các công thức lượng giác lớp 10 pps

M T S CÔNG TH C TOÁN H C L P 10 & 11 Ộ Ố Ứ Ọ Ớ

1 Các tính ch t c b n c a b t đ ng th c: ấ ơ ả ủ ấ ẳ ứ

1.1 Tính ch t 1 (tính ch t b c c u): ấ ấ ắ ầ a > b và b > c ⇔ a > c

1.2 Tính ch t 2: ấ a > b ⇔ a + c > b + c

T c là: ứ N u c ng 2 v c a b t đ ng th c v i cùng m t s ta đế ộ ế ủ ắ ẳ ứ ớ ộ ố ược b t đ ng th c cùngấ ẳ ứ chi u và tề ương đương v i b t đ ng th c đã cho.ớ ấ ẳ ứ

H qu (Quy t c chuy n v ): ệ ả ắ ể ế a > b + c ⇔ a – c > b

1.3 Tính ch t 3: ấ

a b

a c b d

c d

>

 ⇒ + > +

 >



N u c ng các v tế ộ ế ương ng c a 2 b t đ ng th c cùng chi u ta đứ ủ ấ ẳ ứ ề ược m t b t đ ngộ ấ ẳ

th c cùng chi u Chú ý: KHÔNG có quy t c tr hai v c a 2 b t đ ng th c cùng chi u.ứ ề ắ ừ ế ủ ấ ẳ ứ ề

1.4 Tính ch t 4: ấ

a > b ⇔a.c > b.c n u c > 0ế

ho c ặ a > b ⇔c.c < b.c n u c < 0ế

1.5 Tính ch t 5: ấ

0 0

a b

a c b d

c d

> >

 > >



N u nhân các v tế ế ương ng c a 2 b t đ ng th c cùng chi u ta đứ ủ ấ ẳ ứ ề ược m t b t đ ngộ ấ ẳ

th c cùng chi u Chú ý: KHÔNG có quy t c chia hai v c a 2 b t đ ng th c cùng chi u.ứ ề ắ ế ủ ấ ẳ ứ ề

1.6 Tính ch t 6: ấ

a > b > 0 ⇒ an > bn (n nguy n dể ương)

1.7 Tính ch t 7: ấ

0 n n

a b> > ⇒ a > b (n nguyên dương)

2 B t đ ng th c Cauchy (Cô-si): ấ ẳ ứ

Đ nh lí: ị N u ế a≥ 0và b≥ 0 thì

2

a b

a b

+ ≥ Đ ng th c x y ra khi và ch khi: a = b ẳ ứ ả ỉ

T c là: ứ Trung bình c ng c a 2 s không âm l n h n ho c b ng trung bình nhân c aộ ủ ố ớ ơ ặ ằ ủ chúng

H qu 1: ệ ả N u 2 s dế ố ương có t ng không đ i thì tích c a chùng l n nh t khi 2 s đõổ ổ ủ ớ ấ ố

b ng nhau.ẳ

Ý nghĩa hình h c: ọ Trong t t c các hình ch nh t có cùng chu vi, hình vuông có di nấ ả ữ ậ ệ tích l n nh t.ớ ấ

H qu 2: ệ ả N u 2 s dế ố ương có tích không đ i thì t ng c a chùng nh nh t khi 2 s đóổ ổ ủ ỏ ấ ố

b ng nhau.ằ

Ý nghĩa hình h c: ọ Trong t t c các hình ch nh t có cùng di n tích hình vuông có chuấ ả ữ ậ ệ

vi nh nh t.ỏ ấ

3 B t đ ng th c ch a giá tr tr tuy t đ i: ấ ẳ ứ ứ ị ị ệ ố

0 0

x x

x

>



= − >



T đ nh nghĩa suy ra: v i m i ừ ị ớ ọ x R∈ ta có:

a |x| ≥ 0

b |x|2 = x2

c x ≤ |x| và -x ≤ |x|

Đ nh lí: ị V i m i s th c a và b ta có: ớ ọ ố ự

|a + b| ≤ |a| + |b| (1)

|a – b| ≤ |a| + |b| (2)

|a + b| = |a| + |b| khi và ch khi a.b ỉ ≥ 0

|a – b| = |a| + |b| khi và ch khi a.b ỉ ≤ 0

4 Đ nh lí Vi-et: ị

N u phế ương trình b c 2: axậ 2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghi m xệ 1 , x2 (a ≠0) thì t ng và tích 2ổ nghi m đó là: ệ

