Uốn ngang phẳng những thanh phẳng

Nếu trục dầm khi bị uốn cong vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó được gọi là uốn phẳng Trong thực tế, những dầm bị uốn thường là những dầm có mặt cắt ngang l

Chương 5

UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG

5.1.KHÁI NIỆM

Một thanh chịu uốn là một thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực

Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm

Ví dụ: Dầm chính của một cái cầu (hình 5.1), trục bánh xe lửa (hình 5.2), xà nhà

Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung hay lực phân bố có phương vuông góc với trục dầm, hay là những mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm

Trên hình 5.3, giả sử y là trục đối xứng của dầm, z là trục dầm, thì mặt phẳng Oyz

là mặt phẳng quán tính chính trung tâm

Nếu trục dầm khi bị uốn cong vẫn

nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung

tâm thì sự uốn đó được gọi là uốn phẳng

Trong thực tế, những dầm bị uốn

thường là những dầm có mặt cắt ngang là

hình đối xứng qua một trục Vì vậy, trong

chương này ta chỉ xét các loại dầm có tính

chất đó, nghĩa là các loại dầm có ít nhất một

mặt đối xứng đi qua trục của dầm (hình 5.3)

Ngoài ra, ta cũng giả thiết thêm rằng, ngoại

lực tác dụng trong mặt phẳng chứa trục dầm

và trục đối xứng của mặt cắt ngang, tức là

ngoại lực tác dụng trong một mặt phẳng đối

xứng đi qua trục của dầm Như vậy, trong

trường hợp uốn phẳng đang xét, mặt phẳng

đối xứng là mặt phẳng tải trọng và đồng thời

là mặt phẳng quán tính chính trung tâm Vì tính chất đối xứng, nên trục dầm sau khi bị uốn là một đường cong phẳng nằm trong mặt phẳng đối xứng đó

Trục đối xứng của mặt cắt là đường tải trọng Ta chia uốn phẳng làm hai loại: a) Uốn thuần túy phẳng

A DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

Một dầm chịu uốn thuần túy phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm

Trên hình 5.4, hình 5.5: P, Mo nằm trong mặt phẳng đối xứng

Rõ ràng tất cả mọi mặt cắt ngang thuộc đoạn AB của hai dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm (mặt phẳng quán tính chính trung tâm)

Do đó, đoạn AB chịu uốn thuần túy

5.2 ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

Để tính ứng suất trong dầm chịu uốn

thuần túy phẳng, trước hết ta xét biến dạng của

dầm

5.2.1 Quan sát biến dạng: Quan sát một dầm

chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt ngang hình

chữ nhật

Trước khi cho dầm chịu lực, ta kẻ những

đường thẳng song song với trục để biểu diễn các

thớ dọc và những đường thẳng vuông góc với

trục để biểu diễn các mặt cắt ngang (hình 5.6a)

Khi có mô men uốn tác dụng vào hai đầu

dầm, ta nhận thấy rằng những đường thẳng trước

kia song song với trục dầm thì bây giờ trở thành những đường cong và vẫn song song với trục dầm

Những đường thẳng trước kia vuông góc với trục dầm, bây giờ vẫn vuông góc với trục dầm Như vậy, những góc vuông vẽ trước khi biến dạng, thì sau biến dạng vẫn là góc vuông (hình 5.6b)

5.2.2 Giả thuyết

Từ các nhận xét trên, ta đưa ra hai giả thuyết sau để làm cơ sở tính tóan cho một thanh chịu uốn thuần túy:

aa

Hình 5.5: Dầm chịu uốn thuần

tuý phẳng

P P

P

P

P P

thớ không bị co cũng không bị giãn, tức là thớ không biến dạng Các thớ đó gọi là thớ trung

hòa (hình 5.7a)

