Chuyên đề xác suất và biến ngẫu nhiên rời rạc

Tính xác suất để mỗi khối có ít nhất một em được chọn.. Bài giải Xét T “lấy ngẫu nhiên môt khối lập phương nhỏ trong hình lập phương” Gọi Ω là tập hợp các kết quả có thể có A “Khối đó c

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT

-KIÊN GIANG-

** Lớp 11T2- Tổ 2**

CHUYÊN ĐỀ: Xác suất và biến ngẫu nhiên rời rạc

Thành viên tổ

1.Đỗ Huy Khoa

2.Nguyễn Minh Tú

3.Trần Đỗ Thảo Trang

4.Nguyễn Thị Hồng Phượng

5.Nguyễn Minh Nhựt

6.Lý Thái Bảo

7.Lê Ngọc Minh

I Các bài toán chọn vật

1.Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11

và 5 học sinh khối 10 Cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè Tính xác suất để mỗi khối có ít nhất một em được chọn

Bài giải

Xét T “Cử 8 em trong số 18 em đi dự trại hè”

Gọi D là biến cố “Mỗi khối có ít một em được chọn”

Đầu tiên, ta tính các khả năng của không gian mẫu Ω

/Ω/ = C188 = 43758

Sau đó, ta xét các khả năng thuận lợi cho biến cố D

Goi A là tập hợp tất cả cách cử 8 học sinh dự trại hè (lựa chọn từ 18 em)

Gọi B là tập hợp tất cả cách cử 8 học sinh dự trại hè mà không đủ học sinh của 3 khối

Gọi C là tập hợp cần tìm (tức là thỏa mãn yêu cầu đề bài) Ta có:

A=B∪C ; B ∩ C=∅

Vì theo quy tắc cộng, ta có: A = B + C hay C = A − B (1)

• Tính A : Dễ thấy A chính là số cách chọn 8 em từ 18 em (không quan tâm đến thứ tự sắp xếp), vậy :

.43758

!8

!10

!188

!5

!138 13

!4

!128 12

!8

!3

!118 11

⇒ P(D) = 41811

43758 ≈ 0.9555

2.Có một khối lập phương được tạo thành từ 729 hình lập phương nhỏ giống hệt nhau Ở mỗi mặt, chính giữa khoét một dãy khối lập phương nhỏ xuyên từ tâm mặt này sang tâm mặt đối diện (có ba dãy, mỗi dãy chín khối) Lấy sơn bôi lên toàn bộ bề mặt trong ngoài của hình lập phương lớn Lấy ngẫu nhiên một khối lập phương nhỏ trong đó Tính xác suất để

a) Khối đó chỉ có một mặt bị bôi đen

b) Khối đó chỉ có hai mặt bị bôi đen

c) Khối đó có ba mặt bị bôi đen

d) Khối đó không có mặt nào bị bôi đen

Bài giải

Xét T “lấy ngẫu nhiên môt khối lập phương nhỏ trong hình lập phương”

Gọi Ω là tập hợp các kết quả có thể có

A “Khối đó chỉ có một mặt bị bôi đen”

B “Khối đó chỉ có hai mặt bị bôi đen”

C “Khối đó có ba mặt bị bôi đen”

D “Khối đó không có mặt nào bị bôi đen”

Dựa vào sự quan sát hình vẽ, ta có

4.Có 2 hộp A, B.Hộp A chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi xanh Hộp B chứa 3 viên bi trắng, 4 viên bi xanh Gieo 1 con súc sắc, nếu xuất hiện chấm lớn hơn 4 thì chọn hộp A, nếu không chọn hộp B Sau đó lấy 1 viên

bi từ hộp đã chọn Tính xác suất để viên bi đó là trắng

Bài giải

Đầu tiên, ta tính xác suất có thể phải dùng đến hộp A và xác suất có thể phải dùng đến hộp B

Một con súc sắc có 6 mặt

Xác suất xuất hiện số chấm lớn hơn 4 là: 2/6 =1/3

Xác suất xuất hiện số chấm bé hơn hoặc bằng 4 là: 4/6 = 2/3

→ Xác suất chọn hộp A là 1/3, xác suất chọn hộp B là 2/3 Tiếp theo, ta tính xác suất chọn được viên bi

trắng ở từng hộp

Xác suất lấy được viên bi trắng ở hộp A là 4/9

Xác suất lấy được viên bi trắng ở hộp B là 3/7

Tóm lại xác suất lấy được viên bi trắng = 1/3 * 4/9 + 2/3 * 3/7 ≈ 0.434

5 Trong cùng một mặt phẳng cho 6 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Giữa 2 điểm bất kì ta đặt một que diêm Bỏ ra 9 que diêm từ các que diêm vừa xếp Tính xác suất để khi bỏ ra, từ một điểm bất kì,

ta luôn có đường đi bằng diêm đến một điểm bất kì khác

Bài giải

Xét T “bỏ ra 9 que diêm trong số các que diêm nối 6 điểm trong mặt phẳng”

A “Từ một điểm bất kì, ta luôn có đường đi bằng diêm đến một điểm bất kì khác”

Muốn giải quyết bài toán, trước tiên ta tính số các que diêm (đoạn thẳng) nối giữa 2 điểm bất kì trong số 6 điểm đã cho

Cứ 2 trong 6 điểm đó ta có 1 đoạn thẳng → Số que diêm là C26 = 15

Bỏ ra 9 que diêm trong số 15 que diêm → Số cách chọn là C159 = 5005

Ta có không gian mẫu /Ω / = 5005

Xét bài toán ngược “tồn tại một điếm mà không có đường đi bằng diêm đến các điểm còn lại”