S = x1 + x2 = b

a

−

P = x1.x2 = c

a

Chú ý:

+ N u a + b + c = 0 thì phế ương trình (*) có nhi m xệ 1 = 1 và x2 = c

a

+ N u a – b + c = 0 thì phế ương trình (*) có nhi m xệ 1 = -1 và x2 = c

a

−

H qu : ệ ả N u 2 s u, v có t ng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghi m c aế ố ổ ệ ủ

phương trình: x2 – S.x + P = 0

5 Chia đo n th ng theo t l cho tr ạ ẳ ỉ ệ ướ c:

a Đ nh nghĩa: ị Cho 2 đi m phân bi t A, B Ta nói đi m M chia đo n th ng AB theo t s kể ệ ể ạ ẳ ỉ ố

n u ế MA k MBuuur= uuur

b Đ nh lí: ị N u đi m M chia đo n th ng AB theo t s k ế ể ạ ẳ ỉ ố ≠ 1 thì v i đi m O b t kì ta có: ớ ể ấ

1

OA kOB OM

k

−

=

−

uuur uuur uuuur

n u x ế ≥ 0

n u x < 0ế

b N u G là tr ng tâm tam giác, thì v i m i đi m O ta có: ế ọ ớ ọ ể 3OG OA OB OCuuur uuur uuur uuur= + +

7 Các H Th c L ệ ứ ượ ng Trong Tam Giác:

7.1 Đ nh lí Cosin trong tam giác: ị

Đ nh lí: ị V i m i tam giác ABC, ta luôn có:ớ ọ

2 cos

2 cos

2 cos

7.2 Đ nh lí sin trong tam giác: ị

Đ nh lí: ị Trong tam giác ABC, v i R là bán kính đớ ường tròn ngo i ti p ta có:ạ ế

2 sin sin sin

R

7.3 Công th c đ dài đ ứ ộ ườ ng trung tuy n: ế

2

2

2

a

b

c

m

m

m

+

+

+

8 T s l ỉ ố ượ ng giác c a m t s góc c n nh : ủ ộ ố ầ ớ

Góc

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

0

6

π

4

π

3

π

2

3

4

6

2

2 2

3

2

2 2

1

2

2 2

1

2 – 3

9 Công th c bi n đ i tích thành t ng: ứ ế ổ ổ

1 cos cos [cos( ) cos( )]

2 1 sin sin [cos( ) cos( )]

2 1 sin cos [sin( ) sin( )]

2

10 Công th c bi n đ i t ng thành tích: ứ ế ổ ổ

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

11.Công th c nhân đôi: ứ

2

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin sin 2 2sin cos

2

tga

tg a

=

12 Công th c nhân ba: ứ

3 3

sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos

13 Công th c h b c: ứ ạ ậ

2

2

3

3

cos 2 1 cos

2

1 cos 2 sin

2

1 cos 2

1 cos 2 3sin sin 3 sin

4 3cos cos 3 cos

4

a a

a a

a

tg a

a

a

a

+

=

−

=

−

= +

−

=

+

=

14 Công th c c ng: ứ ộ

sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin

Ngoài ra ta cũng có công th c sau v i m t s đi u ki n:ứ ớ ộ ố ề ệ

tga tgb

tg a b

tga tgb tga tgb

tg a b

tga tgb

−

− =

+ + + =

−

(*) có đi u ki n: ề ệ , ,

a≠ +π k bπ ≠ +π k a bπ − ≠ +π kπ

(**) có đi u ki n:ề ệ , ,

a≠ +π k bπ ≠ +π k a bπ + ≠ +π kπ

15 Công th c tính ứ tga, cosa, sina theo

2

a

t tg= :

2 2 2

2

2 sin

1 1 cos

1 2 ,

t a

t t a

t t

t

= +

−

= +

−

16 Công th c liên h gi a 2 góc bù nhau, ph nhau, đ i nhau và h n kém nhau 1 góc ứ ệ ữ ụ ố ơ

π ho c ặ

2

π

:

16.1 Hai góc bù nhau:

sin( ) sin cos( ) cos ( )

( )

cotg a cotga

π π π π

− =

− = −

− = −

− = −

16.2 Hai góc ph nhau: ụ

sin( ) cos 2

cos( ) sin 2

2

2

cotg a tga

π π π π

− =

− =

− =

− =

16.3 Hai góc đ i nhau: ố

sin( ) sin cos( ) cos ( ) ( )

tg a tga cotg a cotga

− = −

− =

− = −

− = −

16.4 Hai góc h n kém nhau ơ

2

π

:

sin( ) cos

2 cos( ) sin

2

2

2

π π π π

+ = + = − + = − + = −

16.5 Hai góc h n kém nhau ơ π:

sin( ) sin cos( ) cos ( )