Các thớ trung hòa tạo thành một lớp được gọi là lớp trung hòa

Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa

Vì các thớ trên bị nén, nên bề rộng của mặt cắt ở phía trên phình ra, còn các thớ phía dưới chịu kéo nên bề rộng của mặt cắt ở phía dưới thu hẹp lại (hình 5.7b) Mặt cắt ngang không còn nguyên dạng hình chữ nhật như trước khi bị biến dạng Đường trung hòa là một đường cong nhưng vì biến dạng nhỏ, nên có thể coi mặt cắt sau khi biến dạng vẫn không đổi (vẫn hình chữ nhật) và coi đường trung hòa là đường thẳng và biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy là sự quay của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa Bây giờ, ta xét một đoạn dầm dz được cắt ra bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 5.8a)

Sau biến dạng, theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng thì hai mặt cắt 1-1 và 2-2 vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm, đồng thời quay với nhau một góc dϕ Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hòa O1O2 (hình 5.8b) Vì thớ trung hòa không bị biến dạng nên:

Hình 5.7: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý

ẳ

Thớ trung

hoà

Đường trung h ày

x

M x

M x

Lớp trung hoà

O

Trục đối xứng

Đường trung hoà

a)

Hình 5.8: Xét sự biến dạng của một thớ

ρ y

d

ϕ Thớ trung

hoàm

O1O2=dz=O1O2 =ρdϕ

Bây giờ, tính biến dạng dài của một thớ mn cách thớ trung hòa một khoảng cách

y Chiều dài của thớ này trước khi bị biến dạng: mn =dz= ρdϕ

và sau khi biến dạng : mn= (ρ + y) dϕ

Vậy, độ biến dạng dài tỉ đối của thớ mn bằng:

ρ

=ϕ

ρ

ϕρ

−ϕ+ρ

=

d

dd)y(zTrong đó, giá trị của y và ρ đều chưa biết, vì vị trí của đường trung hòa còn chưa xác định

* Quan hệ vật lý: Ta hãy xét một mặt cắt nào đó, chẳng hạn mặt cắt 2-2 Mặt cắt

đó được biểu diễn như trên hình 5.9 Trên mặt cắt đó ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox là đường trung hòa, Oy là trục đối xứng của mặt cắt, Oz song song với trục của dầm Chiều của các trục như hình vẽ (hình 5.9a)

Bây giờ, ta tách ra một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ Phân tố đó được biểu diễn trên hình 5.9b Theo giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng

và với nhận xét các ô vuông sau khi biến dạng vẫn giữ góc vuông, nghĩa là trên các mặt cắt của phân tố không thể có ứng suất tiếp Nói cách khác, trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có ứng suất pháp σz..Theo giả thuyết về các thớ dọc thì σx= σy = 0

Như vậy, trạng thái ứng suất của một phân tố tách ra ở một điểm A nào đó trên mặt cắt ngang là trạng thái ứng suất đơn Định luật Hooke cho phép ta biểu diễn quan hệ giữa σz và εZ như sau :

ρε

σz =E z =E y (b)

* Quan hệ ứng suất và nội lực:

Xét một phân tố diện tích dF bao quanh điểm A Phân tố nội lực tác dụng lên phân

z

b)

Hình 5.9: Xác định ứng suất của dầm chịu uốn

thuần tuý phẳng

a) Lực trục NZ: Mang (b) vào (c) và chú ý tỉ số

ρ

E

là một hằng số ở trên mọi điểm của mặt cắt ngang nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân :

Nz = ∫ = ∫ =

ρρ

Rút ra Sx = ∫ =

Trong đó, Sx là mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox Điều

đó chứng tỏ đường trung hòa Ox trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang

b) Mô men uốn My: Mang (b) vào (d) ta có :

My = ∫ = ∫ =

p

ExydFpE

2

yE

Khi thay (5-1) vào (b) ta được: y

Jx: Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox

y: Tung độ của điểm đang xét đến trục trung hòa Ox

Ứng suất pháp tính được mang dấu cộng là ứng suất kéo, mang dấu trừ là ứng suất nén Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta có thể viết (5-2) dưới dạng công thức kĩ thuật : |y|

