Chuyên đề xác suất và biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh TRƯỜNG THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT -KIÊN GIANG** Lớp 11T2- Tổ 2** CHUYÊN ĐỀ: Xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: Trần Thị Hạnh Thành viên tổ 1.Đỗ Huy Khoa 2.Nguyễn Minh Tú 3.Trần Đỗ Thảo Trang 4.Nguyễn Thị Hồng Phượng 5.Nguyễn Minh Nhựt 6.Lý Thái Bảo 7.Lê Ngọc Minh 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh I Các toán chọn vật 1.Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Cử học sinh đội dự trại hè Tính xác suất để khối có em chọn Bài giải Xét T “Cử em số 18 em dự trại hè” Gọi D biến cố “Mỗi khối có em chọn” Đầu tiên, ta tính khả khơng gian mẫu Ω /Ω/ = C 18 = 43758 Sau đó, ta xét khả thuận lợi cho biến cố D Goi A tập hợp tất cách cử học sinh dự trại hè (lựa chọn từ 18 em) Gọi B tập hợp tất cách cử học sinh dự trại hè mà không đủ học sinh khối Gọi C tập hợp cần tìm (tức thỏa mãn yêu cầu đề bài) Ta có: A = B ∪ C ; B ∩ C = ∅ Vì theo quy tắc cộng, ta có: A = B + C hay C = A − B (1) • Tính A : Dễ thấy A số cách chọn em từ 18 em (không quan tâm đến thứ tự xếp), : 18! = 43758 (2) 10!8! • Tính B : Để ý max {7;6;5} = < , dó chọn em học sinh khơng thể chọn khối lớp Gọi B1, B2, B3 ba tập hợp dó đơi rời Theo quy tắc cộng ta có: B = B1 + B2 + B3 (3) A = C18 = Dễ thấy : B1 = C13 = 13! = 1287 ; 5!8! 12! = 495 ; 4!8! Từ thay vào (3) có: B = 1947 B2 = C12 = B3 = C11 = 11! = 165 3!8! (4) Thay (2), (4) vào (1) suy ra: C = 43758 -1947 = 41811 ⇒ /ΩD/ = 41811 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Bài tập xác suất thống kê ⇒ P(D) = GVHD: Trần Thị Hạnh 41811 ≈ 0.9555 43758 2.Có khối lập phương tạo thành từ 729 hình lập phương nhỏ giống hệt Ở mặt, khoét dãy khối lập phương nhỏ xuyên từ tâm mặt sang tâm mặt đối diện (có ba dãy, dãy chín khối) Lấy sơn bơi lên tồn bề mặt ngồi hình lập phương lớn Lấy ngẫu nhiên khối lập phương nhỏ Tính xác suất để a) Khối có mặt bị bơi đen b) Khối có hai mặt bị bơi đen c) Khối có ba mặt bị bơi đen d) Khối khơng có mặt bị bơi đen Bài giải Xét T “lấy ngẫu nhiên mơt khối lập phương nhỏ hình lập phương” Gọi Ω tập hợp kết có A “Khối có mặt bị bơi đen” B “Khối có hai mặt bị bơi đen” C “Khối có ba mặt bị bơi đen” D “Khối khơng có mặt bị bơi đen” Dựa vào quan sát hình vẽ, ta có /Ω / = 729 / Ω A/ = 302 /ΩB/ = 158 ΩC/ = 12 ΩD/ = 257 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh 302 ≈ 0.414 729 158 ≈ 0.217 P(B) = 729 12 P(C) = ≈ 0.016 729 257 P(D) = ≈ 0.353 729 ⇒ P(A) = Ba nữ nhân viên phục vụ A,B,C thay rửa đĩa chén giả thiết ba người đều"khéo léo" Trong tháng có chén bị vỡ Tìm xác suất: a) người đánh vỡ chén b) người đánh vỡ chén c)một người đánh vỡ chén Bài giải Xét T “A,B,C đánh vỡ chén” A “mỗi người đánh vỡ chén” B “một ba người đánh vỡ ba chén” C “một ba người đánh vỡ bốn chén” Tính khả khơng gian mẫu Ω /Ω/ = 34 = 81 a) Mỗi người đánh vỡ chén nghĩa có người đánh vỡ chén, hai người lại người đánh vỡ chén Chọn người đánh vỡ chén: cách Chọn chén người đánh vỡ: C = cách Hai chén lại: cách → /ΩA/ = 3.6.2 = 36 36 P(A) = 81 b) Tính khả biến cố B Chọn người đánh vỡ chén: cách Chọn chén người đánh vỡ: C = cách Chọn người đánh vỡ chén lại: cách → /ΩA/ = 3.4.2 = 24 24 P(B) = = 81 27 c) Tính khả biến cố C Chọn người đánh vỡ chén: cách → /ΩA/ = 3 P(C) = = 81 27 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh 4.Có hộp A, B.Hộp A chứa viên bi trắng, viên bi xanh Hộp B chứa viên bi trắng, viên bi xanh Gieo súc sắc, xuất chấm lớn chọn hộp A, khơng chọn hộp B Sau lấy viên bi từ hộp chọn Tính xác suất để viên bi trắng Bài giải Đầu tiên, ta tính xác suất phải dùng đến hộp A xác suất phải dùng đến hộp B Một súc sắc có mặt Xác suất xuất số chấm lớn là: 2/6 =1/3 Xác suất xuất số chấm