(hoặc Còn tang ta tính như sau Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền Cotang cũng dễ ăn tiền. Kề trên, đối dưới chia liền là ra ) *Công thức cộng:[r]
(1)Hs lượng giác Hàm số sin Hàm số cosin Hàm số tan Hàm số cotan
Dạng: y = f(x) y = sin y = cos y = tan sin
cos
y = cot cos
sin
TXĐ: D D = R D = R \ ,
2
D R k k
D R k k \ ,
MGT 1 sin 1 1 cos 1 tan R cot R
Chu kỳ: T k2 k2 k k
Chẳn lẻ f(-x) = f(x) chẳn f(-x) = f(x) lẻ f(-x) = -f(x) lẻ f(-x) = -f(x) lẻ
G
iá
tr
ị đ
ặc
b
iệ
t y = 0 k k, ,
2 k k
k k, ,
2 k k
y = 1 2 ,
2 k k
k2 , k ,
4 k k
,
4 k k
y = -1 2 ,
2 k k
k2 , k ,
4 k k
,
4 k k
Đồ thị
Phương trình lượng giác bản
Phương trình sin Phương trình cos
Dạng: sin a sin sin với sin a Cách giải:
+ Nếu a 1 phương trình vơ nghiệm + Nếu a 1thì
2 2
k k
360
,
180 360
o
o o
k
k k
Dạng: cos a cos cos với cos a Cách giải:
+ Nếu a 1 phương trình vơ nghiệm + Nếu a 1thì
2 2
k k
360 360
o o
k
k k
Phương trình tan ,
2 k k
Phương trình cot k k, Dạng: tan a tan tan với tan a
Cách giải: k k180 ,o k
Dạng: cot a cot cot với cot a Cách giải: k k180 ,o k
Phương trình bậc hàm số lượng giác Phương trình bậc hàm số lượng giác Dạng:
at + b = a0 với t = (sinx; cosx; tanx; cotx) Cách giải: Đưa t b
a
(đây phương trình lượng giác bản)
Dạng:
0
at bt c (a0) với t = (sinx; cosx; tanx; cotx) Cách giải:
Giải phương trình bậc ẩn đưa phương trình lượng giác bản
Phương trình bậc sin cos Phương trình bậc sin cos Dạng: asinx + bcosx = c (*)
Cách giải: chia vế cho a2 b2
2 2 2
(*) sin cos
sin cos sin cos sin sin( ) sin
a b c
x x
a b a b a b
x y y x z
x y z
(Đây phương trình lượng giác bản) Với
2 2 2
cosy a ;siny b ;sinz c
a b a b a b
Dạng: asin2 x bsin cosx x ccos2 x d
2
sin sin cos cos 0
a x b x x c x d
(**)
Cách giải: + Xét cosx = 0,
Nếu a = d ,
2
x k k ng (**)
Nếu a d , 2
x k k không nghiệm (**)
+ Xét cosx 0, chia vế pt (**) cho cos2x đưa phương trình (**) dạng: mtan2x ntanx k 0
(đặt t = tan x)
http://suctre.net
(2)1.Tìm sin lấy đối chia huyền Cosin lấy cạnh kề, huyền chia Cịn tang ta tính sau Đối trên, kề chia liền
Cotang ngược lại với tang
2.Công thức cộng:
Cos cos cos sin sin Sin sin cos, cos sin mà Sin dấu khác lồi
Cos trái dấu, chẳng sai Tan tổng tầng cao rộng Trên thượng tầng tan cộng tan Dưới ngang tàn
Dám trừ tích đơi tan oai
3.Tích thành tổng:
Nhớ hiệu trước, tổng sau Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ Cos cos hết
Sin sin cos cos, sin cos sin sin
Một phần hai phải nhân vào, quên!
