Trên đường tròn lượng giác, xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung AM có số đo là a... Định nghĩa sinx, cosx, tanx, cotx.[r]
(1)Lượng giác 10 I Vấn đề 1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A Lý thuyết: Các công thức cần lưu ý 1 II a 180 = x π đó a là số đo cung tình độ x là số đo cung tính radian Độ dài cung tròn có số đo là x rad, bán kính R là l = Rx B Bài tập Đổi số đo các góc sau radian a 22o30’ b 71o52’ c 45o d 60o Đổi số đo các cung sau đây độ, phút giây a 3π/16 b 3/4 c 2π/3 d π/12 Cho đường tròn có bán kính 5cm Tính độ dài cung trên đường tròn có số đo là: a rad b 2rad c 37o d 45o Cho đường tròn bán kính 8cm Tính số đo độ các cung có số đo là: a 4cm b 8cm c 16cm d 23cm Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các cung có số đo 3π/4, -60o, -315o, -5π/4, 11π/3, π/2 Trên đường tròn lượng giác, xác định các điểm M khác biết cung AM có số đo là a kπ, k ∈ Z b kπ/2, k ∈ Z c k2π/5, k ∈ Z d π/4 + kπ/2, k ∈ Z Vấn đề 2: CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (2) Lượng giác 10 A Lý thuyết Định nghĩa sinx, cosx, tanx, cotx Các trục sin, trục cos, trục tan, trục cot Các hệ quả: a Sinx, cosx xác định với x ∈ R b Với k ∈ Z, Sin (x + k2π) = sinx Cos (x + k2π) = cosx c Với ∀ x ∈ R, -1 ≤ sinx ≤ hay ≤ |sinx| ≤ -1 ≤ cosx ≤1 hay ≤ |cosx| ≤ d tanx xác định cosx ≠ hay x≠ π tan sin cot cos + kπ, k ∈ Z e Cotx xác định sinx ≠ hay x ≠ kπ, k ∈ Z f Với k ∈ Z, tan (x + kπ) = tanx cot (x + kπ) = cotx g Các đẳng htức lượng giác sin2x + cos2x = tanx cotx = tanx = cotx = sinx cosx cosx sinx + tan2x = + cot2x = cos2 x sin2 x h Dấu các giá trị lượng giác Sinx Cosx ≤ x ≤ π/2 + + π/2 ≤ x ≤ π + - π ≤ x ≤ 3π/2 3π/2 ≤ x ≤ 2π + (3) Lượng giác 10 Tanx + + Cotx + + i Giá trị lượng giác các cung có liên quan đặc biệt Cung đối: x, -x sin(-x) = -sinx cos(-x) = cosx tan(-x) = -tanx cot(-x) = cotx Cung bù: π – x và x sin(π – x ) = sinx cos(π – x) = -cosx tan(π – x ) = -tanx cot(π – x ) = -cotx Cung phụ: π −x π cos( −x π tan ( −x π cot ( −x sin( π −x và x ) = cosx ) = sinx ) = cotx ) = tanx Cung kém π : π + x và x sin(π + x) = -sinx cos(π + x) =-cosx tan(π + x) =tanx cot(π + x) = cotx B Bài tập Tính sinx và cosx biết a x = -675o b x = 390o −17 π 15 π d x = π Cho ≤ x ≤ Xét dấu các biểu thức sau: c x = - (4) Lượng giác 10 a cos (x + π ) b sin (x + 2π/5) c tan (x + 3π/4) d tan ( π – x ) e cot (x + 9π/2) Tính x biết a cosx = b cosx = c cosx = -1 d sinx = e sinx = f sinx = -1 Chứng minh các đẳng thức: a tan2 x – sin2x = tan2x.sin2x b c d e tanx sinx sinx cotx - = cosx 1+ sin x = + 2tan2x 1−sin x 2 cos x−sin x = sin2x.cos2x 2 tan x −cot x sinx 1−cosx = 1+ cosx sinx f (1 + sinx + cosx)2 = 2(1 + sinx)(1 + cosx) g 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) = h 2tanx + cosx 1+ sinx sinx+1−cosx sinx−1+cosx = Tính các giá trị lượng giác còn lại cung x biết √3 ; ≤ x ≤ π/2 a sinx = b cosx = -0,3 ; π c tanx = ; π ≤ x ≤ d cosx = ; ≤x≤π 3π π ≤ x≤ π Cho tanx = Tính giá trị biểu thức sau: A= sin2 x−2 sinxcosx cos 2+3 sin x (5) Lượng giác 10 Rút gọn các biểu thức sau: a (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)2 b (1 – sin2x)cot2x + – cot2x cosx 1+ sinx cosx tanx - cotx.cosx sin x 1+ sinx 1−sinx – 1−sinx 1+ sinx c tanx + d e √ √ Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x