ngẫu nhiên 1 miền trong số các miền đĩ. Tìm n để xác suất khơng chọn được miền đã đánh dấu ≥ 0.9 (Hồng Phượng)
Bài giải
Gọi A là biến cố “chọn được miền đã đánh dấu” Xây dựng được cơng thức truy hồi như sau :
Cho S{n} là số miền tạo thành do n dường trịn thỏa mãn điều kiện đề bài . Giả sử đã cĩ n - 1 đường trịn thỏa mãn điều kiện đề bài , mình dựng thêm đường trịn thứ n thì số miền giới hạn bởi n đường trịn lúc này sẽ bằng số miền được tạo thành trước đĩ cộng với số giao điểm được thêm , lúc này là 2(n-1) ( chính là số giao điểm của đường trịn thứ n cắt n-1 đường trịn trước đĩ ) .Ta cĩ cơng thức truy hồi là S{n} = S{(n-1)} + 2(n-1)
Gọi S(n) là số miền tạo ra bởi n đường trịn. Ta cĩ S(1)=1. Để tính S(n+1) ta suy luận như sau: số miền tạo ra của k+1 đường trịn bằng số miền tạo ra bởi k đường trịn cộng với k miền tạo ra bởi giao của đường trịn thứ k+1 với k đường trịn trước và thêm 1 miền nữa tạo ra bởi đường trịn thứ k+1. Nĩi tĩm lại, ta cĩ hệ thưc: S(n+1)=S(n)+2n, S(1)=1. Ta cĩ S(1) = 1 S(2) = S(1)+ 2 .1 S(3) = S(2)+2 . 2 = S(1) + 2 .1+2 .2 S(4) = S(3) +2.3 = S(1) + 2.1 + 2 . 2 + 2 . 3 ………
→ Cơng thức tổng quát của S(m) = S(1)+2 . 1 + 2 . 2+….+2. (n-1)=1+2(1+ 2+ 3+…..+n-1) = 1+2. .( 1)
2
n n−
= 1+ n(n-1) [cơng thức đã được chứng minh bằng qui nạp]
⇒ P(A) = 1 - 1 1+n n.( −1) ≥ 0,9 ⇔ 1 1+n n.( −1) ≤ 0,1 ⇔1 ≤ 0.1 + 0.1n2 – 0.1n ⇔ 0.1n2 – 0.1n -0.9 ≥ 0 ⇔ n ≤ -2.54 v n ≥ 3.54
So điều kiện n∈N* và n tối thiểu, ta cĩ n = 4 là điều kiện cần tìm