( )

cotg a cotga

π π π π

+ = − + = − + = + =

16.6 M t s công th c đ c bi t: ộ ố ứ ặ ệ

sin cos 2 sin( )

4 sin cos 2 sin( )

4

π π

17 T h p, hoán v , ch nh h p: ổ ợ ị ỉ ợ

17.1 Hoán v : ị

+ Đ nh nghĩa: ị M t hoán v c a n ph n t là m t b g m n ph n t đó, độ ị ủ ầ ử ộ ộ ồ ầ ử ượ ắc s p x pế theo m t th t nh t đ nh, m i ph n t có m t đúng m t l n S t t c các hoán v khácộ ứ ự ấ ị ỗ ầ ử ặ ộ ầ ố ấ ả ị nhau c a n ph n t ký hi u là Pủ ầ ử ệ n

+ Công th c : ứ Pn =1.2.3 n = n !

17.2 Ch nh h p: ỉ ợ

+ Đ nh nghĩa: ị M t ch nh h p ch p k c a n ph n t (ộ ỉ ợ ậ ủ ầ ử 0 k n≤ ≤ ) là m t b s p th tộ ộ ắ ứ ự

g m k ph n t l y ra t n ph n t đã cho s t t c các ch nh h p ch p k c a n ph n t kýồ ầ ử ấ ừ ầ ử ố ấ ả ỉ ợ ậ ủ ầ ử

hi u làệ k

n

A

+Công th c : ứ

1

0

1

!

! ( 1) ( 1)

! 1

!

k

n

k

n

n

n n

n

n A

n k

A

+

−

=

−

= −

=

(qui ước 0! = 1)

17.3 T ch p: ổ ợ

+ Đ nh nghĩa: ị Cho m t t p h p a g m n ph n t (n nguyên dộ ậ ợ ồ ầ ử ương) M t t h p ch p kộ ổ ợ ậ

c a n ph n t (ủ ầ ử 0 k n≤ ≤ ) là m t t p con c a a g m k ph n t S t t c các t h p ch p kộ ậ ủ ồ ầ ử ố ấ ả ổ ợ ậ

c a n ph n t ký hi u là ủ ầ ử ệ k

n C

+ Công th c: ứ

!

!( )!

( 1) ( 1)

!

k n

k n

n C

k n k

C

k

=

−

=

+ Tính ch t: ấ

0

1

1

k n k

n n n

n n

n n

−

+

=

17.4 Công th c Newton: ứ

Tk là s h ng th k +1 c a khai tri n nh th c (a + b)ố ạ ứ ủ ể ị ứ n : k n k k

k n

T =C a b−

a b+ =C a +C a b C a b− + − + +C a − b + +C b

18 Ph ươ ng pháp t a đ trong m t ph ng và không gian: ọ ộ ặ ẳ

18.1 Trong m t ph ng: ặ ẳ

Cho các vec-t ơ a x y b x yr( , ), ( , )1 1 r 2 2 và các đi m ể A x y B x y( , ), ( , )1 1 2 2 :

a b x xr r= +y y

| |ar = x + y

d = AB= x −x + y −y

cos( , )a b x x y y

+

=

r r

1 2 1 2 0

a b r ⊥ ⇔ r x x + y y =

18.2 Trong không gian:

Cho các vec-t ơ a x y z b x y zr( , , ), ( , , )1 1 1 r 2 2 2 và các đi m ể A x y z B x y z( , , ), ( , , )1 1 1 2 2 2 :

2 2 2

| |ar = x + y +z

d = AB= x −x + y −y + z −z

cos( , )a b x x y y z z

=

r r

1 2 1 2 1 2 0

a b r ⊥ ⇔ r x x + y y + z z =

19 Đ ườ ng th ng trong m t ph ng và trong không gian: ẳ ặ ẳ

19.1 Đ ườ ng th ng trong m t ph ng: ẳ ặ ẳ

a Kho ng cách: ả

+ Kho ng cách t đi m M(xả ừ ể 0, y0) đ n đế ương th ng (d) : Ax + By + C = 0ẳ

| Ax By C|

MH

=

+ + Kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng song song: Ax + By + Cẳ 1 = 0 và Ax + By + C2 = 0

|C C |

− +

b V trí t ị ươ ng đ i 2 đ ố ườ ng th ng: ẳ

(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0

(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0

*( ) ( )