Th1: Có 2 điểm không có đường đi bằng diêm đến các đỉnh khác:

Chọn 2 điểm đó: C26= 15 cách

Th2: Chỉ có 1 điểm không có đường đi bằng diêm đến các điểm khác:

Chọn điểm đó: 6 cách

Số que diêm nối các đỉnh còn lại (chưa lấy 4 que diêm còn lại ra): C25 = 10

Chọn 4 que diêm trong số các que diêm nối các điểm còn lại: C104 - 1.5 = 205

a) Gọi A là biến cố “dãy đó chứa chữ a”

Ứng với mỗi chỉnh hợp chập p- 1 của n- 1 chữ b, c, …, l ta có p cách chen chữ a vào ⇒ Có

b) Gọi B là biến cố “dãy đó chứa cả 2 chữ a, b”

Ứng với mỗi chỉnh hợp chập p- r của n- 2 chữ c, d,…,l ta có p- 1 cách chen chữ a vào, rồi sau đó lại có p cách chen chữ b vào ⇒ Có (p- 1)pAn p

2 2

−

− = n n An p

p p

)1(

)1(

c) Gọi C là biến cố “Có ít nhất một trong hai chữ a,b”

Có An pchỉnh hợp chập p của n chữ đó Trong đó có An 2 p− chỉnh hợp chập p không chứa a, b (lấy p phần tử

từ n- 2 phần tử khác với a, b) Vậy còn lại An p− An p−2 chỉnh hợp chập p chứa a hay b

Vì thế chỉ có 7 cách chọn ra 3 quả cân có trọng lượng không vượt quá 9kg, nên ΩA = 7

Theo định nghĩa cổ điển của xác suất, ta có:

(A0B0) P( ) ( )A0 P B0

Mặt khác ta có P(A0) = P(B0)

Tính P(A0) như sau: có tất cả 3

C cách chọn 3 bi không có bi đỏ)

Theo định nghĩa cổ điển của xác xuất thì

( )

15

7120

563 10

3 10

C

C A P

Gọi A1, B1 tương ứng là các biến cố “Người thứ nhất lấy được 1 bi đỏ”, “Người thứ hai lấy được 1 bi đỏ” Vậy biến cố A1, B1 chính là biến cố “Người thứ nhất và người thứ hai cũng lấy được 1 viên bi đỏ”

Ta có:

(A1B1) P( ) ( )A1 P B1

P =

Tương tự trên, ta có:

15

7120

56120

8 2 1

A P

Gọi A2, B2 tương ứng là các biến cố “Người thứ nhất lấy được 2 bi đỏ”, “Người thứ hai lấy được 2 bi đỏ: Ta có:

(A2B2) P( ) ( )A2 P B2

P =Trong đó:

15

1120

8120

1 8 2 2 2

A P

Vậy A0B0 ∪ A1B1 chính là biến cố “Hai người lấy được số bi đỏ như nhau” Ba biến cố này dĩ nhiên đôi một xung khắc, nên theo quy tắc công ta có:

75

3315

115

715

2 2 1 1 0

9. Cho 25 quả cầu gồm 2 loại đen và trắng được đặt vào 2 thùng Thùng nào có số quả cầu nhiều hơn thì số quả cầu trắng cũng nhiều hơn Lấy ngẫu nhiên mỗi thùng ra một quả cầu, tìm xác suất để được 1 quả đen và 1 quả trắng Biết rằng xác suất để lấy được 2 quả cùng trắng là 0.48

⇒ có mi là bội của 5

Mà tổng m1 = m2 = 25 là bội của 5 nên cả m1, m2 đều là bội của 5

Do m1 > m2 nên ta xét 2 trường hợp:

• Th1: m1 = 20, m2 = 5

Từ (1) ⇒ t1t2 = 48

Do 0 < t2 < t1 < 25 nên chỉ có t1 = 16, t2 = 3 hoặc t1 = 12, t2 = 4

Với t1 = 16, t2 = 3 ⇒ đ1 = 4, đ2 = 2 thì xác suất 2 quả cùng màu:

0.48 + 4 2

20 5 = 0.48 + 0.08 = 0.56

Do đó xác suất để được 1 trắng, 1 đen là:

Giải tương tự ta cũng được P = 0.44

Tóm lại, xác suất cần tìm là 0.44

10..Một bài thi trắc nghiệm cĩ 50 câu hỏi Mỗi câu hỏi cĩ 4 phương án trả lời trong đĩ chỉ cĩ một câu trả lời đúng.Nếu trả lời đúng thì được 0,2 điểm, nếu trả lời sai thì khơng được điểm Họ Bùi khơng học bài nên làm bài bằng cách đánh ngẫu nhiên

a)Tính xác suất để Họ Bùi được 5 điểm

Bài giải

Gọi A là biến cố “Họ Bùi được 5 điểm”

Ta xét các khả năng mà họ Bùi được 5 điểm

Được 5 điểm tức là trả lời đúng 25 câu và trả lời sai 25 câu

Cĩ C2550 cách chọn 25 câu đúng

Mỗi câu đúng cĩ 1 phương án lựa chọn

Mỗi câu sai cĩ 3 phương án lựa chọn

Gọi Ω là tập hợp các khả năng cĩ thể cĩ của phép thử họ Bùi đánh ngẫu nhiên 50 câu trắc nghiệm