bé là: 4/6 = 2/3 → Xác suất chọn hộp A 1/3, xác suất chọn hộp B 2/3 Tiếp theo, ta tính xác suất chọn viên bi trắng hộp Xác suất lấy viên bi trắng hộp A 4/9 Xác suất lấy viên bi trắng hộp B 3/7 Tóm lại xác suất lấy viên bi trắng = 1/3 * 4/9 + 2/3 * 3/7 ≈ 0.434 Trong mặt phẳng cho điểm khơng có điểm thẳng hàng Giữa điểm ta đặt que diêm Bỏ que diêm từ que diêm vừa xếp Tính xác suất để bỏ ra, từ điểm bất kì, ta ln có đường diêm đến điểm khác Bài giải Xét T “bỏ que diêm số que diêm nối điểm mặt phẳng” A “Từ điểm bất kì, ta ln có đường diêm đến điểm khác” Muốn giải tốn, trước tiên ta tính số que diêm (đoạn thẳng) nối điểm số điểm cho Cứ điểm ta có đoạn thẳng → Số que diêm C = 15 Bỏ que diêm số 15 que diêm → Số cách chọn C 15 = 5005 Ta có khơng gian mẫu /Ω / = 5005 Xét tốn ngược “tồn điếm mà khơng có đường diêm đến điểm lại” Th1: Có điểm khơng có đường diêm đến đỉnh khác: Chọn điểm đó: C = 15 cách Th2: Chỉ có điểm khơng có đường diêm đến điểm khác: Chọn điểm đó: cách Số que diêm nối đỉnh cịn lại (chưa lấy que diêm lại ra): Chọn que diêm số que diêm nối điểm lại: Vậy số cách chọn 205.10 + 15 = 2065 → /ΩA/ = 5005 – 2065 = 2940 2940 P(A) = ≈ 0.5874 5005 C 10 C = 10 - 1.5 = 205 Cho n chữ khác : a, b, c, …, l Lấy số chữ số ghép thành ãy T ính xác suất để dãy 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh a) Chứa chữ a b) Chứa hai chữ a, b c) Chứa hai chữ a, b p a) Bài giải Ta có số cách chọn có là: Gọi A biến cố “dãy chứa chữ a” Ứng với chỉnh hợp chập p- n- chữ b, c, …, l ta có p cách chen chữ a vào ⇒ Có p −1 p An−1 = p n A p n chỉnh hợp chập p chứa chữ a p n! * p.(n − 1) n (n − p )! = P → P(A) = p 2 (n − p )! b) Gọi B biến cố “dãy chứa chữ a, b” Ứng với chỉnh hợp chập p- r n- chữ c, d,…,l ta có p- cách chen chữ a vào, sau lại có p p ( p − 1) p p −2 cách chen chữ b vào ⇒ Có (p- 1)p An−2 = chỉnh hợp chập p chứa a, b n(n − 1) An p ( p − 1) n! n(n − 1) (n − p )! p ( p − 1)(n − 2) → P(B) = = 2p (n − p )!.2 p c) Có Gọi C biến cố “Có hai chữ a,b” A p n chỉnh hợp chập p n chữ Trong có A p n −2 chỉnh hợp chập p không chứa a, b (lấy p phần tử p từ n- phần tử khác với a, b) Vậy lại p → P(C) = p n p An − An−2 chỉnh hợp chập p chứa a hay b n−2 A −A 2p Cho cân trọng lượng 1kg, kg, …, 7kg, kg Chọn ngẫu nhiên nhiên cân Tính xác suất để tổng trọng lượng cân chọn không vượt kg Bài giải Gọi Ω tập hợp tất cách chọn cân cân Khi dễ thấy 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Ω = C83 = 56 Gọi A biến cố “tổng trọng lượng cân lấy không vượt kg” Để ý rằng: 1+2+3=6 1+2+4=7 1+2+5=8 1+2+6=9 1+3+4=8 1+3+5=9 2+3+4=9 Vì có cách chọn cân có trọng lượng không vượt 9kg, nên ΩA = Theo định nghóa cổ điển xác suất, ta có: P( A) = = 56 8 Hai hộp bi hộp chứa bi trắng, bi đỏ Cho hai người, người hộp Từ hộp mình, người lấy ngẫu nhiên viên Tính xác suất để hai người lấy số bi đỏ Bài giải Gọi A0, B0 tương ứng biến cố “người thứ lấy o bi đỏ”, “người thứ hai lấy o bi đỏ” Vậy biến cố A0, B0 biến cố “Người thứ người thứ hai không lấy viên bi nào” Dù A0, B0 độc lập (dó nhiên), nên: P ( A0 B0 ) = P ( A0 ).P(B0 ) Mặt khác ta có P(A0) = P(B0) Tính P(A0) sau: có tất C10 cách chọn viên bi, tức 120 cách chọn 3 Có C10 cách chọn bi xanh (tức C10 cách chọn bi bi đỏ) Theo định nghóa cổ điển xác xuất C10 56 P ( A0 ) = = = C10 120 15 Gọi A1, B1 tương ứng biến cố “Người thứ lấy bi đỏ”, “Người thứ hai lấy bi đỏ” Vậy biến cố A1, B1 biến cố “Người thứ người thứ hai lấy viên bi đỏ” Ta coù: P( A1 B1 ) = P( A1 ).P(B1 ) 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Tương tự trên, ta coù: P ( A1 ) = P (B1 ) = C C 56 = = 120 120 15 Gọi A2, B2 tương ứng biến cố “Người thứ lấy bi đỏ”, “Người thứ hai lấy bi đỏ: Ta coù: P( A2 B2 ) = P( A2 ).P(B2 ) Trong đó: P ( A2 ) = P(B2 ) = C C8 = = 120 120 