bai tap toan A2

bai tap toan A2

A Số nguyên dương n lớn nhất thỏa A n (ma trận

không) là bao nhiêu?

A

18 Cho A là ma trận vuông cấp 3 khả nghịch Định thức của ma trận 3A là bao nhiêu?

19 Cho A là ma trận vuông cấp 4 khả nghịch Định thức của ma trận 4A là bao nhiêu?

27 Cho A là ma trận vuông cấp n Biết det(A) =3 và A2-3A =12 I Tính det(A-3I)

28 Cho A là ma trận vuông cấp n Biết det(A) =2 và A-A-1 = I Tính det(A-I)

29 Cho A là ma trận vuông cấp n Biết det(A) =6 và det(AT A-AT ) =12 Tính det(A-I)

30 Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch Biết det(3I-A) = 5 và A2-3A+I = 0 Tính det(A-1)

31 Tính

0 1 2 0

2 2 7 01

0 0 7 1

0 0 2 1

0 2 1 2

0 1 3 48

1 1 4 4

1 1 1 2

,

2 3

3 4 51

m

0

45 Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình.

46 Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình.

47 Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer

b) Giải hệ phương trình bằng công thức x A b 1

c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss

g) Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss Jordan

Phần không gian véctơ

1 Xác định điều kiện để vectơ x là một tổ hợp tuyến tính của u, v, w:

8 Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con W của 3sinh bởi các vectơ sau :

a) u u u độc lập tuyến tính b) 1, ,2 3 u u u phụ thuộc tuyến tính 1, ,2 3

c) u u u tạo thành một cơ sở của1, ,2 3 3

16 Trong không gian 3 cho tập hợp 1 2 3 1 2 3

17 Trong không gian 3 cho tập hợp V x x x x1, ,2 3 /x1 3x2 x3 0

a) Chứng minh V là không gian véc tơ con của 3

b) Tìm một cơ sở của V

c) Chứng minh véc tơ u 1, 2, 7 thuộc V Xác định tọa độ của u đối với cơ sở vừa tìm được ở câu b)

18 Trong không gian 2 cho hệ vectơ : B u u Tìm ma trận trận chuyển cơ sở, từ 1, 2

cơ sở chính tắc B sang cơ sở 0 B u u và ngược lại 1, 2

a) u1 2,1 ,u2 1, 1

b) u1 2,1 , u2 1,1 ,

c) u1 1, 0 , u2 0,1 ,

d) u1 1,2 , u2 3, 4

19 Trong không gian 3 cho hệ vectơ : B u u u Tìm ma trận trận chuyển cơ sở, 1, ,2 3

từ cơ sở chính tắc B sang cơ sở 0 B u u u và ngược lại 1, ,2 3

22 a) Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở chính tắc B của 0 3

là

1 1 2

P

Tìm tọa độ x x x của vectơ 1, ,2 3 u 1, 0,1 theo cơ sở B

b) Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở chính tắc B của 0 3

Tìm tọa độ x x x của vectơ 1, ,2 3 u 1, 2, 3 theo cơ sở B

c) Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở chính tắc B của 0 3 là

P

Tìm tọa độ x x x của vectơ 1, ,2 3 u 1, 8,1 theo cơ sở B

23 a) Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc B sang cơ sở B của 0 3

Tìm tọa độ x x x của vectơ 1, ,2 3 u 2,1, 0 theo cơ sở B

b) Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc B sang cơ sở B của 0 3 là

1 1 0

1 1 1

P

Tìm tọa độ x x x của vectơ 1, ,2 3 u 2, 3, 3 theo cơ sở B

24.a) Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở 1 B của 2 3

và tọa độ của vectơ u theo cơ sở B là 1 x1 1,x2 1,x3 0. Tìm vectơ u

b) Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở 1 B của 2 3

là

1 2 3

P

và tọa độ của vectơ u theo cơ sở B là 1 x1 1,x2 1,x3 3. Tìm vectơ u

c) Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở 1 B của 2 3 là

1 2 3

1 1 0

P

và tọa độ của vectơ u theo cơ sở B là 1 x1 1,x2 2,x3 3. Tìm vectơ u

d) Trong không gian 3 cho các vectơ :u1 1, 0, 0 ,u2 0, 1, 0 ,u3 0, 0, 1Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở 1 B2 u u u của 1, ,2 3 3

và tọa độ vectơ u theo cơ sở B là 1 x1 1,x2 1,x3 0. Tìm vectơ u

25 a) Trong không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 5 P x cho cơ sở 5

2 3 4 5

1, , , , ,

F x x x x x Tọa độ của p x( ) x5 1 đối với F

b) Trong không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 5 P x cho cơ sở 5

Tọa độ của p x( ) x5 4x4 3x3 x2 x 5 đối với F

d) Trong không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 5 P x cho cơ sở 5

Tọa độ của p x( ) 6x5 4x4 3x3 x2 4x 5 đối với F

e) Trong không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 5 P x cho cơ sở 5

26 a) Trong không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 4 P x cho hai cơ sở 4

2 3 4

1, , , ,

cơ sở từ E đến F và ngược lại

b) Trong không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 4 P x cho hai cơ sở 4

2 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 2 R , định bởi2 f x x( , )1 2 x1 3 ,2x2 x1 4x Tìm 2

ma trận của ánh xạ ngược f 1:R2 R 2 đối với cơ sở chính tắc

3 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 2 R , định bởi ( , )2 f x y (4 , 4x x y Tìm ma trận của )

f đối với cơ sở F f1 (1;1), f2 ( 1;1)

