Bài viết này sẽ cung cấp cho các bạn các phương pháp giải toán A2C2 , bạn có thể vào xem để có thêm nhiều cách giải mới và hiểu sâu về nó, Với bộ môn toán này thì cũng khong khó nhưng các bạn cũng phải hết sức chú í các phép tính nhanh để có thể giải bài toán được nhanh nhất
ÔN TẬP: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN A2 - C2 CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Xét tập hợp W không gian không gian vecto Rn Cách 1: Chứng minh W thỏa điều kiện sau: ( W phải tập Rn ) ∀x, y ∈ W ; ∀k ∈ R ta có : + x + y ∈W + kx ∈W Cách 2: Chứng minh W thỏa điều kiện sau: ∀x, y ∈ W ; ∀k ∈ R ta có : k x + y ∈ W Tìm sở không gianW; Tìm số chiều không gian W + Nếu W cho dưới dạng tập hợp: Lập ma trận gồm vec tơ W( chọn véc tơ có dạng vec tơ đơn vị) , sau tìm hạng hệ véc tơ để suy vec tơ độc lập tuyến tính Từ có sở W → số chiều W ( số chiều số vecto sở ) + Nếu W cho dưới dạng hệ sinh: Lập ma trận gồm vec tơ sinh W làm tương tự Xác định vec tơ x thuộc hay không thuộc không gian vec tơ W cho B1: Xác định tính chất chung vec tơ có W; B2: Kiểm tra xem véc tơ x có tính chất chung không : Nếu có x vec tơ thuộc W ; Ngược lại x không thuộc W Tìm điều kiện tham số để vec tơ x thuộc không gian W cho: Tìm điều kiện để vec tơ x thỏa mãn tính chất chung vec tơ có W xét hệ véc tơ đó sở không gian W; hệ sinh B1: Chứng minh hệ véc tơ ĐLTT B2: Chứng minh véc tơ bất kỳ thuộc W biểu thị được qua hệ cho ( Thường bước bỏ qua biết số chiều W ) Xác định số vec tơ không gian cho hệ sinh; cho tập hợp vec tơ + Nếu cho hệ sinh: Có vô số vecto + Nếu cho tập hợp dạng tính chất đặc trưng: xác định số phần tử tập hợp để kết luận + Nếu cho tập hợp gồm vecto cụ thể : Đếm xem có vec to để kết luận Xét hệ vec tơ độc lập tuyến tính; phụ thuộc tuyến tính Trong Rn : Có thể dùng cách sau: - Hệ có nhiều n vec tơ không độc lập tuyến tính - Hệ chứa vec tơ không không ĐLTT - Hệ có Một Vec tơ tổ hợp tuyến tính vec tơ khác không ĐLTT - detA ≠ hệ ĐLTT - r(A) = n hệ ĐLTT Xét vec tơ x tổ hợp tuyến tính véc tơ ui cho Nếu véc tơ x biểu thị tuyến tính được qua vec tơ ui cho kết luận x tổ hợp tuyến tính ui Ngược lại x không tổ hợp tuyến tính véc tơ ui (nghĩa x = a1u1 +…+ an un x tổ hợp tt ) Xét hệ véc tơ sở Rn ; sở trực giao Rn B1: Chứng minh hệ véc tơ ấy ĐLTT : Kết luận hệ sở ( số vecto n) B2: Chứng minh hai véc tơ bất kỳ hệ vuông góc với (Tích vô hướng ): Kết luận hệ trực giao 10.Tìm hạng hệ vec tơ M B1: Lập ma trận A: có dòng vecto cho B2: Biến đổi A về ma trận bậc thang dòng B3: Kết luận- số dòng khác ma trận bậc thang số hạng hệ vecto cho 11.Tìm điều kiện tham số để hạng hệ thỏa điều kiện đề Lập ma trận A ( gồm vecto cho ) sau biến đổi A về bậc thang, dựa vào đề để tìm tham số 12.Tìm tọa độ véc tơ đối với sở cho trước B1: Biểu thị vec tơ qua sở B2: Giải hệ để tìm hệ số biểu thị B3: Trả lời 13.Tìm ma trận chuyển từ sở B sang B/ B1: Tìm tọa độ vectơ B/ sở B B2: Viết ma trận gồm cột tọa độ vectơ CHƯƠNG : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Xét xem ánh xạ f: U → V AXTT Kiểm tra f thỏa điều kiện sau: f (ax + by ) = af(x) + bf ( y ) với ∀x; y ∈U ∀a; b ∈ R Tìm ma trận AXTT f cặp sở B B/ cho trước B1: Tìm tọa độ ảnh vecto sở B sở B/ ( Biểu thị tuyến tính vecto ảnh B theo vecto B/ ) B2: Lập ma trận A f: A có cột tọa độ vec tơ ảnh vừa tìm được Tìm kerf r Tìm vecto x cho f(x) = ( đưa về giải hệ phương trình) Xét véc tơ x cho trước thuộc Imf; thuộc kerf + Chứng minh x =f (x/ ) ( nghĩa có x/ để f(x/ ) = x) → kết luận x thuộc Imf r + Chứng minh f(x) = → kết luận x thuộc kerf Tìm sở số chiều Imf; kerf *) Tìm sở Imf: -Tìm ảnh sở bất kỳ ( thường chọn En ) -Tìm sở không gian sinh gồm vec tơ ảnh sở -Kết luận *) Tìm sở kerf -Tìm kerf: Giải f(x) = được họ vectơ x -Chọn vectơ dạng đơn vị ( vectơ bản) tìm hạng hệ vectơ từ suy sở CHƯƠNG 5: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 1.Tìm đa thức đặc trưng ma trận A B1: Lập định thức | A – λ I | : Các phần tử đường chéo A trừ λ B2: Tính định thức trả lời 2.Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A B1: Giải phương trình đặc trưng | A – λ I | = để tìm nghiệm λi → Kết luận giá trị riêng r B2: Ứng với λi giải hệ ( A – λi I )x = để kết luận vecto riêng Tìm vec tơ riêng ứng với giá trị riêng cho r trước Ứng với giá trị λi giải hệ (A – λi I ) x = để kết luận vecto riêng Tìm không gian riêng ứng với giá trị rriêng cho trước Ứng với λi giải hệ (A – λi I )x = để kết luận vecto riêng Xét ĐLTT vec tơ riêng vừa tìm được, từ kết luận không gian riêng E(Tức tìm sở số chiều E) Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận A cấp n B1: Tìm giá trị riêng λi B2: Tìm vecto riêng ứng với giá tị riêng λi vừa tìm được ( có đủ n vecto riêng ĐLTT A chéo hóa được ) B3: Lập ma trận P : Viết vecto riêng thành cột P Thực hiện chéo hóa ma trận A B1: Tìm giá trị riêng λi B2: Tìm vecto riêng ứng với giá tị riêng λi vừa tìm được ( có đủ n vecto riêng ĐLTT A chéo hóa được ) B3: Lập ma trận P (Viết vecto riêng thành cột ) B4: Kết luận P – 1AP : ma trận có phần tử nằm đường chéo λi , phần tử khác đều Tìm ma trận A dạng toàn phương Q(x) A ma trận có phần tử đường chéo hệ số tương ứng biến bình phương Còn phần tử nằm đường chéo tương ứng nửa hệ số tích hai biến Tìm biểu thức dạng toàn phương biết ma trận nó Tìm dạng tắc dạng toàn phương B1: Biến đổi Q(x) về dạng tổng bình phương biểu thức ( thêm bớt để đưa dạng bình phương tổng hiệu) B2: Viết Q(x) thành Q(y):Q(y) chứa biến bình phương ( Viết cách đặt biểu thức bình phương biến yi ) 10.Xét xem dạng toàn phương xác định dương, xác định âm, nửa xác định dương B1: Xác định ma trận A dạng toàn phương B2: Tính định thức ∆ k ma trận A B3: Xét dấu ∆ k để kết luận + Nếu ∆ k đều dương Q(x) xác định dương + Nếu ∆ k đan dấu ∆1 < Q(x) xác định âm + Nếu không thỏa hai loại Q(x) nửa xác định dương Lưu ý: Nếu Q(x) dạng tắc Q(x) xác định dương hệ số biến dương; Q(x) xác định âm hệ số biến âm 11.Tìm điều kiện tham số để dạng toàn phương cho xác định dương, xác định âm, nửa xác định dương B1: Xác định ma trận A dạng toàn phương B2: Tính định thức ∆ k ma trận A B3: Biện luận dấu ∆ k để kết luận + Với giá trị tham số làm cho ∆ k đều dương Q(x) xác định dương + Với giá trị tham số làm cho ∆ k đan dấu ∆1 < Q(x) xác định âm + Với giá trị tham số không thỏa hai loại Q(x) nửa xác định dương