15 Vậy A0B0 ∪ A1B1 biến cố “Hai người lấy số bi đỏ nhau” Ba biến cố dó nhiên đôi xung khắc, nên theo quy tắc công ta có: 2 33 7 7 1 P ( A0 B0 ∪ A1 B1 ∪ A2 B ) =   +   +   = 75  15   15   15  Cho 25 cầu gồm loại đen trắng đặt vào thùng Thùng có số cầu nhiều số cầu trắng nhiều Lấy ngẫu nhiên thùng cầu, tìm xác suất để đen trắng Biết xác suất để lấy trắng 0.48 Bài giải Gọi m1, m2, t1, t2, đ1, đ2 số cầu, số cầu trắng, số cầu đen thùng Giả sử m1 > m2 Ta coù: m1 + m2 = 25 Xác suất để lấy thùng có màu trắng theo giả thiết 0.48 0.48 = tt mm ⇔ 2 tt mm = 2 48 12 = 100 25 (1) ⇔ 25t1t2 = 12m1m2 ⇒ có mi bội Mà tổng m1 = m2 = 25 bội nên m1, m2 bội Do m1 > m2 nên ta xét trường hợp: • Th1: m1 = 20, m2 = Từ (1) ⇒ t1t2 = 48 Do < t2 < t1 < 25 nên có t1 = 16, t2 = hoaëc t1 = 12, t2 = Với t1 = 16, t2 = ⇒ đ1 = 4, đ2 = xác suất màu: 0.48 + = 0.48 + 0.08 = 0.56 20 Do xác suất để trắng, đen là: 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh P = – 0.56 = 0.44 Với t1 = 12, t2 = ⇒ ñ1 = 8, đ2 =1 xác suất cần tìm: 1  P = -  0.48 +  = – 0.56 = 0.44 20   • Th2: m1 = 15, m2 = 10 Giải tương tự ta P = 0.44 Tóm lại, xác suất cần tìm 0.44 10 Một thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi Mỗi câu hỏi có phương án trả lời có câu trả lời đúng.Nếu trả lời 0,2 điểm, trả lời sai khơng điểm Họ Bùi khơng học nên làm cách đánh ngẫu nhiên a)Tính xác suất để Họ Bùi điểm Bài giải Gọi A biến cố “Họ Bùi điểm” Ta xét khả mà họ Bùi điểm Được điểm tức trả lời 25 câu trả lời sai 25 câu 25 Có C 50 cách chọn 25 câu Mỗi câu có phương án lựa chọn Mỗi câu sai có phương án lựa chọn ⇒ Có 325 cách chọn 25 câu sai 25 25 Tóm lại, Ω A = C 50.3 Gọi Ω tập hợp khả có phép thử họ Bùi đánh ngẫu nhiên 50 câu trắc nghiệm Mỗi câu có phương án trả lời ⇒ Có 450 cách chọn phương án trả lời cho 50 câu Ω = 450 25 Vậy, P(A) = C 50 50 25 = 8,45.10-5 Nhận xét: Thoạt nhìn khả để học sinh khơng học điểm trung bình cao (gần 50/50), nhiên, xét phương diện xác suất, xác suất nhỏ khơng thể xảy Vì thế, muốn điểm cao, học sinh khơng cịn cách khác cố gắng học khơng nên phó mặc vào may rủi họ Bùi Nhắc đến họ Bùi, có lẽ nhiều người nghĩ đến Bùi Kiệm – nhân vật từ lâu tiếng lười học dốt nát Có lẽ dụng ý tác giả chọn họ Bùi làm nhân vật toán liên quan đến kiểu làm nhờ may rủi 11 Quán Tản Đà có bị: nhúng dấm, bóp thấu, lúc lắc, nướng mỡ chài, nướng cách; có gà: xối mỡ, quay Tứ Xuyên, rút xương cua: rang muối, rang me Nhà văn Vũ Bằng gọi ngẫu nhiên lai rai Tính xác suất để Vũ Bằng chọn thuộc loại khác (Chuyện vui nhà văn) 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Bài tập xác suất thống kê Bò nhúng giấm GVHD: Trần Thị Hạnh Bị bóp thấu Bị lúc lắc Bị nướng mỡ chài Gà quay Tứ Xuyên Bò nướng cách Gà rút xương Gà xối mỡ Cua rang muối Cua rang me Bài giải Ta tính số cách gọi nhà thơ Gọi Ω tập hợp cách chọn Ω = C 10 = 45 Gọi A biến cố “Vũ Bằng chọn thuộc loại khác nhau” • Có 5x3 = 15 cách để ơng gọi bị, gà • Có 5x2 = 10 cách gọi bị, cua • Có 3x2 = cách chọn gà, cua 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 10 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Mở rộng: Có người giải thích cách sau Thuốc I đem cho 2020 người dùng, chữ bệnh cho 219 người Thuốc II đem cho 2000 người dùng, chữa 910 người, thuôc II tốt Ta tìm xem cách giải thích sai lầm đâu Vấn đề nằm chỗ Thuốc I đem thử cho it nam, nhiều nữ so với thuốc II, nên lấy tổng số kết phép thử thiên vị thuốc II không phản ánh tỷ lệ chữa bệnh Vậy kết luận sai kết luận nêu đáng tin Hồng tử có chị em gái khơng ? Biết cha mẹ hồng tử có Thử hỏi xác suất để hồng tử có sister (chị gái em gái) ? Có đáp án sau: 1) Hồng tử có người anh chị em ruột Có hai khả năng: người trai, gái Như xác suất để người gái (tức hồng tử có sister) 1/2 2) Có khả cho gia