Mỗi câu cĩ 4 phương án trả lời

50

3 4

C = 8,45.10-5

Nhận xét: Thoạt nhìn thì cĩ vẻ khả năng để 1 học sinh khơng học bài được điểm trung bình cĩ vẻ cao (gần như

50/50), tuy nhiên, xét về phương diện xác suất, xác suất này là rất nhỏ và hầu như khơng thể xảy ra Vì thế, muốn được điểm cao, học sinh khơng cịn cách nào khác hơn là cố gắng học và khơng nên phĩ mặc vào may rủi như họ Bùi Nhắc đến họ Bùi, cĩ lẽ nhiều người sẽ nghĩ ngay đến Bùi Kiệm – một nhân vật từ lâu đã nổi tiếng vì sự lười học và dốt nát Cĩ lẽ đây cũng chính là dụng ý của tác giả khi chọn họ Bùi làm nhân vật trong bài tốn liên quan đến kiểu làm bài nhờ may rủi

11 Quán Tản Đà cĩ 5 mĩn bị: nhúng dấm, bĩp thấu, lúc lắc, nướng mỡ chài, nướng lá cách; cĩ 3 mĩn gà: xối

mỡ, quay Tứ Xuyên, rút xương và 2 mĩn cua: rang muối, rang me Nhà văn Vũ Bằng gọi ngẫu nhiên 2 mĩn lai rai Tính xác suất để Vũ Bằng chọn được 2 mĩn thuộc loại khác nhau (Chuyện vui nhà văn)

Vui vui: Đĩ là xác suất do chọn ngẫu nhiên cịn nếu cĩ sự can thiệp của lựa chọn thì kết quả sẽ ra sao nhỉ Riêng đối

với tác giả bài tốn này là người cĩ tâm hồn ăn uống cĩ sở thích là mĩn bị lúc lắc với gà xối mỡ thì đương nhiên xác suất chọn 2 mĩn đĩ sẽ là 1 rồi Sau khi quan sát những bức hình hấp dẫn về các mĩn ăn đã được đề cập trong cuốn sách này, bạn hãy thử chọn riêng cho mình 2 mĩn nhé

Các bài tốn sắp xếp

1.Cĩ 3 chiếc xe ơtơ màu đỏ, 2 ơtơ màu vàng, 1 ơtơ màu xanh cùng đỗ bên đường.Tìm xác suất để khơng

cĩ 2 chiếc xe cùng màu nào đỗ cạnh nhau

Bài giải

Xét T “Xếp 6 xe bên đường”

Gọi A là biến cố “khơng cĩ 2 chiếc xe cùng màu nào đỗ cạnh nhau”

Tính các khả năng của khơng gian mẫu Ω: số cách đỗ xe chính là số hốn vị của số xe

2.Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga Có 4 khách hàng từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau

chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và hai toa không có người

Bài giải

Xét dãy số (x1, x2, x3, x4), trong đó xi chỉ số toa mà người thứ i lên tàu i=1, 2, 3, 4)

Gọi Ω là tập hợp tất cả các dãy (x1, x2, x3, x4), (tức là tập hợp tất cả các khả năng lên tàu của 4 hành khách)

Do mỗi xi∈ {1, 2, 3, 4}, tức là mỗi xi đều có 4 khả năng lựa chọn, vậy

4

4

= Ω

Gọi A là biến cố “có 1 toa có 3 người lên, 1 toa có 1 người lên, 2 toa không có người”

Ta thấy để tính tất cả các khả năng thuận lợi của ΩA ta sử dụng quy tắc nhân như sau:

- Chọn 1 toa trong 4 toa để có 3 khách lên: Số cách chọn n1 = C14 = 4

- Chọn 1 toa còn lại trong 3 toa để có 1 khách lên: Số cách chọn n2 = C31 = 3

- Với toa có 3 khách lên, chọn 3 khách trong 4 khách ngồi toa đó: Số cách chọn C43 = 4

- Người còn lại cho vào toa có 1 khách: 1 cách chọn

Theo quy tắc nhân, ta có:

2 3

4

1 3

1 4 3

4 3

4

2

=

= Ω

Ω

A P

3.Một người xếp ngẫu nhiên bốn lá thư vào bốn chiếc phong bì đã ghi địa chỉ Tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ (tức bỏ đúng phong bì của nó)

Bài làm

Gọi A là biến cố “Có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì” Các khả năng thuận lợi của A là:

- Có 4 thư đúng địa chỉ (1, 2, 3, 4)

- Chỉ có 2 thư đúng địa chỉ:

15 =

= Ω

Ω

A P

Nếu số thư lớn hơn thì giải bằng phương pháp trên sẽ ngày càng phức tạp

4 Xếp ngẫu nhiên 5 chữ cái B,G, N, O, O Tính xác suất để được

a) Chữ BOONG

b) Chữ ONGBO (tuyển sinh đại học quốc gia tp Hồ Chí Minh)

Bài giải

a) Cĩ 5 phần tử nên khơng gian mẫu cĩ 5! = 120 biến cố sơ cấp đồng khả năng Ta coi 2 chữ O là O1, O2

Số biến cố thuận lợi là 2: BO1O2NG, BO2O1NG

Vậy xác suất: P(A) = 2 1

120=60 b) Giải tương tự với O1NGBO2, O2NGBO1 thì ta có xác suất

Gọi A là biến cố “Mỗi toa có ít nhất 1 hành khách mua vé”

