng phương pháp LS là dựa vào thôngtin mẫu Xuất phát từ các ước lượng nhận được ta muốn suy đoán thống kê về các tham

số của tổng thể thì ta cần phải biết quy luật phân phối xác suất của các ước lượng Doquy luật phân phối xác suất của các ước lượng đều có liên quan trực tiếp với quy luậtphân phối xác suất của sai số ngẫu nhiên, do vậy ta giả thiết sai số ngẫu nhiên có phânphối chuẩn (xem giả thiết 3 + 4 ở trên)

ˆ

ˆ ( )

1 Ước lượng khoảng cho các hệ số hồi quy

Với độ tin cậy 1   cho trước, 1 2  

1.1 Khoảng tin cậy cho từng hệ số

Với mẫu ngẫu nhiên ta có

Với mẫu cụ thể và với độ tin cậy 1   cho trước, ta có các khoảng tin cậy cho jnhư sau

Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng)

ˆ ( ) ˆ (n k)

     

1.2 Khoảng tin cậy cho hai hệ số

Với mẫu ngẫu nhiên ta có

2 Ước lượng khoảng cho phương sai sai số ngẫu nhiên

Với mẫu ngẫu nhiên ta có

Khoảng tin cậy hai phía

2 1

Khoảng tin cậy tối thiểu

2 2

3 Kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy

3.1 Kiểm định về từng hệ số hồi quy

Do chưa có tổng thể nên ta chưa biết được các j, nhưng có thể cho rằng nó bằng

j

T Se

  , do vậy với mức ý nghĩa 

cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng được các miền bác bỏ giảthuyết H0 tương ứng với các trường hợp sau

-) Nếu ta kiểm định cặp giả thuyết

* 0

* 1

: :

* 1

: :

* 1

: :

H H

j qs

j

T Se







Với trường hợp riêng ta có các chú ý sau :

) Nếu ta bác bỏ H0 thì ta nói hệ số j khác 0 một cách có ý nghĩa, hay hệ số j có ýnghĩa thống kê Nếu hệ số j không có ý nghĩa thống kê thì có nghĩa là biến độc lập Xj

không giải thích cho biến phụ thuộc Y, ngược lại nếu hệ số j có ý nghĩa thống kê thì

có nghĩa là biến độc lập Xj có giải thích cho biến phụ thuộc Y

) Có thể kiểm định bằng phương pháp P – value, theo đó với  cho trước mà  > P– value thì bác bỏ giả thuyết H0

3.2 Kiểm định về nhiều hệ số hồi quy

Do chưa có tổng thể nên ta chưa biết được các j, nhưng có thể cho rằng i  jbằng * (với * cho trước ) khi ấy ta đưa ra giả thuyết H0: i  j  * Để kiểmđịnh giả thuyết này ta chọn tiêu chuẩn kiểm định

-) Nếu ta kiểm định cặp giả thuyết

* 0

* 1

* 1

* 1

Có thể mở rộng cho kiểm định giả thuyết về hơn hai hệ số, chẳng hạn i  j  mhay tổ hợp của các hệ số a i  b j (với a, b là các hằng số cho trước).

4 Hệ số xác định

4.1 Phân tích độ biến động của biến phụ thuộc

Xuất phát từ mô hình hồi quy mẫu đó là

ˆ ˆ

Y   Y e  Y Y Y Y e     , bình phương hai vế đẳng thức này và áp dụng các tính chất của phương pháp LS ta có

  (Residual Sum of Squares) là tổng bình phương phần

dư, hay còn gọi là đại lượng đo tổng biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởicác yếu tố ngẫu nhiên

+) Ý nghĩa của hệ số xác định R2: Khi thêm biến giải thích vào mô hình thì hệ số xác

định tăng lên cho dù biến mới thêm vào có thực sự giải thích cho biến phụ thuộc haykhông Như vậy hai mô hình có số biến độc lập không giống nhau, khi đó đánh giá môhình nào giải thích được tốt hơn cho biến phụ thuộc dựa trên tiêu chí hệ số xác địnhkhông còn chính xác, do đó người ta dùng hệ số xác định điều chỉnh

