+ Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong sách giáo khoa có bài ta cần thay đổi một số giả thiết :về độ dài của một cạnh,về góc giữa đường thẳng với đường[r]
(1)Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Mục tiêu : Giúp học sinh nắm kiến thức chương, phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, các đa diện Tất học sinh rèn kỹ tính toán các đại lượng hình học, tính thể tích khối đa diện tương đối đơn giản Trên sở đó học sinh nắm kiến thức và rèn kỷ giải các bài tập khó khối đa diện Thời gian thực hiện: Các tiết bài tập theo phân phối chương trình và tự chọn ( hay các tiết bồi dưỡng, phụ đạo , ) Đối tượng: học sinh khối 12 trường có đầu vào chất lượng trung bình - yếu, học theo chương trình chuẩn hay nâng cao Các chướng ngại văn hóa và nhận thức học sinh: + Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức tam giác và tứ giác, + Các kiến thức hình học không gian lớp 11 còn hạn chế + Kỹ tư phân tích giả thiết và các quan hệ các đối tượng hình không gian và hình học phẳng còn quá chậm + Kỹ vẽ hình không gian chưa thành thạo Phương pháp luyện tập tổng quát môn hình học không gian cổ điển: Mục đích yêu cầu: + Ôn tập cho học sinh số kiến thức cần thiết: hệ thức tam giác thường, tam giác vuông, các kiến thức tam giác đều, cân, hình vuông, chữ nhật … + Ôn tập cho học sinh số kiến thức trọng tâm quan hệ song song, vuông góc đường thẳng và mặt phẳng, góc đường thẳng, mặt phẳng .đã học lớp 11 + Hệ thống bài tập phân loại theo khối đa diên và các dạng thông dụng các kỳ thi : bài tập soạn từ dễ đến khó, khai thác triệt để và tinh giản các bài tập sách giáo khoa kết hợp soạn thêm bài tập cách xếp lại theo dạng từ đơn giản đến phức tạp trên sở yêu cầu chuẩn kiến thức + Bài tập chương này sách giáo khoa khó, chọn bài tập sách giáo khoa có bài ta cần thay đổi số giả thiết :về độ dài cạnh,về góc đường thẳng với đường thẳng ,với mặt phẳng và góc mặt phẳng với mặt phẳng để học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập khó phải bổ sung thêm câu hỏi hướng dẩn để giảm bớt độ tư phức tạp bài toán soạn lại đơn giản theo yêu cầu bài tập đó + Trước dạy dạng bài tập, giao bài tập nhà cho học sinh chuẩn bị trước từ đơn giản đến phức tạp có mục đích cố trọng tâm bài học Nuyễn Toản - 1Lop12.net TxPT (2) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian A Nội dung thực hiện: I Ôn tập kiến thức bản: ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho ABC vuông A ta có : a) Định lý Pitago : BC AB AC A 2 b) BA BH BC ; CA CH CB b c) AB AC = BC AH c d) BC = 2AM 1 H M e) B 2 AH AB AC a f) BC = 2AM b c b c g) sin B , cosB , tan B , cot B a a c b b b h) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c 2R * Định lý hàm số Sin: sin A sin B sin C Các công thức tính diện tích a/ Công thức tính diện tích tam giác: a.b.c abc p.r p.( p a )( p b)( p c) với p S a.ha = a.b sin C 4R 2 C a Đặc biệt :* ABC vuông A : S AB AC ,* ABC cạnh a: S b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S R Nuyễn Toản - 2Lop12.net TxPT (3) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: a Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song a / /(P) a (P) với chúng (P) không có điểm nào chung II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng song song với đường thẳng đó d d (P) d / /a d / /(P) a (P) a / /(P) d / /a a (Q) (P) (Q) d a (P) (Q) a d (P) (P) (Q) d d / /a (P) / /a (Q) / /a d a Q P §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song với chúng không có điểm nào chung II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với Nuyễn Toản (P) / /(Q) (P) (Q) P Q a,b (P) (P) / /(Q) a b I a / /(Q),b / /(Q) - 3Lop12.net P a b I Q TxPT (4) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến chúng song song (P) / /(Q) a / /(Q) a (P) a P Q R (P) / /(Q) (R) (P) a a / / b (R) (Q) b a P b Q B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vuông góc với a mp(P) a c, c (P) mặt phẳng nó vuông góc với đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a và b cùng nằm mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ a trên (P) Nuyễn Toản d a ,d b a ,b mp(P) d mp(P) a,b caét a P c d P a a mp(P),b mp(P) b a b a' P - 4Lop12.net b a a' b TxPT (5) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với góc chúng 900 II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với a mp(P) mp(Q) mp(P) mặt phẳng khác thì hai a mp(Q) mặt phẳng đó vuông góc với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với (P) (Q) thì đường (P) (Q) d a (Q) thẳng a nào nằm a (P),a d (P), vuông góc với giao tuyến (P) và (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với (P) (Q) và A là điểm A (P) (P) thì đường a (P) thẳng a qua điểm A và A a vuông góc với (Q) a (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt và cùng vuông (P) (Q) a góc với mặt phẳng thứ a (R) ba thì giao tuyến (P) (R) chúng vuông góc với (Q) (R) mặt phẳng thứ ba Nuyễn Toản - 5Lop12.net Q a P P a Q d P a A Q P a Q R TxPT (6) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách hai điểm M và H, đó H là hình chiếu điểm M trên đường thẳng a ( trên mp(P)) O O a H P