4.Công thức đổi tổng thành tích:
+Tổng tang ta lấy sin tòng (sin tổng)
Chia cho cos cos khó lịng lại sai +Tang ta cộng với Tang
Bằng Sin hai đứa Cos Cos ta +Tổng sin tổng cos:
Đối với a & b:
Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau (“góc chia đơi: trước cộng, sau trừ” hay “vế phải tích theo thứ tự tổng trước,hiệu sau”)
Đối với hệ số khai triển: Cos cộng cos cos cos
Cos trừ cos trừ sin sin Sin cộng sin sin cos Sin trừ sin cos sin
5.Công thức cos+sin,cos-sin:
Cos cộng sin hai cos (căn nhân cos)
Của a trừ cho pi Nhớ cộng trừ Đây trừ cộng
6.Công thức gấp đôi:
+Sin gấp đôi = sin cos
+Cos gấp đơi = bình cos trừ bình sin = trừ cộng hai lần bình cos = cộng trừ hai lần bình sin +Tang gấp đơi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia trừ lại bình tang, liền
7 Sin bù, cos đối, pi tang, phụ chéo
+Sin bù: Sin(180-a)=sina +Cos đối: Cos(-a)=cosa
+Hơn pi tang: Tg(a+180)=tga Cotg(a+180)=cotga
+Phụ chéo góc phụ sin góc = cos góc kia, tg góc = cotg góc
8 Cơng thức tổng quát việc hơn pi sau:
Hơn bội hai pi sin, cos Tang, cotang bội pi Sin(a+k.2.180)=sina ; Cos(a+k.2.180)=cosa Tg(a+k180)=tga ; Cotg(a+k180)=cotga
*sin bình + cos bình =
*Sin bình = tg bình tg bình cộng
*cos bình = cộng tg bình *Một cos bình = cộng tg bình *Một sin bình = cộng cotg bình
I.Lượng giác:
+CT cos+sin:
Cos cộng sin hai cos(căn nhân cos)
Của a trừ cho pi (a góc, tức cos(a-pi/4))
Nhớ cộng trừ Đây trừ cộng thơi Có số thơ gần cách đọc, thấy nhờ cách đọc có điệu giúp học nhanh ban Ví dụ thơ này:
+CT cos+sin…tôi nâng cấp thành: Cos cộng sin hai cos, a trừ cho pi
Sin cộng cos hai sin, a cộng cho pi
Đọc với giọng nhanh ta thấy hai câu đối (nhớ công thức này, tính theo cos dấu phải coi chừng) *CT gấp đôi ( dấu "=" viết tắt chữ "bằng"):
+Sin gấp đôi = sin cos
+Cos gấp đơi = bình cos trừ bình sin = trừ cộng hai bình cos (1) = cộng trừ hai bình sin (2) (từ (1) & (2) ta => CT hạ bậc sin cos, cịn tg dễ thơi, tga=sina/cosa mà!)
+Tang gấp đôi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia trừ lại bình tang, liền *CT gấp ba:
+Sin sin hết (3) Cos cos ln
Cos lập trừ (tức 4.cos^3a-3cos, thơ nói đến hệ số) Sin đảo dấu cos thơi (chú ý (3))
+Sin3a = 3Sina - 4Sin mũ a Cos3a= 4Cos mũ a - 3Cosa Sin sin, cos cos
Sin 3, Cos 4, Dấu trừ phân Chỗ có 4, mũ thêm vào (*cách đọc cho có chất thơ*) +Tang gấp ba ta lấy tang Nhân ( trừ lại tang bình) (chú ý dấu ngoặc)
Chia trừ lại lần bình tang *CT chia đơi – CT tính theo t=tg(a/2) Sin, cos mẫu giống chả khác Ai cộng bình tê (1+t^2) Sin tử có hai tê (2t), cos tử có trừ bình tê (1-t^2)
(cịn tg ta lấy tga=sina/cosa) *sin bình + cos bình =
*Sin bình = tg bình tg bình cộng
*cos bình = cộng tg bình *Một cos bình = cộng tg bình *Một sin bình = cộng cotg bình
(Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với dấu * @ chúng có liên quan CT trên)
*Đối với dấu có:nhất đủ,nhì sin,tam tang tứ cos
Nghĩa cung thứ sin,cos, tang (cotang giống dấu tang nên khỏi xét ) dương.Đối với cung thứ nhì có sin dương,cịn cos hay tang âm Cứ tiếp tục, học thuộc thơ xét dấu (với cung góc phần tư thứ I,II,III,IV ngược chiều kim đồng hồ mặt phẳng tọa độ Oxy)
* Công thức cộng
Cos cộng cos cos cos Cos trừ cos trừ sin sin Sin cộng sin sin cos Sin trừ sin cos sin Sin sin cos cos sin
Cos cos cos sin sin dấu trừ Tang tổng tổng tang Chia cho hiệu tích tang liền Tang hiệu hiệu tang Chia cho tổng tích tang liền Biến đổi tích thành tổng:
Cos nhân cos = 1/2 cos cộng cộng cos trừ