J

Mx

x

σ (5-3) Trong đó, ta lấy dấu (+) khi σz là ứng suất kéo và dấu (-) khi σz là ứng suất nén ở điểm chúng ta tính ứng suất

5.3 BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT PHÁP - ỨNG SUẤT PHÁP LỚN NHẤT.

5.3.1 Biểu đồ ứng suất pháp

Theo công thức (5-2), biểu đồ ứng xuất pháp trên mặt cắt ngang là một mặt phẳng (thường gọi là mặt phẳng ứng suất), hình 5.10a

Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất với mặt cắt ngang là đường trung hòa

Theo công thức (5-2), ta thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hòa (tức có cùng khoảng cách y) thì có cùng trị số ứng suất pháp

Do đó, ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp σz theo chiều cao của mặt cắt ngang (hình 5.10b) Như vậy, ứng suất pháp ở những điểm nằm trên đường thẳng

AB song song với đường trung hòa được biểu diễn bằng đoạn thẳng ab trên biểu đồ phẳng (hình 5.10a, b) Trên biểu đồ phẳng (hình 5.10b), dấu (+) chỉ ứng suất pháp kéo, dấu (-) chỉ ứng suất pháp nén

=

n x

x n

max x

x min

k x

x k

max x

x max

W

|M

|

|y

|J

|M

|

W

|M

|

|y

|J

|M

|σ

σ

(5-4)

Trong đó, ta đặt:

|y

|

JW

;

|y

x k

max

x k

Mô men chống uốn là một đại lượng hình học, ý nghĩa

của nó thể hiện trong công thức (5-4); tức Wx càng lớn thì dầm

có thể chịu Mx càng lớn Như vậy, mô men chống uốn đặc

trưng cho ảnh hưởng của hình dáng và kích thước của mặt cắt

Hình 5.10: Biểu đồ ứng suất pháp

Hình 5.11: Xác định mô

y

x

O b

ngang đối với độ bền của dầm khi ứng suất pháp chưa vượt quá giới hạn tỉ lệ

Dưới đây, ta tính mô men chống uốn của một vài mặt cắt ngang có dạng hình học

2 x

n x

|y

R3 π 3

π =

(5-6) hay: W 3

x

n x

k

x=W =W =0,1D (5-7)

- Mặt cắt ngang hình vành khăn (hình 5.12b)

Nếu gọi α là tỉ số giữa đường kính trong d và đường kính ngoài D, thì mô men

quán tính của mặt cắt ngang vành khăn là:

64

D)1(4

Ơ đây:

2

DR

|y

Muốn dầm làm việc được bền thì ứng suất lớn nhất khi kéo và nén ở mặt cắt ngang nguy hiểm (nói chung mặt cắt nguy hiểm có max |Mx| không vượt quá ứng suất pháp cho phép của vật liệu), đó là điều kiện bền

Đối với vật liệu dẻo, ứng suất pháp cho phép khi kéo bằng khi nén, nhưng đối với vật liệu giòn thì ứng suất pháp cho phép khi kéo khác khi nén, nên ta phải viết điều kiện bền cho cả hai trường hợp:

- Dầm bằng vật liệu giòn:

Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén khác nhau, nên ta phải có hai điều kiện bền: σmax ≤ [ σ]k ; |σmin| ≤ [ σ]n (5-11)

Trong đó [σ]k và [σ]n - ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén

* Ví dụ 1: Một dầm bằng vật liệu giòn có ứng suất pháp cho phép khi kéo |σ|k = 3,5KN/cm2 và khi nén [σ]n = 11KN/cm2 chịu lực như hình vẽ (hình 5.13) Kiểm tra độ bền của dầm :

Bài giải :Trước hết ta phải tìm trọng tâm và mô men quán tính của mặt cắt ngang

(xem chương đặc trưng hình học của mặt cắt ngang phẳng): Jx = 362,6667cm4

Biểu đồ nội lực được biểu diễn trên hình 5.13b Vì mô men uốn là một hằng nên ở bất kì một mặt cắt ngang: Mx = 4,5 KNm