H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ điểm nào đó a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó d(a;b) = AB Nuyễn Toản a O H P O P Q a b - 6Lop12.net H A B TxPT (7) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian §4.GÓC Góc hai đường thẳng a và b là góc hai đường thẳng a’ và b’ cùng qua điểm và cùng phương với a và b Góc đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc a và hình chiếu a’ nó trên mp(P) Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc đường thẳng a và mp(P) là 900 Góc hai mặt phẳng là góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó Hoặc là góc đường thẳng nằm mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến điểm a a' b' b a a' P b a Q P Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích đa giác (H) mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) (H) trên mp(P’) thì Q P S S' Scos A đó là góc hai mặt phẳng (P),(P’) Nuyễn Toản b a C B - 7Lop12.net TxPT (8) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các công thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h B : diện tích đáy h : chieàu cao h với B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước a b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: c b a a a V= Bh h B : diện tích đáy với h : chieàu cao TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC VSA ' B' C ' SA SB SC SA ' SB' SC' B S C' A' A B' C B THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: A' h B B' BB' B, B' : diện tích hai đáy với h : chieàu cao V B' C' A B C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vuông cạnh a là d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a là d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c là d = a b c , Nuyễn Toản - 8Lop12.net TxPT (9) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian 2/ Đường cao tam giác cạnh a là h = a 3/ Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác và các cạnh bên ( có đáy là đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ là lăng trụ đứng có đáy là đa giác II/ Bài tập: Nội dung chính LOẠI 1: 1) Dạng 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ C' A' B' 3a C a A a Lời giải: Ta có ABC vuông cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng AA' AB AA'B AA'2 A'B2 AB2 8a2 AA' 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 B Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a và đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này +Tìm BD thì dùng tam giác nào? ? Suy cạnh hình vuông ABCD ? Lời giải: C' D' ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 BD 3a A' 3a B' ABCD là hình vuông AB 4a 5a C 9a D Suy B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác cạnh a = và biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Nuyễn Toản - 9Lop12.net TxPT (10) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diên tích B = SABC công thức nào ? + Từ diện tích A'BC suy cạnh nào ? ? + Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ? Lời giải: Gọi I là trung điểm BC Ta có ABC nên C' A' B' AI A AB & AI BC A 'I BC(dl3 ) 2S SA'BC BC.A 'I A 'I A'BC BC AA ' (ABC) AA ' AI C A 'AI AA ' A 'I2 AI2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= I B Ví dụ 4: Một bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12 cm gấp lại thành cái hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp này + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm h = AA' ? Tại ? + Tìm AB ? Suy B = SABCD = AB2 ? C' D' D' D' D A' B' D C A' A B A A' Giải C' Theo đề bài, ta có C C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm B B' Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B hình thoi ABCD cách nào ? + Tìm h = DD' tam giác vuông nào ? và định lí gì ? Nuyễn Toản - 10Lop12.net TxPT (11) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian C' D' Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a và SABCD = 2SABD = B' A' C D A 60 B a2 a a DD'B DD' BD'2 BD2 a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Theo đề bài BD' = AC = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác biết tất các cạnh lăng trụ a Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên lăng trụ a3 ĐS: V ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác cạnh a biết BD' a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt lăng trụ Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân A ,biết chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất các cạnh và biết tổng diện tích các mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3 Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng các cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2888 Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt 24 m2 Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m3 Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp là m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3 Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết các đường chéo các mặt là 5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp này Đs: V = Nuyễn Toản - 11Lop12.net TxPT (12) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng và mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ + Tìm hình chiếu A'B trên đáy ABC Suy góc [A'B,(ABC)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B tam giác ABC công thức nào ? + Tìm h = AA' tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? C' A' Lời giải: Ta có A 'A (ABC) A 'A AB& AB là hình chiếu A'B trên đáy ABC B' Vậy góc[A 'B,(ABC)] ABA ' 60o ABA ' AA ' AB.tan 600 a a2 SABC = BA.BC C A 2 o 60 a3 Vậy V = SABC.AA' = B Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 vuông A với AC = a , ACB Tính AC' và thể tích lăng trụ + Tìm hình chiếu BC' trên (AA'C'C) Suy góc [BC',(AA'C'C)] = ? + Tìm AC' tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B tam giác ABC công thức nào ? + Tìm h = AA' tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Nuyễn Toản - 12Lop12.net TxPT (13) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian A' C' B' o 30 A C a o 60 B Lời giải: ABC AB AC.tan 60o a Ta có: AB AC;AB AA' AB (AA'C'C) nên AC' là hình chiếu BC' trên (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o AB AC'B AC' 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' AA'C' AA' AC'2 A'C'2 2a a2 ABC là nửa tam giác nên SABC Vậy V = a3 Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích các mặt bên lăng trụ + Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên hình lăng trụ + Dựng BD' và BD ? phân tích yêu cầu đề bài các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu BD' trên đáy ABCD Suy góc [BD',(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B hình vuông ABCD công thức nào ? + Tìm h = DD' tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? B' C' A' D' C D o 30 A a B Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: DD' (ABCD) DD' BD và BD là hình chiếu BD' trên ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 300 a BDD' DD' BD.tan 300 3 a 4a Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = 3 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp phân tích yêu cầu đề bài các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu AB' trên (ABCD) Suy góc [AB',(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? Nuyễn Toản - 13Lop12.net TxPT (14) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian + Dựng BD Suy tam giác ABD có hình tính gì ? Suy diện tích B ABCD cách nào? +Tính h = BB' tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ? A' D' o 30 A Giải C' B' C B 60 o a D a2 ABD cạnh a SABD a SABCD 2SABD ABB' vuông tạiB BB' ABt an30o a 3a3 Vậy V B.h SABCD BB' Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ a3 ĐS: V 16 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ a3 ĐS: V Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ ĐS: AB' a ; V a Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông A biết AC = a và ACB 60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o 3a Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC' ĐS: V a , S = Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 32a Tính thể tích lăng trụ ĐS: V Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o và hợp với (ABB'A') góc 45o a3 Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông Gọi O là tâm ABCD và OA' = a Tính thể tích khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o Nuyễn Toản - 14Lop12.net TxPT (15) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian 3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o 2a a3 4a 3 ;2) V ;3) V 9 Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o a3 a3 o 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30 Đs: 1)V = 2)V = 16 Bài 9: Chiều cao lăng trụ tứ giác a và góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt lăng trụ Đs: V = a3 và S = 6a2 Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' = AC' = CA' = a b2 c2 1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật 2) Gọi x,y,z là góc hợp đường chéo và mặt cùng qua đỉng thuộc đường chéo Chứng minh sin x sin y sin z Đs:1) V 3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ phân tích yêu cầu đề bài các yêu cầu nhỏ: + Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? sao? + Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B tam giác ABC công thức nào ? + Tìm h = AA' tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? B' Lời giải: Ta có A 'A (ABC)& BC AB BC A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60o B ABA ' AA ' AB.tan 600 a a2 SABC = BA.BC 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = A' A C' C o 60 Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 và diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Nuyễn Toản - 15Lop12.net TxPT (16) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian phân tích yêu cầu đề bài các yêu cầu nhỏ: + Nhận xét A'BC có hình tính gì ? Suy I là trung điểm BC cho ta vị trí AI và A'I nào với BC? Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Đặt BC = 2x Suy A'I tam giác nào ? + Từ diện tích tam giá A"BC suy x công thức nào? + Tìm h = AA' tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải: ABC AI BC mà AA' (ABC) nên A'I BC (đl ) 'IA = 30o Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A C' A' 2x x Ta có 2 AI x A' AI : A' I AI : cos 30 2x 3 B' Giả sử BI = x AI 30o A x Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = x A’A = AI.tan 300 = x C B I x Do đó VABC.A’B’C’ = Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật phân tích yêu cầu đề bài các yêu cầu nhỏ: + Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B ABCD công thức nào ? + Tìm h = CC' tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? D' C' A' B' C D 60 O B Nuyễn Toản a A Gọi O là tâm ABCD Ta có ABCD là hình vuông nên OC BD CC' (ABCD) nên OC' BD (đl ) Vậy = 60o góc[(BDC');(ABCD)] = COC' Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 a OCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = a Vậy V = - 16Lop12.net TxPT (17) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật phân tích yêu cầu đề bài các yêu cầu nhỏ: + Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? sao? + Suy góc[(A'BC);(ABCD)] = ? + Tìm hình chiếu A'C trên (ABCD) ? Suy góc[A'C,(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B ABCD công thức nào ? + Tìm AB và AC tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ? + Tìm h = AA' tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Ta có AA' (ABCD) AC là hình chiếu D' A' A'C trên (ABCD) Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A 'CA 30o C' B' BC AB BC A'B (đl ) Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = A 'BA 60o 2a A 'AC AC = AA'.cot30o = 2a D A 2a o A 'AB AB = AA'.cot60o = o 60 C 30 B 4a ABC BC AC2 AB2 3 16a Vậy V = AB.BC.AA' = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể 2a tích hộp chữ nhật Đs: V Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V a Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân A với AB = AC = a và BAC 120o biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o a3 Tính thể tích lăng trụ Đs: V Nuyễn Toản - 17Lop12.net TxPT (18) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông B và BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ h3 Đs: V Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o 2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o 3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ a3 Đs: 1) V a 3 ; 2) V = ; V = a3 Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o 2) BD' hợp với đáy ABCD góc 600 3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a 16a Đs: 1) V = 16a3 2) V = 12a3 3) V = Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o 2)Tam giác BDC' là tam giác 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 a3 Đs: 1) V ; 2) V = a ; V = a 2 Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o a 2)Khoảng cách từ C đến (BDC') 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 45 3a 3 3a 3a Đs: 1) V ; 2) V = ;V= Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp các trường hợp sau đây: 1) AB = a 2) BD' hợp với AA'D'D góc 30o 3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 Đs: 1) V 8a ; 2) V = 5a 11 ; V = 16a Nuyễn Toản - 18Lop12.net TxPT (19) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian 4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a , biết cạnh bên là a và hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ phân tích yêu cầu đề bài các yêu cầu nhỏ: + Xác định góc cạnh bên với đáy : Hình chiếu CC' trên (ABC) là gì? + Suy góc[CC';(ABC)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B tam giác ABC công thức nào ? + Tìm h = CC' tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? A' C' B' C A a B o 60 H Lời giải: Ta có C'H (ABC) CH là hình chiếu CC' trên (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)] C'CH 60o 3a CHC' C'H CC'.sin 600 2 a 3a 3 SABC = Vậy V = SABC.C'H = Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ phân tích yêu cầu đề bài các yêu cầu nhỏ: + Xác định góc cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu AA' trên (ABC) là gì? Suy góc[AA'';(ABC)] = ? +Chứng minh BC AA' cách Chứng minh BC mặt phẳng nào ? Tứ đó có thể BC CC' không ? sao? Vậy BB'C'C là hình gì? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B tam giác ABC công thức nào ? + Tìm h = AA'' tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Nuyễn Toản - 19Lop12.net TxPT (20) Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian A' C' B' A 60 o a C O H B Lời giải: 1) Ta có A 'O (ABC) OA là hình chiếu AA' trên (ABC) ' 60o Vậy góc[AA ',(ABC)] OAA Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên lăng trụ) AO BC trung điểm H BC nên BC A 'H (đl ) BC (AA 'H) BC AA ' mà AA'//BB' nên BC BB' Vậy BB'CC' là hình chữ nhật 2a a 2) ABC nên AO AH 3 o AOA ' A 'O AO t an60 a a3 Vậy V = SABC.A'O = Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = AD = Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 và 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên phân tích yêu cầu đề bài các yêu cầu nhỏ: + Xác định góc mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H và HN AD HM AB Suy góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B ABCD công thức nào ? + Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông nào ? Đặt x = A'H + Dùng hai tam giác nào định lý gì để tạo phương trình theo x ? Nuyễn Toản - 20Lop12.net TxPT (21)