đình có con: {B,B}, {B,G}, {G,B}, {G,G} (B = boy = trai, G = =girl = gái, xếp theo thứ tự thứ - thứ hai) Vì ta biết hoàng tử trai (đây điều kiện) nên loại khả {G,G}, khả {B,B}, {B,G}, {G,B} Trong số khả có khả có gái Như xác suất để hồng tử có sister 2/3 Trong hai đáp án trên, hẳn phải có (ít nhất) đáp án sai Thế sai, sai đâu, ? Bài giải Đọc kỹ đáp án thứ 2, ta thấy khả {B,B} thực khả đơn, mà khả kép gồm có khả đó: hoảng tử nói đến người trai thứ nhất, người trai thứ hai Như phải tính {B,B} khả {B=H,B} {B, B=H} (H hoàng tử) Như tổng cộng có khả năng, xác suất 2/4 = 1/2 Sai sai cách đếm số khả hai trai Như đáp án đúng, chọn cách phải xem xét lại số trường hợp xảy 3.Một người đàn ông tên Văn Phạm bị tình nghi thủ phạm vụ án Cảnh sát điều tra tin sau đây: 1) ngồi nạn nhân có người có mặt lúc xảy vụ án, hai người Văn Phạm, người cảnh sát ai, hai người thủ phạm; 2) thủ phạm phải đàn ông Thử hỏi xác suất để “Văn Phạm thủ phạm” ? Bài giải 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 50 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Gọi người thứ hai mà cảnh sát là “X” X đàn ơng đàn bà Ta gọi kiện “Văn Phạm thủ phạm” A, kiện “X đàn ông” B, “thủ phạm đàn ông” C Ta coi C điều kiện, muốn tính xác suất có điều kiện (xác suất để Văn Phạm thủ phạm, biết thủ phạm đàn ông) Theo công thức Bayes ta có Ở cơng thức trên, xác suất kiện “Văn Phạm thủ phạm” chưa có điều kiện “thủ phạm đàn ông” Vì hai người Văn Thành X thủ phạm, nên xác suất điều kiện Ta có đàn ơng Ngược lại, khơng có tất nhiên Văn Phạm thủ phạm thủ phạm (nếu X thủ phạm, thủ phạm đàn ơng đàn bà, mà chưa đặt điều kiện “thủ phạm đàn ông”) Bởi ta có: Mở rộng: Để giải tốn có phương pháp sau Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có: Nếu đàn bà X khơng thể thủ phạm Văn Phạm phải thủ phạm, đàn ơng hai người, X Văn Phạm, thủ phạm, đàn ông đàn bà, ta coi số đàn ông số đàn bà, Nếu X Từ ta có , có nghĩa xác suất để “Văn Phạm thủ phạm” 3/4 Tuy nhiên, cách giải mắc phải sai lầm Vấn đề nằm lẫn lỗn không gian xác suất lúc lập mơ hình để tính xác suất Khi ta viết phạm”, không gian xác suất ta phải khơng gian để tính xác suất kiện “Văn Phạm thủ tất khả (với người Văn Phạm X thủ phạm) thỏa mãn điều kiện “thủ phạm đàn ông”, không gian tất khả xảy (với người Văn Phạm X thủ phạm), thủ phạm đàn ông hay đàn bà Để cho khỏi lẫn lộn, cách giải thứ ta phải viết Trong khơng gian gian ta có , tức xác suất để X đàn ông 1/2 Nhưng không dùng cách giải thứ nhất, ta phải dùng xác suất phải 1/2, mà thực 2/3, 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang khơng gian đó, khơng Nói cách khác, biết hai người X 51 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Văn Phạm thủ phạm, biết thủ phạm đàn ơng, xác suất để X đàn ơng 2/3 khơng cịn 1/2 ! (Vì ?) Nếu ta sử dụng số xác suất cơng thức tính xác suất tồn phần khơng gian ta được: Tức ta sửa lỗi xác suất đi, cách giải cho đáp số 2/3 cách giải nêu Đây toán nhà toán học Cassels, Shoenberger Grayboys đem đố 60 sinh viên cán y khoa Harvard Medical School năm 1978 Giả sử có loại bệnh mà tỷ lệ người mắc bệnh 1/1000 Giả sử có loại xét nghiệm, mà mắc bệnh xét phản ứng dương tính, tỷ lệ phản ứng dương tính nhầm (false positive) 5% (tức số người không bị bệnh có 5% số người thử phản ứng dương tính) Thử hỏi người xét nghiệm bị phản ứng dương tính, khả mắc bệnh người ? Theo bạn ? Bài giải Nếu bạn trả lời 95% (= 100% - 5%), câu trả lời bạn giống câu trả lời phần lớn người khác hỏi Ta thử phân tích kỹ thêm câu hỏi Nếu ký hiệu N kiên “không bị bệnh” P kiện phản ứng dương tính, số 5% số (xác suất có phản ứng dương tính mà khơng bị bệnh) (xác suất không bị bệnh mà có phản ứng dương tính) Để tính Ta có , ta dùng công thức Bayes , , (tính xấp xỉ) Bởi vậy: Như số người xét nghiệm dương tính, có khoảng 98% số người khơng bị bệnh Nói cách khác, xét nghiệm dương tính, xác suất để thực mắc bệnh có 2% ! 