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra của biến cố A

Th1: 1 toa 3 hành khách, 3 toa còn lại mỗi toa 1 hành khách

6 Một nhóm gồm 5 người đàn ông, 4 người phụ nữ và 1 đứa bé xếp vào 1 bàn dài Tính xác suất để

a) Đứa bé ở giữa 2 người đàn ông

b) Mỗi nhóm ngồi cạnh nhau

c) 4 người phụ nữ ngồi xen kẽ giữa 5 người đàn ông

• Hoán vị 2 người đàn ông đó: 2! = 2 cách

• Chọn chỗ cho 7 người còn lại: 7! = 5040

7 Cô giáo xếp ngẫu nhiên 8 bạn gồm 5 bạn nam và 3 bạn nữ vào 2 tồ 1, 2, mỗi tổ 4 người Bạn Phượng chỉ ở tổ

1 nếu tổ 1 không có bạn nữ nào Tính xác suất để bạn Phượng ở tổ 2

a) 2 quả cầu đứng cạnh nhau không cùng màu

b) 5 quả cầu màu trắng đứng cạnh nhau

Bài giải

Gọi Ω là tập hợp các cách sắp xếp khác nhau

Ta có Ω = 9! = 362880

a) Gọi A là biến cố “2 quả cầu đứng cạnh nhau không cùng màu”

Đánh số các vị trí của dãy từ 1 đến 9 Chỉ có 1 cách chọn vị trí chung: 5 quả cầu trắng ở các vị trí lẻ và các quả cầu xanh ở vị trí chẵn Sau đó, có 5! và 4! Cách xếp 5 quả cầu trắng và 4 quả cầu xanh ⇒ Có 5!.4! = 2880 cách xếp ΩA = 2880

• Chọn vị trí chung cho 5 quả cầu trắng: 5 cách

• Hoán vị 5 quả cầu trắng: 5! = 120 cách

• Hoán vị 4 quả cầu xanh: 4! = 24 cách

⇒ Có 14400 cách chọn ΩB = 14400

Vậy P(B) = 14400 5 0.0397

9 Một chàng trai viết thư cho 3 cô bạn gái, vì đãng trí nên bỏ các thư vào phong bì một cách ngẫu nhiên Tính xác suất

để không có cô nào nhận được đúng thư viết cho mình

Bài giải

Gọi Ai là biến cố cô thứ i nhận đúng thư của mình, và T là biến cố mà xác suất cần tìm

Ta có: T = A A A1 2 3 ⇒ T = A1 + A2 + A3

P(T ) = P(A1A2A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A2A3) – P(A3A1) + P(A1A2A3)

= P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1)P(A2/A1) – P(A2)P(A3/A2) – P(A3)P(A1/A3) + P(A1)P(A2/A1)P(A3/A2A1)

III Các bài toán về số

1 Chọn ngẫu nhiên 3 trong số các tập con của tập hợp X= {1,2,3,4,5,6,7,8} Tính xác suất để chọn được các bộ ba có thứ tự (X1, X2, X3) của các tập hợp mà hợp là X và giao là o/ , chẳng hạn các bộ ba {1,2,3}, {1,4,8}, {2,5,6,7} và {1,4,8}, {1,2,3}, {2,5,6,7} được xem là khác nhau (Đề thi học sinh giỏi toán tổ hợp 12)

● Gọi A là biến cố “Chọn được 3 tập con thỏa yêu cầu bài toán”

Nhận thấy ba tập hợp X1, X2, X3 như vậy đáng lẽ chia X thành 23= 8 phần rời nhau, nhưng vì X1∩ X

2-∩ X3= o/ và X1∩X2∩X3= X1∩X2 ∩X3= X = o/ nên chỉ còn lại 6 phần không rỗng rời nhau là Y1=

Ta thiết kế một bộ sáu thứ tự (Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6) bằng 8 bước như sau:

Bước 1: Cho 1 thuộc một trong sáu tập Yi

Bước 2: Cho 2 thuộc một trong sáu tập Yi

Để làm bài này, ta nhớ lại cách xác định năm nhuận Một năm được xem là nhuận (có 366 ngày) khi năm

đó chia hết cho 4 Những năm tròn thế kỉ sẽ không là năm nhuận trừ khi nó chia hết cho 400

Như vậy, từ năm 1 sau Công nguyên (không có năm thứ 0 sau công nguyên) đến năm 2009 (năm hiện tại),

ta tính số các năm chia hết cho 4

→ Những năm này có dạng 4k (k Є N)

1 < 4k < 2009
0.25 < k < 502.25

Vậy có 502 năm chia hết 4

Mặt khác có 20 năm tròn thế kỉ, trong đó có 5 năm chia hết cho 400 (400, 800 1200, 1600, 2000)

Tóm lại, số năm nhuận là: 502 – (20 -5) = 487 (năm)

Gọi T “lấy ngẫu nhiên 1 năm từ công nguyên đến năm hiện tại”

b) Trong 30 tấm thẻ có đúng 10 số chia hết cho 3

Ta cần chọn : 5 tấm thẻ chia hết cho 3 trong 10 tấm thẻ;

5 tấm thẻ còn lại trong 20 tấm thẻ

Theo quy tắc nhân, số trường hợp thuận lợi là C105.C205

Vậy xác suất trong trường hợp này là : .5 0,130

30

5 20 5

=

C

C C

c) Trong 30 tấm thẻ có :

• 15 tấm thẻ mang số chẵn

• 15 tấm thẻ mang số lẻ

• 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10

Bài tốn địi hỏi chọn 10 tấm thẻ sao cho;

