Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:  Dạng 7A.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn  Dạng 7B.. Sử dụng phép đặt ẩn số phụ  Dạng 7C.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

Dạng 7

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Chuyên đề: Hàm số

Nội dung

 Dạng 7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

 Dạng 7A.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một

đoạn

 Dạng 7B Sử dụng phép đặt ẩn số phụ

 Dạng 7C.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô

hạn

Dạng 7A Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất của hàm số trên một

đoạn

Dạng 7A Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

 Bài tập mẫu

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Giải

Đặt

Điều kiện

= 2 − − 1

y sin x cos x

2

= ⇒ = 2 − − 1 = 1 − − =2

t cos x y sin x cos x t t f(t)

− ≥ ⇔ − 2 ≤ ≤

1 1 1

t 0 t

−

2

2

2

t 2 1

2

 Bài tập mẫu (tt)

Ta có:

So sánh ba giá trị trên, ta được

Dạng 7A Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn  ÷= − − ÷= − ÷=

 

2

π

π

4

 Lưu ý

 1 Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, nếu trong

đầu bài có sin2x, cosx thì ta đặt t = cosx => -1 ≤ t ≤ 1 ; sin2x

= 1-t2 Ta trở về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(t)

 2 Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên

đoạn [a ;b] , ta làm như sau :

 Tính f ’(x) ; tìm nghiệm của phương trình f ’(x) trên đoạn [a ;b], giả sử là x1, x2,…, xn

 Tính các giá trị f(x1), f(x2), …, f(xn) và f(a), f(b).

 So sánh các giá trị trên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Dạng 7A Tìm giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

 Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Giải

Ta có:

Ta có:

so sánh ba giá trị trên, ta được

Dạng 7A Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một

( )

3

2

3

2

y( 3) 3; y ; y

3 6 3 max y khi x

min y khi x

2 2

Dạng 7B

Sử dụng phép đặt ẩn số phụ

 Bài tập mẫu

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Giải

Ta có

Đặt

Dạng 7B Sử dụng phép đặt ẩn phụ

y cos x cos2x cos3x

y cos x cos2x cos3x

cos x 2cos x 1 4cos x 3cos x cos x cos x

2

t cos x 1 t 1

1

f '(t) 4t 2t; f '(t) 0 t 0; t

2

+ − =

 

 

t t f(t)

f( 1) ; f(1) ; f(0) ; f

 Bài tập mẫu (tt)

So sánh bốn giá trị trên, ta được

= − = − ⇔ = π + π

11 max y khi cosx 1 x 2k

12 5 min y khi cosx 1 x 2k

6

Dạng 7B Sử dụng phép đặt ẩn phụ

 Lưu ý

 1 Trong bài toán trên nếu không sử dụng phép đặt ẩn phụ

mà tính đạo hàm để xét biến thiên của hàm số thì sẽ dài, phức tạp

 2 Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, trong trường

hợp có thể, ta nên sử dụng phép đặt ẩn số phụ để đưa về hàm số đơn giản hơn

 3 Khi đặt ẩn số phụ t, được hàm số f(t), ta phải tìm tập giá

trị tương ứng của t và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

số f(t) trong tập giá trị trên

Dạng 7B Sử dụng phép đặt ẩn phụ

 Bài toán tương tự

Cho sinx + siny = -1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Q = sin3x + sin3y

Giải

Ta có

Đặt

Dạng 7B Sử dụng phép đặt ẩn phụ

3

Q sin3x sin3y 3 sin x sin y 4 sin x sin y

Q 3 4 sin x sin y 3sin x sin y sin x sin y

3 4 1 3 sin x sin y Q 1 12sin x sin y

2

1 t 1

Q 1 12sin x sin y 1 12t(1 t) f(t)

1

2 1

2

− ≤ − − ≤



= ⇒ = − − ⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤

 

− = = − ÷= −

 

 Bài tập tương tự

so sánh các giá trị trên, ta được

Lưu ý

 Trong bài toán trên, khi đặt t = sinx, mà đưa ra điều kiện -1≤

t ≤ 1 là sai

 Do đó hàm số f(t) chỉ xét trên [-1; 0]

Dạng 7B Sử dụng phép đặt ẩn phụ

1

2

− ≤ − − ≤



= ⇒ = − − ⇒ − ≤ ≤ 1 1 t 1⇒ − ≤ ≤

1 t 1

Dạng 7C Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất của hàm số trên một

khoảng vô hạn

 Bài tập mẫu

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải Đặt

Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một

( )

2

2

2

2

3

t 2 1

t x x 0 x tx 1 0; t 4 0 t 2;

1 1

x x 2 t 2

x x

x x 2 t 2 2 t 4t 2

y x 2 x x

x

t 4t 2 2 t 2 t t 6t t 6 f(t)

f '(t) 4t 12t 1; f ''(t) 12

≤ −



= + ≠ ⇒ − + = ∆ = − ≥ ⇒ ≥  ≥ 

+ =  + ÷ − = −

+ =  + ÷ − = − − = − +

= + −  + ÷ + +

= − + − − + = − + + =

t 12 0 t : t 2;

t 2

≤ −



− > ∀ ≥  ≥ 

 Bài tập mẫu (tt)

Do đó hàm số f ’(t) đồng biến khi , suy ra

t ≤ -2 ⇒ f’(t) = 4t 3 – 12t + 1 ≤ f’(-2) < 0

t ≥ 2 ⇒ f’(t) = 4t 3 – 12t + 1 ≥ f’(2) > 0

Hàm số f(t) liên tục và nghịch biến trong (- ∞ ; -2) nên với

t≤ -2

⇒ f(t) ≥ f(-2) = - 4.

Hàm số f(t) đồng biến trong (2 ;+∞) nên với t≥ 2 ⇒ f(t) ≥

f(2) = 0.

Ta được

Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ

nhất của hàm số trên một

 ≥



t 2

t 2

1 min y 4 khi t 2 x 2 x 1

x

 Lưu ý

Khi đặt nếu sử dụng bất đẳng thức Cauchy

để có điều kiện là sai.

Ta phải viết

Ta có

Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ

nhất của hàm số trên một

khoảng vô hạn = + 1 ≠ ∈

t x , 0 x R

x

= + ≥1

x

= + 1 ≠ ⇒ 2 − + = ∆ = − ≥ ⇒ ≥2  ≥t 2

t x x 0 x tx 1 0; t 4 0 t 2;

+ =  + ÷ − = −

+ =  + ÷ −  + ÷= −

2

2

3

3

2

2

 Bài toán tương tự

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

, với x là số thực dương.

Giải Đặt

Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một

2

2

3

3

2

x x

x

x

f '(t) 0 t : t 2

 Bài toán tương tự (tt)

Do đó hàm số f ’(t) đồng biến khi t≥ 2,

với t ≥ 2 ⇒ f(t) = t 3 – 3t 2 + 6 ≥ f(2) = 2

Ta được

Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một

khoảng vô hạn

= = ⇔ + = ⇔ = 1

min y 2 khi t 2 x 2 x 1.

x