5.Cho p1< p2 Hộp có trắng, hộp có đỏ, trắng TH2: trắng => Hộp có trắng, 1đỏ, hộp có trắng, đỏ Bước 2: lấy viên từ hộp Với TH1 ta có TH nữa: TH 1.1: đỏ, trắng => Hộp có đỏ, trắng, hộp có trắng, đỏ TH 1.2: đỏ => Hộp có đỏ, trắng; hộp có đỏ, trắng TH 1.3: trắng => Hộp có đỏ, trắng; hộp có trắng Với TH2 ta có TH nữa: TH 2.1: đỏ, trắng => Hộp có đỏ, trắng, hộp có trắng, đỏ TH 2.2: đỏ => Hộp có trắng; hộp có đỏ, trắng TH 2.3: trắng => Hộp có đị, trắng; hộp có trắng, đỏ Vậy sau chuyển qua, chuyển hộp có X = 1, 2, 3, hộp có Y = 1, 2, 3, P(X=1) = P( TH2.2) = P(lần đầu chọn trắng lần sau chọn đỏ) 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 54 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Tương tự 2 3 4 P(X = 2) = P(TH 1.2) + P(TH 2.1) 1 = C C C + C C C C C C C 2 1 3 1 3 = = 2 = C C C C + C C C C C C P(X = 4) = P(TH 1.3) = C C C C C 11 30 P(X = 3) = P(TH 1.1) + P(TH 2.3) = 10 Bảng phân bố xác suất X X P 1 30 11 30 10 3.Hai đấu thủ A B thi đấu cờ Xác suất thắng A ván chơi 0,4 (khơng có hịa) Nếu thắng điểm, thua không điểm Trận đấu kết thúc A dành điểm trước (khi A người thắng) B dành diểm trước (khi B người thắng) a Tính xác suất thắng A b Gọi X số ván đấu cần thiết toàn trận đấu Lập bảng phân phối xác suất X Bài giải a.Xét phép thử T “A B thi đánh cờ” Gọi A biến cố “An thắng” Đề yêu cầu tìm xác suất thắng A Do vậy, ta cần phải xác định xem A thắng trường hợp Ta có TH sau TH1: A thắng ván đầu = 0.064 TH2: ván đầu A thắng ván ván thứ tư A thắng Do xác suất thắng ván nên ván mà A thắng ván, B thắng ván mơ hình tốn Bernoulli Do đó: = 0.1152 TH3: ván đầu A thắng ván ván thứ năm A thắng Tương tự ta có: = 0.13824 TH4: ván đầu A thắng ván ván thứ sáu A thắng Tương tự ta có: 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 55 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh = 0.13824 TH5: ván đầu A thắng ván ván thứ bảy A thắng Tương tự ta có: = 0.124416 P(A) = 0.064 + 0.1152 + 0.13824 + 0.13824 + 0.124416 = 0.580096 Vậy xác suất thắng A 0.580096 b Gọi X tổng số ván đấu TH A thắng: X = 3, 4, 5, 6, 7; TH B thắng X = 5, 6, P(X=3) = P(TH1) = 0.06 P(X = 4) = P(TH2) = 0.1152 P(X=5) = P(TH3) + P(B thắng ván) = 0.216 P(X=6) = P(TH4) + P(trong ván đầu, B thắng ván ván thứ B thắng) = 0.29376 P(X=7) = P(TH5) + P(trong ván đầu, B thắng ván ván thứ B thắng) =0.31104 Bảng phân bố xác suất X X P(X) 0.064 0.1152 0.216 0.29376 0.31104 Một túi chứa cầu trắng cầu đen Hai người chơi A B rút cầu túi (rút xong khơng trả lại vào túi).Trị chơi kết thúc có người rút cầu đen Người xem thua phải trả cho người số tiền X (X số cầu rút nhân với 5USD) a) Giả sử A người rút trước X số tiền A thu Lập bảng phân bố xác suất X Tính E(X) b) Nếu chơi 150 ván trung bình A Bài giải a) Kí hiệu T biến cố “rút cầu trắng”, D biến cố “rút cầu đen” Các kết là: w1 = D ; w2 = TD ; w3 = TTD ; w4 = TTTD ; w5 = TTTTD (vì trị chơi kết thúc xuất lần cầu đen) 4 3 Dễ thấy P ( w1 ) = ; P ( w2 ) = = ; P ( w3 ) = = ; 7 7 35 3 P ( w4 ) = = ; P ( w5 ) = ; 35 35 Vì A trước (nhớ rút phải cầu đen thua cuộc) nên theo luật chơi : w1 xảy X= -5 ; w2 xảy X= 10 ; w3 xảy X= -15 ;w4 xảy X= 20 ; w5 xảy X= 25 Vậy ta có bảng phân phối xác suất X : P(X 15 10 X -25 -15 -5 10 20 Suy : E(X) = = i) 35 35 35 35 35 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 56 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh 1 1 - 15 - +10 + 20 = − 35 35 35 35 35 6 b) E(X) = − , tức trung bình ván A thua USD 7 Nếu chơi 150 ván , A thua khoảng 150 = 128,57 (USD) 25 Trong hộp có thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên thẻ cộng số ghi thẻ với Gọi X kết Lập