Bài giảng 2D Transformations - Các phép biến đổi 2D bao gồm những nội dung về phép biến đổi hình học; tính chất của phép biến đổi Affine; phép tịnh tiến - Translation; phép quay - Rotation; phép quay một góc α quanh gốc tọa độ; phép quay một góc α quanh tâm bất kì,... Mời các bạn tham khảo.
2D Transformations Các phép biến đổi 2D 2D computer graphics • Raster graphics • – Pixel art is a form of digital art, created through the use of raster graphics software, where images are edited on the pixel level. – Graphics in most old (or relatively limited) computer and video games, graphing calculator games, and many mobile phone games are mostly pixel art Vector graphics is the use of geometrical primitives such as points, lines, curves, and shapes or polygon(s), which are all based upon mathematical equations, to represent images in computer graphics. Example Example Giới thiệu • Bản chất của phép biến đổi hình học là thay đổi vị trí của đối tượng, làm thay đổi đối tượng về hướng, kích thước, hình dạng • Hai phương pháp để biến đổi hình học: – Biến đổi đối tượng: thay đổi tọa độ của đối tượng – Biến đổi hệ tọa độ: tạo hệ tọa độ mới và tất cả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới • Các phép biến đổi hình học cơ bản: tịnh tiến, quay, biến đổi tỉ lệ, biến dạng Phép biến đổi hình học • Một phép biến đổi là một ánh xạ T: T : R2 R2 P (x ,y ) Q(x ',y ') x ' f (x ,y ) y ' g(x ,y ) P(x,y) Q(x’,y’) Phép biến đổi hình học (cont.) • Phép biến đổi Affine là phép biến đổi với f(x,y) và g(x,y) là 2 hàm tuyến tính: x ' ax by c y ' dx • f Biểu diễn phép biến đổi Affine dưới dạng ma trận: x' y' • ey a d b c e f x y Q T P Thơng thường, chúng ta chỉ khảo sát phép biến Affine nên ta thường dùng thuật ngữ phép biến đổi để ngụ ý là phép biến đổi Affine Tính chất của phép biến đổi Affine • Bảo tồn đường thẳng: Biến đường thẳng thành đường thẳng • Tính song song của các đường thẳng được bảo tồn • Tính tỉ lệ về khoảng cách được bảo tồn Phép tịnh tiến Translation • Phép tịnh tiến dùng để dịch chuyển đối tượng từ vị trí này sang vị trí khác Q try P trx 10 Phép quay một góc α quanh gốc tọa độ Q P O O x' cos x sin y y' sin x cos y T cos sin sin cos 0 13 Phép quay một góc α quanh gốc tọa độ Phép đối xứng tâm (gốc tọa độ) P và Q đối xứng qua gốc tọa độ. Do đó, phép đối xứng tâm là phép quay quanh gốc tọa độ một góc 1800 =1800 P O O Q x' x y' y T 180 0 0 0 14 Phép quay một góc α quanh tâm bất kì Q Q’ P P’ C(xc,yc) O P T(xc,yc) P’ T(α ) Q’ T(xc,yc) Q 15 Phép quay một góc α quanh tâm bất kì (cont.) • Ta có thể chứng minh phép quay tâm C(xc, yc) một góc α là kết hợp của các phép biến đổi sau đây: – Tịnh tiến theo vector (xc,yc) để dịch chuyển tâm quay về gốc tọa độ: P’ = T(xc, yc) . P – Quay quanh gốc tọa độ một góc : Q’ = T( ) . P’ – Tịnh tiến theo vector (xc,yc) để đưa tâm quay về vị trí ban đầu: Q = T(xc,yc) . Q’ • Kết hợp 3 phép biến đổi trên ta được: Q = T(xc,yc) . T( ) . T( xc,yc) . P • Như vậy, ma trận biến đổi của phép quay tâm bất kì là: T x c ,yc , T ( x c , y c )T T xc , yc cos sin sin cos ( cos ) x c sin x c ( 1 sin y c cos ) y c 16 Phép biến đổi tỉ lệ Scaling • • Co giản đối tượng x ' sx x y ' sy y T (sx , sy ) sx 0 sy 0 0 sx và sy được gọi là hệ số co giản theo trục x và trục y 17 Phép biến đổi tỉ lệ (cont.) • Khi sy = 1 thì đối tượng co giản theo trục x • Khi sx = 1 thì đối tượng co giản theo trục y 18 Phép biến đổi tỉ lệ (cont.) • • Khi sy = sy thì ta gọi đây là phép biến đổi đồng dạng – uniform scaling, bảo tồn tính cân xứng của đối tượng. Nếu sx = sy