• Cĩ 5 tấm thẻ mang số lẻ

• Cĩ 1 tấm thẻ mang số chẵn nhưng khơng chia hết cho 10

• Cĩ 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng khơng chia hết cho 10

Vậy phải chọn:

• 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ

• 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10

• 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng khơng chia hết cho 10

Theo quy tắc nhân, số trường hợp thuận lợi là : . . 0,1484

10 30

1 3 4 12 5

=

C

C C C P

4 Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó phân biệt Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi

Gọi A là biến cố “Gọi một lần đúng số cần gọi” Ta có ΩA = 1

Vậy xác suất cần tìm ( )

9

1

=

A P

5 Trong 100 vé xổ số có 1 vé trúng 100.000đ, 5 vé trúng 50.000đ và 10 vé trúng 10.000đ Một người mua ngẫu nhiên 3 vé

1) Tính xác suất để người mua trúng thưởng đúng 30.000đ

2) Tính xác suất để người mua trúng thưởng 200.000đ

Bài giải

1) Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách mua 3 vé trong 100 vé Ta có:

3100

C

= Ω

Gọi A là biến cố “Người mua trúng thưởng đúng 30.000đ”

Rõ ràng để trúng thưởng đúng 30.000đ thì mỗi vé phải trúng thưởng 10.000đ Số khả năng thuận lợi của A là: Ω = C1003

Theo định nghĩa cổ điển của xác suất, thì:

( )

2695

2 100

99 98

10 9 8

3 100

3

= Ω

Ω

=

C

C A

1 10

3 100

=

=

C B P

6 Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn

8 Lấy một số chẵn có 3 chữ số khác nhau Tính xác suất để số đó không lớn hơn 789

Tóm lại, số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau và lớn hơn 789 là 77 số

Từ đó, số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau không lớn hơn 789 là 251 số

Vậy xác suất cần tìm là 251

328≈ 0,765

9 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên mỗi số có sáu chữ số khác nhau Tính xác suât để số

đó thỏa điều kiện: tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị

Bài giải

* Tính số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số đã cho

Ω = 6! = 720

* Tính số các số có 6 chữ số khác nhau mà tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 đơn vị:

Tổng của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 Do đó tổng của 3 chữ số đầu phải là 10, 3 chữ

số cuối là 11 Ta thấy chỉ có các biến đổi sau:

⇒ Có 40 số Ta còn phải trừ đi số các số có dạng 0bcd (có 9 số như vậy)

Tóm lại có 40 số tự nhiên có 4 chữ số trong đó có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần

Từ đó có thể suy ra có 8960 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy xác suất cần tìm là 8960 0.9956

9000≈

IV Các bài toán khác

1 Có một vài số liệu sau đây về tai nạn ô tô và máy bay Trong những năm 1989-1999, trung bình mỗi năm ở Pháp có khoảng 18 triệu chuyến bay, 24 tai nạn máy bay chết người, và 750 người chết trong tai nạn máy bay, khoảng 8000 người chết vì tai nạn ô tô, trên tổng số 60 triệu dân Nếu là một công dân của nước Pháp, bạn sẽ chọn đi máy bay hay ô tô để an toàn hơn?.(theo hồ sơ thống kê của cục giao thông vận tải

Pháp)

Bài giải

Từ các số liệu này, chúng ta có thể tính: Xác suất để một người ở Pháp bị chết vì tai nạn ô tô trong một năm là 8000/60000000 = 0,0133% Xác suất để đi một chuyến bay gặp tai nạn chết người là 24/18000000 = 0,000133%, chỉ bằng 1/100 xác suất bị chết vì tai nạn ô tô trong 1 năm Vậy dĩ nhiên ta nên chọn hình thức giao thông là máy bay để có được độ an toàn cao hơn

2 Cho bát giác đều nội tiếp trong 1 đường tròn Chọn ngẫu nhiên ra 2 đỉnh, tìm xác suất để 2 đỉnh đó nối thành đường chéo có độ dài bé nhất (tuyển sinh đại học QG Hà Nội)

Bài giải

Gọi T “chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh của bát giác đều nội tiếp đường tròn’

Gọi A là biến cố “2 đỉnh đó tạo thành đường chéo có độ dài bé nhất”

Có C82= 28 cách chọn 2 đỉnh tùy ý từ 8 đỉnh của bát giác đều

⇒ Ω = 28

Đường chéo ngắn nhất là đường nối 2 đỉnh gần nhất không liên tiếp chính là cạnh của hình vuông nội tiếp

Vì có 2 hình vuông nội tiếp như thế nên có 8 cạnh là đường chéo ngắn nhất

⇒ ΩA = 8

Vậy P(A) = 8 2

28= 7

3 3.Trên một hình tam giác đều ở 3 dỉnh có ba con kiền Mỗi con bắt đầu chuyển động thẳng theo một hướng bất

kì theo cạnh tam giác đến một góc khác Xác suất của sự việc không có con kiến nào đụng nhau là bao nhiêu? (đề thi tuyển nhân sự của tập đoàn phần mềm Mycrosoft)

Bài giải

Mỗi con kiến có 2 cách đề lựa chọn chiều đi của mình ⇒ Số cách chuyển động có thể của hệ 3 con kiến là 23 =

