bài giảng kinh tế lượng căn bản

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A PHỤ LỤC A XEM LẠI MỘT SỐ KHÁI NIỆM THỐNG KÊ Phần phụ lục giới thiệu sơ lược số khái niệm thống kê gặp phải chương Các phân tích thảo luận không mang tính chặt chẽ không chứng minh vài sách tuyệt vời thống kê thực công việc tốt Một số sách liệt kê phần cuối phụ lục A.1 TOÁN TỬ TỔNG VÀ TÍCH Ký tự hoa Hy Lạp ∑ (sigma) sử dụng để biểu thò tổng Vậy, n ∑x i =1 i = x1 + x + + x n Một số tính chất quan trọng toán tử tổng ∑ gồm có: ∑ ∑ ∑ n i =1 n i =1 n i =1 k = nk , với k số Vậy, ∑ i =1 = ⋅ = 12 kx i = k ∑ i =1 x i , với k số n (a + bx i ) = na + b∑i =1 x i , với a b số suy từ tính chất n ∑ n i =1 (x i + y i ) = ∑ i =1 x i + ∑ i =1 y i n n Toán tử tổng mở rộng cho tổng bội Vậy, ∑ ∑, toán tử tổng kép, đònh nghóa sau: Damodar N Gujarati Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright n m ∑∑x i =1 j =1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A n = ∑ (x í1 + x i + + x im ) ij i =1 = (x11 + x21 + + xn1) + (x12 + x22 + + xn2) + + ((x1m + x2m + + xnm) Một số tính chất ∑ ∑ gồm có: ∑ ∑ n m i =1 j =1 x ij = ∑ j =1 ∑i =1 x ij ; tức là, thứ tự mà tổng kép thực có m n thể hoán đổi lẫn ∑ ∑ ∑ ∑ [∑ x ] x y j = ∑i =1 xi ∑ j =1 y j n n m i =1 j =1 i n m i =1 j =1 n i =1 i m ( x ij + yij ) = ∑ j =1 ∑i =1 x ij + ∑ j =1 ∑i =1 yij m n m n = ∑i =1 x i2 + 2∑i =1 ∑ j = i +1 x i x j = ∑i =1 x i2 + 2∑i < j x i x j n n −1 n n Toán tử tích ∏ đònh nghóa sau: n ∏x i =1 = x1 ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x n i Vậy, ∏x i =1 i = x1 ⋅ x ⋅ x A.2 KHÔNG GIAN MẪU, ĐIỂM MẪU VÀ BIẾN CỐ Tập hợp tất kết có khả xảy phép thử ngẫu nhiên hay tình cờ gọi tổng thể hay không gian mẫu, phần tử không gian mẫu gọi điểm mẫu Vậy, phép thử tung hai đồng xu, không gian mẫu bao gồm kết có khả xảy sau: HH, HT, TH TT, với HH hai lần tung sấp, HT có nghóa lần thứ sấp lần thứ hai ngửa, v.v Mỗi trường hợp điểm mẫu Một biến cố tập không gian mẫu Vậy, gọi A trường hợp đồng sấp đồng ngửa số kết xảy trên, có hai kết thuộc A, cụ thể HT TH Trong trường hợp này, A tạo thành tập Tương tự, việc xảy hai lần sấp tung hai đồng xu biến cố Các biến cố gọi xung khắc việc xảy biến cố loại trừ khả xảy biến cố Damodar N Gujarati Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A Nếu ví dụ trên, HH xảy biến cố HT đồng thời xảy Các biến cố gọi biến cố đầy đủ chúng đại diện cho toàn kết xảy phép thử Vậy, ví dụ trên, biến cố (a) hai sấp, (b) hai ngửa (c) sấp, ngửa đại diện cho toàn kết quả; có nghóa chúng biến cố đầy đủ A.3 XÁC SUẤT VÀ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Xác suất Gọi A biến cố không gian mẫu P(A), xác suất biến cố A, tỷ lệ số lần biến cố A xảy lần lặp lại phép thử Nói cách khác, tổng số n kết đồng khả phép thử, m số thuận lợi cho việc xảy biến cố A, ta đònh nghóa tỷ lệ m/n tần suất tương đối A Với giá trò lớn n, tần suất tương đối cho ta số gần tốt cho xác suất A Các tính chất xác suất P(A) hàm giá trò thực1 có tính chất sau: ≤ P(A) ≤ với A Nếu A, B, C, tạo thành tập hợp đầy đủ biến cố P(A + B + C + ) = 1, với A + B + C nghóa A B C, v.v Nếu A, B, C, biến cố xung khắc, P(A + B + C + ) = P(A) + P(B) + P(C) + Ví dụ Xem xét phép thử tung súc sắc với mặt đánh số từ đến Không gian mẫu gồm kết 1, 2, 3, 4, Do vậy, sáu