bảng phân bố xác suất X tính E(X) Bài giải Rõ ràng X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị tập {3,4,5,6,7} • Để ý = + Số trường hợp C = Số trường hợp thuận lợi Vậy P(X = 3) = • Ta có = + ⇒ P(X = 4) = = + = + Ở đây, số trường hợp thuận lợi 2, nên P(X = 5) = = 6 = + ⇒ P(X = 7) = Vậy bảng phân bố xác suất đại lượng ngẫu nhiên X là: = + ⇒ P(X = 6) = X P(X) 6 6 6 Một nhóm có 10 người gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ nhóm Lập bảng phân phối xác suất X tính E(X), V(X) Bài giải Rõ ràng, X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị tập {0,1,2,3} Để lập bảng phân phối xác suất X, ta cần tính: P(X = 0) ; P(X = 1) ; P(X = 2); P(X = 3) • Số trường hợp có 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang C 10 = 120 57 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh • X = 0, tức chọn nam nam, số trường hợp thuận lợi • 20 = 120 X = 1, tức chọn nữ nữ nam nam, nên số trường hợp thuận lợi • 60 = 120 X = 2, tức chọn nữ nữ nam nam nên: C = 20 Vậy: P(X =0) = C C = 4.15 = 60 Vậy: P(X = 1) = P(X = 2) = C C 120 • = 6.6 36 = = 120 120 10 X = P(X = 3) = C 120 = = 120 30 Vậy, ta có bảng phân phối xác suất sau: X P(X) 1 2 10 30 Vì thế: E(X) = ∑ P( X = i).i = 1.2 i=o V(X) = ∑ (i − 1.2) P( X = i) = 0.56 i =0 7.Trong hộp có bóng đèn có bóng đèn tốt, bóng hỏng Ta chọn ngẫu nhiên bóng để thử (thử xong không trả lại) thu bón đèn tốt Gọi X số lần thử Lập bảng phân phối xác suất X, tính E(X) Bài giải Rõ ràng X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị tập {2,3,4,5} Bây ta tính: • P(X = 2) = P(lần đầu bóng tốt) P(lần hai bóng tốt) = 2 = = 20 10 Gải thích: Sau lần thứ bóng tốt, cịn lại bóng tốt bóng • P(X = 3) = P(lần đầu bóng hỏng) P(hai lần bóng tốt) + P(lần đầu bóng tốt) P(lần hai 2 hỏng) P(lần ba tốt) = + = = 5 20 10 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 58 Bài tập xác suất thống kê • • GVHD: Trần Thị Hạnh P(X = 4) = P(hai lần đầu bóng hỏng) P(hai lần bóng tốt) + P(lần đầu hỏng) P(lần hai tốt) P(lần ba hỏng) P(lần bốn tốt) + P(lần đầu tốt) P(lần hai, ba hỏng) P(lần bốn tốt) = 2 2 + = = 3 20 10 1 3 P(X = 5) = – (P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)) = −  + +  =  10 10  10 Vậy ta có bảng phân bố xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên sau: X P(X) 10 10 10 10 Có kiện hàng Kiện có sản phẩm tốt, xấu Kiện có sản phẩm tốt, xấu Lấy sản phẩm từ kiện bỏ sang kiện từ kiện lấy sản phẩm Lập bảng phân bố xác suất số sản phẩm tốt lấy từ kiện Bài giải Gọi A1 = biến cố lấy I sản phẩm tốt từ kiện P(A0) = C C 45 = 2 10 P(A1) = C C C 2 = 10 P(A2) = C C 28 45 = 10 P(X=0) = C C 10 10 1 5 10 10 10 16 28 190 + C 24 + C 23 = 45 C 45 C 45 2025 P(X=1) = C C C P(X=2) = C C 16 45 1 1 16 28 997 + C6C4 + C7C3 = 2 45 C 45 C 45 2025 10 10 2 10 10 16 28 838 + C 26 + C 27 = 45 C 45 C 45 2025 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 59 Bài tập xác suất thống kê X P GVHD: Trần Thị Hạnh 190 2025 997 2025 838 2025 9.Một người vào cửa hàng thấy máy thu giống Anh đề nghị cửa hàng cho anh thử máy đến chọn máy tốt mua, lần xấu thơi Gọi X số lần thử Biết xác suất máy xấu 0.6 máy xấu độc lập với Lập bảng phân bố xác suất X Bài giải Gọi Ak biến cố thử lần thứ k gặp máy xấu Ta có {A1, A2, A3, A4, A5} độc lập với P(Ai) = p = 0.6 P(X=1) = 0.4 P(X=2) = 0, 6.0, = 0.24 P(X=3) = 0, 62.0, = 0.144 P(X=4) = 0, 63.0.4 = 0.0864 P(X=5) = 0,64 0.4 = 0.05184 X P 0.4 0.24 0.144 0.0864 0.05184 XÁC SUẤT THỐNG KÊ Xác suất thống kê xem môn học nghiên cứu kiện đại lượng ngẫu nhiên Nó trang bị cho công cụ để tìm hiểu phát quy luật tiêu chuẩn tập hợp đông đảo đối tượng nghiên cứu Và ta biết cách phân tích nó, nghiên cứu nó, qua giá trị đặc trưng Từ rút kết luận cần thiết cho công việc Khoa học nghiên cứu