Qua biểu đồ mô men ta thấy phía trên bị kéo và phía dưới chịu nén Tức là những điểm phía trên trục x chịu kéo (điểm A chịu kéo lớn nhất), các điểm phía dưới trục x chịu nén (điểm B chịu nén lớn nhất)

Ứng suất pháp kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng:

max σk = σA = 2 2

k x

6667,362

105,4W

Hình 5.13: Kiểm tra độ bền của dầm

Mx

4,5KN

4,5KNm 4,5KNm

3,31KN/c

m2

9,1KN/c

m 2 d)A

B

|max σn | = σB = 2 2

n x

6667,362

105,4W

* Ví dụ 2: Xác định đường kính đoạn trục bánh xe hỏa nằm giữa hai bánh, chịu

lực như trên hình 5.14a Cho P = 63KN; a = 22,8 cm Vật liệu có giới hạn bền bằng 26KN/cm2 Lấy hệ số an toàn n = 6,3

Bài giải : Mô men uốn ở mặt cắt ngang trong đoạn nằm giữa hai bánh xe bằng:

26d

,0

4,1436

W

M

3 x

Rút ra:

15,2cm

261,0

3,64,1436

a) Dầm bằng vật liệu giòn: Mặt cắt của dầm sẽ hợp lí nhất khi ứng suất cực trị

thỏa mãn các điều kiện: σmax =[ ]σ k;σmin =[ ]σn

Trong đó [σ]k là ứng suất cho phép khi kéo và [σ]n là ứng suất cho phép khi nén Thay các trị số σmax và σmin được tính theo công thức (5-7) vào các đẳng thức trên,

ta sẽ được: n n

max x

x k

k max x

J

|M

|

;][

|y

|J

|M

Chia các vế của đẳng thức trên cho nhau, ta được:

n

k n

max

k max

][

][

|y

|

|y

|

|y

|hay1

|y

|

|y

max

k max n

Hình 5.15: Xác định hình

yz

Pa

P

P P

a

(Q y )

(M x )b)

a)

bố trí sao cho tỉ số giữa |ymax|vaì|ymax| thỏa mãn (5-12)

Ví dụ mặt cắt hình chữ T (hình 5.15)

b) Dầm bằng vật liệu dẻo:

Vì với vật liệu dẻo [σ]k = [σ]n nên: |ykmax| =|ynmax|

Tức là mặt cắt ngang có dạng đối xứng qua đường trung hòa Ox, ví dụ như mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, tròn

Ngoài ra, qua biểu đồ ứng suất pháp như trên (hình 5.10), ta nhận thấy ở những điểm càng gần trục trung hòa thì trị số ứng suất pháp càng nhỏ, nghĩa là những nơi đó vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa đường trung hòa Vì vậy, để tận lượng khả năng làm việc của vật liệu, nên người ta có khuynh hướng bố trí vật liệu ra xa trục trung hòa, ví dụ mặt cắt ngang dạng chữ T, I,

Việc bố trí mặt cắt cũng có một ý nghĩa rất lớn Đó chính là định hướng của mặt cắt ngang đối với mặt phẳng tải trọng Ví dụ mặt cắt ngang hình chữ I được bố trí hợp lý nhất là làm sao cho trục trung hòa trùng với trục mà đối với trục đó Jx = Jmax

B DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn Các thành phần nội lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm

Ví dụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.16) Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên mặt cắt đó có hai thành phần nội lực

là lực cắt Qy và mô men uốn Mx Hai thành phần nội lực này đều nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm là Oyz (hình 5.17)

5.6 ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Công thức tính ứng suất pháp σz (5-2) được suy ra cho trường hợp Mx = const Nếu mô men uốn Mx là một hàm số theo z thì trên mặt cắt ngang sẽ có lực cắt:

M x Qy

Hình 5.17: Nội lực trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng

Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất pháp do mô men uốn

Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp do lực cắt Qy gây ra Đối với trường hợp này, sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang không còn phẳng nữa Mặt cắt ngang không những bị xoay như trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng mà còn bị vênh đi một ít do tác dụng của ứng suất tiếp, cho nên quá trình chứng minh ở mục 5-2 không còn phù hợp Nhưng "Lý thuyết đàn hồi" đã chứng minh rằng, công thức (5-2) có thể dùng được trong trường hợp uốn ngang phẳng mà sai số mắc phải không lớn Vì vậy, chúng ta thừa nhận công thức (5-2) để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong trường hợp uốn ngang phẳng:

Để đơn giản bài toán, ta giả thiết dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật

Nói chung, ứng suất tiếp τz ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang có thể không cùng phương với lực cắt Qy

Phân tích ứng suất tiếp τz ra thành hai thành phần τzy và τzx (hình 5.18):

lực cắt Qy (tức là song song với Oy); τzx là thành phần ứng suất

tiếp vuông góc với lực cắt Qy (tức là song song với Ox)

Cách xác định ứng suất tiếp τz ở một điểm bất kì trên mặt

cắt ngang là vấn khó khăn Vả lại nếu mặt cắt có dạng hình chữ

nhật hẹp thì thành phần ứng suất tiếp τzx rất bé so với τzy Nên

trong thực tế, người ta thường chỉ xác định thành phần ứng suất

tiếp song song với lực cắt τzy

Để lập công thức tính thành phần ứng suất tiếp song song

với lực cắt, ta thừa nhận giả thuyết sau:

Thành phần ứng suất tiếp song song và cùng chiều với lực

cắt ở một điểm bất kì K trên mặt cắt ngang là phân tố đều theo đoạn

thẳng đi qua điểm K và vuông góc với lực cắt

Tưởng tượng tách ra khỏi dầm một đoạn vô cùng bé dz bằng hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (xem hình 5.19 và hình 5.20)

Sau đó, cắt đoạn dầm dz bởi mặt cắt thứ ba đi qua điểm đang xét K và vuông góc với lực cắt Qy Mặt cắt này cắt đoạn dầm làm hai phần, ta xét sự cân bằng của phần dưới ABCDEFGH (hình 5.20)

Viết điều kiện cân bằng của phân tố này dưới dạng phương trình hình chiếu của các lực lên phương của trục dầm (trục Oz)

- Trên mặt ABCD: Kí hiệu ứng suất pháp trên mặt này là σz(1) (hình 5.20), ta có:

Hình 5.18: Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu ố

Q y

O τ τxy

τzx

σz(1) = y

J

M

x x

Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt ABCD lên phương Oz bằng:

N1= c

x x

x Fc

x )

1 (

J

MydFJ

M

dF= ∫ =

∫σ (a) Trong đó: Fc - Diện tích của mặt ABCD mà ta gọi là diện tích cắt; Sc

x- Mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hòa Ox

- Trên mặt EFGH: Ứng suất pháp trên mặt 2-2 này là σz(2):

σz(2) = y

J

dMM

) 2 ( z

J

dMM

dF

Fc

c x x

x

J

dMMydF (b)

- Trên mặt ABEF: Theo giả thuyết về các thớ dọc, trên mặt này chỉ có ứng suất tiếp Dựa vào định luật đối ứng, thành phần ứng suất tiếp τyz song song với trục OZ bằng:

τyz = τzy

Vì chúng ta đã thừa nhận ứng suất tiếp τzy phân bố đều trên đoạn AB (hình 5.20) nên thành phần ứng suất tiếp τyz cũng phân bố trên toàn mặt ABEF Do đó, hình chiếu của nội lực tác dụng lên mặt ABEF lên phương OZ bằng:

SJ

zy

c x x

x x

c x x

G H

O

b

c

d z

rút ra: τzy = c

x

c x xbJ

SdzdM

bJ

S.Q

(5-14) Trong đó: Sc

x - Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt đối với trục trung hòa; bc -

Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm đang xét và vuông góc với lực cắt

Công thức (5-14) được gọi là công thức Durápski

Dưới đây, ta lần lượt tính ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt ngang đơn giản

a) Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.21)