biến cố chiếm toàn không gian mẫu Xác suất số xuất 1/6 có sáu kết đồng khả số chúng có hội xuất Do 1, 2, 3, 4, tạo thành tập hợp đầy đủ biến cố, P(1 + + + + + 6) = với 1, 2, 3, có nghóa xác suất xuất số hay số hay số 3, v.v Và 1, 2, , biến cố xung khắc, tức hai số xảy ra, , P(1 + + + + + 6) = P(1) + P(2) + + P(6) = Các biến ngẫu nhiên Một biến mà giá trò xác đònh kết phép thử ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên (random varibale - rv) Các biến ngẫu nhiên thường Một hàm số có miền khoảng giá trò la øcác tập số thực thường gọi hàm giá trò thực Về chi tiết, xem Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics (Các phương pháp toán kinh tế bản), Xuất lần bậc 3, Mc Graw-Hill, 1984, Chương Damodar N Gujarati Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A biểu thò ký tự hoa X, Y, Z, v.v , giá trò mà chúng nhận biểu thò ký tự thường x, y, z, v.v Một biến ngẫu nhiên rời rạc hay liên tục Một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số giá trò có giới hạn (hay vô hạn đếm được).2 Ví dụ, việc tung hai súc sắc, đánh số từ đến 6, ta đònh nghóa biến ngẫu nhiên X tổng số xuất mặt súc sắc, X nhận giá trò: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 hay 12 Như vậy, biến ngẫu nhiên rời rạc Mặt khác, biến ngẫu nhiên liên tục biến nhận giá trò khoảng giá trò Vậy, chiều cao người biến liên tục − khoảng, ví dụ, 60 đến 65 in, nhận giá trò nào, phụ thuộc vào độ xác phép đo A.4 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT (PDF) Hàm mật độ xác suất biến rời rạc Gọi X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trò riêng rẽ x1, x2, , xn, Vậy, hàm số f(x) = P(X = xi) = với i = 1, 2, , n, với x ≠ xi gọi hàm mật độ xác suất rời rạc (PDF) X, với P(X = xi) xác suất mà biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trò xi Ví dụ Trong việc tung hai súc sắc, biến ngẫu nhiên X, tổng số xuất mặt hai súc sắc, nhận 11 giá trò PDF biến biểu diễn sau (xem Hình A.1): x = f(x) = 10 11 12  1  2  3  4  5  6  5  4  3  2  1                        36   36   36   36   36   36   36   36   36   36   36  Các xác suất dễ dàng chứng minh Trong tất 36 kết xảy ra, thuận lợi cho số 2, hai thuận lợi cho số (do tổng xảy súc sắc súc sắc thứ hai hay súc sắc súc sắc thứ hai) v.v Đối với thảo luận đơn giản khái niệm tập hợp vô hạn đếm được, xem R G D Allen, Basic Mathematics (Toán học bản), Macmillan, London, 1964, trang 104 Damodar N Gujarati Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A f(x) 36 36 36 36 36 36 10 11 12 HÌNH A.1 Hàm mật độ biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ Hàm xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Gọi X biến ngẫu nhiên liên tục Vậy, f(x) gọi PDF X điều kiện sau thỏa mãn: f(x) ≥ ∫ ∞ −∞ f ( x )dx = ∫ f (x )dx = P (a ≤ x ≤ b) b a với f(x)dx gọi phần tử xác suất (xác suất gắn với khoảng nhỏ biến liên tục) với P(a ≤ x ≤ b) xác suất X nằm khoảng a đến b Về hình học, ta có Hình A.2 Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, trái với biến ngẫu nhiên rời rạc, xác suất X nhận giá trò cụ thể 0;3 xác suất biến ngẫu nhiên liên tục tính khoảng, (a, b) Hình A.2 Ví dụ Xem xét hàm mật độ sau: f(x) = Lưu ý: x; 0≤x≤3 a ∫ f (x)dx = a Damodar N Gujarati Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A Ta chứng