a A = 2cos4x – sin4x + sin2xcos2x + 3sin2x b B = (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)2 cotx+1 c C = tanx−1 + cotx−1 d D = √ sin4 x+ cos x + √ cos4 x +4 sin x Rút gọn các biểu thức sau a A = cos( π + x) + cos(2π – x) + cos(3π + x) b B = 2cosx – 3cos(π – x) + 5sin( - x) + cot( 3π - x) 3π π + x) + cos( + x) 2 3π 3π −¿ x) + cot(3π – x) d D = cos(5π – x) – sin( + x) + tan( 2 c C = 2sin( π 7π + x) + sin(5π – x) + sin( 10 Chứng minh tam giác ABC ta luôn có: a Sin(A + B) = sinC b Cos(A + B) = -cosC A+ B C = cos 2 A+ B C d cos = sin 2 −2 11 a Cho cosx = ; tính giá trị biểu thức sau: cotx+3 tanx A= 2cotx+ tanx c sin b Cho sinx = B= với 900 ≤ x ≤ 1800, háy tính giá trị biểu thức sau cotx +2tanx+ cotx+tanx (6) Lượng giác 10 c Cho tanx = 2; tính C = sinx+3 cosx sinx+ cosx d Cho tanx = √ Tính D = sinx +cosx sin x +3 cos x +2 sinx 12 Chứng minh các đẳng thức sau – cos2x cos x 3 tan x cot x − + = tan3x + cot3x 2 sin x sinx cosx cos x a sin2x + tan2x = b c Sin2x – tan2x = tan6x(cos2x – cot2x) d e f III cos x−sin x = sin2x cos2x cot x−tan x tanx−sinx = sinx cosx (1+cosx ) cosx+sinx = tan3x + tan2x + tanx + cos x Vấn đề 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC CỘNG Lý thuyết Cos(a+b) = cosacosb – sinasinb Cos(a – b) = cosacosb + sinasinb Sin(a +b) = sinacosb + sinbcosa Sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa Bài tập Tính giá trị lượng giác các cung có số đo sau a 150 b 750 c 5π/12 d 7π/8 Tính giá trị các biểu thức sau a A = cos380cos220 – sin380sin220 b B = sin360cos60 – sin1260cos840 c C = cos750 d D = tan1050 Rút gọn biểu thức a A = cos250cos50 – sin250sin50 (7) Lượng giác 10 b B = cosx - √3 sinx c C = sin(140 + 2x) cos(160 – 2x) + cos(140 + 2x) sin(160 – 2x) d D = cosx + cos(x + 2π/3) + cos(x + 2π/3) e E = cosacosb−cos ( a+ b) cos ( a−b )−sinasinb f F = sinxcos5x – cosxsin5x g G = sin(x + y)cos(x – y) + sin(x – y)cos(x +y) h H = i I = tan x−tanx 1+tanxtan x tanx+1 1−tanx j J = cos2(a – x) + cos2x – 2cosa.cosx.cos(a – x) k K = cos(a + b)sin(a – b)+cos(b + c)sin(b – c)+cos(c + a)sin(c – a) Chứng minh các đẳng thức sau: a Sin(x + 600).sin(x – 600) = sin2x - π )= π )= b Sinx + cosx = √ cos(x c Cosx – sinx = √ cos(x + π √ sin(x + ) π √ sin(x - ) d Sin(x + y).sin(x – y) = sin2x – sin2y = cos2y – cos2x e Cos(x + y) cos(x – y) = cos2x – sin2y = cos2y – sin2x f Sin(x + 2π ) + sin(x + 4π ) = -sinx Chứng minh các đẳng thức tamm giác a Cho tam giác ABC không vuông Chứng minh 1/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC 2/ tan A B tan 2 + tan B C tan 2 + tan C A tan 2 b Chứng minh với tam giác ABC ta luôn có A B C sin sin 2 A B C cos cos 2 1/ cosA + cosB + cosC = + 4sin 2/ sinA + sinB + sinC = 4cos 3/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 4/ sinA + sinB – sinC = 4sin A B sin 2 cos C =1 (8) Lượng giác 10 5/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB A 6/ sin = cos B cos C - sin B C sin 2 Tính giá trị biểu thức a Cho x – y = π Tìm giá trị biểu thức A = (cosx + cosy)2 + (sinx + siny)2 B = (cosx + siny)2 + (cosy – sinx)2 1 và cosy = Tính M = cos(x + y) cos(x – y) π c Cho tan(x + ) = m, với m ≠ -1 Tính tanx 1 d Cho x và y là hai góc nhọn, biết tanx = và tany = b Cho cosx = Tính x + y e Cho sinx = 4/5 với < x < 900, siny = 8/17 với 