Sin nhân sin = 1/2 cos trừ trừ cos cộng Sin nhân cos = 1/2 sin cộng cộng sin trừ
Thơ lại lượng giác
*Sao Đi Học ( Sin = Đối / Huyền) Cứ Khóc Hồi ( Cos = Kề / Huyền) Thơi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề) Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối) +Sin: học (cạnh đối - cạnh huyền) Cos: không hư (cạnh đối - cạnh huyền) Tg: đoàn kết (cạnh đối - cạnh kề) Cotg: kết đồn (cạnh kề - cạnh đối) +Tìm sin lấy đối chia huyền Cosin lấy cạnh kề, huyền chia Cịn tang ta tính sau
Đối trên, kề chia liền Cotang ngược lại với tang (hoặc Cịn tang ta tính sau Đối trên, kề chia liền Cotang dễ ăn tiền
Kề trên, đối chia liền ) *Cơng thức cộng:
+Sin sin cos cos sin
Cos cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ)
+Tang tổng lấy tổng tang Chia trừ với tích tang, dễ ịm *Tích thành tổng:
+Cách 1:
Nhớ hiệu trước, tổng sau
Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ (mấy khác cịn lại cộng)
Cos cos hết
Sin sin cos cos, sin cos sin sin
Một phần hai phải nhân vào, quên! +Cách 2:
Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ *Tổng thành tích:
(3)tổng)
Chia cho cos cos khó lịng lại sai +Tang ta cộng với Tang
Bằng Sin hai đứa Cos Cos ta +Tổng sin tổng cos:
Đối với a & b:
Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau (“góc chia đơi: trước cộng, sau trừ” hay “vế phải tích theo thứ tự tổng trước,hiệu sau”)
Đối với hệ số khai triển: Cos cộng cos cos cos
Cos trừ cos trừ sin sin Sin cộng sin sin cos Sin trừ sin cos sin +CT cos+sin:
Cos cộng sin hai cos(căn nhân cos)
Của a trừ cho pi (a góc, tức cos(a-pi/4))
Nhớ cộng trừ Đây trừ cộng thơi Có số thơ gần cách đọc, thấy nhờ cách đọc có điệu giúp học nhanh ban Ví dụ thơ này:
+CT cos+sin…tôi nâng cấp thành: Cos cộng sin hai cos, a trừ cho pi
Sin cộng cos hai sin, a cộng cho pi
Đọc với giọng nhanh ta thấy hai câu đối (nhớ cơng thức này, tính theo cos dấu phải coi chừng) *CT gấp đôi (dấu "=" viết tắt
chữ "bằng"):
+Sin gấp đôi = sin cos
+Cos gấp đơi = bình cos trừ bình sin = trừ cộng hai bình cos (1) = cộng trừ hai bình sin (2) (từ (1) & (2) ta => CT hạ bậc sin cos, cịn tg dễ thơi, tga=sina/cosa mà!)
+Tang gấp đôi
Tang đôi ta lấy đơi tang (2 tang) Chia trừ lại bình tang, liền *CT gấp ba:
+Sin sin hết (3) Cos cos ln
Cos lập trừ (tức 4.cos^3a-3cos, thơ nói đến hệ số) Sin đảo dấu cos (chú ý (3))
+Sin3a = 3Sina - 4Sin mũ a Cos3a= 4Cos mũ a - 3Cosa Sin sin, cos cos
Sin 3, Cos 4, Dấu trừ phân Chỗ có 4, mũ thêm vào (*cách đọc cho có chất thơ*) +Tang gấp ba ta lấy tang Nhân ( trừ lại tang bình) (chú ý dấu ngoặc)
Chia trừ lại lần bình tang *CT chia đơi – CT tính theo t=tg(a/2) Sin, cos mẫu giống chả khác Ai cộng bình tê (1+t^2) Sin tử có hai tê (2t), cos tử có trừ bình tê (1-t^2)
(cịn tg ta lấy tga=sina/cosa) *Cos đối, sin bù, pi tang, phụ chéo
*Sin bù, Cos đối,Tang Pi,
Phụ Sin Cos, phân chia +Cos đối:Cos(-a)=cosa
+Sin bù:Sin(180-a)=sina +Hơn pi tang: Tg(a+180)=tga Cotg(a+180)=cotga
+Phụ chéo góc phụ sin góc = cos góc kia, tg góc = cotg góc ( chéo bảng giá trị LG đặc biệt)
*Ta có cơng thức tổng qt việc pi sau:
Hơn bội hai pi sin, cos Tang, cotang bội pi Sin(a+k.2.180)=sina ; Cos(a+k.2.180)=cosa Tg(a+k180)=tga ; Cotg(a+k180)=cotga *sin bình + cos bình =
*Sin bình = tg bình tg bình cộng
*cos bình = cộng tg bình *Một cos bình = cộng tg bình *Một sin bình = cộng cotg bình (Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với dấu * @ chúng có liên quan CT trên)
*Đối với dấu có: đủ,nhì sin,tam tang tứ cos