4 Cho hai ánh xạ tuyến tính f R: 3 R 3 định bởi

5 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 2 R , định bởi ( , )2 f x y (x y x, y Tìm ma trận )

của f đối với cơ sở F (1;1), (1; 0)

6 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 2 R Ma trận của f đối với cơ sở 2 F (0;1), (1; 0) là

1 3

2 4 Tìm biểu thức của f

7 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 2 R , định bởi ( , )2 f x y (x y x, y Tìm ma trận )

của f đối với cơ sở F (1;1), (1;2)

8 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 2 R , ma trận của f đối với cơ sở 2 F (0; 1), (1; 0)

là

1 1

3 4 Tìm biểu thức của f

9 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 2 R , ma trận của f đối với cơ sở 2

11 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R , định bởi ( , , )3 f x y z (x y y, z, x z )

Tìm ma trận của f đối với cơ sở E (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1)

12 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R , định bởi ( , , )3 f x y z (x y y, z, x z )

Tìm ma trận của f đối với cơ sở F (1;1; 0), (0;1;1),(1; 0;1)

13 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R , định bởi ( , , )3 f x y z (x y y, z x, z Tìm )

ma trận của f đối với cơ sở F (1;1; 0), (0;1;1),(1; 0;1)

14 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R , 3 định bởi

a) Tìm biểu thức của f b) Tìm biểu thức của f -1 (nếu có)

16 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R , biết ma trận của f đối với cơ sở 3(1;1; 1), ( 1;1;1),(1; 1;1)

24 Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R , 3 định bởi

a) Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính

b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của R 3

c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở F (1;1; 1), ( 1;1;1),(1; 1;1) (giải bằng hai phương pháp)

Phần chéo hóa ma trận và dạng toàn phương

1.Tìm đa thức đặc trưng của các ma trận sau

3 a) Với giá trị nào của m thì vector u m,1 là vector riêng của ma trận A 2 00 2

b) Với giá trị nào của m thì vector u m m là vector riêng của ma trận , 0 2

4 a) Tìm các vector giá trị riêng ứng với trị riêng 1 của ma trận

A

m với m Khẳng định nào sau đây đúng ?

a) A chéo hoá được khi và chỉ khi m 0

b) A không chéo hoá được khi và chỉ khi m 0

c) A chéo hóa được với mọi m

d) A chỉ có một trị riêng

6 Cho ma trận

00

m A

m với m Khẳng định nào sau đây đúng ?

a) A chéo hoá được khi và chỉ khi m 0

b) A không chéo hoá được khi và chỉ khi m 0

c) A chéo hóa được với mọi m

d) A không có một trị riêng nào

a) A chéo hoá được khi và chỉ khi a 0,b 0

b) A chéo hoá được khi và chỉ khi a 0

c) A chéo hóa được với mọi , a b

d) A không chéo hóa được với mọi , a b

A với a Khẳng định nào sau đây đúng ?

a) A chéo hoá được khi và chỉ khi a 0

b) A chéo hoá được khi và chỉ khi a 1

c) A chéo hóa được với mọi a

d) A không chéo hóa được với mọi a

9 Giả sử A là một ma trận vuông cấp 3 có 3 vector riêng là 1, 2,1 ; 1, 0,1 ; 1, 0, 0 lần

lượt ứng với các trị riêng là 1,2và 3 Đặt

1 1 1

2 0 0

1 1 0

P Khẳng định nào sau đây đúng ?

a) A được chéo hóa và 1

10 Giả sử A là một ma trận vuông cấp 3 có 3 vector riêng là 2, 2,1 ; 1,1,1 ; 2, 0, 0 lần

lượt ứng với các trị riêng là 3,2và 4 Ma trận P nào sau đây thỏa đẳng thức

Khẳng định nào sau đây đúng?

a) A chéo hóa được

b) A chéo hóa được khi và chỉ khi ứng với trị riêng 0, A có hai vector riêng độc lập tuyến

tính

c) A chéo hóa được khi và chỉ khi ứng với trị riêng 2 A có hai vector riêng độc lập tuyến

a) A không chéo hóa được vì A không có hai trị riêng phân biệt

b) A chéo hóa được

c) A chéo hóa được khi và chỉ khi ứng với trị riêng 2, A có hai vector độc lập tuyến tính d) Các khẳng định trên đều sai

31 Véctơ x (2, 2) là véctơ riêng của

33.Véctơ x ( 2,2)là véctơ riêng của ma trận 1 2

4 3 ứng với trị riêng nào?

toàn phương trên có thể đưa về dạng chính tắc nào?

17 Cho dạng toàn phương f x( ) x12 x22 4x32 2x x1 2 4x x2 3 4x x Đối với cơ 1 3

sở trực chuẩn 1 1 , 1 , 1 , 2 1 , 1 , 0 , 3 1 , 1 , 2

toàn phương trên có thể đưa về dạng chính tắc nào?

18 Cho dạng toàn phương f x( ) x12 x22 4x32 2x x1 2 4x x2 3 4x x Đối với cơ 1 3

sở trực chuẩn 1 1 , 1 , 2 , 2 1 , 1 , 1 , 3 1 , 1 , 0

toàn phương trên có thể đưa về dạng chính tắc nào?

19 Cho dạng toàn phương f x( ) 2x12 2x22 2x32 2x x1 2 2x x2 3 2x x Đối với 1 3

cơ sở trực chuẩn 1 1 , 1 , 2 , 2 1 , 1 , 1 , 3 1 , 1 , 0

toàn phương trên có thể đưa về dạng chính tắc nào?

20 Cho dạng toàn phương f x( ) 2x12 2x22 2x32 2x x1 2 2x x2 3 2x x Đối với 1 3