Để xác định sự phân bố của thành phần ứng suất tiếp τzy trên toàn bộ mặt cắt,

trước hết ta tính thành phần ứng suất tiếp τzy ở điểm K (hình 5.21)

Bề rộng mặt cắt đi qua điểm K bằng :

bc = b

Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt (phần dưới) đối với trục trung hòa Ox bằng:

h

y418

bh2

1y2

hyc

hbS

Mô men quán tính của mặt cắt đối với trục trung hòa Ox: Jx =

Q23

Như vậy, quy luật phân bố của τzy là một đường Parabol bậc hai Những điểm ở trên trục

trung hòa Ox là những điểm có ứng suất tiếp τzy lớn nhất (y=0):

τmax =

bh

Q2

3 y (5-15)

b) Mặt cắt ngang hình chữ I (hình 5.22)

Ở đây, ta chỉ xét sự phân bố của ứng suất tiếp τzy trong lòng chữ I

Tính ứng suất tiếp τzy ở điểm K nằm trong lòng chữ I

Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm K bằng:

bc = d ; S

2

ydS2

y)yd(S

2 x x

O

τmax

Hình 5 22: Xác định ứng

τzy =

dJ2

ydSQx

2 x

R y

c

3

2dyR2d

R

y1F

Q3

4τ

Công thức này chứng tỏ τzy biến

thiên dọc theo đường kính của

mặt cắt ngang hình tròn là đường cong

bậc hai

Ứng suất tiếp τzy đạt tới giá trị

lớn nhất ở những điểm nằm trên đường

trung hòa (y=0):

F

Q3

4 y

τ (5-17)

5.8 ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng suất

pháp σz do mô men uốn Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp τzy do lực cắt Qy gây ra

Trên hình 5.24 biểu diễn biểu đồ ứng suất pháp σz và ứng suất tiếp τzy dọc theo

x

b c

b(ξ ) d(

chiều cao mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng

Dựa vào biểu đồ này, chúng ta thấy rằng trạng thái ứng suất của các phân tố trên mặt cắt ngang sẽ khác nhau Nói chung, chúng ta có ba trường hợp sau :

a) Trạng thái ứng suất đơn:Vì ứng suất tiếp ở những điểm mép trên cùng và

dưới cùng bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn (tại điểm Avà D trên hình 5.24) Điều kiện bền của các phân tố :

- Đối với dầm bằng vật liệu dẻo: max|σ| ≤ |σ| (5-18)

- Đối với dầm bằng vật liệu giòn: σmax ≤[σ]k ; σmin ≤ [σ]n (5-19)

b) Trạng thái trượt thuần túy:Vì ứng suất pháp ở những điểm trên trục trung hòa

bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái trượt thuần túy, ví dụ ở điểm O trên hình 5.24 Ứng suất chính của phân tố có trị số:

σ1= -σ3= τmax ; σ2 = 0 (xem ở chương 3: Trạng thái ứng suất trượt)

- Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, ta có điều kiện bền của phân tố:

τmax ≤

2

][σ (5-20)

- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: τmax ≤

3

][σ

(5-21) Nếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra

c) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt :

Vì ứng suất pháp và ứng suất tiếp nằm trong khoảng giữa trục trung hòa và mép trên cùng hay mép dưới cùng đều khác không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Ví dụ ở điểm B, C trên hình 5.24

Ứng suất chính của phân tố này là (xem chương 3: Trạng thái ứng suất):

2 2 1

=

2 2 3

- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

][

3 2

σ

- Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra bền

* Chú ý: Không phải kiểm tra bền cho cả ba loại phân tố ở trên cùng một mặt cắt

ngang Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, ta phải chọn mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất Đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy, phải chọn mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, phải chọn mặt cắt có

mô men uốn và lực cắt cùng lớn (thường chỉ kiểm tra ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của mặt cắt ngang hình chữ I) , cũng có khí ba mặt cắt đó trùng nhau trở thành 2 hay 1 vị trí