*( ) / /( )

*( ) ( )

*( ) ( )

φ

c Góc gi a 2 đ ữ ườ ng th ng: ẳ

(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0

(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0

1 2

( , )d d

α =

1 2 1 2

cos A A B B

d Ph ươ ng trình đ ườ ng phân giác c a góc t o b i 2 đ ủ ạ ở ườ ng th ng (d ẳ 1 )và (d 2 ):

A x B y C A x B y C

+ + (góc nh n l y d u – , góc tù l y d u + )ọ ấ ấ ấ ấ

e Ph ươ ng trình chùm đ ườ ng th ng có tâm là giao c a 2 đ ẳ ủ ườ ng th ng (d ẳ 1 )và (d 2 ):

(A x B y C ) (A x B y C ) 0

α + + +β + + = v i ớ 2 2

0

α +β >

19.2 Đ ườ ng th ng trong không gian: ẳ

Góc gi a 2 đữ ường th ng:ẳ

(d1) có vector ch phỉ ương ur=( , , )a b c1 1 1

(d2) có vector ch phỉ ương vr=( , , )a b c2 2 2

α là góc gi a (dữ 1) và (d2)

cos a a b b c c

( )d ⊥( )d ⇔a a +b b +c c =0

20 M t ph ng: ặ ẳ

a Kho ng cách t đi m M(x ả ừ ể 0 , y 0 ) đ n m t ph ng (P): ế ặ ẳ Ax + By + Cz + D = 0 là:

|Ax By Cz D|

MH

=

+ +

b Chùm m t ph ng đi qua giao tuy n c a 2 m t ph ng: ặ ẳ ế ủ ặ ẳ

P A x B y C z D

Q A x B y C z D

+ + + = là phương trình m t ph ng có d ng:ặ ẳ ạ

(A x B y C z D) (A x B y C z D ) 0

21.C p s c ng: ấ ố ộ

+ Đ nh nghĩa: ị C p s c ng là m t dãy s trong đó, k t s h ng th hai đ u là t ng c aấ ố ộ ộ ố ể ừ ố ạ ứ ề ổ ủ

s h ng đ ng ngay trố ạ ứ ước nó v i m t s không đ i khác 0 g i là công sai.ớ ộ ố ổ ọ

1 2 1

U + −U =U + −U +

2 1

2

n n n

+

+

=

+ S h ng t ng quát: ố ạ ổ U n =U1+d n( −1)

+ T ng n s h ng đ u: ổ ố ạ ầ

1

2

n n

a a n

1

2 ( 1) 2

n

a d n

22 C p s nhân: ấ ố

+ Đ nh nghĩa: ị C p s nhân là m t dãy s trong đó s h ng đ u khác không và k t sấ ố ộ ố ố ạ ầ ể ừ ố

h ng th hai đ u b ng tích c a s h ng đ ng ngay trạ ứ ề ằ ủ ố ạ ứ ư c nó v i m t s không đ i khác 0ớ ớ ộ ố ổ

và khác 1 g i là công b i.ọ ộ

"n Є N*, Un + 1 = Un.q

+ Tính ch t : ấ

1

+

=

U + = U U + , U n > 0

+ S h ng t ng quát : ố ạ ổ

Un = U1.qn - 1

+ T ng n s h ng đ u tiên: ổ ố ạ ầ 1 2 1

1

1

n

q

q

−

−

+ T ng c a c p s nhân lùi vô h n: ổ ủ ấ ố ạ V i |q| < 1ớ

1

1

U

q

−

CÔNG TH C TÍNH Đ O HÀM & TÍCH Ứ Ạ

PHÂN 12

I Đ o hàm: ạ

1 B ng các đ o hàm c b n: ả ạ ơ ả

STT Hàm s yố Đ o hàm y’ạ

STT Hàm s yố Đ o hàm y’ạ

2

u u

'

u u

−

u

.ln

u

' cos

u u

1 C 0

2 x

1

x

−

x(x≠0)

ln

x a

xα

α −

cos x

sin x

−

2 Tính ch t c a đ o hàm: ấ ủ ạ

a (u + v)’ = u’ + v’

b (u – v)’ = u’ – v’

c (u.v)’ = u’.v + u.v’

d (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

e

'