minh f(x) ≥ với x khoảng tới ∫ x dx = 33 (Lưu ý: tích phân ( x |0 ) = 1) Nếu muốn đánh giá PDF khoảng, ví dụ, 27 11 1 1, ta có x dx = ( x |10 ) = ; tức là, xác suất x nằm 1/27 27 27 ∫ a b HÌNH A.2 Hàm mật độ đại lượng ngẫu nhiên liên tục Hàm đồng mật độ xác suất Đồng PDF rời rạc Gọi X Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm số f(x, y) = P(X = x Y = y) = X ≠ x Y ≠ y gọi hàm đồng mật độ xác suất cho ta (đồng) xác suất X nhận giá trò x Y nhận giá trò y Ví dụ Bảng sau cho ta đồng PDF biến rời rạc X Y Y −2 0,27 X 0,08 0,04 0,16 0,10 0,35 Bảng cho ta biết xác suất X nhận giá trò −2 Y đồng thời nhận giá trò 0,27 xác suất X nhận giá trò Y nhận giá trò 0,35 Hàm mật độ xác suất biên tế Trong quan hệ với f(x, y), f(x) f(y) gọi hàm mật độ xác suất riêng rẽ hay biên tế Các PDF biên tế thiết lập sau: Damodar N Gujarati Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright f(x) = ∑ f (x , y ) PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A PDF biên tế X y f(y) = ∑ f (x , y ) PDF biên tế Y x với, ví dụ, ∑y tổng tính theo tất giá trò Y ∑x tổng tính theo tất giá trò X Ví dụ Xem xét số liệu Ví dụ PDF biên tế X tính sau: f(x = −2) = ∑ f (x , y ) = 0,27 + = 0,27 y f(x = 0) = ∑ f (x , y ) = 0,08 + 0,04 = 0,12 y f(x = 2) = ∑ f (x , y ) = 0,16 + 0,10 = 0,26 y f(x = 3) = ∑ f (x , y ) = + 0,35 = 0,35 y Cũng thế, PDF biên tế Y tính sau: f(y = 3) = f(y = 6) = ∑ f (x , y ) = 0,27 + 0,08 + 0,16 + = 0,51 x ∑ f (x , y ) = + 0,04 + 0,10 + 0,35 = 0,49 x Như ví dụ cho thấy, để tính PDF biên tế X ta cộng số theo cột dọc để tính PDF biên tế Y ta công số theo hàng ngang Lưu ý ∑xf(x) tất giá trò X ∑yf(y) tất giá trò Y (Tại sao?) PDF có điều kiện Như lưu ý Chương 2, phân tính hồi quy ta thường quan tâm tới việc nghiên cứu hành vi biến theo giá trò (các) biến khác Điều thực cách xem xét PDF có điều kiện Hàm số f(x | y) = P(X = x | Y = y) gọi PDF có điều kiện X; cho ta xác suất X nhận giá trò x với điều kiện Y có giá trò y Tương tự, f(y | x) = P(Y = y |X = x) cho ta PDF có điều kiện Y PDF có điều kiện tính sau: Damodar N Gujarati Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A f ( x, y ) f ( y) f ( x, y ) f ( y x) = f ( x) PDF có điều kiện X f ( x y) = PDF có điều kiện Y Như biểu thức cho thấy, PDF có điều kiện biến biểu diễn tỷ số đồng PDF PDF biên tế biến khác Ví dụ Tiếp tục với Ví dụ 5, tính xác suất có điều kiện sau: f ( X = − Y = 3) = f ( X = −2, Y = 3) = 0,27 / 51 = 0.53 f (Y = 3) Lưu ý xác suất điều kiện f(X = −2) 0,27, Y nhận giá trò 3, xác suất X nhận giá trò −2 0,53 f ( X = Y = 6) = f ( X = 2, Y = ) = 0,10 / 0,49 = 0.20 f (Y = 6) Cũng lưu ý xác suất điều kiện X nhận giá trò 0,26, khác với 0,20 xác suất X nhận giá trò Y nhận giá trò Độc lập thống kê Hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập mặt thống kê f(x, y) = f(x)f(y) tức là, đồng PDF biểu diễn tích PDF biên tế Ví dụ Một túi chứa cầu đánh số 1, Hai cầu lấy từ túi cách ngẫu nhiên, có thay (nghóa cầu thứ lấy đưa trở lại vào túi trước lấy lần thứ hai) Gọi X chữ số cầu thứ lấy Y chữ số cầu thứ hai lấy Bảng sau cho ta đồng PDF X Y Y Damodar N Gujarati X 9 9 9 9 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Bây giờ, f(X = 1, Y = 1) = PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A 1 , f(X = 1) = (tính cách