• Các phép biến đổi quan trọng nhất là các phép biến đổi Affine và các phép chiếu... Hệ toạ độ bàn tay phải/bàn tay trái• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải: để bàn tay phải sao cho ngó
Trang 1CCCCAAAÁÙÙÙCCCC PPPPHHHHEEEÉÙÙÙPPPP BBBBIIIIEEEẾÁÁÁNNNN ĐĐĐĐOOOỔÅÅÅIIII 3333 CCCCHHHHIIIIEEEỀÀÀÀUUUU
Dẫn nhập
• Cùng một loại đối tượng có thể xuất hiện trong nhiều cảnh và xuất hiện nhiều lần trong một cảnh với các phương vị, màu sắc khác nhau
• Nếu ta có các mô hình đối tượng tốt, ta có thể phát sinh
ra các đối tượng khác nhau từ một mô hình duy nhất nhờ các phép biến đổi
• Các phép biến đổi quan trọng nhất là các phép biến đổi Affine và các phép chiếu
Trang 2Hệ toạ độ bàn tay phải/bàn tay trái
• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải: để bàn tay phải sao cho ngón cái hướng theo trục z, khi nắm tay lại, các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y
• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay trái: để bàn tay phải sao cho ngón cái hướng theotrục z, khi nắm tay lại, các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y
Hệ toạ độ thuần nhất ( Homogeneous Coordinates )
• Mỗi điểm (x, y, z) trong không gian Descartes được biểu diễn bởi một bộ bốn tọa độ trong không gian 4 chiều thu gọn (hx, hy, hz, h) Người ta thường chọn h=1
• (x, y, z)Descartes (x, y, z, 1)Homogeneous
• (x, y, z, w)Homogeneous (x/w, y/w, z/w)Descartes (w ≠ 0)
x
w
w=1
homogeneous (x,y,z,w)
projected homogeneous (x/w,y/w,z/w,1) (x/w,y/w,z/w)Descartes
Trang 3Các phép biến đổi tuyến tính
• Phép biến đổi tuyến tính là tổ hợp của các PBĐ:
♦ Tỉ lệ
♦ Quay
♦ Biến dạng và
♦ Đối xứng
• Các tính chất của các phép biến đổi tuyến tính
♦ Thoả mãn tính chất về tổ hợp tuyến tính.
♦ Gốc toạ độ là điểm bất động.
♦ Ảnh của đường thẳng là đường thẳng.
♦ Ảnh của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song.
♦ Bảo toàn tỉ lệ khoảng cách
♦ Tổ hợp các phép biến đổi có tính phân phối
Phép tịnh tiến
• Dịch chuyển một điểm từ
vị trí đến vị trí khác trong
không gian theo vector
offset tr.
ư ç
ç ç è
ỉ
=
i f c
h e b
g d a với i f c
h e b
g d a z y x z' y' x'
y
z
x (x,y,z)
(x',y',z')
tr =(trx,try,trz)
T(s1P1 + s2P2) = s1T(P1) + s2T(P2)
Trang 4Phép biến đổi Affine
• Phép biến đổi Affine là tổ hợp của các phép biến đổi:
♦ Tuyến tính
♦ Tịnh tiến
• Các tính chất
♦ Gốc toạ độ không là điểm bất động.
♦ Ảnh của đường thẳng là đường thẳng.
♦ Ảnh của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song.
♦ Bảo toàn tỉ lệ khoảng cách
♦ Tổ hợp các phép biến đổi có tính phân phối
Các phép biến đổi Affine cơ sở
• Phép biến đổi Affine có thể xem là tổ hợp của các phép biến đổi cơ sở:
♦ Tịnh tiến
♦ Tỉ lệ (tâm tỉ lệ đặt tại gốc toạ độ)
♦ Quay quanh trục x
♦ Quay quanh trục y
♦ Quay quanh trục z
♦ Đối xứng qua trục x, y, z*
♦ Biến dạng* (tâm biến dạng đặt tại gốc toạ độ)
ư ç
ç ç ç ç è
ỉ
=
1 0 0
0
1 1
' ' '
z y
tr
i h g
f e d
c b a z
y x z
y x
tỉ lệ, quay, biến dạng tịnh tiến
Trang 5• Phép tịnh tiến
ù
ê ê ê ê ê ë
é
=
1 Tr Tr Tr
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 ) Tr , Tr
,
Tr(Tr
z y x
z y x
• Phép biến đổi tỉ lệ
ú ú ú ú ù ê
ê ê ê ë
é
=
1 0 0 0
0 s 0 0
0 0 s 0
0 0 0 s ) s
,
s
,
S(s
z y x z
y
x
Khi sx=sy=sz: phép đồng dạng
• Phép quay quanh trục z
• Phép quay quanh trục x
ú ú ú ú ù ê
ê ê ê ë
é
=
1 0 0
0
0 ) cos(
) sin(
-0
0 ) sin(
) cos(
0 0 )
R(x,
θ θ
θ θ
0 1
• Phép quay quanh trục y
ú ú ú ú ù ê
ê ê ê ë
é
=
1 0 0 0
0 ) cos(
0 ) sin(
0 0
0 ) sin(
-) cos(
) R(y,
θ θ
θ θ
0
y
z
x
y
z
x (x,y,z)
(x',y',z')
tr =(trx,try,trz)
y
z
x
ú ú ú ú ù ê
ê ê ê ë
é
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 ) cos(
) sin(
-0 0 ) sin(
) cos(
)
θ θ
θ
Trang 6• Cách xác định chiều dương trong các phép quay
Các định nghĩa về chiều quay được dùng chung cho cả hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải và bàn tay trái Cụ thể chiều dương được định nghĩa như sau:
♦ Quay quanh trục x: từ trục dương y đến trục dương z.
♦ Quay quanh trục y: từ trục dương z đến trục dương x.
♦ Quay quanh trục z: từ trục dương x đến trục dương y.
• Ví dụ, xét trên hệ toạ độ bàn tay trái, khi nhìn dọc từ phía trục quay về gốc toạ độ, chiều dương sẽ là chiều ngược chiều kim đồng hồ