2

' '

−

  =

 

 

II Nguyên hàm:

1 B ng các nguyên hàm c b n: ả ơ ả

STT Hàm s & Nguyên hàmố

+

∫ (α ≠ −1)

3 dx dx ln | |x C

5

ln

x

a

∫ (0< ≠a 1)

6 ∫sinxdx= −cosx C+

7 ∫cosxdx=sinx C+

1 cos x dx tgx C= +

2

x≠ +π kπ

1 sin x dx= −cotgx C+

2 M t s nguyên hàm khác: ộ ố

* Hàm y =( )m

a

x−α (m≠1) Hàm s có d ng : ố ạ

'

m

u

u = u'.u-m (m≠1) v i u = x-ớ α Nguyên hàm là : ( )m

a dx

x−α

1 (m 1)(x α)m−

−

* Hàm y = 2ax b2

ax bx c

+ + + Đ t t = ặ ax2+ +bx c ⇒ t' = 2ax + b Hàm s có d ng : ố ạ t'

t ⇒ H nguyên hàm c a hàm s là : ln|t| + C = ln|ọ ủ ố ax2+ +bx c| + C

2

2

ax b

ax bx c

+ +

∫

* Hàm y 2 1

ax bx c

=

+ + Ta có các trường h p sau :ợ

+ M u s ẫ ố 2

ax + +bx c có 2 nghi m phân bi t x ệ ệ 1 ,x 2 và gi s x ả ử 1 < x 2 Ta có :

2

ax + +bx c= a x x x x( − 1)( − 2) Ta có th vi t nh sau :ể ế ư

2

1

dx

ax + +bx c

1 ( )( )dx

a x x x x− −

1

∫

=

−

1 ln

x x

C

− +

+ M u s có nghi m kép ẫ ố ệ : ax2+ + =bx c a x m( − )2

−

+ M u s không có nghi m (vô nghi m): ẫ ố ệ ệ

ax + + =bx c a x m+ ±n Đ t u = ặ (x m+ )2 Ta có :

* ax2+ + =bx c a u 2+n

⇒ 21 dx

au +n

∫ Đ t ặ u n tgt

a

=

* ax2+ + =bx c a u 2−n ⇒ 21 dx

au −n

∫ Nguyên hàm là :

2

2

ln 2

n u a

n

u

−

+

3 H nguyên hàm c a các hàm vô t : ọ ủ ỉ

3.1 Hàm s có d ng : ố ạ f x( ) 21 2

=

1 ( )

f x

=

−

* Cách 1 : Đ t ặ 2 2

x +k = -x + t ⇒ t = x + 2 2

x +k

⇒ dt = (1 2x 2)dx

+

dx

+ +

t dx

x +k

⇒ 2dx 2 dt

t

+ Do đó :

2dx 2 dt ln | |t C ln |x x k | C

t

+

*Cách 2: Bi n đ i : ế ổ

1

= + + + + ( Nhân t và m u v i ử ẫ ớ

x+ x +k )

1 ( )

x

f x

+ +

=

( Chia t và m u cho ử ẫ x2+k2 )

t = +x x +k Suy ra : dt (1 2x 2)dx

+ ⇒ f x dx( ) =

dt

t

V y nguyên hàm là : ậ ∫ f x dx( ) =ln | |t + =C ln |x+ x2+k2 |+C

3.2 Hàm s d ng : ố ạ f x( ) 21 2

=

1 ( )

f u

=

−

Đ t ặ x k= sint v i ớ [ ; ]

2 2

x∈ −π π

(ho c ặ x k= cost v i ớ x∈[0; ]π )

⇒ dx k= costdt ⇒ 21 2 2cos 2

(1 sin )

k t dt dx

cos cos

| cos | cos )

t

Vì [ ; ]

2 2

t∈ −π π

nên cost > 0 ⇒ cos cos

| cos | cos

Tương t : ự 21 2du

k −u

3.3 Hàm s d ng : ố ạ f x( )= x2−k2 ; f u( )= u2−k2

Nguyên hàm là :

2

x −k dx= x −k + x+ x −k +C

∫

Cách khác: đ t ặ

sin

k x

t

= ho c ặ

cos

k x

t

= v i ớ [0; ]