cộng cột thứ nhất) f(Y = 1) = (tính cách cộng hàng thứ nhất) Do f(X, Y) = f(X)f(Y) ví dụ này, ta nói hai biến độc lập mặt thống kê Ta dễ dàng kiểm tra tổ hợp khác giá trò X Y bảng trên, đồng PDF tính tích PDF riêng rẽ Ta có thấy biến X Y cho ví dụ không độc lập thống kê tích hai PDF riêng rẽ không với đồng PDF (lưu ý: f(X,Y)=f(X)f(Y) phải với tất tổ hợp X Y hai biến độc lập thống kê Đồng PDF liên tục PDF f(x, y) hai biến liên tục X Y: f(x, y) ≥ ∞ ∞ ∫−∞ ∫−∞ f ( x, y)dxdy = d b ∫c ∫a f ( x, y)dxdy = P(a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ) Ví dụ Xem xét PDF sau: ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ f(x, y) = − x − y Rõ ràng f(x, y) ≥ Hơn nữa4 ∫0 ∫0 (2 − x − y )dxdy = 1 PDF biên tế X Y tính sau: ∞ f ( x) = ∫−∞ f ( x, y)dy f ( y) = ∫−∞ f ( x, y)dx ∞ PDF biên tế X PDF biên tế Y Ví dụ Hai PDF biên tế đồng PDF Ví dụ tính sau: 1  2   3  1 x y         (2 − x − y )dx  dy =  x − − xy   dy =  − y dy =  y −  = 0       0   1 ∫ ∫ ∫ ∫ Lưu ý: Biểu thức ( y − y / 2) |10 có nghóa biểu thức ngoặc tính giá trò giới hạn (bằng 1) giá trò giới hạn (bằng 0); giá trò trước trừ giá trò sau cho ta giá trò tích phân Vậy, 3 1 ví dụ trên, giới hạn  −  y = y = 0, từ cho ta giá trò tích phân 2 2 Damodar N Gujarati Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright f(x) = PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A 1 ∫0 f ( x, y)dy = ∫0 (2 − x − y)dy    y − xy − y  = − x    f(y) = 0≤x≤1 ∫0 f ( x, y)dx = ∫0 (2 − x − y)dx 2   y − xy − x  = − y    0≤y≤1 Để xem xét xem hai biến Ví dụ có độc lập thống kê hay không, ta cần phải tìm 3   xem f(x, y) có f(x)f(y) không Do (2 − x − y) ≠  − x  − y  , ta nói hai 2   biến không độc lập thống kê A.5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Một phân phối xác suất thường tóm tắt vài đặc điểm nó, gọi mômen phân phối Hai số mômen sử dụng rộng rãi giá trò trung bình hay giá trò kỳ vọng phương sai Giá trò kỳ vọng Giá trò kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu E(X), đònh nghóa sau: E ( X ) = ∑ xf ( x) x với ∑x tổng tính theo tất giá trò X với f(x) PDF (rời rạc) X Ví dụ 10 Xem xét phân phối xác suất tổng hai số phép thử tung hai súc sắc Ví dụ (Xem Hình A.1) Nhân giá trò khác X thu với xác suất chúng cộng theo tất quan sát, ta có: E ( X ) = 2( =7 1 ) + 3( ) + 4( ) + + 12( ) 36 36 36 36 Kết giá trò trung bình tổng số quan sát tung hai súc sắc Ví dụ 11 Ước lượng E(X) E(Y) từ số liệu Ví dụ Ta thấy x f(x) Damodar N Gujarati −2 0.27 0,12 0,26 10 0,35 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright θ$ = PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A (x + x + + x n ) = X n với X giá trò trung bình mẫu X ước lượng giá trò trung bình, ví dụ, µ Nếu trường cụ thể, X = 50, cho ta ước lượng µ Ước lượng θˆ tính gọi ước lượng điểm cung cấp ước lượng (điểm) θ Ước lượng khoảng Thay tính ước lượng đơn θ giả sử ta tính hai ước lượng θ cách thiết lập hai ước lượng θˆ1 (x1, x2, , xn) θˆ2 (x1, x2, , xn), phát biểu với mức tin cậy đònh (nghóa xác suất) khoảng θˆ θˆ chứa giá trò θ Vậy, ước lượng khoảng, khác với ước lượng điểm, ta tạo dãy giá trò mà giá trò θ nằm Khái niệm then chốt đằng sau ước lượng khoảng ý tưởng phân phối mẫu, hay phân phối xác suất, ước lượng Ví dụ, ta biến X có phân phối chuẩn, trung bình