* Ví dụ 3: Kiểm tra bền dầm có mặt cắt ngang hình chữ I số hiệu 36 chịu lực như

hình vẽ (hình 5.25a) Chiều dài của dầm là l=2m, cường độ tải trọng phân bố đều là

q=104N/m , lực tập trung P=20⋅104N, đặt cách gối tựa một khoảng cách a= 0,2m Ứng suất cho phép là [σ]=150MN/m2

Bài giải :Biểu đồ lực cắt Qy và mô men uốn Mx được biểu diễn trên hình 5.25b, c Chúng ta nhận thấy:

- Mặt cắt ngang ở giữa dầm có mô men uốn lớn nhất: Mmax = 4,5.104Nm

a) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:

Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất và ở biên trên hay biên dưới của mặt cắt ngang này Ứng suất pháp lớn nhất bằng:

σmax = 60,57MN/m 150MN/m [ ]

10.743

10.5,4W

6 4 y

So sánh với ứng suất cho phép, ta thấy nhỏ hơn Vậy điều kiện bền đối với phân

tố này được thỏa mãn

b) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy:

Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất và ở ngay trên trục trung hòa của mặt cắt ngang này Ứng suất tiếp lớn nhất bằng:

2 8

6 4

x

x

10.75,0.10.13380

10.423.10.21d

J

S.Q

1503

][

≈

=σ

So sánh τmax với [τ], ta thấy τmax lớn hơn một ít khoảng 2% Điều đó có thể cho phép

c) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:

Phân tố này được chọn ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của chữ I trên mặt cắt ngang có mômen uốn và lực cắt cùng lớn sát mép trái C hay sát mép phải D Gọi K là điểm tiếp giữa lòng và đế của chữ I

σk = 2

8

4 k

x

10.13380

10.2,4y

6 4

x

c x y

m/MN8,6510

.75,010.13380

10.5,31710.8,20d

J

SQ

c

2

77,1675,077,164232

ydy

Ứng suất nhỏ hơn ứng suất cho phép, vậy dầm đủ bền

5.9 CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN

Phần trên ta đã trình bày bài toán kiểm tra bền Ta sẽ trình bày tiếp các dạng bài toán cơ bản khác trong uốn ngang phẳng:

- Chọn kích thước của mặt cắt

- Xác định tải trọng cho phép

Đối với bài toán chọn kích thước của mặt cắt (hay xác định kích thước của mặt cắt) ,vì ảnh hưởng của ứng suất pháp lớn hơn nhiều so với ảnh hưởng của ứng suất tiếp, nên để đơn giản ta giải quyết bài toán như sau: Trước tiên ta bỏ qua lực cắt và sơ bộ chọn kích thước mặt cắt như đã làm đối với dầm chịu uốn thuần túy Nói một cách khác, ta dựa vào trạng thái ứng suất đơn (phân tố A hoặc D hình 5.24) để sơ bộ chọn kích thước mặt cắt Sau đó, phải tiến hành kiểm tra bền ở các phân tố khác như đã nói trên Nếu điều kiện bền đối với các phân tố chịu trạng thái ứng suất khác không thỏa mãn, thì ta phải thay đổi kích thước mặt cắt (thường tăng kích thước lên hoặc chọn số hiệu thép định hình lớn hơn)

Đối với bài toán xác định tải trọng cho phép cũng tiến hành tương tự như vậy

* Ví dụ 4: Dầm có mặt cắt ngang với hình dạng chữ I chịu lực như trên hình vẽ

(hình 5.26a) Lực tác dụng P = 2,6.104N, l = 6m và ứng suất cho phép [σ]=160MN/m2

Xác định số liệu của mặt cắt

Bài giải: Biểu đồ mô men uốn Mx, lực cắt được biểu diễn như trên hình vẽ (hình 5.26b, c) Vì lực cắt ở mọi mặt cắt có trị số

tuyệt đối như nhau, nên mặt cắt nguy hiểm là

mặt cắt có mô men uốn lớn nhất Ta hãy lấy

mặt cắt về phía bên trái của lực P Trên mặt

P/2

b)P/

2

Hình 5 26: Biẻu đồ nội

c)Pl/4