900 < y < 1800 Tính cos(x + y), sin(x – y) f Cho sinx = 3/5 với 900 < x < 1800 Tính tan(x + π ) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x π π π )cos(x + ) + cos(x + )cos(x + 2π π Sin2x + sin2(x + ) + sin2(x + ) 2π 4π Sinx + sin(x + ) + sin(x + ) π π Sin( + x) – sin( – x) – sinx a Cos(x + b c d 3π ) e 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) f Sin xcos x √1+sin 2 + x (cos x) ¿ ¿ 1−cos x( 1+ sin x ) √ g 2(sin4x + cos4x + sin2xcos2x)2 – (sin8x + cos8x) h sin3 x cos x − sinx cosx i sin4 x+ cos4 x−1 6 sin x+ cos x−1 B CÔNG THỨC NHÂN Lý thuyết (9) Lượng giác 10 Công thức nhân đôi sin 2a 2sin a cos a cos 2a 2cos a 1 2sin a cos a sin a tan a tan 2a tan a Công thức hạ bậc cos 2a cos a cos 2a sin a cos 2a tan a a k cos 2a với Công thức tính theo t tan a với a k 2 2t sin a 1 t2 1 t2 cos a 1 t2 2t tan a 1 t2 Công thức nhân ba sin 3a 3sin a 4sin a cos 3a 4 cos a 3cos a tan a tan a tan 3a 3a k tan a (với ) Công thức hạ bậc ba sin a (3sin a sin 3a ) cos3 a (3cos a cos 3a) Bài tập Tính giá trị biểu thức 0 0 a A= sin cos12 cos 24 cos 48 tan150 B tan 150 b (10) Lượng giác 10 c d C cos 2 4 cos cos 7 D sin cos cos cos 16 16 0 e E sin10 sin 50 sin 70 cos F sin 12 12 cos sin 12 12 f Tính sin2a, cos2a, tan2a biết 5 3 cos a a 13 biết a b tan a 2 4 3 sin a a , với 2 Tính sina, cosa Cho Tính sinx.cosx theo t biết a t sin x cos x b t sin x cos x Tính theo cos4x các biểu thức sau 6 a A cos x sin x 6 b B sin x cos x cos x sin x Tính giá trị biểu thức a A 3sin10 cos 10 b B sin 20 (1 cos 20 ) 0 c C 4sin 40 3cos130 Chứng minh các đẳng thức sau cos3 x sin x sin x cos x a b cot a tan a 2 cot 2a sin x a tan 1 tan a cos a c cos 3x sin x sin x cos3 x sin x d tan x cot x sin x e 10 (11) Lượng giác 10 sin x tan x f cos x cos x tan x g cos x h i j sin x cos x 1 sin x sin x cos x 1 sin x sin x cos8 x 1 sin 2 x sin x k 8cos x cos x cos x l sin x cos x cos x 8 sin x x tan 2 m sin x Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x a A 8sin x cos x cos x cos3 x cos 3x sin x sin x B cos x sin x b 3 C sin x sin x sin x sin x 4 2 c D sin x cos x sin x cos x 4 4 d C CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI A Lý thuyết CÔNG THỨC BIẾN TÍCH THÀNH TỔNG cos a.cos b [cos( a b) cos( a b)] sin a.sin b [sin( a b) sin( a b)] sin a.cos b [sin( a b) sin( a b)] cos a.sin b [sin( a b) sin( a b)] Công thức hạ bậc – Công thức nhân đôi 11 (12) Lượng giác 10 cos 2a cos a cos 2a sin a sin a.cos a sin 2a 2 CÔNG THỨC BIẾN TỔNG THÀNH TÍCH x y x y cos 2 x y x y cos x cos y 2sin sin 2 x y x y sin x sin y 2sin cos 2 x y x y sin x sin y 2 cos sin 2 sin( x y ) tan x tan y cos x cos y sin( y x) cot x cot y sin x sin y cos x cos y 2 cos B Bài tập Biến đổi các biểu thức sau thành tổng a / A sin x cos x b / B sin( x y ) cos( x y ) c / C sin150 cos 750 d / D sin 200 sin 400 sin 800 e / E 4sin 3x sin x cos x f / F sin x sin x cos x 6 6 g / G 4 cos( x y ) cos( y z ) cos( x z ) h / H 8sin x sin x sin x sin x Biến đổi các biểu thức sau thành tích a A= sin x sin y sin( x y ) b B= cos x cos y cos( x y) c C= sin x cos x d D= sin x sin 3x sin x sin x e E= sin x cos x sin 3x cos 3x f F= sin x sin x sin x sin x sin x Rút gọn các biểu thức sau 12 (13) Lượng giác 10 a b c d A cos x cos x cos x sin x B sin x 3sin x sin 3x cos x 3cos x cos 3x C