Tóm lại số cách chuyển động của 3 con kiến để chúng không chạm vào nhau là 2

Như vậy nghĩa là xác suất để ba con kiến không gặp nhau sẽ là 1

4

4 Trên đường tròn vẽ 1 dây cung bất kỳ Tính xác suất để dây cung này dài hơn cạnh của tam giác đều

nội tiếp đường tròn

Bài giải

Gọi A là biến cố “ Dây cung chọn được dài hôn cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn”

Chọn ngẫu nhiên dây cung MN trên đường tròn Gọi A là biến cố "Dây MN dài hơn cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn" Ta có thể cố định M lấy X,Y trên đường tròn sao cho tam giác MXY đều

Bây giờ chọn ngẫu nhiên điểm N, vì độ dài các cung MX, XY,YM là như nhau nên xác suất để N rơi vào

cung XY là 1/3 Vậy P(A)=1/3

5 Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng nối các cặp điểm trong 5 điểm đó không có 2 đường thẳng nào song song, vuông góc hay trùng nhau Qua mỗi điểm ta vẽ các đường thẳng vuông góc với tất cả các đường thẳng không đi qua nó Chọn ngẫu nhiên các điểm trong số 5 điểm ban đầu và các giao điểm mới tạo thành Tính xác suất của biến cố A “lấy được một giao điểm”

Bài giải

Gọi 5 điểm đó là A, B, C, D, E Có C24= 6 đường thẳng không đi qua A nên từ A vẽ được 6 đường thẳng vuông góc với các đường thẳng không đi qua A; tương tự từ B cũng vẽ được 6 đường thẳng vuông góc với các đường thẳng không đi qua B Đáng lẽ 2 nhóm đường thẳng này cắt nhau lại 6.6=36 điểm (không

kể A và B), nhưng vì có C23= 3 đường thẳng không đi qua 2 điểm A, B nên 3 đường thẳng vuông góc với chúng vẽ từ A và 3 đường thẳng vuông góc với chúng vẽ từ B đôi một song song nhau ⇒ số giao điểm của

2 nhóm đường thẳng vuông góc chỉ còn 36- 3= 33 điểm Có C25= 10 cách chọn các cặp điểm như A, B

⇒ 33.10= 330 giao điểm của các đường thẳng vuông góc Thế nhưng cứ mỗi ba điểm như A, B, C thì 3 đường cao của tam giác ABC đồng quy tại 1 điểm thay vì cắt nhau tại 3 điểm nên số giao điểm giảm đi 2

Vì có C35= 10 tam giác như ABC nên số giao điểm giảm đi là 10.2= 20

Vậy số giao điểm nhiều nhất của các đường vuông góc là: 330-20= 310

Đó chính là xác suất cần tìm

B DÙNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

1 Một số ví dụ về sai lầm của trực giác của chúng ta có ý nghĩa thiết thực hơn nhiều Tại châu Âu, từng

thịnh hành trò chơi truyền hình mang tên “Dốc sức” của kênh truyền hình nổi tiếng IBC, trong đó ở phần kết thúc, người chơi được chỉ một trong ba ô cửa kín mà phía sau một trong ba cửa đó có để phần thưởng chính Sau khi người chơi chọn một trong ba ô cửa, người dẫn chương trình mở một trong hai ô cửa còn lại mà sau ô cửa đó không có phần thưởng (Điều này người dẫn chương trình đã biết trước) Tiếp theo, người dẫn chương trình cho phép người chơi có thể thay đổi việc chọn ô cửa Nếu bạn là người chơi chính, bạn có xin đổi ô cứa không? Tại sao?

Bài giải

Gọi tên cửa mà người chơi chọn lúc đầu là A, cửa không có quà mà người hướng dẫn chương trình

mở ra là B, và cửa còn lại là C Vào thời điểm ban đầu, không có thông tin gì về cửa nào phía sau có quà,

thông tin duy nhất là 1 trong 3 cửa có quà Không có cơ sở gì để cho rằng cửa nào có nhiều khả năng có quà hơn cửa nào, bởi vậy vào thời điểm ban đầu ta coi Nhưng sau khi cửa B được mở ra, thì ta có thêm một thông tin mới, là cửa B không có quà Như vậy thông tin mới này làm thay đổi xác suất của B: bây giờ ta có Không chỉ xác suất của B thay đổi, mà tổng xác suất của A và

C bây giờ cũng thay đổi: (thay vì bằng 2/3 như trước) Như vậy ít ra một trong hai số hoặc thay đổi, hoặc là cả hai Xác suất có thay đổi vì thông tin mới này không ? Câu trả lời

là không Chỉ có là thay đổi: sau khi người hướng dẫn chương trình mở cửa B, thì ta có

và Như vậy người chơi nên đổi cửa A lấy cửa C thì dễ thắng hơn

Nhận xét: Phần lớn người chơi không thay đổi ô cửa đã chọn lúc ban đầu bởi vì họ nghĩ rằng xác suất để có

phần thưởng sau ô cửa là đúng 50% (lý do là hai ô cửa vẫn chưa được mở) Do vậy, việc đổi cửa hay không đổi cửa là không có ý nghĩa gì Tuy nhiên, từ phương diện toán xác suất, thì thay đổi ô cửa lại có lợi hơn