2

t∈ π

3.4 Hàm s d ng : ố ạ f x( )= ax2 +bx c+

⇒ Ta bi n đ i v m t trong hai d ng sau: ế ổ ề ộ ạ f x( )= u2−k2 ho c ặ f x( )= u2 +k2 r i ápồ

d ng theo m c 3.ụ ụ

3.5 Hàm s d ng : ố ạ f x( )= x2+k2 và f u( )= u2 +k2

Đ t ặ x ktgt= , u ktgt= v i ớ [- ; ]

2 2

t∈ π π

3.6 Hàm s d ng : ố ạ f x( ) 2 1 2

=

1 ( )

f u

=

− Phân tích thành : 2 2

1 ( )

f x

=

x m + x m

− + r i áp d ng theo công th c đã h c.ồ ụ ứ ọ

3.7 Hàm s d ng : ố ạ f x( ) 21 2

=

1 ( )

f u

= + + Đ t ặ x mtgt= , u =mtgt v i ớ [- ; ]

2 2

t∈ π π

cos os t ( 1)

Vì [- ; ]

2 2

t∈ π π

nên | ost |2 ost2

os t 1 sin

−

+ Đ t ti p : ặ ế u = sint ⇒ du = costdt .Do đó : ost2 1 2

c

u

C u

−

+

4 Các tr ườ ng h p t ng quát c n chú ý : ợ ổ ầ

a Tr ườ ng h p: ợ f(x) là hàm l đ i v i cosx : Đ tẻ ố ớ ặ : t = sinx

b Tr ườ ng h ợp: f(x) là hàm l đ i v i sinx : Đ tẻ ố ớ ặ : t = cosx

c Tr ườ ng h p: ợ f(x) là hàm ch n đ i v i sinx và cosx :ẵ ớ ớ

R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)

d Tr ườ ng h p ợ : f(x) là hàm l đ i v i sinx và cosx : ẻ ố ớ Đ tặ : t = tgx

e.Tr ườ ng h p ợ : f(x) ch ch a sinx ho c cosx :ỉ ứ ặ Đ t ặ

2

x

t tg=

* Ph ươ ng pháp chung:

A D ng f(x) = sin ạ 2n x.cos 2m x :

(a) 2 1 cos 2 2

2

(b) 2 1 cos 2 2

2

(c) s in2n os2m

xc xdx

∫ Thay cos2x = 1 – sin2x ho c thay sinặ 2x = 1 – cos2x r i chuy n v d ngố ể ề ạ (a) ho c (b).ặ

B D ng : ạ ( ) s in2n2m

os

x a

f x

+

=

+ Đ t t = tgx ặ

III Ph ươ ng trình l ượ ng giác

1 Ph ươ ng trình c b n: ơ ả

* sinx = sina x = a + k2π

ho cặ x = π - a + k2π

* cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π

* tgx = tg a ⟺ x = + a kπ ( ≠ x k )

* cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ)

2 Ph ươ ng trình đ ng c p đ i v i sinx và cosx: ẳ ấ ố ớ

Các phư ng trình lơ ượng giác

* asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1)

* asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2)

* asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3)

g i là phọ ương trình đ ng c p b c 2, 3, 4 đ i v i sinx và cosx.ẳ ấ ậ ố ớ

Do cosx ≠ 0 nên chia hai v c a phế ủ ương trình (1), (2), (3) theo th t cho ứ ự cos2x, cos3x, cos4x đ a phư ương trình đã cho v phề ương trình m i và ta d dàng gi i các phớ ễ ả ương trình này

3 Ph ươ ng trình b c nh t đ i v i sinx và cosx: ậ ấ ố ớ

* sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 phương trình (1) có nghi m ệ a2 + b2 - c2 ≥ 0

Có ba cách gi i lo i phả ạ ương trình này :

- Gi s a ả ử ≠ 0

(1) sinx bcosx c 0

Đ t : ặ tg b

a

ϕ =

(2) sinx tg cosx c 0

a

ϕ

a

Ta d dàng gi i phễ ả ư ng trình này.ơ

- Đ t :ặ

2

x

tg =t

2

−

Gi i phả ư ng trình b c hai đ i v i t, d dàng gi i đơ ậ ố ớ ễ ả ư c phợ ư ng trình (1).ơ

- Do a2+b2 ≠0, chia hai v c a phế ủ ư ng trình cho ơ 2 2

a +b : (1) 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

Đ t :ặ

sin

cos

a

b

α

α







α

+

(đây là phương trình c b n).ơ ả

Chú ý : Ta luôn có :

| sina x b+ sin |x ≤ a2 +b2

D u "=" x y ra khi và ch khi sin(x + a) = 1.ấ ả ỉ