mẫu X có phân phối chuẩn với giá trò trung bình = µ (giá trò trung bình đúng) phương sai = σ 2/n, với n cỡ mẫu Nói cách khác, phân phối mẫu hay xác suất ước lượng X X ~ N(µ , σ 2/n) Vì vậy, ta thiết lập khoảng X ±2 σ n phát biểu xác suất khoảng giống chứa giá trò µ gần 0,95 hay 95%, thực tế ta thiết lập ước lượng khoảng cho µ Lưu ý khoảng trình bày ngẫu nhiên dựa vào X , X thay đổi theo mẫu khác Tổng quát hơn, ước lượng khoảng, ta thiết lập hai ước lượng θˆ1 θˆ2 , hai hàm số giá trò X mẫu, cho Pr( θˆ1 ≤ θ ≤ θˆ2 ) = -α 0 giả thiết phức hợp giá trò σ không cụ thể hóa Để kiểm đònh giả thiết không (nghóa để kiểm đònh giá trò nó), ta sử dụng thông tin mẫu để tính gọi trò thống kê kiểm đònh Thường trò thống kê kiểm đònh ước lượng điểm thông số chưa biết Sau ta tìm phân phối mẫu hay xác suất trò thống kê kiểm đònh sử dụng phương pháp khoảng tin cậy hay kiểm đònh mức ý nghóa để kiểm đònh giả thiết không Cách thức tiến hành minh họa Hãy quay lại với Ví dụ 23 chiều cao (X) nam tổng thể Ta biết rằng: Xi ~ N(µ, σ2) = N(µ, 2,52) X = 67 n = 100 Hãy giả thiết H0: µ = µ* = 69 H1: µ ≠ 69 Câu hỏi đặt liệu mẫu với trò thống kê kiểm đònh X = 67 lấy từ tổng thể có giá trò trung bình 69 không? Về trực giác, ta không bác bỏ giả thiết không X “đủ gần” với µ*; không ta bác bỏ chấp nhận giả thiết thay Nhưng làm ta đònh X ”đủ gần” với µ*? Ta áp dụng hai phương pháp: (1) khoảng tin cậy (2) kiểm đònh mức ý nghóa Cả hai phương pháp đưa đến kết luận đồng áp dụng cụ thể Phương pháp khoảng tin cậy Do Xi ~ N(µ, σ2), ta biết trò thống kê kiểm đònh X tuân theo phân phối sau: Damodar N Gujarati 37 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A X ~ N(µ, σ2/n) Do ta biết phân phối xác suất X , lại không thiết lập, ví dụ, khoảng tin cậy 100(1 − α) cho µ dựa vào X tìm xem khoảng tin cậy có chứa µ = µ* không? Nếu có, ta không bác bỏ giả thiết không; không, ta bác bỏ giả thiết không Vậy, α = 0,05, ta có khoảng tin cậy 95% khoảng tin cậy chứa µ*, ta không bác bỏ giả thiết không − 95 số 100 khoảng thiết lập có khả chứa µ* Trên thực tế, cách làm thực sau: X ~ N(µ, σ2/n), ta có Zi = X −µ σ/ n ~ N (0, 1) tức là, biến chuẩn hóa Vậy, từ bảng phân phối chuẩn ta biết Pr(−1,96 ≤ Zi ≤ 1,96) = 0,95 Tức là,   X −µ ≤ 1,96  = 0,95 Pr  − 1,96 ≤ σ/ n   Sắp xếp lại, ta có  σ σ   = 0,95 Pr  X − 1,96 ≤ µ ≤ X + 1,96 n n  Biểu thức khoảng tin cậy 95% cho µ Khi khoảng tin cậy thiết lập, kiểm đònh giả thiết không đơn giản Tất ta phải làm tìm xem µ = µ* có nằm khoảng không Nếu có, ta không bác bỏ giả thiết không; không, ta bác bỏ Trở lại ví dụ trên, ta thiết lập xong khoảng tin cậy 95% cho µ 66,51 ≤ µ ≤ 67,49 Khoảng rõ ràng không chứa µ = 69 Do vậy, ta bác bỏ giả thiết không cho giá trò µ 69 với hệ số tin cậy 95% Về mặt hình học, trường hợp biểu diễn Hình A.12 Trong ngôn ngữ kiểm đònh thống kê, khoảng tin cậy mà ta thiết lập gọi miền chấp nhận (các) vùng nằm miền chấp nhận gọi miền tới hạn hay miền bác bỏ giả thiết không Các giới hạn miền chấp nhận (các giới hạn phân chia miền chấp nhận khỏi miền bác bỏ) gọi Damodar N Gujarati 38 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A giá trò tới hạn Trong ngôn ngữ kiểm đònh giả thiết, giá trò giả thiết nằm miền chấp nhận, ta không bác bỏ giả thiết không; không ta bác bỏ µ = 69 nằm miền 95% Miền