Khả năng để phần thưởng chính nằm sau ô cửa đã chọn lần đầu chỉ là khoảng 33,3% (không phải là 50%)

nhưng thật ra nó có cơ sở toán học Đó là nghịch lý toán học có tên gọi là nghịch lý “Monty Hall” Do

không biết về nghịch lý “Monty Hall” nên trong nhiều trường hợp người chơi để vuột mất phần thưởng

chính

2 Một khẩu súng có 6 ổ đạn Trong trò chơi Rullet của Nga, 1 người bắn bỏ vào súng 2 viên đạn một

cách ngẫu nhiên sao cho 2 viên đó ở 2 ổ đạn kề nhau Coi rằng người đó luôn bắn trúng và người chơi (bị

cột chặt vào ghế) sẽ chết nếu lần bóp cò với ổ đạn có đạn Hãy tưởng tượng bạn là người chơi và tôi bắt đầu

bắn Tách…Thật là may mắn bạn đã sống sót trong lần bắn đầu tiên vì ổ đạn đó không có đạn Nhưng tôi sẽ

còn bắn nữa Trước khi tiếp tục bắn, bạn có quyền lựa chọn Bạn sẽ chọn cứ để súng vậy mà bắn hay sẽ

quay các ổ đạn lẫn lộn rồi mới bắn Xác suất sống sót trong mỗi trường hợp là bao nhiêu ? (đề thi tuyển

nhân sự của tập đoàn Mycrosoft)

Bài giải

Hãy cùng chơi trò rullett Nga…

Trong trường hợp thứ nhất, phương án khi ổ đạn quay tròn thường dễ phân tích hơn Trong sáu khoang thì hai khoang có đạn, nếu là người lạc quan, bạn sẽ nghĩ rằng có bồn khoang rỗng Nếu bạn quay ổ đạn, sau đó bóp cò, thì khả năng sống sót của bạn là 4/6 hay 2/3

Trong trường hợp thứ hai cần phải lập luận như sau.Bốn khoang rỗng nằm kế tiếp nhau, một trong số đó vừa

“cứu” mạng sống của bạn Đối với ba trong số bốn khoang rỗng này thì khoang nằm kế tiếp nó cũng là rỗng Còn một khoang rỗng sẽ nằm ngay trước một trong hai khoang chứa đạn Có nghĩa là nếu như bạn không tiếp tục quay

mà bóp cò sung bắn luôn thì khả năng sống sót của bạn là ¾

Xác suất ¾ tốt hơn 2/3 vì vậy câu trả lời sẽ là không nên quay ổ đạn một lần nữa mà bắn luôn

3 Một hội đồng quản trị của 1 doanh nghiệp có 7 thành viên Mọi vấn đề của doanh nghiệp được biểu

quyết theo nguyên tắc đa số Ông chủ tịch hội đồng muốn thông qua một đề án kinh doanh mà ông soạn

thảo Giả sử khả năng ủng hộ hay phản đối đề án đó của các thành viên hội đồng là như nhau

a) Tính xác suất để đề án đó được thông qua

b) Nếu trong hội đồng quản trị ngoài ông chủ tịch ra còn có 2 thành viên khác là Đảng viên lập thành 1 chi

bộ và chi bộ họp trù bị để thông qua đề án đó cũng theo nguyên tắc đa số Sau đó mới đưa ra cuộc họp hội

đồng để thông qua thì mọi đảng viên phải tuân theo quyết định của cuộc họp trù bị Khi đó xác suất để đề

án đó được thông qua bằng bao nhiêu ? Từ đó có thể rút ra kết luận gì về việc áp dụng nguyên tắc tập trung

Muốn đề án được thông qua phải có ít nhất một nửa số thành viên ủng hộ

Ông chủ tịch đã đứa ra và ủng hộ đề án ⇒ Cần phải có ít nhất 3 người ủng hộ nữa

Nhận xét: Cả 2 cách chọn đề án ở 2 câu a, b đều là những cách làm phổ biến để thể hiện tính dân chủ trong sản

xuất và lao động ở thời đại mới Tuy nhiên dễ thấy được rằng ở câu a tuy đề án do chủ tịch hội đồng quản trị

đưa ra nhưng việc đề án đó có được thông qua hay khơng còn tùy thuộc vào cả 6 thành viên còn lại trong hội đồng Vì thế, xác suất đề án được thông qua chỉ gần bằng 65% Trong khi đó, việc đề án có được thông qua hay không ở trường hợp b chỉ do 2 thành viên của chi bộ Đảng nên xác suất đó lớn hơn Trong những quyết định

quan trọngnhu7 xây dựng đề án phát triển doanh nghiệp nên thông qua ý kiến biểu quyết đa số của nhiều thành viên để có tính khách quan và đúng đắn hơn Ý kiến được lấy của nhiều thành viên thì tính dân chủ biểu hiện

càng rõ hơn

4 Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trong khác nhau Máy bay sẽ rơi khi có hoặc một viên đạn trúng vào A, hoặc hai viên đạn trúng vào B, hoặc ba viên đạn trúng vào C Giả sử các bộ phận A, B, C lần lượt chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay Tính xác suất để máy bay rơi nếu:

a) Máy bay bị trúng hai viên đạn

b) Máy bay bị trúng ba viên đạn

Giải

a) Gọi A là biến cố “có ít nhất một viên trúng A”

Khi dó, biến cố A là biến cố “cả hai viên không trúng A”

Ta có : P(A)=(0,85).(0,85)=0,852

Từ đó: P(A)=1−P(A)=1−0,852

Gọi B là biến cố “cả hai viên trúng B” Khi đó : P(B)=0,32

Vậy xác suất để máy bay rơi khi trúng hai viên đạn là:

5 Xạ thủ A bắn n viên đạn vào mục tiêu, còn xạ thủ B bắn m viên đạn vào mục tiêu đó Xác suất bắn

trúng của A trong một lần bắn (1 viên) là p1 và của B là p2 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng ít nhất một

6. Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là ¼

Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng Tính xác suất để lớp học không đủ ánh sáng

Bài giải

Gọi A là biến cố “lớp có 6 bóng đèn sáng” thì

64

3)

3.)(

5 5 6

C B

Gọi C là biến cố “ lớp có 4 bóng đèn sáng” thì

2 4 4 6

4

14

3)

14

34

14

34

3)()()()(

2 4 4 6

5 5 6

7. Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải và hai động cơ ở cánh trái Mỗi động

cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1 còn mỗi dộng cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,05 Các động

cơ hoạt động độc lập với nhau Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp sau:

a) Máy bay bay được nếu có ít nhất hai động cơ làm việc;

b) Máy bay bay được nếu ít nhất mỗi động cơ trên mỗi cánh làm việc

Bài giải

a) Xét trường hợp máy bay chỉ bay được khi có ít nhất hai động cơ làm việc

Gọi A là biến cố máy bay an toàn A là biến cố đối : máy bay rơi

1 3

= 0,00016

Vậy P(A) = 1 - P( A ) = 0,99984

b) Xét trường hợp máy bay chỉ bay được khi mỗi cánh có ít nhất 1 động cơ làm việc Gọi A1 là biến

cố “cánh phải có ít nhất 1 động cơ làm việc”, ta có:

P(A1) = 1- (0,1)3 = 0,999

Gọi A2 là biến cố “cánh trái có ít nhất 1 động cơ làm việc”, ta có:

P(A2) = 1- (0,05)2 = 0,9975

Gọi A là biến cố “máy bay an toàn” thì:

P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2) = (0,999)(0,9975) = 0,9965

8. Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi Mỗi câu hỏi cho 5 câu trả lòi, trong đó chỉ có 1 câu đúng Mỗi câu trả lòi đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời Tính xác suất để:

a) Anh ta được 13 điểm;

b) Anh ta bị điểm âm

Bài giải

a) Gọi x là số câu trả lời đúng và 12 – x là số câu trả lời sai

Ta có: 4x – (12 – x) = 13 ⇔ 5x = 15 ⇔ x = 5

Vậy để có 13 điểm, anh ta trả lời 5 câu đúng, 7 câu sai

Do xác suất trả lời đúng cho 1 câu trả lời là 1/5 còn sai là 4/5 nên xác suất cần tìm là :

0,0532

5

45

Gọi A là biến cố “khơng cĩ câu nào đúng” thì : 0,0687

5

4)(

1)

(

11 1

C là biến cố “cĩ 2 câu đúng 10 câu sai” thì: 0,2835

5

45

1)

(

10 2 2

Vậy xác suất nhận điểm âm là :

P(A∪B∪C)= P(A)+P(B)+P(C)=0,5583

9 Gieo đồng thời 3 con súc sắc Anh là người thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất “2 mặt lục” Tính xác suất để trong 5 ván chơi anh thắng ít nhất là ba ván

Gọi Ai là biến cố “Lần thứ i thắng”

Rõ ràng khi tung 1 con súc sắc, xác suất xuất hiện mặt lục là

6

1 (và do đó xác suất không xuất hiện

mặt lục là

6

5) Lần thứ i thắng khi:

- Hoặc là cả 3 con xúc sắc ra mặt lục Điều này xảy ra với xác suất

216

16

56

1 22

15 1

Gọi A là biến cố “ít nhất thắng ba ván”

Rõ ràng để ít nhất thắng ba ván, ta cần có:

- Cả năm ván đều thắng Điều này xảy ra với xác suất

527

2527

4 5

C

- Có 3 ván thắng, 2 ván thua Điều này xảy ra với xác suất

2 3 2

3 3 5

27

2527

21027

2527

2527

21027

2527

2527

10 Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau Chọn ngẩu nhiên 20 quả cam làm mẫu đại diện Nếu mẫu không có quả cam hỏng nào thì sọt cam được xếp loại 1 Nếu mẫu có 1 hoặc 2 quả hỏng, thì sọt cam được xếp loại 2 Nếu có 3 quả hỏng trở lên, thì sọt cam xếp loại 3.Giả sử tỉ lệ cam hỏng là 3%

Hãy tính xác suất để:

1/ Sọt cam được xếp loại thứ 1

2/ Sọt cam được xếp loại thứ 2

3/ Sọt cam được xếp loại thứ 3

Bài giải

Tỉ lệ cam hỏng là 3%, tức là xác suất lấy ra quả cam hỏng là 0,03, còn lấy 7% quả cam tốt là 0,97

1 Sọt cam được xếp loại 1 khi cả 20 quả cam lấy ra đều là tốt

Chú ý ở đây sọt cam rất lón (tức là phép lấy cam ra là các biến cố độc lập)

Gọi A là biến cố “Sọt cam xếp loại 1”, theo quy tắc nhân ta có:

P (A) = (0,97)20

2 Gọi B là biến cố “Sọt cam xếp loại 2”

Gọi B1 là biến cố “Trong 20 quả lấy ra có 1 quả hỏng”

Gọi B2 là biến cố “Trong 20 quả lấy ra có 2 quả hỏng”

Khi đó B = B1 ∪ B2, trong đó B1, B2 là hai biến cố xung khắc Theo quy tắc cộng ta có:

P(B) = P(B1) + P(B2)

20 19 1

20(0,03)(0,97) C (0,03) (0,97)