xác suất phát triển thời cận đại Việc chơi cờ bạc( gambling) cho thấy ý niệm xác suất có từ trước hàng nghìn năm, nhiên ý niệm mô tả toán học sử dụng tế có muộn nhiều 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 60 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Hai nhà toán học Pierre de Fermat Blaise Pascal người đặt móng cho học thuyết xác suất vào năm (1654) Christiaan Huygens (1657) biết đến người có công việc đưa xác suất thành vấn đề nghiên cứu khoa học.Như lý thuyết khác, lý thuyết xác suất biễu diễn khái niệm xác suất thuật ngữ hình thức - nghĩa thuật ngữ mà xác định cách độc lập với ý nghĩa Các thuật ngữ hình thức thao tác qui luật toán học logic, kết thu chuyển dịch trở lại miền (domain) toán Tiên đề xác suất tạo thành tảng cho lý thuyết xác suất Việc tính tốn xác suất thường dựa vào phép tổ hợp áp dụng trực tiếp tiên đề Các ứng dụng xác suất bao gồm thống kê, dựa vào ý tưởng phân bố xác suất định lý giới hạn trung tâm Ứng dụng xác suất với đời sống hàng ngày Ảnh hưởng lý thuyết xác xuất sống ngày việc xác định rủi ro bn bán hàng hóa Chính phủ áp dụng phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay cịn gọi phân tích đường lối Lý thuyết trị chơi dựa tảng xác suất Một ứng dụng khác xác định độ tin cậy Nhiều sản phẩm tiêu dùng xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tin cậy thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc Xác suất hư hỏng gắn liền với bảo hành sản phẩm Lý thuyết trò chơi nhánh Toán học ứng dụng Ngành nghiên cứu tình chiến thuật đối thủ lựa chọn hành động khác để cố gắng làm tối đa kết nhận Ban đầu phát triển công cụ để nghiên cứu hành vi kinh tế học, ngày Lý thuyết trò chơi sử dụng nhiều ngành khoa học, từ Sinh học tới Triết học Lý thuyết trị chơi có phát triển lớn từ John von Neumann người hình thức hóa thời kỳ trước Chiến tranh Lạnh, chủ yếu áp dụng chiến lược quân sự, tiếng khái niệm đảm bảo phá hủy lẫn (mutual assured destruction) Bắt đầu từ năm 1970, Lý thuyết trò chơi bắt đầu áp dụng cho nghiên cứu hành vi động vật, có phát triển loài qua chọn lọc tự nhiên Do trò chơi hay Song đề tù nhân (prisoner's dilemma), lợi ích cá nhân làm hại cho tất người, Lý thuyết trò chơi bắt đầu dùng Chính trị học, Đạo đức học triết học Cuối cùng, Lý thuyết trò chơi gần thu hút ý nhà Khoa học máy tính ứng dụng Trí tuệ nhân tạo Điều khiển học Bên cạnh mối quan tâm có tính chất hàm lâm, lý thuyết trò chơi nhận ý văn hóa đại chúng John Nash, nhà lý thuyết trò chơi, người nhận giải thưởng Nobel, chủ đề hồi ký năm 1998 tác giả Sylvia Nasar phim Một tâm hồn đẹp (A Beautiful Mind) năm 2001 Một số trị chơi truyền hình (game show) sử dụng tính lý thuyết trị chơi, có Friend or Foe? Survivor Tuy tương tự với Lý thuyết định, Lý thuyết trò chơi nghiên cứu định đưa môi trường đối thủ tương tác với Nói cách khác, Lý thuyết trị chơi nghiên cứu cách lựa chọn hành vi tối ưu chi phí lợi ích lựa chọn khơng cố định mà phụ thuộc vào lựas chọn cá nhân khác SINH HỌC Diều hâu Bồ câu 0, V Bồ V/2 V/2,câu (V-C)/2, Bồ câu Diều hâu Diều hâu -(V-C)/2 V, 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 61 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh Không giống kinh tế, phần lợi cho trò chơi sinh học thường diễn dịch tương ứng với thích nghi Thêm vào đó, ý cân có liên quan đến khái niệm hợp lý, thiên thứ trì lực tiến hóa Cân biết đến nhiều sinh học biết đến chiến lược tiến hóa bền vững,(viết tắt ESS cho Evolutionary Stable Strategy), giới thiệu lần đầu John Maynard Smith (mô tả sách năm 1982 ông) Mặc đu động lực ban đầu khơng liên quan đến yêu cầu tinh thần cân Nash, ESS cân Nash Trong sinh học, lý thuyết trò chơi sử dụng để hiểu nhiều tượng khác Nó sử dụng lần đầu để giải thích tiến hóa (và bền