sin x sin x sin x cos x cos x cos x D sin x sin 3x sin x cos x cos 3x cos x E sin x sin x sin x 3 3 e F cos x cos x cos x 3 3 f g G cos x cos x cos x sin x sin x sin 3x sin x cos x H sin x cos x h x 2x 4x 8x I cos cos cos cos 5 5 i x 3x 5x J sin sin sin 7 j k K cos x cos x sin x sin x l L sin x 2sin x(cos x cos x) m M 2sin x(cos x cos 3x cos x) Chứng minh các đẳng thức sau cos 3x 4 cos x cos x cos x 3 3 a 2 b sin b cos (a b) cos a cos b cos(a b) cos a sin 4a 2sin a sin 2a c cos a cos 3a cos 5a 8sin x sin x sin x cos x cos x 3 3 d sin x sin x sin x sin 3x 3 3 e 13 (14) Lượng giác 10 cos x cos x cos x cos x 3 3 f g cos x cos 3x sin x sin x cos x cos x h sin x 2sin x(cos x cos x) sin x 5 7 i j cos cos cos sin 200 sin 400 sin 800 0 k sin a sin(b c) sin b sin(c a) sin c sin( a b) 0 0 l (sin x cos x) cos x 4sin x sin( x 15 ) cos( x 15 ) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x A sin x cos x cos x 3 3 a cos x sin x B cot x cos x sin x b C sin x cos x cos x cos x sin x c Chứng minh tam giác ABC ta luôn có sin A sin B sin C 4 cos A B C cos cos 2 a b cos A cos B cos 2C cos A cos B cos C 2 c cos A cos B cos C 1 cos A cos B cos C d e cos A cos B cos C 1 4sin A B C sin sin 2 sin A cos B cos C sin B cos C cos A sin C cos A cos B sin A sin B sin C **************** BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG TỔNG HỢP Chứng minh đẳng thức sin x cos2 x _ cos x tan x 2 a cos x sin x sin x 2 sin x cos x cos x cos x cos x 3 6 3 b c (tan x tan x)(sin x tan x) tan x 14 (15) Lượng giác 10 d tan x cot x 2cos x cos x x x tan cot 2 cos x e 7 sin x cos8 x cos x cos x 8 f g cos x cos x 8sin x tan x tan x 1 cos x h cos x i tan 2a tan(300 a) tan a tan(600 a) tan(60 a) tan(300 a) 1 j 1 1 sin x cos x cos x cos x cos x 16 32 16 32 k l tan x sin x cos x cos x sin x cos x 1 cos x cos x cos x 3 3 cos x sin x sin x 4 cos x sin x 3 6 6 m Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x 4 6 a A 3(sin x cos x) 2(sin x cos x) 2 4 b B cos x 2sin x cos x 3sin x cos x sin x 3 c C cos x cos x cos x cos x 3 4 6 2 D cos x cos x d 2 x cos 4 2 8 e E 2(sin x cos x sin x cos x) (sin x cos x) 3 3 F cos( x) sin x tan x cot 2 f g G sin x 2(cos x cos x) sin x 2 h H 3cos x 5sin x sin x cos x cos x i I tan x cot x cos x cot x sin x 15 x (16) Lượng giác 10 Rút gọn biểu thức x 2 x A sin sin 2 2 a 2 b B cos x cos a.cos x.cos(a x) cos (a x) c C cos(a b)sin(a b) cos(b c) sin(b c) cos(c a)sin(c a) d D cot x tan x sin x e E sin x(1 cos x cos x cos x) f F cos a cos8a cos 9a cos10a sin a sin 8a sin 9a sin10a 2 g G (1 cot x) sin x (1 tan x) cos x I cos x cos x sin x sin x h Tính giá trị biểu thức cos a a cot a 2 tan ; cos2a 2; a Cho sin a Tính giá trị sin x sin y a b Cho cos x cos y b Tính giá trị cos(x – y); cos(x + y) tan x y Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức a A = sinx.cosx.cos2x.cos4x 4 2 b B cos x sin x cos x sin x 6 4 2 c C 2sin x cos x sin x cos x cos x sin x D sin x cos x cos x d P sin x cos x cos x cos x sin x Chứng minh Áp dụng: Tính 0 0 a A sin sin 42 sin 66 sin 78 3 5 B cos cos cos 7 7 b Cho tan x tan x sin x m A tan x sin x Tính 16 (17) Lượng giác 10 Tính sin x,sin x Cho tan x cot x m , 0x Tìm điều kiện m để tan x cot x m , 0x 17 (18) Lượng giác 10 18 (19) Lượng giác 10 19 (20) Lượng giác 10 20 (21)