chấp nhận Miền tới hạn  2,5  X − 1,96    10  Miền tới hạn  2,5  X + 1,96    10  66,51 67,49 HÌNH A.12 Khoảng tin cậy 95% cho µ Cần lưu ý việc đònh bác bỏ hay không bác bỏ H0, ta có khả mắc hai loại sai lầm: (1) ta bác bỏ H0 thực tế; sai lầm gọi sai lầm loại I (vậy, ví dụ X = 67 từ tổng thể có giá trò trung bình 69), hay (2) ta không bác bỏ H0 sai thực tế; sai lầm gọi sai lầm loại II Do vậy, kiểm đònh giả thiết không thiết lập giá trò µ Nó cung cấp phương tiện để đònh ta coi µ = µ* không? Sai lầm loại I loại II Ta có bảng sau: Tính chất Quyết đònh Bác bỏ Không bác bỏ H0 Sai lầm loại I Không mắc sai lầm H0 sai Không mắc sai lầm Sai lầm loại II Về mặt lý tưởng, ta muốn tối thiểu hóa hai loại sai lầm Nhưng không may cỡ mẫu đònh, tối thiểu hóa hai loại sai lầm lúc Phương pháp cổ điển để giải vấn đề này, nằm công trình nghiên cứu Neyman Pearson, giả sử sai lầm loại I có nhiều khả nghiêm trọng so với sai lầm loại II thực tế Do vậy, ta phải giữ xác suất mắc sai lầm loại I mức tương đối thấp, 0,01 hay 0,05, cố gắng tối thiểu hóa xác suất mắc sai lầm loại II nhiều tốt Damodar N Gujarati 39 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A Trong lý thuyết, xác suất sai lầm loại I ký hiệu α gọi mức ý nghóa Phương pháp cổ điển kiểm đònh giả thiết cố đònh α mức 0,01 hay 0,05 cố gắng tối đa hóa sức mạnh kiểm đònh; tức là, tối thiểu hóa β Việc thực vấn đề phức tạp dành chủ đề cho phần tham khảo Ta cần lưu ý thực tế, phương pháp cổ điển đơn giản cụ thể hóa giá trò α mà không quan tâm nhiều đến β Người đọc tới nhận thấy hệ số tin cậy (1 − α) thảo luận trước đơn giản trừ xác suất mắc sai lầm loại I Vậy, hệ số tin cậy 95% có nghóa ta chấp nhận xác suất mắc sai lầm loại I lớn 5% − ta không muốn bác bỏ giả thiết nhiều số 100 lần Giá trò p hay mức ý nghóa xác Thay chọn trước α mức tùy ý 1, hay 10%, ta tính giá trò p (xác suất) hay mức ý nghóa xác trò thống kê kiểm đònh Giá trò p đònh nghóa mức ý nghóa thấp mà giả thiết không bò bác bỏ Giả sử ứng dụng gồm 20 bậc tự do, ta tính giá trò t 3,552 Bây giờ, giá trò p hay xác suất xác để thu giá trò t 3,552 hay lớn tính từ Bảng D.2 0,001 (một phía) hay 0,002 (hai phía) Ta nói giá trò t quan sát 3,552 có ý nghóa thống kê mức 0,001 hay 0,002, phụ thuộc vào loại kiểm phía hay hai phía mà ta sử dụng Một vài phần mềm thống kê tự động in giá trò p trò thống kê kiểm đònh ước lượng Do vậy, người đọc nên báo cáo giá trò p Phương pháp kiểm đònh ý nghóa Nhớ lại Zi = X −µ σ/ n ~ N(0, 1) Trong ứng dụng đònh, X n biết trước (hay ước lượng), giá trò µ σ trước Nhưng σ cụ thể hóa ta giả thiết (theo H0) µ = µ*, giá trò số cụ thể, Zi tính trực tiếp ta dễ dàng tra bảng phân phối chuẩn để tìm xác suất nhận giá trò Z tính Nếu xác suất nhỏ, ví dụ, nhỏ 5% hay 1%, ta bác bỏ giả thiết không − giả thiết đúng, hội nhận giá trò Z cụ thể phải lớn Đây ý tưởng chung đằng sau phương pháp kiểm đònh ý nghóa kiểm đònh giả thiết Ý tưởng then chốt trò thống kê kiểm đònh (ở trò thống kê Z) phân phối xác Damodar N Gujarati 40 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A suất với giá trò giả thiết µ = µ* Nói cách thích hợp, trường hợp này, kiểm đònh gọi kiểm đònh Z, ta sử dụng giá trò Z (chuẩn hóa) Quay lại với ví dụ chúng ta, µ = µ* = 69, thống kê Z trở thành: Z = = X − µ* σ/ n 67 − 69 