vững) tỷ lệ giới tính khoảng 1:1.Ronald Fisher (1930) đề nghị tỉ lệ giới tính 1:1 kết lực tiến hóa tác động lên cá nhân người xem cố gắng làm tối đa số cháu chắt Thêm vào đó, nhà sinh vật sử dụng lý thuyết trị chơi tiến hóa,và ESS để giải thích lên liên lạc muông thú (Maynard Smith & Harper, 2003) Sự phân tích trị chơi tín hiệu trị chơi liên lạc khác cung cấp số trực giác vào tiến hóa việc liên lạc muôn thú Cuối cùng, nhà sinh vật sử dụng trò chơi diều hâu-bồ câu (cũng biết đến gà) để phân tích hành vi đánh tranh giành lãnh thổ Khoa học máy tính logic Lý thuyết trị chơi đóng vai trò ngày quan trọng logic khoa học máy tính Một số lý thuyết logic có sở ngữ nghĩa trị chơi Thêm vào đó, khoa học gia máy tính sử dụng trị chơi để mơ tính tốn tương tác với Chính trị học Các nghiên cứu khoa học trị có sử dụng lý thuyết trị chơi Một thuyết trị chơi giải thích cho lý thuyết dân chủ hịa bình tính cơng khai tranh luận cởi mở dân chủ gởi thơng điệp rõ ràng khả tín mục tiêu đến chế độ khác Ngược lại, khó mà biết chủ đích của lãnh đạo phi dân chủ (độc tài), có nhượng chung hiệu nào, lời hứa hẹn có tơn trọng hay khơng Do đó, tồn việc không tin tưởng không mong muốn nhằm tạo nhượng chung thành phần bàn cãi thành phần phi dân chủ Triết học Lý thuyết trò chơi đưa vào vài sử dụng triết học Hai báo W.V.O Quine (1960, 1967), David Lewis (1969) sử dụng lý thuyết trò chơi để phát triển triết lý hội nghị Khi làm việc đó, ơng cung cấp phân tích kiến thức chung sử dụng việc phân tích cách chơi trị chơi quản lý Thêm vào đó, ơng lần đề nghị người ta hiểu ý nghĩa điều kiện trò chơi đánh tín hiệu Đề nghị sau theo đuổi vài triết gia tính từ Lewis (Skyrms 1996, Grim et al 2004) Trong đạo đức, số tác giả cố gắng theo đuổi dự án này, bắt đầu Hobbes, cách suy diễn đạo đức từ lợi ích cá nhân 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang Thomas Bởi 2, 2, Thỏ Nai Thỏ Nai 3, 0, Trò săn nai 62 Bài tập xác suất thống kê GVHD: Trần Thị Hạnh trò chơi giống Prisoner's Dilemma đưa mâu thuẫn rõ ràng đạo đức lợi ích cá nhân, giải thích hợp tác cần thiết lợi ích cá nhân phần quan trọng dự án Chiến lược chung phần quan điểm hợp đồng xã hội tổng quát triết học trị (chẳng hạn, xem Gauthier 1987 Kavka 1986) Cuối cùng, số tác giả khác cố gắng sử dụng lý thuyết tiến hóa trị chơi để giải thích phát triển quan điểm người đạo đức hành xử tương ứng muôn thú Những tác giả xem xét số trò chơi bao gồm Song đề tù nhân, săn nai, trò mặc Nash để cung cấp lời giải thích phát triển quan điểm đạo đức(xem, e.g., Skyrms 1996, 2004; Sober Wilson 1999) Nhận xét cơng việc làm: + Các thành viên tích cực tham gia có trách nhiệm với sản phẩm mình, có phân cơng lao động rõ ràng + Các tập tổng hợp mang tính chất tóan học cao đồng thời bên cạnh có vấn đề từ thực tiễn sống khai thác tối đa + Tìm vấn đề mở rộng liên quan đến xác suất thống kê + Biết thêm định lí liên quan, cách suy luận toán học dạng tốn xem kinh điển mơn học +Có kinh nghiệm hoạt động nhóm cách suy luận toán học 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang 63 Bài tập xác suất thống kê 11T2 Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang GVHD: Trần Thị Hạnh 64 ... → Xác suất chọn hộp A 1/3, xác suất chọn hộp B 2/3 Tiếp theo, ta tính xác suất chọn viên bi trắng hộp Xác suất lấy viên bi trắng hộp A 4/9 Xác suất lấy viên bi trắng hộp B 3/7 Tóm lại xác suất. .. phận B Khi xác suất để viên đạn trúng vào A Còn xác suất viên đạn trúng vào B, C, D 5 * Xác suất để có hai viên đạn trúng vào phận là: 2 2 1   + 3  = 5 5  2 (Chú ý xác suất để cảø... chọn Tính xác suất để viên bi trắng Bài giải Đầu tiên, ta tính xác suất phải dùng đến hộp A xác suất phải dùng đến hộp B Một súc sắc có mặt Xác suất xuất số chấm lớn là: 2/6 =1/3 Xác suất xuất