Khi thêm biến giải thích vào mô hình, nếu hệ số xác định điều chỉnh tăng lên thì đó làmột trong các tiêu chí cho thấy nên thêm biến giải thích này vào mô hình (tất nhiên cầnchú ý đến ý nghĩa kinh tế của mô hình khi thêm biến mới)

5 Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy

Xét mô hình hồi quy k biến, hệ số xác định của mô hình trong tổng thể cho biết độ biến

động của biến phụ thuộc được giải thích bởi các biến độc laapjtrong mô hình Nếu R2

tổng thể bằng 0 thì các biến độc lập trong mô hình không giải thích được cho sự biếnđộng của biến phụ thuộc, khi ấy ta nói hàm hồi quy không phù hợp Ngược lại nếu R2

tổng thể lớn hơn 0 thì có nghĩa là trong mô hình có ít nhất một biến độc lập có giảithích cho sự biến động của biến phụ thuộc, khi ấy ta nói hàm hồi quy phù hợp Để kiểmđịnh sự phù hợp của hàm hồi quy, ta kiểm định cặp giả thuyết sau (với R2 trong tổngthể )

k j

Chú ý: R2 trong tiêu chuẩn kiểm định F là R2 ước lượng

Khi ấy với mức ý nghĩa  cho trước miền bác bỏ giả thuyết H0 là

2

(k-1; n-k) 2

tức là ta kết luận hàm hồi quy phù hợp Trường hợp ngược lại thì ta chưa có cơ sở bác

bỏ H0 ta kết luận hàm hồi quy không phù hợp

6 Kiểm định hồi quy có điều kiện ràng buộc (hay kiểm định thu hẹp hàm hồi quy)

Xét mô hình hồi quy k biến (hay k tham số)

Y  1 2X2  3X3   kXk  u

Nghi ngờ m biến độc lập Xk-m+1, Xk-m+2, …, Xk không giải thích cho biến phụ thuộc Y,

hay nói khác đi m biến này không có ý nghĩa trong mô hình Khi đó ta kiểm định cặp

giả thuyết sau

Nếu giả thuyết H0 là đúng thì từ mô hình có k tham số (gọi là mô hình Lớn – ký hiệu L)

có thể thu hẹp về mô hình còn (k - m) tham số (gọi là mô hình Nhỏ - ký hiệu N)

2 2

(m; n -k)

L N 2 L

Một số trường hợp đặc biệt

-) Trường hợp m = 1 thì kiểm định thu hẹp hàm hồi quy chính là kiểm định về từng hệ

số hồi quy, Fqs trong trường hợp này bằng bình phương Tqs ứng với hệ số đó

-) Trường hợp m = k – 1 thì kiểm định thu hẹp hàm hồi quy chính là kiểm định về sự

phù hợp của hàm hồi quy

-) Kiểm định mở rộng hàm hồi quy tương đương với kiểm định thu hẹp hàm hồi quy,

chú ý rằng k luôn là số tham số của mô hình lớn, dù là kiểm định về thu hẹp hay mở

rộng hàm hồi quy

7 Dự báo

Khi véc tơ X0  (1 X02 X30  X )0k cho trước ta cần dự báo giá trị trungbình và cá biệt của biến phụ thuộc

+) Dự báo giá trị trung bình E(Y/ X0)

Với độ tin cậy 1-  ta có khoảng tin cậy đối xứng của E(Y/ X0) như sau

+) Dự báo giá trị cá biệt (Y/ X0)

Với độ tin cậy 1-  ta có khoảng tin cậy đối xứng của (Y/ X0) như sau

0

2 1

0

2 1

1 ˆ

i i

Với TC là tổng chi phí, Q là sản lượng

Ta có mô hình hàm tổng chi phí như sau

TC = β1 + β2Q + β3Q2 + β4Q3 + u với β1 > 0, β2 > 0, β3 < 0, β4 > 0

Nếu ta đặt Q2 = Q2, Q3 = Q3 thì ta có mô hình tuyến tính sau