2,5 / 100 = −2/0,25 = −8 Nếu tra Bảng phân phối chuẩn D.1, ta thấy xác suất nhận giá trò Z vô nhỏ (Lưu ý: Xác suất giá trò Z lớn hay − vào khoảng 0,001 Do vậy, xác suất giá trò Z lớn nhỏ hơn) Vậy, ta bác bỏ giả thiết không cho µ = 69; với giá trò này, hội đạt X = 67 vô nhỏ Vì vậy, ta nghi ngờ mẫu lấy từ tổng thể có giá trò trung bình 69 Về đồ thò, trường hợp biểu diễn Hình A.13 Trong ngôn ngữ kiểm đònh ý nghóa, nói (trò thống kê) kiểm đònh có ý nghóa, điều có nghóa ta bác bỏ giả thiết không Và trò thống kê kiểm đònh coi có ý nghóa xác suất đạt nhỏ α, xác suất suất mắc sai lầm loại I Vậy, α = 0,05, ta biết xác suất đạt giá trò Z −1,96 hay 1,96 5% (hay 2,5% phía phân phối chuẩn hóa) Trong ví dụ minh họa chúng ta, Z −8 Vậy, xác suất đạt giá trò Z nhỏ 2,5% nhiều, nhỏ xác suất mắc sai lầm loại I mà ta xác đònh trước Vì mà giá trò tính Z = −8 có ý nghóa thống kê; tức là, ta bác bỏ giả thiết không cho giá trò µ* = 69 Tất nhiên, ta có kết luận sử dụng phương pháp khoảng tin cậy kiểm đònh giả thiết Bây giờ, ta tóm tắt bước kiểm đònh giả thiết thống kê: Bước Phát biểu giả thiết H0 giả thiết thay H1 (ví dụ, H0: µ = 69 H1: µ ≠ 69) Bước Lựa chọn trò thống kê kiểm đònh (ví dụ, X ) Bước Xác đònh phân phối xác suất trò thống kê kiểm đònh (ví dụ, X ~ N(µ, σ2/n) Bước Lựa chọn mức ý nghóa (nghóa xác suất mắc sai lầm loại I) α Bước Sử dụng phân phối xác suất trò thống kê kiểm đònh, thiết lập khoảng tin cậy 100(1 − α)% Nếu giá trò thông số theo giả thiết không (ví dụ, µ = µ* Damodar N Gujarati 41 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng – Phụ lục A = 69) nằm miền tin cậy này, tức miền chấp nhận, ta không bác bỏ giả thiết không Nhưng nằm khoảng (nghóa nằm miền bác bỏ), ta bác bỏ giả thiết không Lưu ý không bác bỏ hay bác bỏ giả thiết không, bạn chấp nhận khả mắc sai lầm α% lần Z = −8 nằm miền 2,5% 2,5% −1,96 1,96 HÌNH A.13 Phân phối thống kê Z TÀI LIỆU THAM KHẢO Về chi tiết trình bày phụ lục này, người đọc tham khảo tài liệu sau: Hoel, Paul G.: Introduction to Mathematical Statistics (Giới thiệu Thông kê Toán), Xuất lần bậc 4, John Wiley & Sons, New York, 1974 Cuốn sách giới thiệu đơn giản khía cạnh khác thống kê toán Freund, John E & Ronald E Walpole: Mathematical Statistics (Thống kê Toán), xuất lần bậc 3, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1980 Đây sách giáo khoa thống kê toán Mood, Alexander M., Franklin A Graybill & Duane C Boes: Introduction to the Theory of Statistics (Giới thiệu Lý thuyết Thống kê), xuất lần bậc 3, McGraw-Hill, New York, 1974 Đây sách giới thiệu toàn diện lý thuyết thống kê tương đối khó sách giáo khoa Newbold, Paul: Statistics for Business and Economics, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1984 Đây sách giới thiệu toàn diện thống kê không mang tính toán học với nhiều tập giải Damodar N Gujarati 42 Hào Thi/X Thành [...]... Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright θ$ = PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A 1 (x + x 2 + + x n ) = X n 1 với X là giá trò trung bình mẫu thì X là một ước lượng của giá trò đúng của trung bình, ví dụ, µ Nếu trong một trường cụ thể, X = 50, nó cho ta một ước lượng của µ Ước lượng θˆ tính được ở trên được gọi là ước lượng điểm bởi vì nó chỉ cung cấp một ước lượng duy nhất (điểm)... tính chất này là quan điểm cho rằng một ước lượng có một phân phối mẫu hay xác suất Các tính chất mẫu nhỏ Không thiên lệch Một ước lượng θˆ được gọi là ước lượng không thiên lệch nếu giá trò kỳ vọng của θˆ bằng với giá trò đúng của θ; tức là: Damodar N Gujarati 29 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A E( θˆ ) = θ hay E( θˆ ) −... (tại sao?) 3 Ước lượng không thiên lệch tốt nhất hay hiệu quả Nếu θˆ1 và θˆ2 là hai ước lượng không thiên lệch của θ và phương sai của θˆ1 nhỏ hơn hay nhiều nhất là bằng phương sai của θˆ , thì θˆ được gọi là ước lượng không thiên lệch có phương sai nhỏ nhất, 2 1 Damodar N Gujarati 30 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A hay... tăng lên, phân phối t gần đúng với phân phối chuẩn Damodar N Gujarati 24 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A 2 Giá trò trung bình của phân phối chuẩn bằng 0 và phương sai của nó bằng 2) k/(k − Phân phối t được lập bảng trong Bảng D.2 Ví dụ 21 Với số bậc tự do = 13, xác suất nhận một giá trò t (a) khoảng bằng 3 hay lớn hơn, (b)... nghóa này, ρ là đại lượng đo lường mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến và nằm giữa −1 và +1, − biểu thò quan hệ nghòch biến hoàn hảo và +1 biểu thò quan hệ đồng biến hoàn hảo Từ công thức ở trên, ta có thể thấy rằng cov(X, Y) = ρσxσy Damodar N Gujarati 15 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A Ví dụ 16 Ước lượng hệ số tương quan... giản là bằng 6 chính nó Damodar N Gujarati 32 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A Các tính chất mẫu lớn Thường xảy ra trường hợp một ước lượng không thỏa mãn một hay nhiều tính chất thống kê mong muốn trong các mẫu nhỏ Nhưng khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn, ước lượng có một số tính chất thống kê mong muốn Các tính chất này được gọi... xung quanh giá trò kỳ vọng có thể được tính bằng phương sai với đònh nghóa như sau: var(X) = σ X2 = E(X − µ)2 Damodar N Gujarati 12 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A Căn bậc hai dương của σ X2 , σX, được đònh nghóa là độ lệch chuẩn của X Phương sai hay độ lệch chuẩn cho biết các giá trò của biến X phân phối gần hay xa giá trò... hay phẳng), như mô tả trong Hình A.3 Lệch về bên phải Cân xứng Lệch về bên trái HÌNH A.3 (a) Skewness; (b) kurtosis Một đại lượng skewness được đònh nghóa như sau: Damodar N Gujarati 18 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A [E ( X − µ ) ] S= [E ( X − µ ) ] 3 2 2 3 = Bình phương của mômen bậc ba xung quanh giá trò trung bình Lập... phương sai đơn vò Thay thế z vào PDF chuẩn ở trên, ta có: Damodar N Gujarati 20 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A f(Z) =  1  exp − Z 2   2  2π 1 f(Z) là PDF của biến chuẩn hóa Các xác suất trong Phụ lục D, Bảng D.1 được dựa vào biến chuẩn hóa này Theo quy ước, ta ký hiệu biến có phân phối chuẩn là X ~ N(µ, σ2) với... bX2 với a và b là hằng số Ta có thể chỉ ra rằng Y ~ N[(aµ1 + bµ2), (a2 σ 12 + b2 σ 22 )] Damodar N Gujarati 21 Hào Thi/X Thành Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Kinh tế lượng căn bản – Phụ lục A Kết quả này, trong đó phát biểu rằng bản thân kết hợp tuyến tính của các biến có phân phối chuẩn cũng có phân phối chuẩn, có thể được dễ dàng tổng quát hóa cho kết hợp tuyến tính