1. Một số ví dụ về sai lầm của trực giác của chúng ta cĩ ý nghĩa thiết thực hơn nhiều. Tại châu Âu, từng thịnh hành trị chơi truyền hình mang tên “Dốc sức” của kênh truyền hình nổi tiếng IBC, trong đĩ ở phần kết thúc, người chơi được chỉ một trong ba ơ cửa kín mà phía sau một trong ba cửa đĩ cĩ để phần thưởng chính
Sau khi người chơi chọn một trong ba ơ cửa, người dẫn chương trình mở một trong hai ơ cửa cịn lại mà sau ơ cửa đĩ khơng cĩ phần thưởng (Điều này người dẫn chương trình đã biết trước). Tiếp theo, người dẫn chương trình cho phép người chơi cĩ thể thay đổi việc chọn ơ cửa. Nếu bạn là người chơi chính, bạn cĩ xin đổi ơ cứa khơng? Tại sao?
Bài giải
Gọi tên cửa mà người chơi chọn lúc đầu là A, cửa khơng cĩ quà mà người hướng dẫn chương trình mở ra là B, và cửa cịn lại là C. Vào thời điểm ban đầu, khơng cĩ thơng tin gì về cửa nào phía sau cĩ quà, thơng tin duy nhất là 1 trong 3 cửa cĩ quà. Khơng cĩ cơ sở gì để cho rằng cửa nào cĩ nhiều khả năng cĩ quà hơn cửa nào, bởi vậy vào thời điểm ban đầu ta coi . Nhưng sau khi cửa B được mở ra, thì ta cĩ thêm một thơng tin mới, là cửa B khơng cĩ quà. Như vậy thơng tin mới này làm thay đổi xác suất của B: bây giờ ta cĩ . Khơng chỉ xác suất của B thay đổi, mà tổng xác suất của A và C bây giờ cũng thay đổi: (thay vì bằng 2/3 như trước). Như vậy ít ra một trong hai số
hoặc thay đổi, hoặc là cả hai. Xác suất cĩ thay đổi vì thơng tin mới này khơng ? Câu trả lời là khơng .Chỉ cĩ là thay đổi: sau khi người hướng dẫn chương trình mở cửa B, thì ta cĩ
và . Như vậy người chơi nên đổi cửa A lấy cửa C thì dễ thắng hơn.
Nhận xét: Phần lớn người chơi khơng thay đổi ơ cửa đã chọn lúc ban đầu bởi vì họ nghĩ rằng xác suất để cĩ phần thưởng sau ơ cửa là đúng 50% (lý do là hai ơ cửa vẫn chưa được mở). Do vậy, việc đổi cửa hay khơng đổi cửa là khơng cĩ ý nghĩa gì. Tuy nhiên, từ phương diện tốn xác suất, thì thay đổi ơ cửa lại cĩ lợi hơn. Khả năng để phần thưởng chính nằm sau ơ cửa đã chọn lần đầu chỉ là khoảng 33,3% (khơng phải là 50%). Ngược lại xác suất nhận được phần thưởng sau khi đổi ơ cửa là 66,6%. Điều này cĩ vẻ như mâu thuẫn
nhưng thật ra nĩ cĩ cơ sở tốn học. Đĩ là nghịch lý tốn học cĩ tên gọi là nghịch lý “Monty Hall”. Do khơng biết về nghịch lý “Monty Hall” nên trong nhiều trường hợp người chơi để vuột mất phần thưởng chính.